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ANiailE CELESTE

F. TISSEUAM),

TOME I.

PERTDRBATIOHS DES PLANtTES D'APRllS LA HETHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES.

PAIUS.

ilAUTMlEU-VII.LAHS KT FILS, IMl'lUMKL'KS-UHIt MllliS

DU It U II F. A II l>ES LON UlTUDKS, I>K I. Ii C 0 1. 1 I< C) t. V T K ('. ri M Q r t ,

PREFACE.

Le Traite de Mccanique celeste, dont je public aujourd'hui la pre- miere Partie, a pour base les Lecons que j'ai faites a la Sorbonne depuis i883 comme suppleant, puis eomme successeur de M. V. Puiseux. Les Lecons de ce Maitre Eminent brillaient par une clarte incomparable, et c'esl un grand dommage pour la Science qu'elles n'aient jamais ^te publiees. Je suis heureux de les avoir suivies pen- dant plusieurs ann^es, et les Aleves de M. Puiseux en retrouveront des traces nombreuses dans mon Ouvrage.

Le Tome I comprend la th^orie generale des perturbations, fondee sur la methode de la variation des constantes arbitraires.

Dans le Tome II, je traiterai de la figure des corps celestes et de leurs mouvements de rotation.

Le Tome III sera consacre a la th^orie de la Lune, h. un abrege de la th^orie des satellites de Jupiter, a la methode de Hansen pour le calcul des perturbations des petites planetes et aux divers travaux qui ont enrichi le domaine de la Mecanique celeste dans ces dernieres annees.

Le present Volume est susceptible, je Tespere du moins, d'inte- resser les geometres et les astronomes. J'ai presente la methode de la variation des constantes arbitraires, on plutot son application a la Mecanique celeste, de deux facons diflFi^rentes, en me reportant aux travaux de Jacobi ou a ceux de Lagrange.

Cette methode n'oflre peut-etre pas toujours le moyen le plus rapide d'arriver au calcul des perturbations, notamment quand il s'agit des ast^roldes; cependant, au point de vue de I'enseignement, elle est d'une grande simplicite.

VI PREFACE.

Dii reste, elle a perinis a Le Verrier cl'(5difier ses theories des an- ciennes planetes. Les formiiles qui lui ont servi constamment dtins reiisemble imposant de ses recberches sont adaptees avec un rare talent aiix besoins de la pratique, et j'ai ju{?e utile de m'y eonfornier.

J'espere que les jeunes astronomes qui voudront etudier ce premier Volume n'eprouveront aueune peine a s'assimiler ensuite tons les details des theories de Le Wrrier, telles qu'elles ont ete publiees dans les Annalcs de VOhscrvatoire.

J'ai eru devoir eonsacrer un Chapitre a la decouverte de Neptune, qui a fourni la confirmation la plus eclatante de la theorie de la gravi- tation.

Bien que le Volume actuel traite surtout de Tapplieation de la me- thode de la variation des oonstantes arbitraires, j'y ai donne nond)re de resultats qui appartiennent aux methodes de Hansen, dont Texpo- sition dans le Tome III aura ete ainsi notablement facilitee.

II va sans dire que, si le lecteur pent, avec le Traite actuel, s'initier assez facilement aux details d'une science ardue, il ne sera pas dis- pense, s'il veut la penetrer plus profondement, de recourir an grand Trnit^ de Laplace, dont tons les Chapitres prdsentent encore aujour- d'hui aux astronomes les plus exercc^s des sujets varies de meditations f^condes.

Je dois adresser de vifs remerciements a MM. (Jauthier-Villars, qui ont apporte a Timpression des soins minutieux et auront contribue ainsi a faciliter la lecture de TOuvrage.

J'aiplaisiraremercier aussitoutparticulierement M. O. Callandreau, qui ne s'est pas borne a m'aider dans la revision des epreuves, mnis m'a donne souvent des conseils judicieux.

lo noveinbro i88S.

TABLE DES MATIERES

DU TOME I.

INTRODUCTION.

Pages.

Aquation g<^n6ralo do la Dynamique i

Principe d^Hamilton jl

Aquations de Lagrange 5

Forme canonique d*HamiIton 7

Th6or6me d'Hamilton 11

Th6or6me de Jacobi : i4

Cas ou la fonclion dos forces est ind6pcndanto du temps 18

Relations de Jacobi 20

CHAPITRE I.

Recherche de la force qui produit le mouvement eili[)lique des planetes 9.5

Probl6me inverse. — Trajectoiros r6sullant de la force centrale —^ '■^8

Loi de ia gravitation univorsolle 3 1

Orbites des 6toiles doubles 35

Recherche de la force qui produit les mouvements des 6toiles doubles 3G

Probl6me de M. Bertrand 43

Th6or6me de Newton 49

CHAPITRE II.

G6n6ralit6s sur Fatlractiou 5i

Potentiel 52

Aquation de Laplace 55

Attraction des couches 8ph6riques homog6nes 55

Attraction d*un corps sur un point 61oign6 59

CILVPITRE III.

Aquations difl^rentielles des mouvements absolus des planetes 64

Les dix int^grales connues 67

Aquations diffdrentielles des mouvements relatifs dos planetes autour du Soleii 70

Les quatro int^grales connues 72

T. - 1. b

VI PUEFACE.

Dii reste, elle a perinis a Le Verrier d'edifier ses theories des an- ciennes planetes. Les formiiles qui lui ont servi constamment dans Tensemble imposant de ses recherches sont adaptees avec iin rare talent anx besoins de la pratique, et j'ai juge utile de m'y eonfornier.

J'espere que les jeunes astronomes qui voudront etudier ce premier Volujne n'eprouveront aucune peine a s'assimiler ensuite tons les details des theories de Le Verrier, telles qu'elles ont ete publiees dans les Anmdes de I'Ohservatoire.

J'ai cru devoir consacrer un Chapitre a la decouverte de Neptune, qui a fourni la confirmation la plus cclatante de la theorie de la gravi- tation.

Bien que le Volume actuel traite surtout de rapplication de la me- thode de la variation des constantes arbitraires, j'y ai donne nombre de resultats qui appartiennent aux methodes de Hansen, dont I'expo- sition dans le Tome III aura ete ainsi notablement facilitee.

II va sans dire que, si le lecteur pent, avec le Traite actuel, s'initier assez facilement aux details d'une science ardue, il ne sera pas dis- pense, s'il vent la penetrer plus profond(5ment, de recourir an grand Trait^ de Laplace, dont tons les Chapitres prdsentent encore aujour- d'hui aux astronomes les plus exerces des sujets varices de meditations f^condes.

Je dois adresser de vifs remerciements a MM. (lauthier-Villars, qui ont apporte a Timpression des soins minutieux et auront contribue ainsi a faciliter la lecture de TOuvrage.

J'aiplaisiraremercier aussitoutparticulierement M. O. Callandreau, qui ne s'est pas borne Ji m'aider dans la revision des epreuves, mais m'a donne souvent des conseils judicieux.

lo novombre 1888.

TABLE DES MATIERES

DU TOME I.

INTRODUCTION.

Pages .

Aquation g<^n6raIo do la Dynamique i

Principe d'llamilton — a

Equations de Lagrange 5

Formo canonique d'Hamilton 7

Th6oreme d'Hamilton 11

Th6or6me de Jacobi 1 4

Cas ou la fonction des forces est ind6pendante du temps 18

Relations de Jacobi 20

CHAPITRE I.

Recherche de la force qui produit Ic mouvoment eiliplique des planetes '^5

Probl6me inverse. — Trajectoires r6sultant de la force cenlrale —J- 78

Loi de ia gravitation universelle 3 1

Orbites des 6toiles doubles 35

Recherche de la force qui produit les mouvements des ^toilos doubles 3G

Probl^me de M. Bertrand 43

Th6orfeme do Newton 49

CHAPITRE II.

G6n6ralitds sur Tattraction 5i

Potentiel 62

Equation de Laplace 55

Attraction des couches sph6riques homogenes 55

Attraction d*un corps sur un point 61oign6 59

CHAPITRE in.

Equations dif{4rentielles des mouvements absolus des plan6tes 64

Les dix int6grales connues 67

Equations diff^rentielles des mouvements relatifs des planetes autour du Soleil 70

Les quatro iut6grales connues 72

T. - I. b

VIII TABLE DES MATlfeRES.

CIIAPITRE IV.

Page*.

Forme sym^triqiic dcs 6(iuations difT^ronticlIos des mouvements relatifs des plan^les autour du

Soloil 77

Los (|uatro inl6grale8 conniies 85

CILAPITRE V.

ftquations diffcrentiolles des mouvements avoc les coordonn^es polaircs 87

Formes divorses do ces C(iaalion3 90

CHAPITRE VL

Equations difTorentielles du probl^mo des deux corps 93

Int^gralcs premieres 95

Determination de I'orbite 97

Caicul de la position dans I'orbite. Equation de Kepler 100

Calcul de la position h61iocentri(iuc. £l6ments du mouvement elliptique lo {

Formulcs du mouvement elliptuiue 1 07

Maximum de r6quation du centre 109

Mouvement paraboliquo des comctes no

Th6or6me d'Euler 11-2

Mouvement hyperbolique 1 1 1

Determination des 616ment8 du mouvement elliptique 1 iG

Determination des 6I6ments du mouvement parabolique 1 'j>o

Hodographe rii

CHAPITRE VII.

Integration dcs ecjuations difforcntielles du mouvement elliptique par la methode de Jacob! i!23

Elements canoniques<

i>.7

CHAPITRE VIII.

Recherches de Lagrange sur le probieme des trois corps 128

Cas particuliers remarquables 1 47

CIUPITRE IX.

Methode de la variation des constantes arbitraircs. — Variation des elements canoniques. Leurs

derivees 1 59

Elements osculateurs 166

Derivees des elements elliptiques 169

Transformation utile do quatre do ces elements 170

CHAPITRE X.

Variation des constantes arbitraires. Methode de Lagrange 1 73

CHAPITRE XI.

Considerations generates sur les perturbations planetaires 189

Perturbations des divers ordres .... 195

TABLE DES MATlilRES. IX

Pared.

Perturbations du premier ordre igG

Inegalit^s p6riodiques . 197

In^galit^s s6culaires 198

In6galit6s k longues periodos. . . 199

Perturbations du second ordre 'uri

CIIAPITRE Xll.

Fonctions de fiessel. — Leurs propri^tes principalcs tioft

CHAPITHE Xlll.

Applications des fonctions de Bessei au mouvement elliptique ai >

Developpements divers qui so rattachent au mouvement elliptique 2*22

CHAPITHE XIV.

Tli^oreme de Cauchy 228

Nombres de Cauchy 234

(r X"* 1 j 237

(?)

m

» 0 de ( - ) 239

0 » de r^quation du centre 242

0 » de certaines fonctions des coordonn^es d'une plandte 245

CHAPITRE XV.

(r\n / r \ «

- j sinm(i' et I - ) cosmw. . . . 249

CHAPITRE XVI.

Convergence des series du mouvement elliptique 2G2

Apergu de la demonstration de Laplace pour trouver la limite de Texcentricitd 266

CHAPITRE XVII.

Propri6t6s di versos des fonctions de a qui repr^seutent les coefficients des cosinus des multiples de ^ dans le d6veloppement de I'expression (i -+- a«— 2a cos<j^ ) -*. - - M^tiiodes diverses pour ie calcul de ces fonctions ot do leurs d6riv6es 270

CHAPITRE XVUI.

D6veIoppement de la fonction perturbatrice dans lo cas ou les excentricit6s et les inclinaisons mutuelles des orbites sent peu considerables. — Ordres des divers termes du d6veloppement. 292

CHAPITRE XLX. Transformation des d6riv6es des elements elliptiques 32 1

CHAPITRE XX. Formoles de Le Verrier donnant les perturbations du premier ordre des Elements elliptiques 33o

X TABLE DES MATlfeRES.

CHAPITRE XXI. Perlurbations du premier ordre dos coordonn6es h61iocentriques SOo

CHAPITRE XXII.

Premiers termes dos perturbations p6riodiques des coordonn^es h^liocontriques Sjcj

CHAPITRE XXIII.

D6couverte de Neptune 374

CHAPITRE XXIV.

Perturbations du second ordre par rapport aux masses 387

CILVPITRE XXV.

Theoreme de Poisson sur rinvariabilit6 des grands axes dans la deuxidme approximation par rap- port aux masses 391

CHAPITRE XXVI.

Expressions gdn^rales des in6galit6s sdculaires. — Travaux de Lagrange et de Laplace. — Formules numeriques de Le Verrier. — Indications sur les expressions g6n6rales des coordonn^es dans . le probleme des trois corps 404

CHAPITRE XXVH. Mdtbode de Gauss pour le calcul des in^galit6s s6culaires. Exposition de M. Halphen 43 1

CHAPITRE XXVIU.

D6veloppement de la fonction perturbatrice lorsquo Tinclinaison mutuelle des orbites est consi- derable 443

CHAPITRE XXIX. Transformation de Hansen pour les Equations difr6rentielles du mouvemont des plan6tes 46>

FIN DE LA TABLE DES UATIERES DU TOME I.

TRAITfi

DE

MECANIQUE CELESTE.

TOME 1.

INTRODUCTION.

1. Equation gtoirale de la Dynamique. — En combinant le principe de d'AIembert avec celui des vitesses virtuelles, Lagrange a pu condenser en une seule equation symbolique les equations du mouvement d'un systeme quel- conque de points materiels soumis tons, ou quelques-uns seulement, a des forces donn^es.

Cette equation est

OU encore

(')

l'-{^^--^'^^y^w*^')=l^''^-'-^'^^^-^^^'^-

x^ y^ z designent les coordonnees rectangulaires d'un point quelconque du systeme; m sa masse; X, Y, Z les composantes paralleles aux axes de la resul- tante des forces directement appliquees a ce point. Cette equation (i) doit avoir lieu pour tons les systemes de valeurs des variations infiniment petites %x^ ^y^ ^^y • • • des coordonnees x^ y^ z^ ... compatibles avec les liaisons du sys- teme; dans cette meme equation, le 2] ^^ premier membre s'etend a tons les

points du systeme, et celui du second seulement a ceux de ces points auxquels

des forces sont appliquees.

T. - 1. I

2 INTRODUCTION.

Les liaisons seront representees par un certain nombre d'equations, tellesque

/(^ ^fff -; ^'f ...) = o>

(a) { 9(^ ar,7, z; a:', ...)=:o,

Les variations So?, Sy, ... devront verifier les equations suivantes

dx dy ^

obtenues en differentiant les equations (2) par rapport a la caracteristique S sans faire varier le temps /.

On sait comment, en introduisant les facteurs indetermines de Lagrange, on tire de ce qui precede les equations differentielles du mouvement des divers points du systeme.

Nous allons transformer Tequation (i) de maniere a en deduire le principe d'Hamilton.

2. Principe d'Hamilton. — Soit, dans le systeme considere, n le nombre des points materiels et, par suite, 3/i le nombre des coordonnees a?, y, . . . ; si 3n — k designe le nombre des equations (2) de liaison, on pourra tirer de ces equations les valeurs de 3n — * coordonnees en fonction de / et des k autres qui pourront etre considerees comme des variables independantes; pour plus de symetrie, on pourra dire que, en partant des equations (2), il est possible d'ex- primer toutes les coordonnees en fonction de / et de ^ variables independantes q\f y2» •••» y*; on aura, par exemple,

Les variations infiniment petites S^i, ^q^, ..., ^qk pourront etre absolument quelconques; quant aux variations ^x, Sj, qui figurent dans Tequation (i), on les calculera ensuite par des equations analogues a la suivante

(3) 3^=_3^,+ _.3^,^...^._3^„

obtenues en differentiant Texpression de x par rapport a la caracteristique S sans faire varier le temps. Pour arriver au principe d'Hamilton, nous allons considerer les Iqi, qui

INTRODUCTION.

peuvent etre quelconques, comme des fonctions de /, fonctions arbitraires, mais infiniment petites; en partant de la, nous transformerons Tequation (i); les Sic, 8y, ... seront des fonctions de / determinees par les formules (3), et nous pourrons ecrire

d ( dx ^ \ dx dix

~di dt

d^x ^ d /dx ^ \

-y-- ox =1 -r { —r- 0^ I — dt* dt \ dt J

Pour une valeur donnee de /, quand on change a? en ar-h ^x, \\ en resulte dans

dti (V d T*

■-r- le ehangement 5-^; on aura done

dx d{x -\- 8x) dx

'dt ~" di Tit

ou bien

d dx ^ dx dt dt'

on en conclut

dx ddx dx ^dx , ;tf^^\^

dt 'TIT ~"dt 'dt"^ \dt) '

d^x

et Texpression de -t-^- 8x devient

/ /v ^^ ^ d ( dx ^ \ , ^ (dx\*

De cette equation et des equations analogues concernantj", z^x\ ..., on deduit

wi (d}x^ d*y ^ d^z ^ \

On voit s'introduire dans cette equation la demi-force vive du systeme; nous la representerons par T :

Si nous posons

(7) }^{\ SX H- Y dv H- ZOZ) r-r U',

mr-.

4 INTRODUCTION.

Tequation (i) donnera, en ayant 6garcl aux formules (5), (6) et (7),

Le second membre de cette equation ne contient plus rien qui se rapporte au

systeme de coordonnees employe, carT = - ^mv* n'en depend pas, et il en est

ainsi de U' qui, par sa definition meme, represente la somme des travaux des forces pour le deplacement virtuel caract^rise par 8x, Sj, ....

II en est de meme aussi du premier membre de i'equation (8), car I'expression

djT ^ dv ^ dz ^ dt dt ' dt

represente le produil de la yitesse^^du point M par la projection, sur la direction de cette vitesse, du deplacement virtuel h du meme point M (Is a pour projec- tions sur les axes Sa?, 8y, Ss).

Multiplions Tequation (8) par dt et integrons entre /© et f\ <l^ux valeurs quel- conques de /; nous trouverons

(9) [2 - (§ ^-r ^ I ,y -. g ^')X-(\^'^ - ^' ) ''^

oil le premier membre represente la difference des valeurs que prend, pour

t = t^ et / = /, , Texpression 2'^("^^^"^"^^-^'^57 ^^) '

Si nous imposons aux variations ^qi la condition de s'annuler pour / = /o et i = ti9 il en sera de meme des variations Sa?, Sj, ..., et Tequation (9) donnera

(10) f(oT-^ {]')dt"o;

cette formule constitue ce qu'on appelle \e principe d Hamilton.

Dans un cas tres general, il est permis de simplifier Tequation (10) : c'est le cas oil il existe nne/onction des forces U, c'est-a-dire oil Ton a

da: oy oz

^^-^F" '

la fonction U est supposce ne dependre que des coordonnees x,y, z, x', ... des divers points du systeme et du temps / qui peut y figurer explicitement.

INTRODUCTION. 5

En se reportant a la definition de U', on trouvera

et Inequation (lo) s'ecrira

r'(dT-i-3U)--r. o

ou, plus simplement,

(II) a f (T~i \])dt—o;

ainsi la variation de Tintegrale /^ (T -f- l])dt doit etre nuUe.

Nous supposerons desormais Texistence d'une fonction des forces, de la na- ture indiquee, ce qui se trouvera realise dans les applications a TAstronomie dont nous aurons a nous occuper.

3. Equations de Lasrrange. — Le principe d'Hamilton se prete tres faci- lement a la transformation des equations differentielles du mouvement d'un systfeme, lorsqu'au lieu des coordonnees rectangulaires on introduit d*autres variables pour determiner les positions des divers points du systeme.

Supposons que, a I'aide des equations de liaison (2), on ait exprime les co- ordonnees 07, y^ 5, x\ ... de tons les points du systeme en fonction de / et des £ variables ind^pendantes q ^ , q^, ..., qj^. Posons d'une manibre generate

dqi

Texpression (6) de T prouve que cette quantite deviendra une fonction de /, de y,, ya, ..., qk et de q\^ q^, ..., q\; U ne dependra que de / et de y,, y^, ..., q/^. On sait qu'en diflerentiant par rapport a la caracteristique S on doit regarder comme constant le temps qui figure explicitement dans les equations de liaison; on aura done

i— 1

puis

"■^-2:^''-2: ??,''"

1=1 1=1

6 INTRODUCTION.

en portant ces expressions de SU et de 8T dans (i i), il viendra

(i3)

m.

dq

dqk

)H

dt

or on a

•0

o;

ou bien, en integrant par parties.

[%<-{''-^'^--

Mais, puisque les variations Sy, sont supposees nulles pour / = /^ et pour / = /|, il vient

ri^'=*=-/''-^^""-

et Tequation (i3) peut s'ecrire

(

'^U, \l-^t 5^;— J^^'-^- -^L-^^

T + U)

dqjt

dgjt \dt = o.

Cette equation doit avoir lieu quelles que soient ies variations infiniment pe- tites S^o ^?2* ••• qui sont independantes les unes des autres; on en conclut que Ton doit avoir identiquement

\dq\ )

dl

(i5)

\dg'J

dt

dqt dqt ~" '

\ dt

dqu dqk~~ '

car, si ces quantites n'etaient pas identiquement nulles, on pourrait donner aux

INTRODUCTION. 7

variations Sy,, 0^2* ••• dcs signes tels que, pour toutes les valeurs de / comprises entre t^ et /,, chacune des expressions

soit constamment positive, et alors, tons les elements de Tintegrale (i4) ayant le meme signe, cette integrale ne pourrait pas etre nulle.

Les equations (r5) sont dites equations de Lagrange; elles ont ete donnees pour la premiere fois par ce grand geometre.

On voit done qu'aussitot que, dans les problemes de Dynamique consideres, on a fixe le choix des variables independantes a Taide desquelles on pent ex- primer les coordonnecs de tons les points du systeme, on est a meme de former sans elimination, par un calcul elegant et facile, les equations different! elles propres k determiner les variables introduites.

4. Forme canonique d'Hamilton. ~ Nous considerons maintenant les problemes de Dynamique dans lesquels les liaisons sont independantes du temps; nous admettons toujours qu'il existe une fonction des forces, depen- dant seulement, comme nous I'avons dit, des coordonnees des divers points, et pouvant contenir explicitement le temps.

Soient 7,, q^, ...9 qn l^s variables independantes a Taide desquelles on pent exprimer les coordonnees de tous les points ; on aura, puisque les liaisons sont independantes du temps, des expressions de cette forme

y — ^{iu qu ••., qk).

d'oii, en representant comme precedemment par q\ la derivee -^S

dx , dY ,d¥ , d¥

dy , d<l^ , d<b , d<l^

En portant ces valeurs dans

'-=2"mH^)Hm

8 INTRODUCTION.

on trouvera un resultat de cette forme

On voit que T est une fonction homogene et du second degre des variables q'; les coefficients A|,,, A|,2t ••• sont des fonctions des variables q ne contenant pas le temps explicitement. Les variables q seront determinees par k equations diflerentielles, telles que

\dqj dT _d\}

quand, apres avoir forme la derivee partielle (^J> on remplacera y',, q\^, .. .

respectivcment par -^> -^> • • • > on voit que Tequation (17) sera une equation

differentielle du second ordre. Le probleme dependra done de Tintegration de k equations differentielles simultanees du second ordre.

Nous aliens actuellement faire un nouveau changement de variables en po- sant

(18) W^^^'' 5^"^*' ••' Wk^^''

nous remplacerons les k variables q\ par les k nouvelles variables y^. Si Ton tient compte de (16), les equations (18) pourront s'ecrire

( P\ — A, ,1^1 + A,,j7; -h . . . + ki^kq'ky

('9) I pi — A,,,7;-h A,,,^; 4-...-i-A,,*^i,,

En resolvant ces ^equations du premier degre, on aura les valeurs de q\, y'j, ..., q\ en fonction dep^^p^^ ••♦/^a et de ^r,, q^, ..., y*, et si Ton reporte ces valeurs dans (16), on trouvera un resultat de la forme

aT — B,,,/[>J-i- 3B,,5/>,/>, -}-. . .-\-2Bt^kPiPk

oil les coefficients B,,,,B|^a, ... seront des fonctions dey,, ya, "-^ qk

INTRODUCTION. 9

Quant a la fonction U, cllc ne changera pas, puisqu*elle est supposee ne pas contenir les variables q\

T, qui etait d'abord une fonction des variables y/Cty'^, devient maintenant une fonction des variables y,- et/?, ; d'apres ce qu'on a dit plus haut, qi n'entre pas de la noeme maniere dans les deux expressions de T; il convient de designer

par 3— 'a derivee partielle de T prise dans Thypothese des variables qi et y'^;

la derivee prise dans Thypothese des variables y, et/?/ sera representee simple-

&\ ment par -^ •

L'equation (17), en ayant egard a (18), s'ecrira done

(20)

dt

On aura, pour la differentielle totale de T prise dans le premier cas,

<"=2[S]*-2:f;*

OU

et, pour la meme diflerentielle totale prise dans le second cas,

On a eniin, en appliquant le theoremc des fonctions homogenes ^ T,

OU bien

d'oii

En retranchant de cette equation I'equation (21), il vient

T. - I.

lO INTRODUCTION.

et, en comparant les deux expressions (aa) et (24) de dt, on trouve

(a5)

Ugi] ~

dqt

91

dpi'

cette derniere equation pent s'^crire

(a6)

On tire, du reste, de (20) et (aS),

dq, _ dT

dt dpi

(V)

dpi <JT ^U

dt dqt dqt

En dormant a i les valeurs i, 2, ..., k, les equations (26) et (27) presentent le resultat cherche sous la forme de 2^ equations differentielles simultanees du premier ordre, d'aspect tres simple.

Mais on peut obtenir enoore plus de symetrie en introduisant une notation speciale pour representor la difference T — U et posant

H=:T-U;

si Ton remarque que, par hypothese, U ne contient pas les variables pi, on voit que

dpi "~ dpi

On a, du reste,

dqi~ dqt dqt'

et les formules (26) et (27) deviendront le type des equations du groupe sui- vant :

I H=:T-IJ,

(a8)

dq, d\l dt dpx dq, ^ dVL dt dp.	dp, dn dt dqi dp^ dn dt dq.
dq, ^ dVi dt " dpk	dpk d^ dt dqk

II resulte de la que la resolution d'un probleme quelconque de Dynamique

INTRODUCTION. 1 1

(avec les restrictions enonceeS) se ramene a Tintegration d'un systfeme do a^ equations differentielies simultanees du premier ordre dans lequel les va- riables sont conjugueesdeuxadeux; laderivee del'une quelconque des variables par rapport au temps est egale a la derivee partielle d'une meme fonction H, prise par rapport a la variable conjuguee, ou a cettc derivee changee de signe. Ces equations (28) sont dites ramenees a la forme canonique.

5. ThSor&me d'Hamilton. — Supposons que Ton ait integre les ik equa- tions differentielies simultanees (28); on aura done exprime les variables qi et Pi en fonction de / et de 2k constantes arbitraires c,, c^, ..., ^2;^; on pourra exprimer de la meme maniere la fonction H. Cherchons, dans cette supposition,

la derivee partielle -t-\ nous aurons

(JH __ OR dp, ()H dpt (?H dpk

dci dpi dci dpt dci ' dpk dct

m dq, dn dqt dR dgk

dgi dci dqt dci ' " dg^ Oct

ou bien, en tenant compte des equations (28),

dR dg, dpx , dg^ dp^ , , dg^ dpk

dCi dt dCi de dCi " ' de dci

___ dp^ dgx _ dp^ dgi __ _^ €ipk Ogjc

de dci de Oci ' " de dci ce que Ton pent encore ecrire

dR d ( dg, dg^ dgk\

d ( dgx dgt dgk\

ou encore, a cause de la relation (23),

[ 2(?T d / dgi dg^ dgA

]='d^''de\^'d^'^^'d^s'^''^^''dirj

dR 2dT dc

On en tire, en remplagant H par T — U,

(J(T-hU)_ d / dgi dg^ dg

dci

d ( dgi dg^ dguX

Multiplions cette equation par dt et integrons entre les limites /q ^t ^ ^o ctant

1 2 INTRODUCTION.

suppose independanl des constantes c, ; nous trouverons

les indices to et / places au-dessous des parentheses indiquant qu*il faut v reni- placer / successivement par / et t^. Posons

(3o) ^^r (T-^U)^^;

cette fonction a etc appelee par Hamilton Jonction principale; elle est, d'apres cc qui precede, exprimee a i'aide de / et des ik constantes arbitraires r,, Cj, ..., c/, ..., c^f,. Donnons a ces constantes des variations infiniment petites 2c, independantes les unes des autres ; designons par o^r, et SS les variations corres- pondantes de qi et de S; nous aurons

OCx dct OCi dctk

O7.= 5^3c,-^^^oc.-f-

0^1 —

Designons par {pi\^ (9i)of {^9i)o ^c que deviennent les expressions de/?,, y,- et Sy, quand on y fait / = /© ? si nous multiplions Tequation (29) par oci et si, attribuant a Tindice i les valeurs i, 2, ..., 2^, nous faisons la somme des equations obtenues, nous trouverons

S etait d'abord, comme nous Tavons dit, une fonction de / et des 2k constantes arbitraires; or, en designant par ^i une certaine fonction de / et des constantes, on a

(32) qi — ^i{tyCi,Ci,.,,,ctk)> d'ou Ton deduit

(33) {qi)o — Ki{hiCiyCf, ...,Cjx).

On a * equations telles que (32) et k tellcs que (33); on en pent tirer les va- leurs des 2k constantes c,, c^, ..., Csa en fonction de /, i^t q^, 92* •••> 9a ct de

INTRODUCTION. 1 3

WOo» (92)0^ •••» (^a)© et les reporter dans S, qui deviendra unc fonction des memes quantites; on aura done, en remarquant que dans le calcul de 8S on ne doit faire varier ni / ni /o>

(34) '

En comparant les expressions (3i) et (34) de BS, on trouve

<^') W^=^" W^^^" ■■■' O^k'^"

On pent maintenant, si I'on veut, regarder les 2k quantites (91)0 > (^2)0* •••• (y*)©* (Pi)of (P2)of •••» (a)« commc de nouvelles constantes arbi- traires pouvant remplacer les anciennes c,, c^, ..., c^^^; alors les 2^ equa- tions (35) et (36) seront les integrates generates des equations (28). En se plagant au point de vue special du probleme de Dynamique considere, on pourra dire que les equations (36) sont les integrates de ce probleme; car, a elles seules, elles donnent les valeurs dc ^,, g.2, ..., q^ et, par suite, les valeurs des coordonnees de tous les points du systeme exprimees en fonction de / et de nk constantes arbitraires. La forme remarquable sous laquelle se presentent les equations (36) donne lieu au theoreme suivant, du a Hamilton :

Les intdgrales d'un probleme de Dynamique^ dans lequel les liaisons sont mde- pendantes du temps et oil il existe une fonction des forces independante des vi- tesseSf peuvent toutes s'exprim^r en egalant a des constantes les derivees partieUes d^une autre fonction S prise par rapport a d'autres constantes.

D'apres la mani^re dont la fonction S a ete introduite, il semble que, pour la connaitre, il soit necessaire d'avoir prealablement resolu le probleme propose; il parait en effet necessaire d'exprimer d'abord T -h U en fonction de t et des

2* constantes c,, d'effectuer la quadrature / (T-hU)rf/ et d'exprimer ensuite

le resultat, en fonction de /, des k variables q^, q^, •••» ^a et des k constantes (?«)•' (9-2)0* •••» (y*)©? heureusement, on pent operer autrement. Hamilton a prouve, en effet, que cette fonction S verifie une certaine equation aux derivees partieUes du premier ordre.

Pour le faire voir, remarquons que Tequation (3o) donne

37) f=T + U.

1 4 INTRODUCTION.

D'apres ce qu'on a dit plus haul, S est une fonction de t^ des variables qi et des constantes {qi)^ ; S contient done le temps explicitement et implicitement, et Ton aura

^S ()S ^ e^S dqt

'di ~' 'dl ^ ^dqt^l

ou bien, en tenant compte de (35) et (Sy),

^ + ^ = ^^+2^5 ou encore, en ayant egard a la formule (^S),

at

Posons comme precedemment H = T — U, et nous aurons

(38) ^ + H = ^-

La fonction U ne contient que le temps / et les variables qi\ mais T depend des variables y, et q\ ou bien des variables qi et/?,; on pent done ecrire Tequa- tion(38) comme il suit :

-jl -^-H(^ qu qu . • ., qk; pu pu • • •»/>*) — Oy

ou encore, en ayant egard aux formules (35),

On voit done que la fonction S est une integrale complete d'une equation aux derivees partielles du premier ordre, dans laquelle figurent les A 4- i variables independantes /, ^,, q^, ...» qk\ cette integrale contient les k constantes (^i)o, (5^2)o» •• » (y*)©* sans compter la constante qu'on pent lui ajouter directement, puisque I'equation (39) ne contient pas S, mais seulement ses derivees par- tielles.

Remarque. — L'equation (39) estdu second degre par rapport aux derivees 5~"' 5^' '"' T^'^ celaest une consequence des formules (16') et( 35).

6. R6ciproqu6 de Jacobi. — II y avait lieu de se demander si, en prenant pour S une integrale complete quelconque de I'equation (Sg), on aurait encore les integrales du mouvement sous la forme remarquable exprimee par les equa-

INTKODUCTION. 1 5

tions(35) et (36); c'est ce qu'a fait Jacobi en demontrant le beau theoreme suivant :

Soil V equation

dans ktquelle H = T — U e^/ une fonction de t et des ik variables ^1,^2, ..., q^^

P\^P2* '"^Pkl enfaisant pi = -^-i on ohtient une Equation aux derivdes partieUes

du premier ordre nontenant A -hi variables independantes t^ q^^ q^y .^.^ qn* Suppo- sons que I' on ait ohtenu une integrale complete S de cette equation, cest-a-dire une solution fonction de t et des k variables y, et contenant k constantes arbitraires, a,, aa, ..., a;^, independamment de la constante que Von peut toujours ajouter di- rectement a S ; alors les equations

dans lesqueUes ^,, ^j, ..., P* designent k nouvelles constantes , sewnt les integrates gendrales du systems des 2 k Equations diffdrentielles simukanies

(43)

dq, ^H dt dpx '	dpx dt	dqx
dqk dR dt dpk '	dpk dt	dR

Differentions en effet les equations (4i)compIetement par rapport au temps: nous aurons

(^»S _^S_ dq, (^«S dqj, ()«S dqk _

doci dt dctx Oqt dt da^ dq^ dt ' ' ' d<Xi dqk dt ~~ '

(^«S (^«S dq, <)»S dq^ ()«S dqk

(44) { doL^dt ' doCfdqi dt ' doL^dq% dt dct^dqk dt *

* »

d*S d^S dq, d^^ diqt ()«S dqk __

dockdt doLkdqx dt dotkdqt dt ' ' ' doLkdqk dt

Si, dans Tequation (4^), on suppose S remplace par sa valeur en fonction de /, des variables qi el des constantes a^, on aura une identite ; on peut done differentier relativement aux constantes a, ou par rapport aux variables q\. Fai-

I G INTRODUCTION .

sons-le d'abord par rapport a a, : nous trouverons

d*s , dn dp, on dp, , on dp^_

dt doLx Opi dcti dpi 0^1 dpi- dot,.

ou bien, en tenant compte de (4^)»

(?«S <)H d*'^ dR (?»S dVL d^^

dl doLi dpx df/i dxi dp, dq% da, dpa dqk doc^

On trouvera d'autres equations toutes pareilles en differentiant (4o) par rap- port a aa, a,, ..., a^t, et I'on pourra ecrire cet ensemble d*equations

/ (}»S (?«S dH d'S dU d^S dH

4- ... 4- -:i -T— J— = O,

dt dctx dqx doLx dpx dq, da, dp, dqk dax dpk

d»S c?«S ^H d^^ d^ c^*S d^

i— 3 h . . . -h -^ 5— -^ — = O,

(45) ' dtdoL, dqx doc, dpx dq,dix, dp, dq^da, dpk

c?«S d^% (?H d^S dVL d^% dn

-f- , : ; h . . . -h -^; r— -r— = O.

dtdoLic dqxdctk dpx dq,d<Xk dp, dqkdak dpk

On va comparer ce systeme d'equations avec le systeme (44); on sait que Ton a

doLidt '" dtdcti <^»S d^S

dqidoLj doLjdqt^ '

il en resulte que, si I'on considere, dans les equations (44)» -4r* -Sr^ ••» ^

comme les inconnues et si Ton prend pour inconnues, dans les equations (45),

j-> T"' '"' ^' ^^ ^^^^ deux systemes de k equations du premier degre a

k inconnues. Dans les deux systemes, les coefficients des inconnues et les termes tous connus seront les memes; done les inconnues correspondantes auront les memes valeurs dans les deux systemes. On en conclut, d'une maniere generale,

<^^) Tt = d^;^

la premiere moitie <]es formules (43) est ainsi demontree. Partons maintenant de Tequation

INTRODUCTION. 1 7

nous cn deduirons

dpi _ d^^ , d^^ dq, ^ (?«S dq^ ^ (?*S dq,,

~\ • • • 1

dt dqi dt dqt dqx dt dqi dq^ dt ' ' ' ' dqt dqie dt

ou, en ayant egard a (46),

,, , dpi d'^ (>*S dVL (>-S dW (?*S dW

(47) -^^ HZ 1 h f- -+-

dt dqidt dqidqx dpx dqtdq^ dpt '" dqidqn dpk

Or, en differentiant (4o) par rapport a qi, on trouve

ou bien

^ d'S OH dHdpxOndpt dU Opu

~~ dt dqi "^ dqt dpi dqi dpt dqt '" dpk dqt ^

c^'S dH c)*S d\\ d*S dH

dt dqt dqt Oq^ Oqt Opi '" dqk dqt Op a

en remarquant que (42) donne

dpj _ d*S

Oqt dqj dqt

En rapprochant cette equation dc I'equation (47 )» o" obtienl

dpi^_dH,

dt dqt^

done la seconde moitie des formules (43) est demontree.

On voit done que les equations (40 et (4^), qui determinent les 2k variables Pi et qi en fonction de t et des ik constantes arbitraires ol^ et P^, sont bien les integrates generales des equations differentielles simultanees (43).

Remarque. — Les equations (4i) determinent y,, q.^, ... et, par suite, les coordonnees dc tons les points du systeme en fonction de / et des 2k constantes arbitraires; dies suffisent a resoudre le probleme propose. Les equations (42) determinent ensuite les inconnues auxiliaires /?|, p.>, ...; on les appelle inte- grates intermediaires.

Tout probleme de Dynamique dans lequel les liaisons sont independantes du

temps et oil il existe une fonction des forces (pouvant contenir le temps explici-

tement) se ramene, comme on Ta vu, a un systeme d'equations differentielles

simultanees, tel que (43); on pent done en conclure que la solution de chacun

des problemes de Dynamique consideres plus haut se ramene a la determination T. - L 3

1 8 INTRODICTION.

(rune integrale complete d'uiie certaine equation aux derivees partielles du pre- mier ordre.

Cette equation n'etant pas lineaire, on n'a pas de methode generale pour en trouver une integrale complete; on pent neanmoins I'obtenir dans un cer- tain nombre de cas et, par suite, resoudre le probleme correspondant, comme nous le montrerons dans la suite de ce Traite.

7. Cas oil la fonction des forces ne contient pas le temps explicite- ment. — T est deja suppose ne pas contenir le temps explicitement; il en sera done de meme de H = T — U, et Tequation aux derivees partielles sera

Oe

En designant par a une constante, nous poserons

(49) S-^-a^-f-S',

et nous supposerons que S' ne contienne pas le temps explicitement; on aura

et Tequation (48) deviendra

S contenant deja la constante a, il suffira de trouver une solution S' de Tequa- tion (5o) renfermant X* — i constantes arbitraires a,, aa, ..., a;t_, ; on aura en- suite, en designant par ^i, flj, .... ^^-i* P» ^ nouvelles constantes arbitraires,

ce qui devient, en rempla^ant S par sa valeur (49)»

On voit done qu'on est ramene a la recherche d'une integrale complete d'une equation aux derivees partielles contenant k — i variables independantes au lieu de k.

Voyons ce que deviennent les resultats ci-dessus dans le cas de n points mate- riels entierement libres.

Nous supposons toujours qu'il existe une fonction des forces pouvant contenir

INTRODUCTION. 1 9

le temps explicitement, mais ne dependant que des coordonnees des points con- sideres.

Soient ;r/, J,, 5,, /w^ les coordonnees rectangulaires et la masse de I'un quel- conque de ces points; on aura 3n coordonnees et 3n equations differentielles, telles que

d^Zi _ d\}

Soit 2T la somme des forces vives des n points du systeme; on aura

(53) ^j^^m,{x'^^y\'-\-z'^),

en posani

^^ — ' ^ __ ' ^^' __ '

dt "*^'- dt ~''^" di '"'•

Puisqu'il n'y a pas de liaisons, on pourra prendre .r^, y^, zi pour les va- riables q\ on tire do (53)

les variables/? seront done mix], miy], rniz'.. On aura

dvi '' ' dvi ' dzi

et la formule (53) donnera

i — n

Tequation (40) sera done, dans le cas actuel,

i — n

as I V ' IY<'S\' /'^s\' /'^s\*i ,-

1 = 1

oil U designe une fonction connue de t et des 3/? variables independanles

Pour obtenir les mouvements des n points du systeme, il suffira done de trou- ver une solution Sdel'equation (54) aux deriveespartiolloscontenant le temps/,

les 3/1 coordonnees ,r/, /,, Zi et 3/i constantes arbitraires a^, a^ aj^; apres

quoi, en designant par ^,, ^o p.,„, Zn nouvelles constantes arbitraires, les

20 INTRODUCTION.

integrates generates scront fournies par les formules les integrates intermediaires seront

dt iUi ' dl ()Vi dt dzi

Si la fonction des forces ne contient pas le temps explicitement, ce qui arrivera si les points materiels sont soumis seulement a leurs attractions mutuelles, on devra considerer, au lieu de (54), Tequation aux derivees partielles suivante

• • • •

i — n

i.-i

oil a designe une constante arbitraire, et en trouver une solution S' eontenant les 3/1 variables xi^ r,, :;/ et 3w — i constantes arbitraires a^, a^, ..., a,„_, en dehors de la constante a ; les integralos generates seront

8. Relations de Jacobi. — Nous allons demontrer un theoreme qui nous sera utile dans la suite.

Soit S une fonction de n quantites y,, y.^, ..., q,, et de n autres a,, a^, ..,, a„; posons

dqx ' dqi '^' Oqn

On pourra tirer de cos equations

I I on fonclion oe ( r )'

\<7i, 72* • • • ' 7/1/ \pM Hi) • • • • .^/i /

et, en portant cos valours dans les equations (i), on aura des identites que Ton pourra differontier par rapport a Tune quelconquo dos quantites a et p. On pourra tirer aussi des formules {a) ot (b)

I ^ ) ^" fonction do r^ '^ ' ) ,

\Pi» Pf» • ' p/»/ Wi' <7j> • • • ^ 7/1/

et, en portant ces valours dans les equations (a), on aura dos identites quo Ton pourra differontier par rapport a Tune quelconquo dos quantites/? ot q.

INTRODUCTION. . 21

II en resultera, en designant par i et ^ deux indices quelconques de la serie 1, 2, ..., n, des derivees partielles, au nombre de /\n}, de Tune de ces formes

dfh_ dp, dq, dq, ^""^ doL,' d?>,' da,' ()?A-'

et iin second groupe de ^n} derivees partielles de la forme

doL, ()xf, d^, r)3<

(^/)

-- — >

dpi' dqr dpr dq,

Les relations suivantes, dues a Jacobi, permettent d'exprimer d'une maniere fort simple Tune quelconque des derivees (c) au moyen de Tune des derivees (d) :

^^^ da,^ dqi' ^^^ d^,- dp/

lf\ dpi^^da, dqt _ d^K

^•^^ d^K- dq/ ^''^ da,- dpi'

Tel est le theoreme qu'il s'agit de demontrer.

Ditterentions les n equations (a) par rapport a y^, puis les n equations (b) par rapport a a^^; nous trouverons

(?«S d^S da, d^S da,

-+- "^ — r- 3-^ -+- 3 — r- T-^ 4- . . . = o,

dqi dqi dqi da^ dqt dq^ da^ dqt (55) \ dt^ d'% da, f?«S da.

dqt dqi dq, da^ dqt dq, da, dqt

-h . . . =1 o,

f?»S f?«S dq, r}«S dq.

dai da, da^ dqi da, da^ dq, da.

-t- . . . = o,

(56) ', ^}*S d^^ dq, r)»S dq.

da, da, da, dqi da, da, dq, da, ' ' ' *

En multipliant les equations (55) respectivement par ~> -^, ... etajoutanf, il vient

_ _d^_ dq^ f}*S dq, da, ( f^'S dq^ __^^_ dq.

dqi dqi da, dq, dqt da, dqt \dq, da^ da, dq, da, da,

da, ( f)*S dq, ^*S dq

dqi \dqxdx, da, dq,da, da,

...)

ce qui, ii cause des formules (56\ se reduit a

_ f}*S dq, r}*S dq, ( ^«S da, f}»S da.

dq\ dqi da, dq, dq, da, ' ' ' Xda, da, dqt da, da, dq

;-....),

22 . INTRODUCTION.

si Ton ajoute et si I'on retranche ^ — ^— > on peut ecrire encore

doLk\dqiJ dqi\dXf,J

ou bien, en ayant egard a {a) et (6),

c'est la formule {e).

Differentions les n equations (ft) par rapport a p^; nous aurons

a«S dq, d^S dq^

<)«, (^7, di^k d<Xi dqt d^k '" '

d'S dq, ^ d'S dq^ _

doct dqx d^k doc^ dqt d^k

(?*S (?7, , d'S dqt _

JQ "* • • • ' >

Multiplions ces equations (57) respectivement par y-S ^, ••• et ajoutons, il viendra

diXk dqi / d^S doCi d^S dtXf \

dq, ~ d^k \d(Xi dqi dqi d(Xt dqx dqt '")

dqt ( d^S doL^ /)*S doLf

di^k \doLx dqt dqt dxt dqt dqi

ce qui, a cause de (55), se reduit a

dax- _ _ / d^S dq^ d*S dq^ ^ \ _ d / d^\ _ dpi_ .

dqi '~ \dqxdqid?iK dqtdqidq^ ")' d?A\dqi) d^A^

c'est la formule (/).

Differentions les equations (a) par rapport a/?,, nous trouverons

d^S doL, r)*S doit

' 1-...-0

dqxdoLx dpi dqx d<Xt dpi

1

t- "^^ \ — ,. -r . . . O,

dqtdcf.^ dpi dqtdiXt dpi

(j8

c)*S d(x, r)^S doLt

dqi doLx dpi dqi doLt dpi

INTRODUCTION'. 23

Multiplions ces equations respectivement par -^^ j^^ •• ^t ajoutons, cela nous donnera

"^ dpi \dqi doci d^/, ~^ Oqs dot^ J^a */

en vertu des relations (57), cela se reduit a

dq, _ doc^

c'est la formule (g).

Multiplions enfin les equations (58) respectivement par ^> J^- i • • • et ajou- tons, il viendra

()xk ~~ dpi \Oqi do^i OoLf, dq^ Ool^ Ool^ * * /

doL^ ( r}*S Oqx ()*S <?7j \

d(XK dq^ daCi diXf, "J

~\~

dpi \dqi doL^

ce qui devient, a cause des formules (56),

dqj _ _ _ a«S da, _ ()*S_ (?as _ __ 6>_ /j^\ _ <^^.. t^a^r ~ OoLxdoLk dpi doL^doLk dpi • • — ^)p. \doLf,) ~ d*/?, ^

c'est la formule (A).

On pourra faire usage des relations {e), (/), (^), (A), quand on aura integre les equations d'un probleme de Dynamique par la methode de Hamilton-Jacobi; en effet, les conditions (a) et (6) seront bien remplies, S etant une fonction de y<, ya» ...,y;„a,, a^, ..., a;, et de /; en prenant les derivees partielles, on n'aura pas, bien entendu, a se preoccuper de t.

CHAPITRE 1. — LOI DE LA GRAVITATION L'NIVERSELLE. 2 J

CHAPITRE I.

DE LA LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE TIRl&E DES OBSERVATIONS.

1. Les planetes, dans leurs mouvements autour du Soleil, obeissent aux lois suivantes, que le genie de Kepler a fait jaillir des observations de Tycho-Brahe :

i*^ Les planetes se meuvent dans des courbes planes et leurs rayons vecteurs de* cris^ent des aires proportionnelles aux temps;

a** Les orbites desplanStes sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer;

3** Les carres des durees des revolutions siderales des planites autour du Soleil sont entre eux comme Us cubes des grands axes de leurs orbites.

Nous allons appliquer aux mouvements des planetes les theoremcs de la Mdca- nique rationnelle; ces theoremes reposent sur le principe de rinertie et sur le principe des mouvements relatifs.

D'apres la seconde partie du principe de Tinertie, quand un point materiel est en mouvement, si aucune force nagit sur lui, son mowement est rectiligne et uni- forme.

Considerons une planete P dans son mouvement autour du Soleil ; ce mouve- ment n'est pas rectiligne. Done une force R agit sur elle a chaque instant pour I'eloigner de la ligne droite qu'elle decrirait si elle etait absolument libre; nous nous proposons de trouver les lois qui regissent cette force, sa direction et son intensite. Chacune des lois de Kepler va nous fournir, a ce sujet, un renseigne- ment important. Je rappelle d'abord le theoreme suivant de la Mecanique ra- tionnelle :

Si la trajectoire d'un mobile est plane et si le rayon vecteur mene du mobile a un point fixe du plan de la trajectoire decrit des aires proportionnelles au temps^ la force motrice est constamment dirigee vers ce point fixe.

T. - I. 4

28 CHAPITRE I.

Or la troisieme loi de Kepler nous fournit la relation

il en resulte el

I

H'

_ ''* F

/•'»

Ainsi [X est le meme pour toutes les planetes, et la loi de la force R' rentre dans celle de la force R; nous arrivons done au resultat suivant :

Soient P Vune quelconque des plane tes, m sa masse; dans chacune de ses positions^ elle est soUicitee vers le centre du Soleil par une force dont V expression

est —j^i [X designant une constante commune a toutes les planetes.

Si nous considerons que les positions occupees successivement par la pla- nete P sont comprises entre deux cercles concentriques de rayon a(i — e) et a(i 4- e), de meme que celles de la planete P' sont comprises entre les cercles de rayons a'(i — e') et a'(i 4- e'), ..., nous sommes conduits a admettre que, partout oil se trouvera une molecule materielle M, de masse m, situee a la dis- tance r du centre S du Soleil, elle sera necessairement soumise a Taction d'une

force dirigee suivant la droite MS et ayant pour expression — |

2. Apres etre arrive au resultat precedent, Newton s'est propose la question inverse :

Un point materiel de masse m est soumis constamment a I' action d'une force dirigie vers le centre du Soleil et variant en raison immerse du carre de la distance : trouver sa trajectoire.

On voit, par raison de symetrie, que la trajectoire doit etre plane, son plan etant astreint a passer par le centre du Soleil et par la vitesse initiale du point

materiel. Soil R = —^ la force donnee; on aura, par la formule (i),

d'oii

LOI DE LA GRAVITATION INIVERSELLE. 2f)

On en lire, en integrant et designant par e et a> deux constantes arbitraires,

' -7i=^^^<^o^(^-^)^

r

c^

(2) /•

1-+- ecos(6 — G))'

done la courbe est une section conique ayant le point S pour foyer.

Remarque. — On peut supposer e > o ; car, si la constante e etait negative, on la changerait en une autre egale et de signe contraire en remplagant dans Tequa- tion (2) (0 par a> -h tc.

Demandons-nous si Ton peut disposer des donnees initiales de maniere que la trajectoire soit Tune quelconque des trois sections coniques.

Soient 0© et r© les valeurs initiales de 0 et de r pour / = /©» ^0 Isi valeur ini- tiale de la vitcsse du mobile, et yj^ Tangle que fait cette vitesse avec le pro- longement du rayon vecteur. On a, par les formules connues de la theorie des forces centrales.

VoSinrio - —J '*0
VoCOSYio — — C-\

On en conclut, en ayant egard a Tequation (2),

e sin((/o— co) =: — 2 roSimooCOSYio, (3) ' ^

I ecos(0o-- w) = — ^roSin^Yio— i ;

ces equations determinent sans ambiguite les constantes e et a>; ^ est I'excentri- cite de Torbite, comme le montre Tequation (2), et co est Tangle polaire qui

c«

correspond au perihelie ; — est egal au parametre p ou a

-=a(i-e');

on aura done

En elevant au carre les equations (3) et les ajoutanl, on trouve

-e'=Xlr|sin«ri.(^-Vj);

3o CHAPITRE I.

la trajectoire sera une ellipse, une parabole ou line hyperbole, suivant que la valeur de i — ^* sera positive, nulle ou negative; si done on a

VJ < -j-y la trajectoire sera une ellipse;

VJ r= -^, )) )) parabole;

V; > -f-> » » hyperbole.

On voit que le genre de la section conique ne depend que des donnees initiales ^0 et Vo et nullement de y]©.

La formule (4) donnera ensuite, avec la valeur ci-dessus de i — e*,

V*

a r-Q

le grand axe de Torbite est independant de r^o-

3. Orbites des comMes. — Kepler avait neglige d'etudier les mouvements des cometes, sans doute parce qu'il attachait une mediocre importance a ces astres qu'il considerait comme des « meteores engendres dans Tether ». Newton voyant que, sous Tinfluence de la force consideree ci-dessus, un point materiel pent decrire autour du Soleil, non seulement une ellipse voisine d'un cercle, comme le sont les orbites des planetes, mais une ellipse tres allongee ou memo une parabole, Newton, disons-nous, fut amene a penser que, comme les pla- netes, les cometes decrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer, toute la difference consistant en ce que les orbites planetaires sont peu excentriques, pen inclinees sur Tecliptique, tandis que les cometes decrivent des ellipses tres allongees et situees dans des plans quelconques. On s'expliquera ainsi pourquoi les cometes ne sont visibles que pendant un temps limite; c'est le temps pen- dant lequel elles sont assez voisines a la fois et du Soleil et de la Terre pour que leur eclat permette de les apercevoir.

On sait que la parabole est la limite d'une ellipse ayant meme sommet et meme foyer, et dont le grand axe augmente indefmiment; il en resulte que, dans le voisinage du perihelie, I'orbite d'une comete, supposee elliptique et tres allongee, differera fort peu d'unc parabole ayant le Soleil pour foyer. Newton fut done amene a penser que les orbites des cometes peuvent etre considerees comme paraboliques. II eut bientot I'occasion de mettre ses idees a Tepreuve : le 1 4 novembre i68o parut une comete qui se rapprocha rapidement du Soleil et disparut dans ses rayons le 5 decembre. Le 22 decembre suivant, une comete tres brillante apparaissait de Tautre cote du Soleil. En calculant les observations des deux cometes, Newton demontra qu'elles ne formaient qu'un seul et meme astre; elles avaient decrit chacune un arc d'une meme parabole.

LOT DE LA GRAVITATION UiNIVERSELLE. 3 1

On a observe depuis un nombre considerable de cometos paraboliques; pour rhacune d'elles, le centre du Soleil coincide avec le foyer de la parabole et le rayon vecteur decrit des aires proportionnelles aux temps. Done chaque comete, dans I'une quelconque de ses positions, est soumise a une force R dirigee vers le Soleil et ayant pour expression

„ mc^ I n =r -.

Si Ton compare aux quantites c ci p les quantites & et/?', c" et/?", ..., qui cor- respondent a d'autres cometes, on constate que Ton a

de plus, la valeur commune de ces rapports est egale a la quantite correspon- dante

commune a toutes les planetes.

Nous retrouvons done la meme loi d'attraction R = -~i oil ul est une con-

stante pour tout le systeme planetaire, et nous sommes en droit de considerer le centre du Soleil comme le foyer d'une force attractive qui s'exerce dans toutes les directions, sur tons les corps, proportionnellement a leur masse et en raison inverse du carre de la distance.

On voit quelle force les cometes apportent a cette demonstration : a Taide des planetes, on ne pouvait demontrer Texistence de Tattraction que pour des points situes dans le voisinage de Tecliptique; les cometes, au contraire, sillonnent Tespace dans tons les sens et, partout oii elles penetrent, elles nous montrent la meme loi d'attraction qui les accompagne.

4. Pour passer de la loi d'attraction exercee par le Soleil a la loi de la gravita- tion universelle, il restait un pas difficile a franchir; voyons quelles sont les idees qui ont guide Newton dans cette voie.

Les observations demontrent que les satellites obeissent a tres peu pres aux lois de Kepler dans leurs mouvements autour des planetes. Considerons, par exemple, Jupiter et I'un de ses quatre satellites; nous designerons par w, la masse de ce satellite et par r, sa distance au centre de Jupiter. On deduira des deux premieres lois de Kepler concernant le mouvement relatif de ce satellite que, dans chacune de ses positions, il est soumis a Taction d'une force R, di- rigee vers le centre de la planete et ayant pour expression

On demontrera I'existence d'une force analogue pour cliacun des trois autres

32

(JIAPITRE I.

satellites, et, en partant de la troisieme loi de Kepler, on prouvera que pi, est le meme pour les satellites. VoilJi done le centre de Jupiter qui est le siege d*une force analogue a celle que nous avons reconnue dans le Soleil; les deux forces suivent la meme loi : il n'y a de difference que pour les constantes pi et pii.

On pent en dire autant de toutes les planetes qui ont plus d'un satellite, savoir de Mars, de Saturne et d'Uranus; pour les planetes qui n'ont qu'un satellite, la Terre et Neptune, on ne pent appliquer que les deux premieres lois de Kepler. On dcmontrera done seulement que le satellite, dans chacune de ses positions, est soumis a Taction d'une force R, dirigee vers le centre de la ptanete et avant pour expression

Si Texcentricite de Torbite du satellite etait tres forte, r, varierait dans des li- mites tres etendues, et il serait bien demontre que la planMe exerce une attrac- tion variant en raison inverse du carre de la distance; mais, si I'excentricite est petite, et c'est le cas, les deux premieres lois de Kepler ne permettraient guere de trouver la loi de variation de la force; elles prouveraient seulement son exis- tence et permettraient de calculer son intensite moyenne. II convient ici de faire une remarque au sujet des mouvements des satellites.

Soient {fig. 2) S le Soleil, P Jupiter, M Tun do ses satellites : le rapport -p^

Fig. 1.

etant tres petit, les droites PS et MS peuvent etre considerees sensiblement

comme egales et paralleles. La force R = -;^> emanant du centre du Soleil, doit

s'exercer sur P et sur M. D'apres ce qu'on vient de dire sur les droites PS et MS, les forces PA et MB, appliquees respectivement a Tunite de masse de P et a Tunite de masse de M, pourront etre considerees comme sensiblement egales et paralleles; ces forces auront done seulement pour effet d'imprimer un mouve- ment de translation au systeme forme par Jupiter et ses satellites. D'apres le principe des mouvements relatifs, les mouvements des satellites autour de la planete seront done a peu pres les memes que si la planete etait immobile.

Considerons actuellement la Terre et son satellite unique, la Lune; les deux premieres lois de Kepler etant verifiees, il en resulte que, dans chacune de ses positions, la Lune est sollicitee par une force R avant pour expression

LOl I)E LA GRAVITATION UXIVEUSELLE. 33

et dirigee vers le centre de la Terre. L'excenlricitc de Torbite de la Lunc etant assez petite, on peut ne considerer que la valeur movenne de R, et y faire r, = ai ; on aura ainsi

L'acceleration moyenne correspondante a cette force sera

evaluons-la en prenant pour unite de longueur le metre et pour unite de temps la seconde sexagesimale de temps moyen ; soit p le rayon de la Terre supposee spherique. On a, a fort peu pres, pour la distance moyenne de la Lune a la Terre,

on a du reste

2 TTp := 4o ^OO 000"».

Enfin, la duree de la revolution siderale de la Lune est

Tj =r 27i 7»> 43'" = 39 343» = 39 343 X 6o' ;

on trouvera ainsi

4 TT^ X 60 X 4o ^00 000 _

?i ~ /<> 0/9 a-^T =0^,002706.

^ 271 X (39343 X 60)' '

Nous sommes evidemment portes a admettre que la Terre exercerait son at- traction sur tout autre corps que la Lune et que cette force suivrait la loi de la raison inverse du carre de la distance. Demandons-nous ce qu'elle serait a la surface meme de la Terre, c'est-a-dire a une [distance du centre de la Terre

soixante fois plus petite que dans le cas de la Lune; Tattraction sera 60 fois plus

grande et Tacceleration correspondante sera egale a o™, 002706 x Go = 9",74- Or Tacceleration moyenne de la pesanteur a la surface de la Terre est g = 9*", 82, nombre tres peu different du precedent. Lorsqu'on tient compte de plusieurs causes secondaires que nous avons laissees de cote pour simplifier, on trouve entre les deux nombres une identite absolue.

Que faut-il en conclure? Evidemment que lajorce qui retient la Lune dans son orbite n^est autre chose que la pesanteur terrestre affaihlie en raison inverse du carre de la distance.

Ainsi la loi de la diminution de la pesanteur qui, pour les planetes accompa-

gnees de plusieurs satellites, est prouvee par la comparaison des durees de

leurs revolutions et de leurs distances, se trouve demontree, dans le cas de la T. — L 5

32

r.HAPITRE I.

satellites, et, en partant de la troisieme loi de Kepler, on prouvera que (x, est le meme pour les satellites. Voila done le centre de Jupiter qui est le siege d'une force analogue a celle que nous avons reconnue dans le Soleil ; les deux forces suivent la meme loi : il n'y a de difference que pour les constantes [x et [jL| .

On pent en dire autant de toutes les planetes qui ont plus d'un satellite, savoir de Mars, de Saturne et d'Uranus; pour les planetes qui n'ont qu'un satellite, la Terre et Neptune, on ne pent appliquer que les deux premieres lois de Kepler. On demontrera done seulement que le satellite, dans chacune de ses positions, est soumis a Taction d'une force R, dirigee vers le centre de la planete et ayant pour expression

Si Texcentricite de Torbite du satellite etait tres forte, r^ varierait dans des li- mites tres etendues, et il serait bien demontre que la planete exerce une attrac- tion variant en raison inverse du carre de la distance; mais, si Texcentricite est petite, et c'est le cas, les deux premieres lois de Kepler ne permettraient guere de trouver la loi de variation de la force; elles prouveraient seulement son exis- tence et permettraient de calculer son intensite moyenne. II convient ici de faire une remarque au sujet des mouvements des satellites.

Soient (^g> 2) S le Soleil, P Jupiter, M Tun de ses satellites : le rapport -p;r

rig. :\.

etant tres petit, les droites PS et MS peuvent etre considerees sensiblement

comme egales et paralleles. La force R = — 1^> emanant du centre du Soleil, doit

s'exercer sur P et sur M. D'apres ce qu'on vient de dire sur les droites PS et MS, les forces PA et MB, appliquees respectivement a Tunite de masse de P et a Tunite de masse de M, pourront etre considerees comme sensiblement egales et paralleles; ces forces auront done seulement pour effet d'imprimer un mouve- ment de translation au systeme forme par Jupiter et ses satellites. D'apres le principe des mouvements relatifs, les mouvements des satellites autour de la planete seront done a peu pres les memes que si la planete etait immobile.

Considerons actuellement la Terre et son satellite unique, la Lune; les deux premieres lois de Kepler etant verifiees, il en resulte que, dans chacune de ses positions, la Lune est sollicitee par une force R ayant pour expression

cj 1 _ ^Ti^a] nix Pi '^i *i '1

LOl DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 33

et dirigee vers le centre de la Terre. L'excentricite de Torbite de la Lune etant assez petite, on pent ne considerer que la valour moyenne de R| et y faire r^ =zai; on aura ainsi

* 1

L'acceleration moyenne correspondante a cette force sera

9i =

i >

evaluons-la en prenant pour unite de longueur le metre et pour unite de temps la seconde sexagesimal de temps moyen ; soit p le rayon de la Terre supposee spherique. On a, a fort peu pres, pour la distance moyenne de la Lune a la Terre,

Oi =z 6op;

on a du reste

2 7:p ^= 4o ooo ooo"» .

Enfin, la duree de la revolution siderale de la Lune est

Tj 1= 27J 7»> 43"> = 39 343" = 39 343 X 60^ ;

on trouvera ainsi

4 tt' X 60 X 40000000 ^

9i — ,0 j/D ^-T?- =o"»,oo27o6.

^ 271 X (39343 X 60)* '

Nous sommcs evidemment portes a admettre que la Terre exercerait son at- traction sur tout autre corps que la Lune et que cette force suivrait la loi de la raison inverse du carre de la distance. Demandons-nous ce qu'elle serait a la surface meme de la Terre, c'est-a-dire a une [distance du centre de la Terre

soixante fois plus petite que dans le cas de la Lune; Tattraction sera 60 fois plus

grande et Tacceleration correspondante sera egale a 0^,002706 x Go = O^t 74- Or Tacceleration moyenne de la pesanteur a la surface de la Terre est g = 9", 82, nombre tres peu different du precedent. Lorsqu'on tient compte de plusieurs causes secondaires que nous avons laissees de cote pour simplifier, on trouve entre les deux nombres une identite absolue.

Que faut-il en conclure? Evidemment que lajorce qui retient la Lune dans son orbite n^est autre chose que la pesanteur terrestre affaiblie en raison inverse du carre de la distance.

Ainsi la loi de la diminution de la pesanteur qui, pour les planetes accompa-

gnees de plusieurs satellites, est prouvee par la comparaison des durees de

leurs revolutions et de leurs distances, se trouve demontree, dans le cas de la T. - L 5

34 ClIAPITUE 1.

Terre, par la comparaison du inouvemcnt de la Lune avec celui des projectiles a la surface de la Terre.

Les forces d'attraction dont le Soleil et les planetes sont le siege ne doivent plus nous paraitre aussi mysterieuses, puisque nous sommes familiarises avec Tune d'elles, la pesanteur, par Texperience journaliere.

L'analogie nous porte evidemment a admettre que les planetes qui n'ont pas de satellites, Mercure et Venus, sont douees de la meme force attractive. Nous ferons un nouveau pas en avant par la consideration suivante : le Soleil attire Jupiter et ses satellites; Jupiter attire ses satellites, cela est demontre; mais on doit admettre que I'attraction de Jupiter s'exerce a toute distance et se fait scn- tir meme sur le Soleil; ainsi, si le Soleil attire Jupiter, Jupiter aussi doit attirer le Soleil, et, d'apres le principe de Tegalite de Taction et de la reaction, ces deux forces doivent etre egales. Soient done M la masse du Soleil, m celle de Jupiter, r leur distance, (x la constante qui figure dans la loi de Tattractiou exercee par le Soleil, (jl, la constante correspondante pour Jupiter; on devra avoir

r« ~" /•*

On en conclut, en designant par f une autre constante,

ii — fii — f

M "m "~ ' fx^fM;

ainsi la valeur commune des deux attractions reciproques du Soleil et de Jupiter

est

fMm

R

r» '

les deux corps s'attirent done proportionnellement a leurs masses et en raison inverse du carre de la distance.

Nous avons fait abstraction jusqu'ici des dimensions des corps celestes que nous avons reduits a leurs centres respectifs; mais la propriete attractive ne reside pas seulement dans ces centres : elle est propre a chacune des molecules des corps consideres. On pent le prouver pour I'attraction exercee par Tun de ces corps, la Terre ; on demontre en effet que, dans le vide, tous les corps tombent avec la meme vitesse. On pout divisor un corps en un nombre quelconque de frag- ments; le poids total est egal a la somme des poids des divers fragments; chacun d'eux, abandonne a lui-meme, tombe dans le vide avec la meme vitesse que le corps primitif; la pesanteur s'exerce done sur les moindres parties des corps, et Ton doit admettre qu'il en est de meme de I'attraction d'une maniere generale. Ainsi le Soleil doit attirer toutes les molecules de chacune des planetes, de cha- cun des satellites; de meme une planete doit attirer toutes les molecules du

LOl DE L\ GUAVITATION rMVERSELLE. 35

Soleil. C'est de cette maniere que Newton a etc conduit a la loi de la gravitation universelle a laquelle souvent on donne simplement le nom de loi de Neivton :

Deux points materiels quelconques s'attirent mutuellement, proportionnellement a leurs masses et en raison inverse du carre de la distance.

Soient M et M' les deux points, m et m' leurs masses, r leur distance; le point M est soumis a Taction d'une force MA.dirigee vers le point M'; le point M', a Taction d'une force M'A' dirigee vers le point M; on a

M'.V = M\r3l^';

la constante f est Tattraction de deux unites de masse a Tunite de distance.

5. Nous allons trailer une question interessante qui so presente naturelle- ment.

La loi de Newton merite-t-elle reellement la qualification d' universelle ? Pre- side-t-ellc aux mouvements des systemes eloignes et, en particulier, aux mou- vements observes avec tant de soin depuis W, Herschel dans les etoiles doubles.

Pour se prononcer, il faut voir d'abord quelles sont les donnees precises de Tobservation; elles sont resumees dans les deux lois suivantes :

(a) Dans tous les systemes binaires, la projection du rayon vecteur menc de Tetoile principale au satellite, sur le plan tangent a la sphere celeste, decrit des aires proportionnelles aux temps.

(b) L'orbite apparente du satellite est une ellipse,

II convient d'insistcr sur ce point que Tobservation nous donne ce qui se rapporte a Torbite apparente et non pas a Torbite rcelle; c'est qu'en effet les me- sures des astronomes se rapportent a la projection du satellite sur le plan tan- gent a la sphere celeste mene par Tetoile principale; le satellite pourrait occu- per une position quelconque sur le rayon qui le joint a la Terre, en avant ou en arriere du plan tangent considere. Au point de vue strictement rigoureux, il serait impossible de determiner Torbite rdelle; il faut faire une hypothese, et la plus naturelle est d'admettre que cette orbite est plane (*); il en resulte aussi- tot que la loi des aires a lieu pour Torbite reelle, et que cette orbite est une

( * ) La loi dos aires ayant lieu pour la projection sur le plan tangent a la sphere, il en resulte quo la force rencontre la droite SO (S ddsignant la Terre, ou plutdt le Soleil, et 0 l^toile principale). On peut dire la m^me chose pour les autres 6toiles doubles; S est d'ailleurs uu point quelconque, n'ayant aucun rapport avec les points tels que 0 ; il est done tout naturel d'admettre que la force passe tou- jours par le point 0 ; la force ctant centrale, Torbite est plane.

36 CUAPITRE 1.

ellipse, puisque sa projection sur le plan tangent, qui n'est autre que I'orbite apparente, est elle-meme une ellipse; mais, dans Torbite apparente, Tetoile principale est un point quelconque; la position du plan de Torbite reelle est inconnue, et il nous est impossible de decider, par les observations usuelles, si Tetoile principale occupe reellement I'un des foyers de I'ellipsc reelle.

On demontrera imrnediatement, de la meme maniere que pour les planetes, que, dans chacune de ses positions, I'etoile satellite est soumise a Taction d'une force R dirigee vers I'etoile principale; mais il ne sera pas possible d'arriver a la connaissancc de Tintensitc de R en partant de cette unique donnee, que le satellite decrit une ellipse. Toutefois, on pent generaliser les conclusions des observations en remarquant que les ctoilcs doubles dont on connait les mouve- ments relatifs sont nombreuses; que ces mouvements sont tres differents d'un systeme binaire a un autre, pour ce qui concerne les dimensions, les excentrici- tes, etc. des ellipses, et il est naturel d'admettrc que la force R est telle qu'elle ferait decrire a un satellite quelconque une coniquc, quelles que soient, a Te- poque initiale, la position du satellite et sa vitesse, en grandeur et en direction. Nous admettrons enfin que Tintensite R de la force ne depend pas de la vitesse du satellite, mais seulement de sa position.

Soient :

Ox, Oy deux axes rectangulaires menes par I'etoile principale 0 dans le plan de

Torbite reelle; X ety les coordonnees du satellite M a Tepoque t; rla distance OM.

Les equations difTerentiellcs du mouvement de M seront

"^KF — ^r

oil R = $(u:, j) est une fonction inconnue des deux variables independantes a? et j; il s'agit de determiner cette fonction de maniere que I'orbite qui r6sulte de ces equations differentielles soit une conique, quelles que soient les valeurs

initiales ^To, r©, ^^o = (777) ' -^0= (7^) ^^^ coordonnees et des composantes de la vitesse.

Ce beau probleme a ete propose par M. J. Bertrand, dans le tome LXXXIV des Comples rendus de VAcademie des Sciences; ce meme volume renferme deux solutions completes et entieremt^nt difTerentes, dues a M. Darboux et a M. Hal- phen. Depuis, M. Darboux a developpe sa metbode dans Tunc des Notes remar- quables dont il a enricbi la Mecanique de M. Despeyrous. Nous allons reproduire

LOI DE LA GUAVITATION UNIVERSELLE. 3'J

ici la solution de M. Halphen, avec quelques modifications qui rendent peut-etre la demonstration un peu plus longue, mais lui donnent, a ce qu'il nous semble, plus d'homogeneite. Nous ferons

(6) \ ^^ ' de -^ '

u sera comme R une fonction inconnuc de x ct y; les equations difTerentielles (5) se trouveront done remplacees par le systeme suivant :

Idx , dy , dx' dy'

dt ' dt ^ ' dt dt " '

u = W{x,y).

Nous aurons dans la suite a prendre les derivees par rapport au temps de fonc- tions des quatre quantites x,y, x\y\ nous les calculerons par la formule sui- vante, qui se deduit immediatement des equations (A)

(7) dt^^''^y^''^y^-''Tx^yTy'^''\'':6^^yj^)'^^

dans le cas ou la fonction F ne contient que a?, cela se r^duit a

Lemme. — Trouver V equation differentielle commune a toutes les coniques. L'equation generale des coniques est

(8) A.r«4-2Bjr7 4-Cj*-i-2Fj7 4-2G7-f-H=:o;

elle definit J en fonction de x et de cinq constantes arbitraires. Prenons x pour variable independante et differentions cinq fois de suite, nous trouverons, en designant les derivees par la notation de Lagrange,

Cyy' -+- B {xy' 4- /) 4- A j? 4- Gy' -+- F = o,

C(7y 4-y*) H-B(a:/-'H-2/) +A -\- Gf = o,

(9) {^{yy^-^^y'/) -^B^xy^-^Zy") 4-G7"' =0, C(7/^-h 4//^-+- 3y«) + B {x/^-^ 4/") 4- G/^ =. o, C(77^ 4- 5//^-hio/7«') + R{xy^ -f- 5/^) 4- Gy^ = o.

38

CIIAPITRE I.

li reste a elimincr entre les six equations (8) et (9) ios cinq quantit^s -n

y •

G

jj ; les trois dernieres des equations (9) contiennent seulement, et sous forme bo-

mogene, les trois quantites B, G, G; on aura done le resultat de relimination en egalant a zero le determinant

yy"" -+-.'>.>•'/'' 4-10 vv

.t^y"' -^ ^y' y

xy

xf

IV

h'

i/<V

5^iv ^,v

On trouve aisement, en partant des proprietes elcmentaires des determinants, que A se reduit a

o 3 r" y"

\-

I or"}''"

" f"

(\y

W r'^

en supprimant le facteury et revenant a la notation differentielle, il vient

(B)

(d}y\d^y d\Y cPy d^y fd'yV^

L'ordonnee d'une eonique quelconque verifie cette equation, et, reciproque- ment, toute fonction de x qui y satisfait pourra etre consideree comme Tordon- nee d'un point quelconque d'une eonique donta? seraitTabscisse.

II faut maintenant considerer Tune quelconque des trajectoires qui resultent des equations (A), regarder j' comme une fonction de x, former les derivees

Tf^' ••> -T-^> et les substituer dans la relation (B).

On a d'abord, en tenant compte des formules (A) et(7),

.r

dx dx^

t*'

x' li y — y' u x

.1

.li

ou bien

(10)

•"'"£-'=(<^'--^'^)'''

Remarquons que, d'apres la loi des aires, le binome x y — y'x est constant; en ayant egard a cette remarque et aux formules (7) et (7'), on deduira aise- ment de la formule (10), diflerentiee plusieurs fois par rapport au temps, les

LOl DE LA GKAVITATION I'MVKRSELLK. 3c)

formules suivantes :

o^'^-y^ ^={x'y —yx) (^"-JT — 10 u jcx' --J 3w'j7'*-h i5//'a:' j,

(") \

-t- --7-(io5w'x*»r'— iC/^o?'*) -h 45i/'j?J?'* — io5//*»r' I .

Portons ces valeurs (lo) et (ii) dans ['equation (B); nous apercevons dc suite le facteur commun ^'^^ ,^{ ^ ; suppriinons-le et eflectuons les calculs; il y aura, apres les reductions, encore un facteur a?'^, et il restera seulemcnt

Cette equation se simpliiie notablement en posant

_3

(l3) UZ=Li\

w sera, comme w, une fonction de x ^ij\ on trouve sans difiiculte que I'equa- tion (12) devient simplement

II nous reste a calculer -^ et -^; en ayant egard aux formules

da:' -5 dy' -J

c?^ ' dt ^

on trouve

d^iv

4o CHAPITRE I.

en portant ces deux derivees dans I'equation (C), il vient

dx^ "^ dx^dy -^ dx dy ^ dy

1 3 , -fr / dUv dUy\ divf d^v d^vVX

(D) \ -^-^'- \^'^\'^T^-^yd:Fd^)''Tx\^Tx-^yiJ')\

Ccttc equation doit avoir lieu quel que soit /, et en particulier pour / = o, au- quel cas, comme on I'a vu, x, y, x\ y peuvent etre quatre quantites quel- conques, independantes les unes des autres. L'equation (D) donnera done les six equations suivantes :

(i5) <; J/ \ jy

"iW

^dy'^^dTdJ'J-^d^V'l^-^^dy)^'''

Les formules (i4) montrent qu'en designant par a, b, c, /, g, h six con- stantes arbitraires, w est de la forme

(E) w=:ax*-^ ibxy -\- c/' -+- ifx -\- 2gy -h h.

Substituons cette expression dans les relations (i5), et nous trouverons, apres reduction,

(bf - ag) xy^(c/ - bg)y^-h (/* — ah) x -+- (/^— bh)y = o, (bg— c/)xy'h{ag-- bf)x^-\-(fg—bh)x-^(g^ — ch)y=io.

Ces deux equations devant avoir lieu quels que soient x et j, on en conclut

(i6)

^g — bf — o, bg — cf —o\

[ /*-a/i = o, (17) \ g^ —ch =0,

\/g-bh = o.

On tire des formules (17)

/h{ag — b/) = o, gh{bg — cf) = o;

si done aucune des quantites/, g, h n'est nulle, les relations (iG) sent une con- sequence de (17), et il suffit de verifier ces dernieres.

LOI I)E LA GRAVITATIOX IMVERSELLE. 4 1

Or I'equation (E) donnc ce qui, a cause des formules (17), se reduit a

h

Les formules (6) et (i3) donncnt ensuite

(F,) R, izzmA* '*

(A-^/^v-f /*)''

e'est une premiere ioi pour la force chercliee; quelles que soient les quantites /, g^ A, k trajectoire sera une conique.

Supposons maintenant A = o; les formules (17) entrainent /= o, ^=0; elles sont alors verifiees, ainsi que les relations (16); on a done

(r :=.ax*-^'xb xy -\- Cf^^

(F,) R, = m j;

{ax^-h 2bxjr-i- cy^y

c'est une autre Ioi de la force; les constantos a, i, c peuvent etre quelconques. Dans le cas oil /= o, (16) et (17) donnent

ag =: bg — ah = bh = 0, ^' = ch,

d'oii

a =z b =z o]

en portant dans la formule (18), il vient

b

la valeur correspondante de R s'obtient done en faisant /= o dans la for- mule (F|). Ainsi il y a deux lois de forces, et rien que deux, qui repondent ii la question; mais les forces R, etRj contiennent non seulementr, mais encore

Tangle polaire 0 = arc tang--

Si Ton veut que ces forces ne dependent que de r, ce qu'il est naturcl d'ad- mettre, on devra faire, dans (F, ), /= ^ ~ o, et, dans (F2), a = c oi b = 0; on T. - I. 6

42

trouve ainsi

CHA	.pr	TRE I.
Ri	—	mixr,
R,		mix

La premiere de ces lois est incompatible avec les observations, car, si elle avail lieu, Ic satellite decrirait toujours une ellipse ayant pour centre Tetoile princi- pal, et cette propriete se conscrverait dans Torbite apparente; or les observa-

mix

la loi de Newton.

tions montrent qu'en general cela n'a pas lieu; il ne reste done que Rj = -r- ou

Conclusion au point de vue de VAstronomie. — On voit par ce qui precede qu'il est impossible de conclure d'une facon rigoureuse que la loi de Newton preside aux mouvements des etoiles doubles; toutefois, cela est tres vraisemblable, puisque les autres forces qui pourraient expliquer les mouvements observes se- raient telles, qu'a des distances egales une meme etoile exercerait sur des masses egales des attractions variables suivant les diverses directions.

Remarque, — Dans les Additions a la Connaissance des Temps de iSSa se trouve un Memoire de M. Yvon Villarceau ayant pour titre : Dii mouvement des etoiles doubles j considere comme propre ajournir la preuve de I' universalite des lois de la gravitation planetaire .

M. Villarceau s'etait demande deja si la force qui produit les mouvements observes dans les etoiles doubles rentre necessairement dans la loi de Newton; il avait vu que d'autres forces centrales, dependant des deux coordonnees du satellite, peuvent lui faire decrire une ellipse autour de I'etoile principale; mais il avait laisse subsister dans Texpression de la force les parametres qui figurent dans I'equation de Tellipse consideree, et n'avait pu ainsi s'elever aux deux lois generales exprimees par les formules (F,) et (Fj).

Dans un Travail insere au tome XXXIX des Monthly Notices of the Royal astronomical Society, M. Glaisbera fait observer, a I'occasion des beaux resui- tats obtenus par MM. Darboux et Halpben, que Newton avait montre (Pnncipes,

Fig. 3.

Livrcl, scoliedela Proposition XVII) que, si une ellipse E(y?^. 3) est decritepar un mobile M sous Taction d'une force S proportionnelle a la distance et dirigee

LOl DE LA GRAVITATIOX UXIVEUSELLE. 4 3

constamment vers le centre C de ecttc ellipse, ellc peut etre decrile aussi sous raction d'une autre force R dirigee constamment vers un point fixe 0 choisi a volonte, pourvu qu'entre les intensites R et S on ait toujours la relation

S _ OM . CM

G designant le point oil la tangente MT est rcncontrce par le rayon CG parallele a OM; on a, par hypothese,

S=::fX.CM;

il en resulte done

i^^'^-omQ'-

M. Glaisher montre gcometriquement, et Ton peut le faire par un calcul des

plus simples, que j^ est une fonction du premier degre des coordonnees rec-

tangulaires du point M ; on voit done que la force R qui resulte de la remarque de Newton rentre dans la formule (F|).

Enfin, M. Glaisher rappelle que W, Hamilton avait prouve que, si un mobile est attire vers un point fixe par une force qui soit directement proportionnelle a la distance comptee du point fixe et inversement proportionnelle au cube de la distance du mobile a un plan fixe, ce mobile decrira toujours une conique; c'est en quelque sorte la reciproque du theoreme qui resulte de la remarque de Newton.

II est inutile d'insister sur la difi*erence de ces resultats, et de la reponse generale donnee par MM. Darboux et Halphen an probleme nouveau propose parM. Bertrand.

6. On vient de voir qu'on peut trouver Texpression de la force capable de produire les mouvements des planetes, quand, au lieu de se donner les trois lois de Kepler completes, on n'en regarde qu'une partie comme demontree par Tobservation.

M. Bertrand a ete plus loin dans cette voie (Comptes rendus de r Academic des Sciences, t. LXXVII, 1873) en resolvant le probleme suivant :

On considere une planete attiree par le Soleil suivant une force donl Vintensite ne depend que de la distance. On suppose connu ce seul fait : que la planete decrit une courbe fermee^ quelles que soient a I'epoque initiale la position de la planete et sa vitesse, en grandeur et en direction. On demande de trouver la loi d' attraction d'apres cette seule donnee.

II est entendu toutefois que la vitesse initiale V^ doit etre inferieure a une certaine limite.

ii CHAPITRE I.

Le mouvement s'efFectue dans un plan passant par le centre 0 du Soleil; il est produit par une force ccntrale; done la loi des aires a lieu. Soicnt r et 6 les coordonnees polaires de la planete a Tepoque /, Torigine de ces coordonnees ctant placee en 0: rcpresentons Tintensite R de la force motrice par

et par k la constante des aires; nous aurons, par une formule connue. en ayant egard a Tintegrale des forces vivos et designant par r^ la valeur initiate de r,

	^■•=^-'MW.
Nous ferons
	I I
et il viendra

= \l-2f /(r)dr.

'•7(0 = ?(-),

d'oii

** {w ■*" -') = ^'» -^ ^/'"p^--) ''-;

,r k dz

dO —

Nous poserons encore

a/ (^{z)dz=^{z),

et nous supposerons que I'axe polaire passe par le rayon vecteur initial; nous aurons ainsi

(19) 0 =^ k f -p=J=L=='

On trouvera aiseuient, par les formules ci-dessus,

(20) \\=.\mz^^'{z);

on aura enfin

(2i) k:=^ /'oVoSinrjo^

VoSinrjo

en designant par y]o Tangle que fait la vitcsse initiale avec le prolongement du rayon r^.

Si Tangle y]o est obtus, r commencera par decroitre, et z par croitre a partir

LOl DE LA GRAVITATION UMVEIISFXLK, 4 5

(le Zq; on suppose cssentiellement que la trajectoire est fermee et nc rencontre pas le Soleil; z ne croit done pas indefiniment, mais seulement jusqu'a un n^aximum p; la quantite ^ doit annuler le radical qui figure dans la formule (19). Ainsiy on a la relation

(22) vj-X'*?*-^^((3) = o.

Pour 2 >• p, le radical considere deviendrait imaginaire; z va done decroitre et repasser d'abord par les valours precedentes jusqu'a z = Zq; on voit aisement

que le rayon vecteur minimum ^1 =g sera un axe de symetrie de la courbe;

rcroitra encore au dela de r© = —> mais pasindefiniment, puisque la courbe est

supposee fermee; z decroitra done jusqu'a une valeur a qui annulera aussi le radical considere plus haut. On aura done

(23) VJ-A'«a'-+-^(a)=.o, (a<P);

le rayon vecteur maximum r^ = - sera aussi un axe de symetrie de la courbe. Soient OM, le rayon vecteur minimum r, (^g. 4), OM2 le rayon vecteur maxi-

Fig. 4.

mum Tj, 0 Tangle M1OM2; la courbe se composcra d'une serie d'arcs egaux a M, AMj.et Ton aura

(24) s=k "^^

Pour que la courbe se ferme d'elle-meme, il faut que Tangle 0 soit commensu- rable avec Tc; on devra done avoir, en designant par X le quotient de deux nombres entiers,

d'oii

— -

46 niAPlTRE I.

Celte equation dcvra avoir lieu, quelles que soient les conditions initiales; done, quelles que soient les quantites Vo etk [(cette derniere dependant des donnees initiales par la formule (21)].

Or on tire de (22) et (aS)

^0- ^rzr^f '

et, en reportaut dans (23), il vient

(.6) ..= f\... ^-i-^^r^^^^^ ., .,. ,....=e;

/

vj;((3)-P'vKa)-^*[^(P)-^(a)] + ((3«-a«)+(;5)

il faut determiner la fonction 4'(^) ^^ maniere que cette equation ait lieu quelles que soient a et p.

Remarquons d'ailleurs que le nombre fractionnaire X devra etre independant de a et p; car, s'il changeait d'une orbite a Tautre, une variation inOniment petite de a et p, ou bien des conditions initiales, apporterait un changement iini dans le nombre des arcs egaux a M| AM, dont se compose la courbe.

Posons

(27) p=:/n-e, (x^^h — e, z^nh-i-et^;

Tequation (28) devra avoir lieu quels que soient h ete; aux limites a et ^ de :; correspondront les limites — i et -h 1 de ^; nous aliens developper suivant les puissances de e, par la serie de Taylor, les quantites

les series seront convergentes si e est assez petit. Ecrivons d'abord I'equa- tion (26) comme il suit :

(28) ln= i — :^ ft

J/»P dz , V/(P-«)4.(P)_|(a

Nous negligerons c* sous le radical; p* — a^ contenant e en facteur, on pourra prendre

e^t* e^H^ e'^t''

^ ^ 1.2^ 1.2.3^ 1.2.3.4

<h{z) — 4<(«) I. \ I 1.2^ 1.2.3' I. a. 3. 4 /.

1 V » £ \ » A » O i.J.vl.i|.

LOl I)E LA GRAVITATION IXIVERSELLE, 4?

oil Ton a ecrit, pour abregcr, 'I, '|', ... au lieu de KA), '|'(^)» •••' ^^ reduisant et developpant le denominateur suivant la puissance de e, il vicnt

- 2 4 >' ^ i^ I' 48 4-' 24 ^"

La quantite placee sous le radical dc la formule (28) se reduit a

e^(i — J^*) est un facteur commun a tous les termes; on a ensuite

e = >.= ' '^

I v^v/'-"F

i <y la <\>' ^6 <\,'*

ou bien, en faisant ^ = sin$ et developpant en serie suivant les puissances de e.

It

^ . I r *r sin? he^],'' i4-sin'g he^^'"

6 I' — /14/' 24 v|;'— /i|'

I ^-^- Sinn /^'e^r 1

Or on a

/cf^zuTT, / sin|rf£ = o, / sin*^f^ = -;

s

il vient ainsi

Cette equation doit avoir lieu quels que soient e et A, en particulier quel que

48 CHAPITRE I

soil e; on en conclut

(3o) 1 =

La formule (3o) donnc, en remettant h en evidence sous les signes '^' et •^', d'oii, en designant par G une constante arbitraire,

1-1

(32) <\,'(h)r-Ch '■'■,

si Ton porte dans I'equation (3i) celte valeur de '\i'{h) et les expressions qui en resuUent pour 4'"('0» ^'i^) ^^ '\'"(^)> <*" trouve aisement

3C/ I

— ^4

d'oii ces deux valeurs

qui sont bien commensurables. La formule (82) donne ensuite ces deux valeurs de ^'(h)

et, en employant ensuite la formule (20), il vient

-J mC muL

n, 1= — r = —

t '

mC Ri = — r=:: mar.

Telles sont les deux seules lois d'attraetion qui permettent au mobile de de- crire une courbe fermee quelles que soienTt les donnees initiales (la vitesse etant cependant au-dessous d'une certaine limite); si Ton suppose Tattraction nulle a une distance infinie, il ne reste que

/WjJL

9

,.1

ou la loi de Newton, qui aurait pu etre ainsi deduite de ce seul fait conclu de Tobservation : qu'une planete quclconque decrit une courbe fermee, sans qu'on soit oblige de connaitrc la nature de celte courbe.

LOI HE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 49

7. ThSor^me de Newton. — Supposons qii'un point materiel M dc masse m soit attire vers un centre fixe 0 par une force d'intensite

(33) R = m|UL/«;

les calculs du numero precedent seront applicables en remplagant/(r) par [xr"; le rayon vecteur r restera toujours compris entre un minimum OM, =/-,=- et

un maximum OM^ = r^ = -; la courbe se composera d'une serie d'arcs egaux a M| AMa. Soit encore 0 Tangle M,OMo; on trouvera sa valeur en partant de la formule (29) et remplagant 4''(^) P^'* ^^" expression

conclue des formules (20) et (33). On aura

il viendra done

v/F+iL ^4 It- "y

-*-3).

'-/

Les formules (27) donneront d'ailleurs

on Irouvera ainsi (34) €

v/^

e h	(3 (3	— <x	r, - /•, . '2 -^ ^t '
+	(/,-	-i)(^	^ -+- 2)	(rt—r^
	24		V'l -+-/•,

Telle est I'expression de Tangle compris entre un rayon vecteur minimum r, et le rayon vecteur maximum suivant Tj, lorsque la force centrale est representee par la formule (33); si les donnees iniliales varient de telle fagon que la diffe- rence r^— r^ tende vers zero, on aura

(35) lim0=i--r=f

^n 4- 3

C'est dans cette relation que consiste le theoreme de Newton; on voit qu'il se rapporte a une orbite presque circulaire decrite sous Tinfluence d'une force centrale proportionnelle a une puissance de la distance.

Pour les mouvements des planctes autour du Soleil, on a /^ = — 2, R = ^j

et la relation 0 = ir est rigoureuse; mais on pent se demander ce qui arriverait

si Ton modifiait d'une Ires petite quantite Texposant — 2 de la loi d'attraction ;

T. - 1. 7

JO CHAPITRE I. — LOl 1)E LA GRAVITATION UMVERSFXLE.

si Ton supposait p.ir exemple n ^ — 2,001, il on resuUerait

On voit (lone que, si I'cxposant do la loi d'attraction differait de 2 seulement de (),()() f, Tangle forme par deux rayons vccteurs maxinia et minima consecutifs de Torhite d'une planele diflererait de 180® de plus de 5'. Nous supposerons Tor- l)i(e pen excentrique; le second torme de la formule (34) est tres petit a cause des facteurs (r^ — r,)^ el /i -f- 2 = 0,001, de sorte qu'on pent employer la for- mule (35). I/orhile se composanl d'une infinite de parties identiques a celle qui est comprise entre un rayon vecteur maximum et le rayon vecleur minimum suivant, on voit que le point le plus rapproche du Soleil, le perihelie (Jig* 5),

Fig. T).

M,AB - i8o% M,AC - i8o%

BSM, =. 5' 34"; M.SM,= io'48\

se deplacerait a cliaque revolution de 10' 48*, c'est-a-dire d'une quantite consi- derable et tout a fait incompatible avec les observations. La fixite des perihelies planetaires prouverait done a elle seule que, si I'attraction solaire est de la

forme -~> on doit avoir n — 2.

Les resultats precedents sont dus a Newton (Pnncipes, Livre I, Prop. XLV).

Remanjue. — Le terme en (^~^ ) disparait de la formule (34) pour n = i

et /I — — 2; il en serait de meme des termes suivants en (^*~"^M > \'~^] >•••; car, pour /I = i, Tattraction est proportionnelle a la distance, la trajectoire est une ellipse ayant pour centre le centre d'attraction; on a done toujours 0 =->

quel que soit le rapport -*~"--- ; c est bien aquoisereduitalors Pexpression ^ .1 -

Pour /I — — 2, cette meme expression est egale a t: ; la trajectoire est une ellipse ayant Tun de ses foyers au centre tlxe, et Ton doit avoir 0 = ?:, quel que soit —

r.— r.

r*-hr,

CllAPITRE 11. — GENERALITES SUR L* ATTRACTION. J I

CHAPITRE II.

GENERALITES SUR L ATTRACTION. - ATTRACTlOiN DES COUCHES SPHERIQUES.

ATTRACTION D'UN CORPS SUR UN POINT ELOIGN^.

8. Newton a donne a sa loi unc generalite que n'exigeaient pas les lois de Kepler. 11 en resulte que les planetes ne peuvent plus se mouvoir dans des ellipses, obligees qu'elles sont d'obeir, non seulemenl a rattraetion du Soleil, mais encore aux attractions des autres planetes, c'est-a-dire a des forces nom- breuses, complexes et variables a chaque instant. Les lois de Kepler cesseront done d'etre verifiees rigoureusement; elles ne representeront plus qu'une pre- miere approximation des mouvements.

II faut maintenant prendre la loi de Newton comme point de depart et en deduire par TAnalyse les mouvements des corps celestes; on aura cnsuite a com- parer les resultats du calcul a ceux de I'observation.

Nous ferons une premiere simplification en nous bornant a considerer seu- lement les corps qui composent notre systeme planctaire, et laissant de cote les etoiles. Les distances des etoiles au Soleil sont tres grandes par rapport aux dimensions du systeme solaire; ainsi Tetoile la plus rapprochee est environ 7000 fois plus eloignee du Soleil que ne Test Neptune. Dans ces conditions, les attractions provenant des etoiles, avec les donnees admissibles sur leurs masses, pourront modifier un pen le mouvement de translation du systeme solaire dans Tespace, mais ne derangeront pas d'une fagon appreciable les mouvements rela- tifs dans I'interieur du systeme, et ce sont ces mouvements qui nous interessenl.

Considerons Tun des corps de notre systeme; nous pouvons decomposer son mouvement en deux autres : le mouvement de son centre de gravite et le mou- vement du corps autour de son centre de gravite. De la les deux principaux pro- blemes de la Mecaniquc celeste :

1® Determiner les mouvements des centres de gravite des corps celestes;

52 CHAPITRE 11.

2" Determiner les mouvemenls des corps celestes autour de leurs centres de grante.

Nous commencerons par le premier probleme, qui fera Tobjet du tome I de cet Ouvrage; la solution du second ne sera donncc que dans le tome II. Nous nous appuierons sur le theoreme du mouvement du centre de gravite :

Les equations differentielles du mou^'cment du centre de gravite d'un systeme sont les memes que si toute sa masse y etait concentric et si toutes les forces qui agissent sur les divers points du systeme y etaient transportees parallelement d elles-mSmes.

Soient A et A, {fig. G) deux des corps celestes, M un element de masse determine du premier, M,, M',, ... les elements de masse du second; le point M

Fig. ().

sera soumis a Taction de forces connues dirigees suivant les droites MM<, MM',, .... II faudra d'abord trouver la resultante MR de toutes ces forces, puis determiner la resultante generale des forces MR qui correspondent a tous les elements M du corps A, toutes ces forces etant transportees parallelement a elles-memes au centre de gravite G de ce corps.

On voit done que la premiere question qui se presente est la determination de I'attraction d'un corps sur un point exterieur; on est amene tout naturel- lement a considercr en particulier le cas oil ce corps est spherique et homo- gene, ou compose de couches spheriques concentriques homogenes; on y est conduit par Tobservation qui nous montre les corps celestes sous des figures peu differentes de la sphere, et par I'hypothese de la fluidite primitive.

9. Soient A {fig. 7) un corps donton veut calculer I'attraction R sur un point

Fig. 7-

N(x,y,«)

exterieur N, dm rclement de masse qui correspond au point M, [x la masse

GEN^RALITtS SUR l' ATTRACTION. 53

du point N, u la distance MN; Telement M exerce sur le point N une attrac- tion NB dirigee suivant NM et ayant pour intensile

f fjL dm

w*

II faut trouver la resultante de toutcs les forces, telles que NB, appliquees au point N, quand Telement M parcourt toute la masse du corps A.

Pour y arriver, prenons trois axes de coordonnees rectangulaires Ox^ Oj, Oz ; designons par x^ j, z les coordonnees du point N, par a, 6, c celles du point M, par p la densite du corps au point M, enfin par X, Y, Z les composantes paral- leles aux axes de I'attraction cherchee R. Decomposons la force NB en trois autres paralleles aux axes; elles auront pour expressions, en grandeur et en signe«

« dm a — X - dm b — y . dm c — z ^ u} u ^ ir u ^ u* u

On pent maintenant faire la somme algebrique de toutes les composantes pa- ralleles a 0^, et de meme pour les deux autres axes. On trouve ainsi

X = f^J ——dm, Y=-ri^f^dm,

(0 ( rc—z

oil

En remplagant dm par pdadbdc, on peut ecrire aussi

X=ffxJ J J ^-^pdadbdc, {!') K^fixJfJ^^pdadbdc,

Z z={y.jj j ^J^pdadbdc.

On doit supposer que p est une fonction connue de a, 6, c, F(a, 6, c) ; dans les formules (i'), les integrations s'etendent a toute la masse du corps A.

On est done ramene au calcul de trois integrates triples.

On peut faire dependre la determination de X, Y, Z de celle d'uneseule inte- grale triple. Posons, en effet,

54 CIIAPITRE U.

OU

J J J " J J J \f{ci - xY-\- {b - yY-^ {c ^ zy

les integrations s'etendant a toute la masse du corps A ; on voit que V sera fina- lement une fonction de x, y^ z\ c'est ce que Ton nomme hjonction potentielle OU simplement le polentiel relatif a Taltraction du corps A sur le point M(ir, J, :;). La formule (2) montre que le potentiel represente la somme des elements de masse du corps diviscs par leurs distances au point attire.

Nous supposerons essentiellement ici (*) que le point N est exterieur au corps OU plutot qu'il ne fait pas partie de la masse du corps; dans ces condi- tions, les elements differentiels, dans les formules (i') et (2'), sont toujours finis; X, Y, Z et V sont des fonctions continues et finies de x^ y, z. Cherchons la derivee partielle de V par rapport a x. Dans la formule (2'), Telement diffe- rentiel reste toujours fini; les limites des integrations sont independantes

de x; on pent differentier sous le signe j j j ; on trouve ainsi

J J J dx

(3) —-^flJ -^pdadbdc.

Or on a

I/* — (a? — 6r)*-h (j — ^)*-l- {z — c)*,

d'oii

It \ a.u^ X — a

dx 2u^ dx u^ ^

Tequation (3) donnera done

dV

dx

=J J J ^3— P d^ d^ d^'

En comparant avec (i'), on obtient la premiere des trois formules suivantes :

(4) ^=^^d^' ^^^^dy' ^^^^d^'

II suffira done de determiner la fonction V pour que X, Y, Z, et par suite Tattraction R, soient connus en grandeur et en direction.

Designons par r le rayon vecteur ON menc de I'origine 0 des coordonnees au point attire N, par P la projection de la resultante R sur la direction ON, comptee positivement dans le sens ON et negativement dans le sens contraire.

( 1 ) Une thdorie plus complete du potenlicl sera donndo dans le tome II de cet Ouvrage.

GENERALITES SUR l'aTTRACTION. 55

On peut appliquer la premiere des equations (4) en supposant que, pour un moment, Taxe des x coincide avec ON; on trouve ainsi la formule

(5) ^ = ^^^>

la signification de la derivee -r^ est la suivante : soient, sur le prolongement

de ON, N'un point infiniment voisin deN, NN'= Sr, V-f-SVla valeur dupotentiel pour le point N'; on aura

or or

d'\ d^y d^y

10. Equation de Laplace. — Calculous Texpression ^— j- -h -y-j 4- -^ en

partantde la formule (2'). Nous pourronsdifleren tier deux fois sous lesigne / / / ; nous trouverons done

dx

p da db dc ;

or on a

u u^ I ^x — a .T — a

dj7* dx u^ u* u

d'oii

d^l d^l d^L

dj?* (J^* (75* W' U^ ^ / ^./ /J w' W*

On a done, pour toutes les valeurs de x,y, z qui repondent a des points ne fai- sant pas partie du corps atlirant, I'equation remarquable

d«V d^y d»V

qui a ete decouverte par Laplace.

11. Attraction des couches sphSriques homog^nes. — Considerons une couche spherique homogene d'epaisseur finie et cherchons son attraction sur un point N ne faisant pas partie de la couche, situe soit a I'exterieur, soit dans rinterieur de cette couche.

Prenons le centre 0 de la couche pour origine des axes; il est evident a priori que le polentiel V ne doit dependre que de la distance rdu point N au point 0; d'ailleurs la fonction V doit verifier identiquement Tequation (G). On aura

56			CHAPITRE	11.
les formules	suivantes;	• • dr dx ~	X — — >	-8
		dx	dW dr dr dx	dV dr	X - > r
		d^\ dx^ ~	_ d^\ /xV " dr* \r )	1	dV 1 dr \

Ajoutons cette expression cle -.-, aux expressions analogues de -j-j et -^^> et portons dans (6); nous trouverons

ou bien

d^y ldV_

dr* r dr

d*y dV

dr* dr

ou encore

d*\r

dr*

=1 o.

On en tire, en designant par A et B deux constantes arbitraires,

V/=:A-hBr, (7) V=^4-B.

Determination des constantes . — Supposons d'abord le point N place dans Tin- terieur de la couche; on devra avoir A = o, sans quoi la formule (7) donnerait V = ao pour r=o, c'est-a-dire pour le centre de la couche, ce qui est impos- sible, V restant evidemment fini par sa definition meme. On aura done, pour tons les points situes a Tinlerieur de la couche,

V=:B ~ const.,

d'ou

dV dV dV

— =o, ^r-.o, — = 0,

X = o, Y=iO, Z=:o.

On a done ce theoreme du a Newton :

Une couche spheriqiie homogene nexerce pas d* action sur les points de son inie- rieur.

GENERALITES SUR l' ATTRACTION. 67

Supposons, en second lieu, le point N exterieur a la couche : soit r, le rayon exterieurde la couche; la plus petite valeur de u est r — r^ et la plus grande r-f- r, ; on pourra done ecrire, en designant par M la masse de la couche,

ou bien

/dm rdm r dm

r-\-t\ J ~u J r~^^

/dm < / — < / dm

OU encore

(8) ^<y< ^

r -+- r, r — r.

Si le point N s'eloigne indefiniment, rtend vers I'infini; V reste toujours com- pris entre deux quantites qui se rapprochent indefiniment de zero; done V tend vers zero. Si, dans la formule (7), on fait r= 00, V = o, il vient B = o; il en resulte

r

portons cette valeur de V dans les inegalites (8), et nous aurons

** <A< ^

/• r

Si nous faisons tendre r vers Tinfini, nous voyons que A reste compris entre deux quantites qui tendent vers M; done A = M, et Ton a, pour tons les points exterieurs a la couche,

la formule (5) donne ensuite

'■ — ..1

P designe la projection de Tattraction R sur la direction ON; or, par raison de symetrie, Tattraction est dirigee suivant la droite NO. On a done

R=-P

et, par suite,

T. - I. 8

58 CIIAPITRE II.

cette attraction est egale a cclle qu'exercerait sur le point N un point materiel do masse M place en 0. De la ce second thcoreme, du egalement a Newton :

Unc couche spheriquc homogene attire les points exterieurs comme si ioute sa masse etait reunie a son centre.

Ce resultat a encore lieu pour un corps forme de couches spheriques concen- triques homogenes, d'epaisseurs quelconques, finies ou infiniment petites, la densite de chaque couche variant d'une maniere quelconque, du centre du corps a sa peripherie; ear le thcoreme est vrai pour chacune des couches.

Ainsi le Soleil, les planetes et leurs satellites pouvant etre consideres sensi- blcment comme des corps de la nature supposee ci-dessus, lis attirent k fort peu pres les points exterieurs comme si I'on supposait leurs masses reunies a leurs centres de gravite respectifs.

Si nous nous reportons a lay?g^. 6, n** 8, en supposant les deux corps com- poses de couches spheriques concentriques homogenes, et si nous designons par M| la masse du corps A,, par G, son centre de gravite, par dm la masse de Tele- mentM, par A la distance MG,, la resultante des attractions exercees sur M par tons les elements du corps A, sera une force MR dirigee suivant la droite MG|, ayant pour intensite

,,-j f Mi d/n _ fMi dm

Mu ~ _— , — — Ti— ; on aura (/ig. 8) des forces analogues appliquees aux elements M', M", ...,

11 faudra maintenant transporter toutes ces forces parallelement a elles-memes au point G, centre de gravite de A, et prendre leur resultante. On peut les

Fig. 8.

transporter d'abord au point G, par lequel passent toutes leurs directions; on yoit que leur resultante ^ sera egale et opposee a la resultante des attractions exercees sur un point materiel de masse M, place en G< par tous les elements du corps A; d'apres le second theoreme de Newton, cette resultante est dirigee

GENERALITES SUR l' ATTRACTION. Sq

suivant la droite G,G et a pour intensite

fMM,

(9) ^ =

(.G,

Nous arrivons done a cette conclusion que, si Ton transporte au point G, paral- lelement a elles-memes, toutes les attractions exercees sur les divers elements de A par les divers elements de A,, la resultante ^ sera dirigee suivant la droite GG, et aura une intensite determinee par la formule (9).

Si done la figure et la constitution des corps A, A,, A^, ... etaient celles qu'on a supposees plus liaut, on pourrait faire abstraction des dimensions de ces corps et les remplacer par des points materiels G, G,, Gj, ..., de masses M, M<, Ma, ..., s'attirant mutuellement suivant la loi de Newton; et, pour avoir les equations diflerentielles des mouvements des centres de gravite des corps consi- deres, il suffirait d'ecrire les equations differentielles des mouvements d'autant de points materiels de masses donnees, soumis a leurs attractions mutuelles s'exerQant conformement a la loi de Newton.

On formera ces equations differentielles dans le Chapitre suivant.

Mais, en realitc, les corps celestes ne sont pas rigoureusement spheriques; bien que les observations n'aient pu nous reveler encore un aplatissement sen- sible dans le Soleil ni dans un certain nombre de planetes, la Geodesic nous a appris a mesurer Taplatissement de la Terre; il suftit de regarder Jupiter et Saturne dans une lunette, sans faire aucune mesure, pour voir que ces corps s'eloignent notablement de la forme spherique.

La reduction des corps celestes a leurs centres de gravite respectifs n'est done qu'une approximation; fort heureusement, une circonstance particuliere rend cette approximation tres voisine de la realite; cette circonstance est que les dimensions des corps celestes sont tres petites par rapport aux distances qui les separent les uns des autres; nous aliens developper ce point dans Particle suivant.

12. Attraction d'un corps sur un point 61oign6. — Soit le corj)s A (^g. 9)

Fig- 9-

dont on cherche I'attraction sur un point materiel N dont la distance GN — rau

I

60 CHAPITRE II.

centre de gravite G est tres grande par rapport aux dimensions du corps. Nous prendrons le point G pour origine dcs coordonnees et nous ferons passer I'axe GX par le point N; designons par M Tun quelconque dm des elements de masse du corps, par a, 6, c ses coordonnees, par r' la distance GM, par u la dis- tance MN et enfin par V le potentiel relatif a Tattraction du corps sur le point N. Nous aurons

M« = (r — a)*4- ^'-+- c*,

//* = r* — QLar -\- /•'*,

I 1 / lar — r'^\

II r\ r' /

D'apres Thypothese, quel que soit le point M a Tint^rieur ou sur la surface du

r'

corps A, le rapport - est tres petit, et il en est de meme, a fortiori, du rap- port -; nous allons considerer - (ti - commc de petites quantites du premier ordre suivant les puissances desquelles nous developperons I'expression de - donnee ci-dessus. Nous trouverons aisement, en negligeant le troisieme ordre,

I I / a Za'^—r'^ \

u r\ r 2 r' /

d'oii, en multipliant par ^/n et integrant pour tons les points du corps A,

V= - I dm-}--^ I adm-\- -^ / (3a«— r'^)dm -\-

Or, si M designe la masse du corps, on a

/ dm = M ;

puisque I'origine des coordonnees coincide avec le centre de gravite, on a aussi

1 a dm =. o ,

et il en resulte

Gto^RALITte SUR l' ATTRACTION. 6 1

ou encore, en remplagant a^ par r'^ — (6* h- c^),

Designons par I le moment d'inertie du corps par rapport a la droite GN et par A, B, C les moments d'inertie principaux de ce corps relatifs a son centre de gravite G; on a, comme on le voit aisement,

/

d'ailleurs

A-hBh-C

r * dm ^=:

f(b^-^c*)dm = l:

la formule (lo) donnera done

., M A4-B-i-C — 31

(ll) V= 1 r h

Soient a, p, y les angles que fait la droite OG avec les axes principaux d'iner- tie du point G; on a, par un theoreme bien connu,

I = A cos*a 4- B cos*(3 -+- C cos*y = (A — C) cos'a 4- (B — C) cos*p 4- C; la formule (ii) pourra done s'ecrire

^__ M (A — C) (i — 3 cos*a) -f. (B — C) (i — 3 cos*P)

V — — 4 r 4- . . .

/• 2r'

OU encore, en d6signant par r[ la plus grande valeur de r' le long de la surface du corps,

,, Mr • /A — C i--3cos*a B — C i — 3 cos'fiX /r'A* I

Quand il s'agit de I'attraction d'un corps celeste sur un point trfes eloigne, la formule (i 2) se reduit a fort peu pres a V = — > a cause d'abord du petit fac-

teur(— ) > et ensuite parce que les quantites ~, ? S',^ sont pelites aussi,

car ces quantites seraient nulles si le corps considere etait compose de couches spheriques concentriques homogenes, hypothese peu cloignee de la realite. On pourra done, le plus souvent, se borner a

r

62 CHAPITRE II.

d'oii, relativemcnt a iin systemc quelconquc d'axes G^, Gy^ Gz se coupant en G, en designant par x\ y, z les coordonnees du point N relatives a ces axes.

\Jx^ -f- /* + c* ^ ax /•* \ /• /

et des expressions analogues pour Y et Z; le corps A attire done a tres peu pres le point N comme si toute sa masse M etait reunie a son centre de gravite G.

Pour 'nous faire une idee de la grandeur du coefficient de (~j dans la for-

' mule (12), supposons que le corps A soit un ellipsoide homogene de revolution autour du diametre auquel correspond le moment C et aplati suivant cetaxe; on aura, comme on sail, en designant par c' le rayon polaire et remarquant que r| = a' est le rayon equatorial,

B = A = M

a'^^c'^

5

'J

et la formule (12) donnera

ou encore, avec une precision suffisante, en supposant petit Taplatissement £ = ^ ^ de Tellipsoide,

^==7[^-^^(^-^^^^'y)(?y"^'']'

Remarque /. — Dans le cas oil Ton considere I'attraction exercee par une planete sur un point d'une autre planete, le rapport — est tres petit, et Ton pent toujours se borner a

r

Mais il n'en est plus ainsi pour Tattraction exercee par la Terre sur la Lune; ^ est environ g-; pour I'attraction de Jupiter sur son premier satellite, ~ =^;

s'il s'agit enfin de Saturne et de son premier satellite, on a ^ = v C'est done

GENERALITES SUR L^VTTRACT10N. 63

seulement dans Tetude des mouvements des satellites qu'il y aura lieu de com- pleter I'expression approchee — du potentiel.

Remarque II. — Le systeme solaire se compose de planetes isolees et de sys- temes secondaires formes chacun d'une planete ct de ses satellites; les centres de gravite de ces systemes partiels sont tres eloignes les uns des autres rela- tivement aux distances respectives des corps de chacun d'eux; si done on considere le potentiel relatif a Tattraction d'un de ces systemes sur un point tres eloigne, on pourra appliquer la formule (12) et la remplacer simplement

par V = — , a cause de la petitesse du facteur {^A \ mais cette reduction sera

moins approchee qu'elle ne Tetait dans le cas d'un des corps celestes, parce que

les quantites ,r~>^ et -tt-tf ^^ sont plus tres petites. On voit done que les

centres de gravite des planetes isolees et ceux des systemes secondaires se meuvent a fort peu pres comme si toutes leurs masses etaient reunies a leurs centres de gravite, ces divers centres s'attirant mutuellement deux a deux suivant la loi de Newton.

Nous pourrons done introduire une simplification importante et considerer le systeme solaire comme forme d'un nombre limite de points materiels de masses donnees s'attirant mutuellement suivant la loi de Newton et correspon- dant : le premier au Soleil, le deuxieme a Mercure, le troisieme a Venus, le quatrieme a I'ensemble de la Terre et de la Lune, le cinquieme a Tensemble de Mars et de ses satellites, etc.

Quand on connaitra le mouvement du centre de gravite d'un systeme secon- daire et les mouvements relatifs dans ce systeme, il sera aise d'en deduire le mouvement de la planete correspondante; ainsi la theorie generale fera con- naitre d'abord le mouvement du centre de gravite de la Terre et de la Lune; on determinera ensuite le mouvement relatif de la Lune autour de la Terre, et c'est alors seulement qu'on sera a memo de calculer completement le mou- vement de la Ten'e.

64 CHAPITRE III.

CHAPITRE III.

EQUATIONS DIFFtRENTIELLES DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITE

DES CORPS CJfiLESTES.

13. Nous pouvons maintenant, apres les simplifications precedentes, former aisement ces equations.

Prenons trois axes rectangulaires fixes 0?, Otq, 0^; soient, relativement a ces axes, $o> ^o» ^o l^s coordonnees du centre de gravite M© du Soleil dont la masse sera representee par m^; designons par $/, yj/, ^,, m, les quantites ana- logues relatives au centre de gravite M, de Tune quelconque des planetes ou au centre de gravite de cette planete et de ses satellites, Tindice i prendra les va- leurs I, 2, 3, ..., w, n designant le nombre des planetes; nous representerons d'une maniere generale par A/,y la distance des deux points M, et My. Cherchons les equations differentielles du mouvement du point Mo; ce point est soumis a Taction de n forces dirigees suivant les droitesMoM4, M0M2, ..., MoM„; la pre- miere de ces forces a pour intensite —A — -; ses projections sur les axes de coor- donnees sont egales respectivement, en grandeur et en signe, a

AJ,i ^0.1 ' Aj,i Ao.i ' a;,i Ao,,

On formera done aisement I'equation suivante

(I) ;no5l^=fmo//ii^-i=^4-f^^

et deux autres equations toutes pareilles en yj et ^. De meme,

l&QUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITE. 65

Lagrange a donne a ces equations une forme tres symetrique en introduisant la fonction

L — — T H T r • . . 4- — A

-I-

que nous ecrirons plus simplement

-t- — T >

on a du reste

(3) A?,. = (?/- ?yr-h (ti,- ti.r-h (c,- c.r.

On pent calculer les expressions des derivees partielles ^> -t^-j •••> -j>-> en partantde (2) et(3); on trouve aiseinent

<?Ao,i _ fo— 2i ^Ao,? co—?^ (?Ao,„ __fo— ?

d'oii

^^0 ^0,1 ^0,2 ^0,/»

apres quoi Tequation (1) donnera

m

' dt^ ~ dl.

On pourra done donner la forme suivante aux equations differentielles des mou vements des centres de gravite des n n- i corps consideres

'^''dF'-dV "'''di^^'Ho' '""'^dt^ -"3^:

dn,d\} dHx d\} d^Ki d[]

(«)

dnn_d\} d^n„_d\] d}ri,,_d^

T. - 1.

9

66 CHAPITRE III.

La fonction U est Hfonction des forces; il est important de remarquer qu'elle ne

contient explicitement ni le temps / ni les composantes -^> ••• desvitesses.

La determination des mouvements de M©, M,, ...» M;, depend de Tintegration du systeme {a) de 3/2-1-3 equations differentielles simultanecs du second ordre; e'est le probleme des n -h i corps, Mais il n'a ete possible jusqu*ici de faire Tintegration complete que dans le cas de /i= i; le systeme n'est alors forme que de deux corps, le Soleil et une planeto. Dans les autres cas, meme pour le idiV[iQ\x\ probleme des ttvis corps^ malgre les efforts des plus grands geo- metres, on n'a pu obtenir qu'un petit nombre d'integrales que nous allons faire connaitre.

14. Commengons par une remarque sur la fonction des forces U. On a

dn

d'oii

. ru-rir =. inii > 111 J \-^ ^

drii c);/ ^^ ' Afj

On en conclut

-^ fy dU d[]\ rVV lif^j — f\ilj

« J

si, dans les termes elementaires des seconds membres, on change i eny et inver- sement, on voit que ces termes elementaires sont egaux etde signes contraires. On en conclut done

i f

et quatre autres relations analogues que Ton obtiendrait par des permutations de lettres.

Cela pose, on tire des equations (a), en ayant egard aux formules (4),

Equations des mouvements des centres de gravity. 67

et

Occupons-nous d'abord des formules (5); on en deduit, en designant para,, i,, c,, aa, ^2, Cj six constantes arbitraires,

(7) «i ' H- <i, = 2] *"' ^••' *i ' + *i = ^ »«/ T^/. Ci < -H c, = 2] '''' ?<•'

d'oii

a, = 2 '"' ?' ~ ^ 2 *"' 7^ * (c) Ib^z^'^mffii—l^mi-j^,

= 2 '"'^'-'2

Les formules {b) et (c) sont de la forme

const. = F(^?„r„.C.; ?., ...; -^, —,-;—, ...j;

ce sont done des integrales du systeme (a); ellcs sont au nombre de six et sont connues sous le nom d'integrales du moui^ement du centre de gravity ; les formules (7) expriment en effet que le mouvement du centre de gravite des /iH- I points materiels consideres est rectiligne et uniforme.

Passons maintenant aux equations (6), multiplions-les par dt^ integrons-les et designons par a^, 63, c^ trois nouvelles constantes arbitraires; nous trou- verons

2( dX,i df\i\

« l'.=2""(=4'-^'§)>

- = 2-0'^— §)■

Ces trois nouvelles integrales sont les integrales des aires; elles expriment que la somme algebrique des aires decrites par les projections sur cliacun des plans

68 CHAPITUE III.

coordonnes des rayons menes dc Torigine au\ n -\- 1 points consideres est pro- portionnelle au temps.

Multiplions enfin les equations (a) respectivement par 2-^1 ^"5^' ^~di'

2-^> "> ajoutons-les et remarquons que la fonction U ne contenant explicite-

ment que les quantites So. ^o» ^oi Si* •••» ^" ^

dt di,, dt drio dl dXo dt dl^ dt

nous trouverons

in

0

\ dt dl^ dt dt^ dt dt* J * \ dt dt* J

d\}

dl

ou bien

dt ^ '\dt* ''" dt* ~^ dt* J"

On pent integrer apres avoir multiplie par dl, et Ton trouve, en designant par h une constante arbitraire,

e'est une nouvelle integrale, Vintegrale desjorces vives.

Les dix int^grales (i), (c), (r/), (/) sont les seules integrales rigoureuses que Ton ait pu obtenir jusqu'ici.

15. Nous aliens obtenir une formule dont Jacobi a tire des consequences inte- ressante3 {Vorlesungen iiber Dynamik von C.-G.-J. Jacobi, herausgegeben von A. Clebsch, p. 26-3o).

On deduit des equations (a) la formule suivante

or, U etant, par sa definition memc, une fonction homogenc et de degre — i des quantites ?o. tQo. ^o» 5i. •••. on a

ce qui permet d'ecrire ainsi la relation precedente

EQUATIONS DES MOCVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITY. G9

En rapprochant cette formule de I'equation (/), on en deduit

ou bien ou encore

Si Ton designe par p,- la distance dii point M, a I'origine des coordonnees, on aura done

(8) -^J^^:=.U-^4/i.

II est possible de transformer le premier membre de cette equation de ma- niere a n'y introduire que les distances mutuelles A/j des points materiels, au lieu de leurs distances a Torigine des coordonnees.

On a, en effet, ces identites bien connues et d'aillcurs faciles a verifier

^ mi ^ mi C?- (^ mt C/^ =1 ^^ m,. /Wy ( C? -h tj - 2?/ Kj) ;

en les ajoutant, on trouve

ou bien, en ayant egard a la signification de p/ et de A^j et tenant compte des equations (7),

^mij^mt p? =^^ mimjlfj 4- («,/ -h a,)*-+- (^^ + ^j)'-h (Cj^ 4- c,)«.

Tirons de la 2] ^ipl pour le porter dans la formule (8), et il viendra

, \d^j;^^mimjAlj 1

— — \-^^^jf, ^- 2(aJ+ 6jH- cJ)J := 2U + 4A,

70 CHAPITRE III.

d'oii, en designant par A' une nouvelle constanle arhitrairo,

ou bien

d^^^m.mj^l

(10) ^, = [^^2i2i-i-f-^^^')Z'''^'

II importe de remarqucr que cette equation nc contlent que les distances mutuelles des points materiels pris deux a deux et leurs derivees premieres et secondes par rapport au temps.

Si Ton nomme p] la distance du point M/ au centre de gravite du systeme, on tire aisement de Tequation (9) la formule

de telle sorte que Tequation (10) pent aussi s'ecrire

16. Les observations astronomiques ne nous font pas connaitre les mouve- ments absolus des planetes, mais seulement leurs mouvements relatifs par rap- port au Soleil; il importe done de former les equations differentielles dont de- pendent les mouvements relatifs; c'est ce qui va nous occuper maintenant.

Menons par le point Mo, centre de gravite du Soleil, trois axes Mo^r, ^l^y. Mo 5 paralleles aux axes fixes; soient, relativement a ces axes qui sont mobiles mais conservent une direction invariable, ^,, j,, :;, ; x.^, v^, z.^; ..., ^„, Vn, z^ les coordonnees des centres de gravite des n autres corps. Nous poserons en meme temps

MoMi — ri — Ao.i, MoMj — /'j = Ao.j

Enfin nous aurons les relations

L'equation (i) donnera

(.3) _^^.f,„._|+f„,,_|H.....-f„,„_-=.f2-^'

EQUATIONS DES MOIIVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITE. 7 1

La relation

Ik — ?o + ^A:

nous montre d'abord que j^a ne sera introduit que par ^a? on aura done

(l3) -^ — y.--

La meme relation nous donne

d^^'k _ d}lk _ d^ dt^ ~~ dt^ dt^

ou, en ayant egard a la formule (12),

dt^ " dt'' ^ r] '

les equations (a) nous donnent du reste, si nous tenons compte de (i3),

dt'^ nik d^k ^^k dxk

H viendra done

^ -^^ t/^« ~" nik dxk ^ rf '

II convient de mettre a part dans U les termes qui contiennent m^ en facteur ; on trouve aisement

en posant

dans ectte formule, les indices i eij ne peuvent plus prendre la valeur zero. On trouve immediatement

dxk ^ f'i * dxk * rl '

I'equation (i4) pourra done s'ecrire

d^Xk « Xk tf'^^iiXi I d{]'

dt'

"^^ f'l Zd r\ nik dxk

Les mouvements relatifs des centres de gravite des n corps consideres, par

•J2 niAPITRt III.

rapport au Soleil, dependrontdonc desSn equations difTerentielles suivantes :

-J— i + (in. ^ + f > — i- = — T- 1 — T-i + ffli. '-^ + I >. — r- — — -j— J

ei'Xt e J't ,x^m,jr, i dV — j;t- 4- IWio— r +1 >. j— = 5 — J

rfC /-J ^^ rf m, OJT,

ou I 'on a

' = jrj+yf 'rsf.

On voit que le nombre des equations difTerentielles (g) est inferieur de trois unites a celui des equations (a); il y aura done dans les integrales generates six constantes de moins que dans cellos des equations (a); ces constantes sunt precisement celles qui figuraienl dans les integrales du mouvement du centre de gravite.

17. On ne connait que quatre integrales des equations (^); elles correspon- dent aux integrales (d) ot (/) du n" 14; nous allons les deduire de ces der- nieres.

Dans les formules (7), remplaQons S,-, y;,, "Ci par leurs valeurs (i 1), et nous trouverons

-'-^■('".-I-M"

.+2«

.,-I».,^

	™.+ 2».,		<" .".+2;».,
*■	'+*,-!»	'/.	,h, "' Z. "' di
	»..+ !;»..		dt ^^ + y m
Cl	'+..-2-.	i=.-	<<:,_'' z. "' di

-^mi

EQUATIONS DES MOUVEMEXTS DES CENTRES DE GRAVITF:. 73

En faisant la meme substitution dans les formules (/) ct (r/), il viendra

2I] -^9Ji —

(17)

=(

dl

2

«90

dt

dC

2

m.

2\ V /'''•*/ '^y\ dz]\

dxf dr\^

' dt dt

2

dvi d^o v* d^i

' dt

(18)

( "' == (^» §^ - ^^ %) ('"» + 2 '"') + ^» 2 ""

777

So

2

m,

dj^ dt

2 ^ (>-' ^ - -

dt

dt

2

mi Zi

et deux autres formules analogues relatives a b^ et c^\ Tindice i doit reeevoir

partout les valeurs 1,2 n^ n designant le nonibre des planetes.

II suffit maintenant de porter les expressions (i(i) dans les formules (17) et (18). On trouve, apres quelques reductions,

aU -\-ih

='L-{3

dl* dl

0

mo-h

^ '"/

[«?-+-^i-+-^?-(2'"'"^'

2-t)'-(2'».^)"l

a3=2''''(^47--^)

oH-^ 'y?/

/?l

U,c, — Cj6, h 2 /;*/ w 2 '"' "^ "■ 2 ''^'^^' ^ '"' 1^ J '

en introduisant la fonction U' par la formulc (i5) et changeant de constantes, on trouve les quatre integrale;s sous la forme suivante :

a

2/ dz, dYi\

""\y'-dt-"-dF)

m.

^">t

(2"''^'2'"'w-2'"'--2""^)

id')

1

b':=

2/ djCi dzi \

m,

^^'i

( 2 /'^ n 2 ''^ 7i7 - 2 '^''•^' 2 '^'^ ^) '

T. - 1.

10

74

r.HAPITRR III.

^Ji'-^

(/')

w/o-^

,/rj

2»'4'y]

On peut ecrire ces integrales (rune nianiere un pen dilTerente: on verifie en cfFet aisement qu'en changeant encore uno fois de constantes el posant

o'—a' \ \-\-

2] ''''

///,

c": cM i-f-

2] ^^i

ffl

0 /

//I-

//" //'(l-!-

2] '"'

///,

on a

"■-2'"'(>'t-='t

+

///

b'=-.

{fi")

1

H-

fHinij

• <it

.r

\^i ^j)

<^yi <Yj

dt

dt)\

r^"

2 '"' yi

dxi ~dt

dxj ~di

<--"'i^-^)]

dt " -^ ' >/^

;;ro22'''''">[(-^'-

'^ ^ dt

dt

2 A'

(/")

/;/; 2d 2d

m, m

dt

dt ^

:^)'

dt

-(,.v-..Vi(t-'^)].

-%']■■

dt

dt

i etj designent deux quelconques des nombres i, 2, ..., n.

Les formules (d') ou (/f") representent les integrales des aires et la for- mule (/') ou (/") rintegrale des forces vives dans le mouvement relatif des planetes autour du Soleil; ces quatre integrales sont les seules que Ton con- naisse jusqu'ici.

18. La forme (g) des equations differentielles du mouvement relatif n'est pas la forme definitive; pour arriver a cette derniere, considerons les trois pre- mieres des equations (g). En ayant egard a la valeurdeU'et remarquant que les quantites A2.3' ^a.i ^3.4» ••• "c dependent pas de ^r,, y^, z^, nous pour-

EQUATIONS DES MOL'VEMENTS DES CEMUES DE GKAVITE.

rons les ecrire ainsi :

r-h

/;/2./j _ 'fi^a'3

(■9)

"5^

//i, «5 /;«., -33

f

/;/, in-

-=if-

<)

A..,

A..3

AT, //In

(^31 \A,,, A,,3

• • • I > . . . I ,

V

• • • I »

Ta, Tj, ... ne dependent pas (le a:,,j,, 3, ; on a done

^J ,-	d djci	./•,	'Jj	+		H-	-'1	— )
•^•3 ,.3 ' 3 • • • •		^i	•^•3 • •	4- • • •	'1	-h	-^1	>

La premiere des equations (19) devient

1

f//l2-r— r—

4-.

J^l Xj -h y| '>'j -H 5| ^4 \ •/*! -^'a 4- ^>'i .)'3 -h -1 -3

1*3

0

On obtient ainsi la forme suivante, la plus usitee, pour les mouvements relatifs des planetes autour du Soleil :

1

'^^^^{m,^-in^y^r^

d'- z

1 .

dC

l(//io-4- //'i)-T ~

.3 1

« >

(A)

dl^'

-hf(//io-i-//l,)— l--^

()R.

(A,)

76 CHAPITRE IH. — EQUATIONS DES MOirVEMENTS DES IIEXTRES DE GRAYITI;.

oil Ton a pose

/•? I- x? H- J? H- c; ,

A?.y -: Aj,, -: (a^,- ^V^-h 0',- ry)«-f- (C, - ."y^.

Cos equations (A) consUtuent un systemo tie 3/i equations diffcrentielles simul- tanecs du second ordrc. Pour en deduire les valeurs les plus gcnerales de x^^ Jm ^r» ^t-2, ja, 5^; ..., il faudrait ohtenir ()w inlegralcs distinctes de ces equa- tions; jusqu'ici, comnie nous Tavons dit, on n'en connait que quatre, qui sont donnees par les forniules (r/') et (/') ou (rf") et (/").

CHAPITRE IV. — EQUATIONS DIFFERENTIELLES SYMETRIQUES. 77

CHAPITRE IV.

FORME SYMtTUIQUE DES EQUATIONS DIFF^RENTIELLES DU MOUVEMENT RELATIF DES PLANfeTES.

19. Les equations (A) du Chapitre precedent sont cellcs dont on se sert ef- fectivement pour calculer les mouvemcnts des planetes; dans certaines re- cherches theoriques, ellcs prescntent toutefois un grave inconvenient, elles ne sont pas symetriques : leurs seconds membres contiennent en eflet des

fonctions R,, R^ qui different d'une planele a I'autre. II est possible d'ob-

tenir pour les n planetes des equations differontielles dont les seconds membres ne contiennent qu'une seule et meme fonction ou plulot ses derivees partielles du premier ordre

Conservons les notations du Chapitre precedent; nous allons remplaccr les variables $o» ^jo» ^o« ^«« ^i» ^i» ••• P^^"* un systeme de coordonnees defini comme il suit.

Fig. lu.

Am,

/ /

/

/

Ci /

M« tit Ml

Soient (y?^. lo) :

G, le centre de gravite des masses M^, el M, (lesquelles sont condensees, comme

on Ta dit, aux points M^ et M,); Go le centre de gravite des masses M,,, M, et ^\.\

G^.i le centre de gravite des masses M^, M,, M^, ..., M„_, ; G celui de tout le systeme.

78 CIIAIMTUE IV.

Nous prendrons comnie nouvelles variables :

X,, y,, z,» coordonnees de M, par rapport a trois axes paralleles aux axes fixes et

passant par M^; X2, y^, Zo, coordonnees de M^ par rapport a trois axes paralleles aux axes fixes et

passant par G, ; Xat y3, Z3, celles de M3 par rapport a G^ ;

X/if V;,, z„, celles de M;, par rapport a G„ ,.

Nous y ajouterons les coordonnees X, Y, Z du point G par rapport aux axes fixes.

La premiere chose a faire, c'est d'exprimer les anciennes variables en fonction des nouvelles.

Pour y arriver, representons par X/, Y,-, Z,- les coordonnees de G, par rapport aux axes fixes et posons d'une maniere generale

(i) m^ -h m, H- //i, -h . . . H- /w, := ^

/)

rindice J pouvant prendre les valeurs o, 1, 2, ... /i; nous aurons

Mais on a aussi, d'apres les proprietes du centre de gravite,

^, Xi ^ niQ Jo -+- /"i £1 -+- ffh ?2,

(3)

Tirons de la les valeursdeX,, X., ...,X„«, etportons-les dans les relations (2); nous trouverons

V '-

f^2

//?n;oH-'''l4l-^- • •H-'7l;,-l>;,_|

^ *?'!

f^/l-1

H-X,..

EOl-ATIONS DIFFERENTIELLES SYMETRIQUES. 79

Resolvons ces n equations par rapport a i,, ^o ^a» <*t il viendra

V

Pi

X X

(4)

\

^ - — ?

^1 . ... ^5 . , .- ^»-3

IV v X| X« X/i— «» X/i — I X//_i

\ f*i /*! r/i-3 f*«-J f*'*-i

Portons ces valeurs de $,, ^2» •••» ^/i dans la derniere des equations (3), et nous en tirerons

f^/i X =1 ft„ 5o -+- '« 1 ( Pi + ''' 1 -^ . . . -f- ''' /I ) -^

Pi

^t . . .„ / ■ .„ \ ^/i— 1

d'oii

J"V '^l '^l X;|_J Xm — I X.|

0 = X — w, TWj . . .— w?/,_i — w«-i -- — nin — ^*

Pi Pt P/I-I p«-t p«

Substituons cette valeur dc ?« dans les equations (4), et nous trouverons

P/i

c«-i = X — m« -- -f- /^;,_2 - — ,

P/i p/»-i

4/I-I — X — m„ //?;,_, f- /^«_3 - — ,

P/* p/I-1 P/I- J

>. V- X/» X/I— 1 X3 X]

P/t P/i-i P3 Pi

P/I P/I-1 Pt Pi

V mr X/j A,, 1 X« Xj

l^n P/i-t Pi P,

Ces formules et deux groupes tout pareils, rclatifs aux coordonnees r\ et ^,

(5)

8o CIIAPITRE IV.

definissent les 3w 4- 3 anciennes variables en fonction des nouvelles, qui sont

A., \j» Xj, •••) ^/i9

^ » J 1 ? J 2» • • • 1 J /!»

'■'i "1» "J* •••1 '"11 '

20. Les formules (5) rentrenl dans le typo suivant

£0 3^ \ 4- ^0,1 Xi -\- a^^i Xj 4- . . . -}- fl'o.n X/i>

?i — X H- r/i,, X, -+- rt,,, X, -f- . . . -+- «,,„ x„,

(6)

si Ton pose

?/ — X 4- <7|^i X, -h ^1,, Xj -+-... -h Oi^n X/if

« ?« — X + <7/i, 1^1 -+- fl'rt.sXs -+-••-+- ^/i, /I X;,,

my . .

aij— -^ pour «</,

r'J

(7) \ ^ij — o, pour />y,

Cela pose, formons Texpression de la quantite

H — - /7io ?J -f- /^^i ?? -H m, II -f- . . . -r- w« IJ,

en y remplagant les quantites ^ par leurs valeurs (6); H deviendra ainsi une fonction du second degre des quantites X, x,, Xj, ..., x,,. Le coefficient de X^ dans H sera

on trouvera pour celui de 2Xxy

t = n

^0^0 J + m,a,,y -h . . .-^mna„j r= ^ /W/a,,y ;

£=0

pour celui de axyx^, j etant different de k.

I=r0

et enfin, pour le coefficient de x',

1 = 0

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SYMETRIQUES. 8f

Or, en tenant compte des formules (7), on trouve aisement

l=.H

2 ^i^u = '^o^o.y -H ^i^ij -+-...-+- 'f^-i^j-uj -+- "h «>.-

1=0

m

f^y-i _.

= — (mJH- m,-h . . . -h 'Wy-i) -~ -^ 'Wy ^ izi o,

Py Py

1=0

1=: (mo-f- m,-+-...-4. my_,) (~)'^- ''h ( ~-~-) - ^^^'^""'^ (myH-fXy,i) = ^ /Wy

et, en supposant, pour fixer les idees, y < /%

i = n

2 "^i^iJ^ifk — 'fh^'oj^o^k -+■ ''i|«i,y «i,A "T" • • • "f" w«y-i «y-i.y «y-i,A -H ^j^jjcij.k

i=;0

=1^ (mo -h mj H - . . . -i- /wy-, ) -^ ■- nij ^ ~- -- — o.

N f^A- P-y P-A-

On a done ces relations

i = n

2 W,a/,y zz: O,

I--. 0 i — n

(8) < ^Wi«i,y«/,* = o, pour y^X,

1-0

i- /I

ct il en resulte cette formule rcmarquable

(9) 'WoSJ -+- mi5i -H . • . -H ''^/.^i — fJ^/iX^ -H — /«! x? -h ^ m^\\ -T- . . . f- ^^ /«« xj.

On en aurait deux autres toutes parcilles pour les coordonnees y] et 2^. On peut diflerentier les equations (G) par rapport au temps; on aura entre les

derivees -^f ~y ~ des relations de meme forme, telles que

/d\y ixo /d\^y fx«_, /dxr^y

T. - I. II

82 CHAPITRE IV.

On en conclut immediatement I'expression de la force vive 2T du systeme des points matericls Mo» M|, M2, . . ., M,„ exprimee avec les nouvelles variables; on a en effet

— •[(§)'-(^)'-(§)i— p)-ri-)"K^-)']'

d'oii

(.o,,T.,.[(-y.(fy.(-)'].2^.».,[(-^)V(*)-.(t)'].

1 = 1

21. Cherchons maintenant a calculer une expression qui nous sera utile dans un moment, celle de

1=0

oil Ton doit remplacer d'une maniere generate $,• et y], par leurs valeurs

?/ = X H- fl/,t X, -H . . . -4- flT/jXy M- . . . -H «/,« X;,,

fii— Y 4- a,-,,yi 4- . . . -^ ai^f^Yk-^- . . . -f- a,,„y„,

deduites des formules (6); on a tout d'abord

dt,i d\ dxi d\j d\n

d-n,_dY rfy, rfy* rfy„.

en substituant dans (i i), il vient

''=(''w-^§)2'».-''2t2-"'..-''2:%2»"«"

k i j i

dY v^ v" d^ v^ v^

-+- ^ 2d^j 2i'ntai,j- :^ ^y*2;j »«/«,,*

-^ 22 '^^ % 2 '"""- .'.*- 22^* ^ 2 '«' '^'.*«'.>-

En vertu des formules (8), cela se reduit a

•'=''-(''^ -^§) -I'^^'S-'-'.'-Il^^t 2""-?-

On obtient ainsi la formule cherchee

<-) 2'»'(«'^'-«.§)=>-.(''S-v§)-2'^'-{«.t-^4')

1=0 1=1

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SY»IETRIQUES. 83

22. Nous allons former enfin les equations difTerentielles dont dependent nos nouvelles variables; nous emploieronspour cela les formules de Lagrange.

Les relations (5) expriment les coordonnees de tous les points du systeme en fonction des variables independantes X, Y, Z, x,, yi, z,, Xj, ..., z^; soity^

Tune quelconque de ces variables, y]^ = -^ ; on aura

La fonction T est donnee par la formule (lo).

11 faut remarquer que U, qui, d'apres les equations (a) du n® 13, ne contenait que les differences $/— Sy, t\i— rij, '^i—^j des coordonnees, ne dependra pas de X, Y, Z, mais seuleinent de X|, Xj, . .; yo Vj. • •; z,, z^, ...; cette fonction ne contiendra pas non plus le temps explicitement.

Prenons d'abord

nous aurons

oqk oqk

done la formule (i3) donnera

^X dt-

— O,

d'ou, en designant par a, p, y, a', P', y' six constantes arbitraires,

(i4) y^-OLt-\-OL\ Y--(3/4-P', Znny^-H/;

on retrouve ainsi le theoreme connu pour le mouvement du centre de gravite d'un systeme soumis seulement aux actions mutuelles de ses points. Faisons ensuite

qk — M\

nous aurons, en partant de (lo),

<^T __ fx/-, , _ fx/-, d\i d\i i^i [i.i dt

0\i

— o.

84

et la (ormule 1 13 ) donnera

CHAPITRE IV.

Fizl,,,,^

F/

dl'

di:

II viendra done, pour Ics equations differenlielleseherehees.

^— nil - Fi

fU'

Fi

/w

(B)

;

Fi

F«

f/z,'

F«

:n /?!

o»

Fi = /Wo -i- mj ;

^,— Wo-f- /n,-+-/7i,;

On voit que ces equations possedent maintenant la symetrie demandee.

II convient de voir quelle sera, d'une maniere generale, la composition de U a Taide des nouvelles variables.

En ayant egard a Texpression connue de U en fonction des A/j et aux re- lations (5), ofT trouvera aisement les formules suivantes

U

m,

mz

)

(C)

/

AJ,.=

(X,-I XjH ^X, ) H-lysH — ^yiH yi -f Z,H ?Z,H — -zA ,

\ F« Ft / \ F« Fi / \ F« Fi 7

mi

.,,.(.,_e..„)V(,_g,)^(,_E..,)-,

^!..-K--S-^.)'

+ y.+

^■

(^-

F«

Fi 7

...=(..-«;,.)■.(,.- t.,)^(,_s.,)-,

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SYMETRIQUES. 85

on est ainsi ramene a un systeme (B) de 3n equations differentiellcs siniultanees du second ordre, dans lesquelles la fonction U depend des nouvelles variables par les formules (C).

23. On aura naturellement quatre inlegrales de ce systeme; elles se dedui- ront des formules (d) et (/) du n** 14, en ayant egard aux equations ( lo) et (12) du present Cliapitre, et remarquant que, d'apres les formules (i4,^» les quantites

/d\y /rfvy (d7.y \-dt) '''Vdl) ''\dt)'

dl d\ d\ cTL dY dX

^Tt^'^lu' '' dt^^di' ^'di^^lTt'

sont des constantes. On trouvcra ainsi, en designant par a\, h\^ c, , h^ quatre constantes arbitraires,

I .-- n

1=1

i -n

">) "■.=S'^""^4'--§)

1 = 1 I - /I

I -I

On voit que, non sculcment les equations difierentielles ont une forme plus simple, mais aussi les quatre integrales connues, quandon emploie les nouvelles variables x,, y,, z, au lieu des anciennes a:,, j,, z,-.

U nous reste enfin a indiquer comment, en supposant effectuee Tintegration du systeme (B), on trouvera les coordonnces des planetes rapportees au Soleil ; les formules (4) repondent a la question; elles donnent en effet

/Wt //?! nil

^i=x,-+- —X,, j2-y24- --yi, 5j--zs+ — *z„

(G) { ^' ^' ^'

X,~X,-+- — X,-f- --X,,- V3 = y3-+- —y^-^—Yl^ 53=iZ3-f-— ?Z,4- — iz„

La consideration des equations ( B) pent etre utile dans certaines recherches theoriques, comme nous aurons occasion de le montrcr dans la suite de cet Ou- vrage.

86 CHAPiTRE IV. — Equations diffArentielles sym^triques.

Remarque I. — Soient, relativement a des axes fixes, P,, P^, ..., P„, n points ayant pour coordonnees x,, yi, z, ; x,, ya, Zj, ...; X;,, y,|, z«; attribuons a ces

points des masses egalesrespectivement a — /n,, —ma, ..., ^^^^m^, et suppo-

sons-les soumis a des actions admettant une fonction des forces U, definie par les formules (C); les equations differentielles du mouvement absolu des points Pi, P3, ... seront identiques aux Equations (B). Dans ce mouvement, les for- mules (D) et (F) representeront les integrales des aires et des forces vives.

Remarque //. — La fonction U est plus compliquee que chacune des fonctions Ri, Ra, ..., qui figuraient dans les equations (A) du n® 18; on voit, par les formules (C) que Ao,2 ne represente plus la distance du point Pa k Torigine; A, ,2 ne represente plus la distance P,Pa. Toutefois, qnand on considere les

mouvements des planfetes autour du Soleil, les rapports — > — > •••> -- sont

petits, inferieurs k j^\ on voit done que la quantity A/j differe peu de la dis- tance des deux points P/ et Py.

Remarque III. — Les variables x,, y,, Z/ different de meme tres peu de j?,-, yi, Zi\ mais on a rigoureusement, pour la planbte M,,

^l = Xt, J'l^^ytJ 5, :z=Z|.

II va sans dire que Ton pourra prendre pour M| Tune quelconque des planetes

M,, Ma, ...» M„.

La substance de ce Chapitre est tiree d*un interessant Memoire de M. R. Radau, intitule « Sur une transformation des equations differentielles de la Dynamique » {Annates de I'Ecole Normale, r® serie, t. V); M. Radau avait pris lui-meme pour point de depart des resultats particuliers obtenus par Jacobi dans son celebre Memoire Sur I' elimination des noeuds dans le probleme des trois corps (^Journal de Lioui^ille, i""* serie, t. IX).

CIUPITRE V. — EQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNEES POLAIRES. 87

CHAPITRE V.

Equations diff^rentielles du mouvement des PLANfciES '

EN COORDONNtES POLAIRES.

24. Si Ton se reporte aux equations (A) du n" 18, on peut ecrire comme il suit les equations difTerentielles du mouvement de la planetc M dont les coordonnees rectangulaires heliocentriques sont x, y, z:

oil Ton a fait

(')

r

oo\jr\ z\ f , m! dcsignent les coordonnees rectangulaires, le rayon vecteur et la masse de Tune quelconque M' des planetes perturbatrices; enfin /Wo -+- m est la somme des masses du Soleil et do la planete M.

Dans un tres grand nombre de questions, il est utile de rcmplaccr les coor- donnees rectangulaires a:, y, z par les coordonnees polaires r, r, 0; on aura d'abord

(2) xz=z rco^OcosVj j=:i rcosOsin^', z--rs\ViO\

rest le rayon vecteur, {^ la longitude et 0 la latitude.

Pour trouver les equations differentielles que verifieront t, {^ et 0, il n'y a qu'a

88 CUAPITRE V.

appliquer les formules de Lagrange; on aura d'abord a exprimer, a Taide des nouvelles variables, la quantile

on trouve

En apbliquant la formule

\(hi'{i _ ^ _. ^

dt dqi dqi

et prenant y, = r, q.^ = v, y, = 0, on obtient les equations chercbees

(a) (4-;^«^y ,M

dt ^ dv'

d ^dO , . . ,di>^ da dl dt dt* dS

25. Nous allons transformer ces equations en introduisant, au lieu de r et 0, les nouvelles variables u els definies par les formules

(3) 11 = p:, 5=lang9;

- est la projection du rayon vecteur sur le plan des ary; s est la tangente de la

latitude. Nous trouverons aisement

da da ()a da , ^^da

dr du dd du ^ ' ds

Multiplions d'abord par 2/^ cos^O^ les deux membres de la deuxieme equa- tion (a); il viendra

, I ds' 2 dv u* dt __ '}. da dv w* 57 dt "" I? ^ 57'

d'oii, en integrant et designant par h^ une constante arbitraire,

/ » ^*'\* it r I da dv ,^

Equations du mouvement en cooRDONNtes polaires. 89

d'ou

(5) . dt=. ''"

-'V^i'>

Multiplions maintcnant la premiere des equations (a) par — cosO, la troisieme par H > et ajoutons; il viendra

— cos9-TT -+- /'Sin^-j-r -H 2 sin^-7- -7- -h rcosO-j-T -h rcosd-j-z dl* ^ dt^ dt dt dl^ ar

dr r 09

Le premier membre de cette equation pent s'ecrire

d^l

d} r cos 9 ^ dv^ u i dv^

on aura done

dt\u*

d(\ du\ £^__ f^Oa s\n9 d^ dlj'^udt^- ^^^^dr'^ r 09

Nous aliens remplacer dt par sa valeur (5), ce qui nous donnera

— cos9-r- H r^;

(/r /• 09

d'ou, en eflectuant les calculs et prenant i^ pour variable independante,

(6)

d^N I /dildn ^d^ sm9 dil\

RemplaQons de meme dans la troisieme equation (a) dt par sa valeur (5); il viendra

+ «' /•» sin e COS 0 (/«' + aj ~ ^ rf.-) ^ ^ T. — 1. la

go CHAPITRE V.

ou bien, en tenant compte des relations (3),

V'-* 'fi > i' (S v/"- '/^ S-"') - ""("■- '/i f "'■) = ^

d'oii

(7)

"•(*-'/if*)

\dv dv dey""^'

R6unissons maintenant les formules (5), (6) et (7) et tenons compte des rela lions (4); nous trouverons

dt^

di^

u^i/h^-i-2 r

d^ du

(«')

d^u dv^

u

di> u}dv

du

dQ, dv dv u*

i ^

u ds

= 0.

d^s dF*

,, roa dv

J ov a*

d^ds da , ^,da

ov dv du as

= 0.

Nous ferons rcmarquer que, d'apres les formules (i) et (2), Q est une fonc- tion de r, r, 0 et du temps t qui sera introduit par r^, i^' 0', r", {^\ 0", ...; on pourra ecrire aussi

t, uets devront etrc censes exprimes en fonction de la variable independante i>. Les equations (a') servent de base a la theorie de la Lune de Laplace.

26. II pent etre avantageux d'introduire, au lieu de , > -j-y -j-y les pro- jections de la force acceleratrice de la planete M sur trois axes rectangulaires

Fig. II.

. I

'>ll

B

Q .-

que nous allons definir. Soient (fig. 11). a Tepoque ^, M et Q la position de la

EQUATIONS DU MOUVEMENT EN COOKDONNEES POLAIRES. 9 1

planete et sa projection sur le plan fixe .rOj, QA le prolongement de OQ, QB la perpendiculaire menee sur OQ dans le plan fixe arOj, dans le sens oil les angles r croissent, QC la parallele a 0^; les axes mobiles sur lesquels on va projeterla force acceleratricc seront QA, QB, QC, et les projections de la force en question sur ces axes seront representees respectivement par P, T, S. On aura

P = \ cost' hi sinr= -.— cos r + ^- sine,

ox oy

(8) ( Ti=— Xsinc -h \ cost' : — r— sin t'H- -r- cost*,

dx OY

OZ

Donnons au point M un deplacement virtuel caracterise par Sir, Sj, Ss; soient ov, ou et 8s les variations correspondantes de r, ueis; on aura

-— oj?-f- -T-ov-h -.-05=: (Pcosf -Tsint')ox -\- (Psinr -f-Tcost)dy -h So5 dx dy dz ^ ^ ' ^

=^ ^j- Ot' ^- -r- 6U -{- -rr- OS.

ov ou OS

En substituant pour ox-, cij, tz leurs valeurs tirees des forinules

cost' suit' s

u ^ a u

et egalant dans les deux membres les coefticients de Sr, 8u et hy on trouve ai sement

(9)

dv		j^.
du	—	P	-hSs
dQ,		I o
ds		z^'

si Ton porte ces valeurs dans les formules (a'), elles deviennent

A* -h 2 / — rft'

J «'

L ^ P^~s

d*s u^ dv a'

dF--^'-^— Tj--^''-

'"^^3

92 CHAPITRE V. — EQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNtES POLAIRES.

27. Donnons enfin une tierniere transformation tres simple des equations differentielles. Si Ton designc par p la projection rcosO = - de r sur le plan des xy^ on a

u

^ — p cos r, J = P sm Vy

= p5;

en partant des formules (a) ct (8), on trouvc aisement

P n_ cos t' -t:^ -h sin V -jTT- zi;

dC^

d^

rr> . d-.v d^v

r — — sm t' -7-=- 4- cos V -p-r = dt^ dr

^ d^z d}ps

^^'di}^'di^'

d^pcosv . d^p s\nv c^'pcost' rf'psini'

d'oii Ton tire, en reduisant, les equations suivantes

(«')

dt^ ^dt^ ^'

p dtY dt)~ *'

<f*p.9

-s,

qui ont ete frequemment employees, notamment par M. Airy dans son Memoire intitule Numerical lunar Theory ( Londres, 1 886).

CIIAPITRE VI. — PROBLEME DES DEUX CORPS. 98

CHAPITRE VI.

PllOBLfcME DES DEUX CORPS.- PREMIERE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANETES. — MOUVEMENT ELLIPTIQUE. MOUVEMENT PARABOLIQUE. MOUVEMENT HYPERBOLIQUE.

28. Soient 0 le centre de gravite du Soleil, P, P^ Pj, ... les centres de gra- vite des diverses planetcs ou des systemes secondaires formes chacun d'une planete et de ses satellites; nous prendrons pour unite la masse du Soleil, et nous designerons par m, //if, m^, ... les masses des planetes isolees ou les masses des systemes secondaires. Par le point 0, menons trois axes Ox, Ojr, Ozy de directions invariables, et soient, relativement a ces axes, cc, y, z, r, ^^f yif ^\y ^\> ••• l^s coordonnees des points P, P,, ... et leurs distances au centre du Soleil.

Les equations differentielles du mouvcment des points P, P,, ... ont ele don- nees au n** 18; nous allons les reproduire avec de legers cliangements de notation. Nous poserons

et nous aurons

] d^Y y (JR I

dy IF -^^^P^-d^'

dt^ "^ ^'7\'~"dl^^ <^y\ . f.. yx_dK

(«i) [^-^^^'rX^^W.' rj=a:;+r; +

--1 J

94

et

(«)

OUAPITRE VI

Lv/(.r,-a;)'+(.v,-.K)'

dTX, -+■ Yfi + ZZ

R.

-h (-, — i)'

1- f /Ml

[v/(x,-j:)«"

-M

+ (J2— 7)'-^ (-« — -)

r\ J

-I-

^x^-^ yxy-^^

-i-i)'-t-0'-/i)'^- u-^,)*

[

i-fWi -7----

v/t

i2r« —" t^c

-1

I J'iy«+,rir,+ g|j,1

■t-

On a done a integrer, si i designe le noinbre des planetes, un systeme de 3i equations differenlielles siniultanccs du second ordre. On a dit deja que, memc pour i= 2, on ne sail pas resoudre rigoureusement le probleme; fort lieureu- sement, une circonstance particuliere va nous perniettre d'obtenir une solution approchee. Les masses des planetes sont en eiFet tres petites par rapport a celle du Soleil ; ainsi la masse la plus considerable, celle de Jupiter, n'est pas la mil- lieme partie de celle du Soleil; les seconds membres des equations (a), (a,), ... contiennent dans tons leurs termes en facteur un des nombres tres petits m, rrit, ..., qui expriment les rapports des masses des planetes a celles du Soleil; d'autre part, les distances mutuelles des planetes ne deviennent pas tres pe- tites; done les attractions qu'une planete eprouve de la part des autres planetes sont tres faibles par rapport a celle que lui fait subir le Soleil. On trouvera, par exemple, dans les seconds membres des equations (a), en posant PP| = A, les quantites

y fm, z^ — z

tandis que les seconds termes des premiers membres de ces memes equations sont

f ( I -h m ) X f ( I \- m) y f ( i -^ in) z ^

/•

/•'

or m, est tres petit devant i -^ /w, ^^ est comparable a -•

On pent done, dans une premiere approximation, reduire a zero les seconds

PREMIERE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANfeXES. qS

membres des equations (a\ («i\ . . ; on trouve alors les equations

I d^ y V

(*) i rf^ "^ '^'^ 75 = °'

-5^+ff*7, --=0;

Les equations (i) fornf)ent un groupeindependantde(6j);on a naturellement le meme resultat que si Ton avail traite du mouvement de chaque planete comme si elle existait seule autour du Solcil.

Nous allons done nous occuper de Tintegration des equations (i); cette inte- gration pent sc faire rigoureusement; les formules generales auxquelles nous arriverons conviendront aux equations (i|), . .; Tensenible de ces formules constitucra la premiere approximation. II restcra ensuite a montrer comment on peut utiliser les integrales des equations (i), (A|), ... pour integrer par ap- proximation les equations (a), («<)

29. Integrales premieres. — Si Ton ajoute les deux premieres equations (i) apres les avoir multipliecs, la premiere par —y, la seconde par -j-^r, on obtient une combinaison integrable; on trouve ainsi, en designant par C, C, C" trois constantes arbitraires

dz dy

^-dt-''Tt-^^

I d^c dz ^,

"" dt y dt-^ '

ce sont les integrales des aires.

On forme avec les equations {b) une autre combinaison integrable, en les multipliant respectivement par 2dx, zdy, idz et ajoutant. Soit a une constantc

QO CHAPITRE VI.
arbi.traire; on trouve ainsi
,T». dx'^ dy^ dz^ liu.	a '

c'est rintegrale des forces vives.

Nous montrerons dans un moment comment on pent determiner la courbe decrite par la planete en partant des integrales ci-dessus.

Mais nous allons d'abord faire connaitre trois autres integrales donnees par Laplace dans la Mecanique celeste et qui nous serviront plus loin.

On tire des equations {b)

d\y ..,d^z_ Cz^cy '^ di^'~^'dt^-^^ ~^^ '

et, en remplagant dans le second membre C et C'par leurs valeurs (A), il vient, apres une transformation facile,

J dx dr

on pent integrer, ce qui donne

^, dy ,^, dz « X

C -5 C -J- = fa - 4- const.

dt dt * /•

Soient doncF, F', F" trois constantes arbitraires; on aura les trois integrales cherchees

(C) l^'-'-'^r-^^'^-cS'

11 faut supposer dans ces formules C, C, C" remplaces par leurs expres- sions (A).

Entre les sept constantes C, C, C", a, F, F', F", il existe deux relations faciles a obtenir. On trouve d'abord, en ajoutant les formules (C) apres les avoir mul- tipliees par C, C, C",

CF 4- C'F'4- C'F" --= ^^: (C^ 4- CV -f- CT z)x mais les formules (A), multipliees par .r, v, 5, donnent

(i) C:r-+-C>4-C'5 = o;

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 97

il vient done

CF-i-C'F-i-CT' = o.

On demontre ensuite par des calculs faciles que Ton a identiquement

a

11 resulte des deux dernieres formules que, sur les sept integrates (A), (B) et(C), cinq seulement sont distinctes.

30. Revenons a la determination de Torbite ; Tequation (i) montre qu'elle est

plane, et que son plan passe par Ic Soleil. Nous prendrons ce plan pour^rOj,

de maniere que z sera constamment nul; les integrales (A) et (B) se redui-

ront a

dv dx ^_

dt - dt '

dx'^ -\- dy^ __ 'dF~

="•0-0

ou bien, en remplagant C" par c et introduisant au lieu de o^et^les coordon nees polaires r et &,

Soit S Taire decrite par le rayon vecteur r quand la planete passe de la posi- tion qui repond au temps t^ a la position quelconque qui correspond au temps /. On a

la formule (2) donnera

2

2

Les aires decrites par le rayon vecteur sont done proportionnelles aux temps employes a les decrire. On retrouve ainsi la premiere loi de Kepler; on voit en meme temps quelaconstante c represente le double del'aire decrite dans Tunite de temps. Si Ton elimine dt entre (a) et (3), il vient

T. - I.

i3

98 CHAPITRE VI.

d'oii

,1 r \ fa 2 fa c'

c d- d^z=L

. /_ !Jf _H i!> _ £!

V a /• /•'

rf& =

(r. - 'i)

On aura done, en integrant et designant par to une constante arbitraire,

— &) = arc cos

C ffX

r c

/fV_fff

V c« a d'oii

c»

(4) r= ^^

•+v/'-f^'^"'^^-">

e'est I'equation de la trajeetoire. On voit que c'est une section conique ayant pour foyer le centre du Soleil; dans le cas des planetes, les conditions initiates doivent etre telles que cette courbesoit une ellipse. Nous retrouvons la seconde loi de Kepler.

Designons par p le parametre, a le demi grand axe, e I'excentricite de Tor- bite, qui sera inferieure a Tunite; soit (Jig. 12) A le point de Tellipse le plus

Fig. 12.

voisin du foyer 0, point qu'on nomme le periheUe (le point A' le plus eloigne du point 0 est Vaphelie); representons par iv Tangle AOP que fait avec OA le rayon vecteur r= OP de la planete au temps /; w est appele Vanomalie vraie de la planete.

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 99

L'equation bien connue de Tellipse, avec les coordonneesret w, est

i-f-ecosiv i-hecosw'

la comparaison de cette expression avec (4) donne

(5) « = & — «r = XOA;

0) est done Tangle que fait avec OX le rayon vecteur du perihelie; on a ensuite

c-

d'oii Ton tire

a(i — e')== f-j e — i/i— r, —

(6) c =: v/»>p = v/t>a(i - /?*)

et

ainsi la constante a, que nous avions introduite dans Tintegrale (B) des forces

vives, n'est autre chose que le demi grand axe de Torbite.

' Si done V designe la vitesse de la planete a Tepoque /, on aura, d'apres (3),

(7) V-fH(^-i);

c'est une forinule importante. L'aire de Tellipse est

si Ton represente par T le temps employe par la planete a decrire son ellipse, Taire - decrite dans Tunite de temps sera

c Tra'v^i — e'

2 ~ T '

remplaQons c par sa valeur (6), et nous trouverons

»

(8) ^^=f^L = f(n-m),

ce qui est une relation fondamentale pour la suite.

lOO CUAPITRE VI.

Pour la seconde planete P,, on aura de memo

'^iii=l>,=zf(i-f-m/);

Tf

on conclut des deux dernieres formules

(9)

T? — aj 14- m '

on n'a plus

11- ^'

et la troisieme loi de Kepler cesse d'etre verifiee rigoureusement; mais elle Test d'une fagon tres approchee, car nous avons dit que les nombres m et m^ sont

tres petits; la fraction -^ difiere fort peu de I'unite.

On designe ordinairement par n le quotient

qu'on appelle le moyen mouvement; c*est la vitesse angulaire que devrait avoir un rayon vecteur lictif qui tournerait d'un mouvement uniforme autour du point 0, de maniere a faire une revolution complete dans le meme temps T que le rayon vecteur de la planete.

Si Ton introduit la quantite n dans les formules (6) et (8), on trouve les relations

(ii) /i«a»=:f^=izf(i4-m),

(i2) c=z na'y/i — e',

qui sont d'un usage constant.

31. Calcul de la position dans Torbite. — Nous aliens montrer mainte- nant comment on pent determiner la position de la planete sur son orbite a une cpoque quelconque.

On a, d'apres(5),

di ""di'

MOU YEMENI ELLIPTIQUE. lOI

il viendra done, en ayant egard aux formules (2) et (12), (i3)

r* —z- =^ no} i/i — e', at '

a(i — eM

1 -h ecostv'

ces deux equations determinent r et m^ en fonction de /. Eliminons ^v : nous aurons

cos wz^za J

ere

d'oii

aw --^ —

'• v/a*e«— (« — /•)»

en portant eette valeur de w dans la premiere des equations (i3), il vient

(i4) ndtz^ — 7=---

On est conduit a prendre une variable auxiliaire u definie par la relation

a — r -—. ae cos u ;

on en tire

(i5) r — a{i — ecosw),

et, en portant cette valeur de rdans I'equation (i4)» il vient

ndt=z{i — e cos u ) du,

d'oii, en integrant et designant par t une constante arbitraire,

(16) u — es'inurzz n{t — t).

La variable auxiliaire u est susceptible d*une interpretation geoinetrique tres simple. Decrivons, en effet, un cercle sur le grand axe de I'ellipse comme dia- metre; Tordonnee QP (^g. i3) perpendiculaire sur CA rencontre cette circon- ference en R; menons la droite CR et faisons pour un moment

CQ-x;

I02 CHAPITRE VI.

nous Savons, par Ics formules de la Geometrie analytique, que Ton a

0P= r zz: a — ex.

En comparant avec la formule (i5), il vient

x=za cos u ;

mais le triangle rectangle CQR donne

on a done

X:=rtC0S(QCR)

// = QCR.

C'est rintcrpretation cherchee ; la variable auxillaire u se nomme Vanomalie excentrique de la plane tc.

Fig. i3.

La formule (i6) fcra connaitre la valour de Tanomalie excentrique en fonction du temps; I'equation (i5) donnera ensuite r.

Nous pouvons rcmarquer qu'au point A on a w = o; la formule (i6) donne alors / = 'T ; done la quantite t represente le temps du passage de la planete a son perihelie.

II nous reste a determiner w en fonction de u. Pour y arriver, il suflit d'egaler les deux expressions (i3) et (i5) de r. On trouve ainsi

— ^^ '- =a(i — ecostt),

1-4- e cos w

d'oii

('7)

C0SW=:

cos u — e I — ecosa

smt^^*

=.sji^e'

SlliU

I — e cos u

L'une ou Tautre de ces formules permet de calculer v^en fonction de m; mais

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io3

elles ne sontpas les plus commodes pour le calcul numerique. On tire de la premiere

.i^F' (i — e)(i-\-cosu)

iH- cosw= 2 cos'— = ^ ~ ',

2 I — e cos u

. , ix' (i -h e)(i — cosw) 2 I — e cos u

d'oii

U

. w ^ 2

sin- = . -y

2 VI — ecosu

. ^ \ I — — w

(i8) / v'--<?cos —

cos — = >

2 ^i — e cos w

2 V I — c

tang- = ^/^ tang ^

Enfin» en combinant les formules (i5), (17) et (18), on pent ecrire encore

, ^ ( r sin w =: a v^i — e' sin 1/,

( rcoswzir a(costt — e);

yr sm — = v^a(i -+- e) sin — > (20)

vrcos— = v«(i — e) cos-'

^ 2 ^ ^ '2

Ces deux groupes de formules donnent en memc temps r et iv en fonc- tion de w; on les emploie, le dernier surtout, quand il s'agit de calculs* nume- riques.

On voit que la position de la planete sur son orbite est determinee complete- ment en fonction de </; la valeur de u est determinee elle-meme en fonction de t par I'equalion (16), qui est transcendante et que Ton appelle X equation de Kepler.

L*angle /i(/ — 't) = 211— ^p— est ce que Ton nomme Vanomalie moyenne; on

la represente generalement par ^. On voit que c'est Tangle dont a tourne depuis le perihelie le rayon iictif considere plus liaut a partir du moment ou il coinci- dait avec OA.

Nous pouvons resumer comme il suit les formules essentielles qui servent k

Io4 CHAPITRE VI.

calculer la position dc la planete dans son orbite :

" = \/5'

(c) \ w -^ e sin w -= C>

/• = a{i — ecosu)y

— — i /' "^ ^ 2 V I — c

tang:. = l/,-±-:tang^

II nous reste k donner les integralcs completes des equations (h).

32. Calcul de la position hSliocentrique. — Nous reprenons trois axes 0^, Oj, 05 de directions invariables se coupant au centre du Soleil; il est dans Tusage actuel d'adopter pour plan des xy le plan de Tecliptique au i*"^ Jan- vier i85o; la partie positive de I'axe des x sera la droite menee du point 0 a I'equinoxe moyen du printemps a la meme epoque. La partie positive de Taxe desy sera dirigee vers le solstice d'ete, et la partie positive de I'axe des z vers le pole boreal de Tecliptique.

Du point 0 comme centre, avec un rayon egal a I'unite, trafons une surface spherique; soient (^g. i4) ^» y» ^ les points oil elle est percee par les parties positives des axes. Le plan dc Torbite de la planete coupe la surface de la sphere

y H

suivant un grand cercle MN qui rencontre le grand cercle ayy en deux points qu'on appelle les naeuds du plan de Forbite : Tun est le ruBud ascendant, Tautre le noBud descendant. La definition du noeud ascendant est la suivante : Dans son mouvement, la planete perce le plan des xy en deux points C et C; considerons celui de ces points, C, oil le z de la planete, en devenant nul, passe du negatif au positif ; le rayon OC rencontre la sphere au point N qui est le noeud ascen- dant.

L'arc irN compte a partir du point x, dans le sens xy, jusqu'au point N est la longitude du noeud ascendant ; nous la representerons par 0. L'angle j^NM que

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io5

fait le plan de rorbite avec le pl^ des ooy est Vinclinaison de I'orbite; nous la designcrons par (f; elle est definie sans ambigu'ite par Ics directions Ny et NM prises respectivement dans le sens xy et dans le sens du mouvement de la pla- nete.

Les deux quantites 0 et <p determinent sans ambigu'ite la position du plan de Torbite; 0 pent etrc compris entre o® et 36o®- Toutes les planetes tournent dans le meme sens, sens direct, autour du Soleil; le plan des ocy diflere peu de I'or- bite d'une des planetes, la Terre; done Tangle 9 sera compris entre 0° et 90®. II y a plus, les anciennes planetes ont des orbites peu inclinees les unes sur les autres; 9 sera done pour chacune d'elles un angle assez petit.

Pour les cometes, (p pent etrc compris entre 90° et 180®; alors le mouvement de la comete est retrograde; les definitions de (p et 0 donnees ci-dessus sont applicables a tons les cas.

Apres avoir fixe la position du plan de Torbite, il faut indiquer Torientation de Tellipse dans ce plan : soient A le perihelie, P une position quelconque de la planete sur son ellipse; les rayons OA etOP percent la surface de la sphere aux points n et M; pour determiner la position du point 11, on donne la somme des arcs ;rN et Nil (Nil est compte a parlir du point N jusqu'au point 11, dans le sens du mouvement de Tastre), et on la represente par trr; on a done

d'ou

Nn = cj-^;

GJ est ce que Ton appelle la longitude du perihelie .

II faut maintenant faire connaitrc la forme de I'ellipse, en donnant son excen- tricite e, et sa grandeur absolue, en donnant le derrd grand axe a, ou la distance moyenne de la planete au Soleil.

On doit dire ensuite comment la planete parcourt son orbite ; cela se fait en introduisant la duree T de sa revolution, ou le moyen movement

enfin, il faut savoir a quel point de son orbite la planete se trouve a un moment determine; on donne pour cela \e temps du passage au perihSUe^ t.

II est facile maintenant de calculer la position de la planete en fonction du temps et des constantes qui viennent d'etre definies; on aura d'abord

u — esinu=^ n{t — T), f=za{i — e cosu);

designons par v la somme des arcs a?N etNM, Tare NM etant compte comme Nil T. - 1. i4

Io6 CHAPITRE VI.

a partir du point N, dans le sens du mouvement de la planete; i^ est ce que Ton nomme la longitude de la planete dans son orbile. L'anomalie vraie w est Tangle

w = AOP = EM = (^ — cj ;

on aura done, d'apres la derniere Equation (c),

=:i/i±i

y I — e

p — GJ ^ /i-he ^ u tang —T- =1/ - — ; tang - ;

on a ainsi r et v. Reste a former les expressions de a?, j, 5, coordonnees rectangulaircs de la

planete P, par rapport aux axes definis au commencement de ce numero. Or -j

-> - sont les cosinus des angles que fait le rayon OP ou OM avec les axes; si done nous tracons les arcs de grands cercles Ma?, M j, M2, nous aurons

- = cos(Ma?), ^=:C0S(M7), -=C0S(M5).

Pour obtenir ces cosinus, nous considerons les triangles spheriques

Ma?N, MjN, M5N, dans lesquels on a

a?N=0, a?NM=7r — 9,

5N=-> -sNM^ 9:

2 2 ^

en appliquant a chacun de ces triangles la formule fondamentale de la Trigono- metric spherique, on trouve

cos(Ma?) = cos0cos(i' — B) — sin^ sin(('-— d)cos9, cos(M j)=:sin^ cos(p— ^)-hCos9 sin((' — 0)cos9, cos(M^) = $\n(v — Q) sin9.

On voit que les formules precedentes font connattre a:, j, z en fonction de / et des six constantes arbitraires a, c, <p, t, tar, 0; la quantite n ne doit pas etre comptee comme une constante distincte de a, puisque c'est une fonction de a definie par la premiere des relations (c). On a done ainsi les integrates gene- rales des Equations (6).

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. IO7

Les astronomes introduisent generalement a la place de t un autre ele- ment e defini comme il suit : imaginons, comme plus haut, un rayon vecteur fictif coincidant avec le rayon vecteur de la planete aux epoques t, t+T, T -+• 2T, . . . , et tournant d'un mouvemcnt uniforme autour du point 0 ; il effec- tuera done une revolution dans le temps T, et sa vitesse angulaire sera n; a Tepoque /, ce rayon percera la surface de la sphere au point M', et Ton aura

si sur OM' on prend une longueur 0P'= a, P' sera une planete Active qui res- terait a une distance constante du Soleil, et serait animee sur son orbite circu- laire d'un mouvement uniforme.

La longitude de cette planete tictive, dans son orbite, serait

/ est ce qu'on appelle la longitude moyenne de la planete P ; a I'epoque zero, elle se reduit k o — /it, quantite que Ton represente par e; e est done la longitude moyenne a I'epoque zero; on dit plus simplement que c'est la longitude moyenne de Vipoque. On a done

xs — /iT = e,

d'ou

I'anomalie moyenne devient

(21) Z:=znt — n7-= nt -{-e — gj;

la longitude moyenne /pent s'ecrire

de sorte que

(22) C=/ — cj.

Nous aurons done finalement, pour les integrales generates des equations (6), cet ensemble de formules

«=v1

u — e sin uz= nt-{-e — w, r r=a(i — ecosa),

(d) I <; — Gj /i -\-e u

^ tang -^ = 1/^-^ tang-,

xz=z r[cos0cos((^-— 0) — sinOsin((^ — 9) COS9], j= /•[sin0cos(r — 0) H-cos0sin(r — B) COS9], 5 = r sin ( t' — Q) sin cp.

Io8 CHAPITRE VT.

Les six constantes 6, (p, tnr, e, a, e sont appelees les six dements du moui^e- meat elUptique^ ou souvent, par abreviation, les six elements elUptiques de la planete.

Remarque. — L'arc IIM' etantegal a Tanomalie moyenne, on a

r=i/-+-M'M;

la quantite M'M est ce qu'on appelle Vequation du centre; c'est ce qu'il faut ajouter a ranomalie moyenne pour trouver Tanomalie vraie, ou a la longitude moyenne pour obtenir la longitude vraie; si nous la representons par c, nous aurons

(23) C — W—Ky

et il en resultera

(24) ! ou

I =i e-h nt.

33. Revcnons a la ^g. i4; prolongeons Tare de grand cercle zM jusqu'a sa rencontre en H avec le grand cercle xy; la droite OH sera la projection du rayon vecteur rsur le plan des ocy. Posons

v^ et 5 sont la longitude heliocentrique et la latitude heliocentrique de la planete, et constituent avec rses trois coordonnees polaires.

Le triangle spherique MHN est rectangle en H; on a dans ce triangle

NH=:r, -9, NM -('-(?;

on en conclut

(25) lang(ri — 9) — cos9lang(r — 0), (e) sin5=: sin 9 sin (c— 0);

ces formules permettront done de calculer ^, et s.

Lorsque Tinclinaison cp est petite, et c'est le cas usuci, on calcule generale- ment f', d'une autre fa?on ; on sait qu'on deduit de I'equation ( aS)

tang* - tang* ?

((;j-9) = (r— 0) ; — ^sin2{v-e)-h~. — j^sin4(r-0)-...;

\ 1 / V ' sin i'' ^ ' sin 2'' ^

^1

MOUVEMENT ELLIPTTQUE. IO9

on peut done 6crire

I lang« I tang* |

rjz=:r4-p;

ces formules permettront de calculcr r, tres facilcment; la quantite p, qui est tres petite dans le cas considere, se nomme reduction a Vecliptique.

34. Maximum de rSquation du centre. — L'equation du centre C est une fonction de la variable ^ et du parametrc e\ cettc fonction s'annule pour^ = o et I^ =u, quel que soite; entre ces limites de X,^ elle est d'ailleurs positive, car on voit aisement que Ton diX,<^u<^{v; ellc passe done par un maximum, et e'est ce maximum que nous nous proposons de determiner.

On a

« ^ dC I dw I , div c a}Ji — e-

C = «^ — C, -— - = --7- — i=z — ~ r* -J- — I = — - — I z= — ?^— I ;

rfC n dt nr* dt nr^ /•*

on aura done, pour le maximum, Les expressions eonnues do r en fonction de m el Mt^ donnent ensuite

I— (I — e*)^

COSM = ^ —^

C

I — (I — eM^ cosw — ^^ — :

COSM est positif et cosiv negatif; il eonvient de poser

11=. //', (»' r— — f- w' ;

2 2

on aura done

1

e (26)

e

Ces formules feront connaitre u' et w' ; on aura ensuite

C^= i%' — u -i- e sinu,

no CHAPITRE VI.

d'oii

(27) C =1 a'-i-(»^-hey/i— sin*a'.

Si e est petit, les formules (26) donneront pour sinw' et ^\nw' des expressions que Ton pourra dcveloppcr en series tres eonvergentes suivant les puissances de e\ ces series commenceront a la premiere puissance de e; on en conclura les developpements analogues de u\ w\ et du maximum c par la formule (27).

On trouve ainsi

« II - SoQ _ 17210 _

48 5 1 20 229370

On pent tirer de cette relation la valeur de I'excentricite en fonction de la plus grande equation du centre; on trouve

2 2*. 3 2". 3. 5 2". 5. 7. 9 "■'

cette formule a etc employee pendant longtemps au calcul des excentricitjBs des orbites planetaires.

35. Mouvement parabolique des comMes. — Si Ton suppose infinie la constante a qui figure dans Tintegrale (B) des forces vives, le coefficient de cos(& — 0)) dans la formule (4) devient egal a I'unite. La trajectoire est une parabole ayantle Soleil pour foyer; c'est le cas du plus grand nombre des co- metes. On a alors, en representant par/? le parametre de la parabole,

(28) r =

I 4- COS(«'

(29) ''"■^-v^;

w est la distance angulaire de la cometc a son perihelie (le perihelie n'est autre chose que le sommet de la parabole).

Le calcul de r et Mt^ en fonction de t est essentiellement different de ce qu'il etait pour les planetes.

L'elimination do r entre les formules (28) et (29) donne

1

v/l> dt = -^ div

4 cos* — 2

MOUVEMENT PARABOLIQUE. Ill

ou bien

i^ef^ = ( 1 4- tang' ^ j flf lang^;

d'oii, en integrant et designant par i Tinstant du passage de la comete au peri- helie,

/tlrx\ 2 \/i'UL , ^ W . , CV

(3o) ^(^_T)=ziang--i-itang»-.

Cette equation donnera w en fonction de / : apres quoi la formulc (28) fera con- naitre r. Ayant obtenu ainsi r et iv, on passera au calcul des coordonnees rec- tangulaires a:, j, z de la comete par les memes formules que pour les planetes. Pour suivre Tusage adopte par les astronomes, il convient d'introduire, au

lieu de/?, la quantite q=-y qui reprcsente la plus courte distance de la co-

mete au Soleil, et que Ton nomme simplement la distance perihelie. On a ainsi cet ensemble de formules

tang - -t- i lang> - = -5!-^ ( « - T),

2 ^ q \2q

r=-^

U)

cos* —

2

x-rzL r [cos 9 COS (r — 0)— sin ^ sin (p — 9)cos9], jr=r[sin(?cos(r — 0) 4- cos 0 sin ( i^ — B) coscp], 5 = r sin (i^ — (?) sin 9;

la formule (7) donne d'ailleurs pour la vitesse V de la comete cette expression tres simple

V«=z:

2f/JL

/•

On obtiendra ainsi x^ j, z en fonction de / et des cinq constantes arbitraires ou ilements paraboliques 0, 9, cr, y, t. La signification des elements 0, (p, cr et t est la meme que pour les planetes.

Remarque. — La fonction tang — h { tang'— croit sans cessc avec iv; elle est

nulle pour fv = o et infinie pour w = t,\ done la premiere des formules (g-) donne toujours pour w une valeur et unc seule, comprise entre o et =t u, scion que Ton a t\i. On voit que la determination de w est ramenee a la resolution

112 CHAPITRE VI.

d'unc equation du Iroisieme degre dans laquclle I'inconnue est tang-- Dans la

pratique, on cvite la resolution de cette equation du troisieme degre en la rem- plagant par le systeme suivant :

(3l) e)ll

3

>

( 32 ) on ^ y/j^ (tang J 4- 1 tang' ^) ,

oil dXL est une quantite auxiliaire.

On construit une Table numerique donnant la valeur de la fonction oil de w, determinee par la formule(32), pourdesvaleurs equidistantesdeTargumentiv; une fois cette Table construite, on pourra en tirer la valeur de w qui repond a celle de OIL determinee par la formule (3i).

La Table en question sera la meme pour toutes les cometes, parce que, leurs masses etant tres petites et absolument negligeables devant celle du Soleil, on pent prendre (x = i ; des lors, il n'entre rien dans la formule (32) qui se rap- porte a telle comete plutot qu'a telle autre.

36. Hh&ovhmB d'Euler. — On doit a Euler une expression des plus remar- quables pour le temps s que met une comete, dans son mouvement parabolique, a passer d'une position P a une autre P'; cette expression contient seulement, et d'une maniere tres elegante, la sommer-i-r' des rayons vecteurs menes du Soleil aux points P et P' et la corde a = PP' qui les joint.

Soit w' la valeur de w qui repond au point P' : nous regarderons w et w' commc positifs apres le passage au perihelie, comme negatifs avant, et nous suppose- rons w'^w. En retranchant I'equation (3o) de Tequation analogue pour le point P', on trouve, en faisant pour abreger I'ecriture k = y/fix,

-^ 6 z= lang — - tang - + g (^lang* ~ - lang* - j

ou bien

(33) -^6 = (^lang- ~lang-j j^3 (^i-+- tang- tang— j -h (^tang- -tang- j J

On a d'ailleurs

P ../ _- P

(34) '•-^-^^ '•'^-^^'

2 cos*— 2 cos* —

2 2

a* = /•'-+- r'* — 2/r' cos(fv' — w) =:(r-h /')* — 4^/''cos*

HOUVEMENT PARABOLIQUE. Il3

(I'OU

w' iV

(35) 2 ^rr' cos =:zh v'(r -h r' -j-a) (/*+ /*'— a);

on devra prendre le signe +, si Ton a

«'' — W < TT,

et le signe — , si I'on a Posons pour un moment

(36) \''-^'"r'^t'

et remplafons dans (35) ret r' par leurs valeurs (34); nous aurons

cos

iv' — iV

2

-h!/a«

iV w' p

COS— COS — '^

2 2

d'oii

(37) iH-lang-tang- =^-^

On tire ensuite des formulcs (34)

r-i-r

' = f (2+ tang«^ + tang« '-^)

ou bien, en ayant egard aux relations (36),

Ah-B

1 4- tang - tang ~j 4- (^tang— -tang-j ;

cela peut s'ecrire, a cause de (37),

A -4- B =p 2 v/ AB _

= (tang— — tang-j ;

d'ou, en remarquant que tang— — tang— est positif par hypothese,

(38) lang tang- = ^ — ^^r^^ —

2 2 y/p

II ne reste plus qu'a porter dans (33) les expressions (37) et (38). On T. - I. i5

Il4 CHAPITUE VI.

trouve

7"=-^-l — -p — ;•

3

On voit que le diviseur/?^ disparait, et il reste simplement ou bien, en remplacant A et B par leurs valeurs (36),

(/i) 6A-S=zi(/-4-r'H-(T)*i:p(r4-/-'— (7)*;

c'est la formule d'Euler que Ton attribue souvent, mais a tort, a Lambert; Euler Ta donnee le premier. On a vu plus haut comment le signe ambigu ± doit etre fixe dans chaque cas.

II convient d'insister sur cette formule; on pouvait exprimer a priori w et w' a Taide de rn- r^, de a et de/?; la formule (33) devait done donner pour G un resultat de cette forme

ce qu'il y a de remarquable dans la formule (A), e'est d'abord la maniere dont y entrent les quantites r-f- r' et a; mais c'est surtout le fait que p n'y figure plus.

C'est la raison du role fondamental que joue cette formule dans la belle me- thode d'Olbers pour la determination des orbites paraboliques des cometes.

37. Mouvement hyperbolique. — Si Ton suppose negative la constante a qui figure dans Tintegrale (B) des forces vives, le coefficient de cos(0 — o) dans la formule (4) est superieur a Tunite, et la trajectoire est une hyperbole dont le Soleil occupe un foyer. Ce cas parait etre realise pour quelques cometes et surtout pour certains bolides. Nous supposerons Tastre en mouvement sur la branche d'hyperbole qui tourne sa concavite vers le Soleil; le mouvement ne pourrait avoir lieu sur Tautre branche que si la force emanee du Soleil etait re- pulsive. Nous n'examinerons pas ce dernier cas, quoiqu'on ait a le considerer dans la theorie de la figure des cometes (Bessel, Faye, Boche, Bredichin, etc.).

La formule (4) nous donnera

— a(e»— r) I-f- ecosf^**

on obtiendra les points de la branche considcree en supposant que Mt^ varie de — fir — arc cos- j a -i- (t: — arccos-j; toutes les valeurs de rseront positives.

MOUVEMENT HYPERBOLIQUE. Il5

Cela pos^, pour obtenir les formules du mouvcment liyperbolique, nous pou- vons partir de celles du mouvement elliptique

II — esinu= -^^—jk ( ^ — t),

r r=a(i — ecosw),

U -h e

et nous les transformerons en posant

V/-i

a^ d^signant une quantite positive et u^ une quantite r^elle. Soil E la base des logarithmes neperiens; nous aurons

E'*« — E-«« E"« -h E-'*i

sin u r=i =^- , cos M —

2 ^' — I 2

u I E**! — I

etil en resultera, en choisissant convenablement le signe du radical qui figure dans tang-

2

E«. — E-". v/i> X.

e Ml := ^ ( / — t),

2 a, y/ai

(C') '\/rzra,|e I

E«. 4- E-**.

(r /e -\- I E"« — I

On peut introduire, au lieu de m,, une variable auxiliaire ^ definie par la formule

E«--tang(^^-i-^),

d'oii

E«t -H E-«. = -^ , E"' — E-". =1 2 lang.f ,

cos.f ° '

E'*i — I . ^i j^— = tang-;

si Ton introduit en outre la quantite auxiliaire /i| =i/-^ et £ = cy — w,t,

Il6 CHAPITRE VI.

on trouvera, en partant des formules (c'), cet ensemble de relations

K)

e langof — log tang ( j

r=za

tang

cos^

tang-,

^=:r[cos0cos(('— 0) — sin 0 sin (t'— 9) coscp], y:= r[sin0cos(p — 0) -i- cos 0 sin (i^ — ^)coscp], z = rsin(p — 0) sin 9.

La seconde de ces formules permettra de calculer Tinconnue auxiliaire § qui remplace Tanomalie excentrique; on obtiendra ainsi les coordonnees rectangu- laires heliocentriques exprimees en fonction du temps t et des six dements hyperboliques G, (p, tcr, e, a,, £.

38. Determination des 616ments du mouvement elliptique d'une pla- nMe, connaissant la position et la vitesse de la planMe k un moment donn6 ^0* — Cette question se presente tres souvent en Astronomie. Soient ^o> Jo» ^o> ^0 = V-^ J -H jj -H s J les coordonnees de la planete a Tepoque /,

^^ ^^'(Sl' y^ = {%): ^'o==(S)o '^' composantes de sa vitesse Vo = >J^'o -^y'o'^ ^0 9 au meme instant. GommenQons parune question accessoire :

Exprimer^ a Vaide des elements du mowement elliptique^ les trois constantes C, C\ C des intdgrales des aires, integrales (A) du n° 29.

On a done ces formules

(A)

^ dz

dy de

^, dx dz

Soit Q le point oil la sphere de rayon i, ayant pour centre le centre 0 du So- leil, est percee par la normale au plan de I'orbite, menee d'un tel cote qu'un observateur place les pieds en 0 et la tete en Q voie le mouvement de la pla- nete s'efTectuer de sa droite vers sa gauche. Je dis qu'on aura, dans tons les cas, en grandeur et en signe, les formules

(39)

C= ccos(Qa?), C— ccos(Q^), C^= ccos(Q^),

DlfeTERMINATION DES t LAMENTS DE l'oRBITE.

117

oil c (lesigne la quantite essentiellement positive v/f(JL/?, qui represente, comme on I'a vu, le double de Taire decrite dansTunite de temps par le rayon vecteur r de la planete.

II suflira de demontrer Tune des formules (Sg), la derniere par exemple; soient r^ la projection de r sur le plan des x,y, 3" Tangle que fait r" avec Orr, S" Taire decrite k partir d'une certaine position par le rayon r''; on aura

d'oii

dt -^ dt dt dt

On voit que C" represente ± le double de I'aire decrite dans I'unite de

d^"

temps par le rayon /^, suivant que -^ est positif ou negatif, c'est-a-dire suivant

que le deplacement de r" s'effectuc dans le sens ocy, ou dans le sens yx. Mais

Taire S" est la projection de Taire plane S decrite parr; le rapport^ est done

egal au cosinus de Tangle que fait le plan de Torbite avec le plan des xyy et Ton a, au signe pros,

(4o) C-Cdo^^Qz),

Or, si Tangle (Q^) est aigu, le mouvemcnt de r" s'effeclue dans le sens xy\ il s'effectue, au contraire, dans le sens j^r si Tangle (Q^) est obtus; done C" et cos(Qs) sont toujours de mcme signe, et la formule (4o) est generale.

Si Ton considere maintenant les triangles splieriques QNa? et QNj, N desi-

gnant le noeud ascendant de Torbite, et si Ton remarque que QN = -> Tappli-

cation de la formule fondamentale de la Trigonometric spherique donne imme- diatement

Icos(Qa?) == sinfsind, cos(Qj) — — sincpcosO;

on a d'aiileurs C0S(Q5) =::C0S9.

Les formules (Sg) et (40 nous fournissent done les relations cherchees,

C =/^--^== V^sin9sin0, {k) [ C' = 5 -^ — J? ^ =— v^fjjLpsincpcos^,

Il8 CHAPITRE VI.

Nous allons ecrire de nouveau les integrales (C) du n° 29, mais sous une forme un peu differente, en remarquant que I'on a identiquement

^ de ^ dt- dt\^ dt ^^ dt ^"^ dt) ""^dt^ ^ dt^ ^ dt^)-'^ dt dt ""^ '

• •

nous trouverons ainsi Cela pos6, les formules(^) et (C) appliquees a Tepoque /© donnent

C ^= J'o -^0 — -^0 / 0 » Ci "^^^ Zq Xq — ^c^o '

(/) (F=ffx^»+C'«'o-CY.,

F' = ffx =?!• 4- C'a?',- C «', ,

^0

-«»•

'0

ce qui determine, en fonction des donnees, les valeurs des six constantes C, C^C^ F, F, F'; on aura ensuite

(m) v/ffji/?sincpsin0=:C, v^f/jL/?sincpcos0 = — C, v^f|jL/?cos9=: C,

d'oiiy sans ambiguite, les valeurs des quantites/?, cp et 6. La formule (7), appliquee kl'instant /o> donne d'ailleurs

(n) i-l-Yl.

^^ a~ro fix'

d'ou le demi grand axe a de Tellipse ; on a ensuite

(o) ei = ,-i^,

ce qui fait connaitre rexcentricit^.

Nous appliquerons maintenant les formules (C|) au momenta 011 la planete passe a son perihelie; nous d^signerons par X|, Y|, Z^ les coordonnees de

DETERMINATION DES ELEMENTS DE l'oRBITE. II9

ce point, et par r, = a(i — e) = y^XJ -f- YJ -f-ZJ la distance perihelie. Nous aurons, a ce moment, ^ = o, puisque r< est un minimum. La formule (7) donne d'ailleurs

d'oii

Les formules (C,)donneront done

,f . X, F Y, F Z, F'

Remarquons en passant qu'il rcsulte dc la unc representation geometrique simple des constantes F, F', F"; ces quantites sont, en effct, les projections sur les axes d'une longueur egale a f(JL^ portee sur le grand axe de Tellipse a partir du foyer 0, dans la direction du centre.

On deduira des formules (42) les cosinus directeurs du rayon mene au peri- helie; mais il est preferable d'obtenir la longitude xs du perihelie. Or les for- mules (rf) donnent

— i =cos0cos(gj — 6) — sin0 sin(cy — 5) COS9,

Y

(43) ( — = sin() cos(cy — 6) -r cos9sin(cy — 9) COS9,

/

-;- :=i sin(Gj — y) sm9;

X Y

en portant les valeurs de ^ et de -- dans les deux premieres formules (42), et

resolvant par rapport aux inconnucs e cos(gj — 0 ) et esin(GT — 0), il vient

f|jLecos(cy— ^j — — Fcos^ — F'sin(?,

(/>) \ c ' i r., FsinS-Fcos^

^ coso

On aura done sans ambiguUe e* etcr; la valeur ainsi trouvee pour e devra coincider avec celle qu'a donnec la formule (o).

Reste a calculer la longitude moyennc de I'epoquc, e; on aura, en desi- gnant par u^ Tanomalie excentrique et par ^^o la longitude dans Torbite,

I20 CHAPITRE VI.

tang -^- = y/f^^ tang ^^^ ,

£ = GT — n^o ^- ("o— ^ sin Mo)

II n'y a plus qu'a trouver Tq; or on tire aisement des trois dernieres for- mules (d)

I /'oCOsCro— 0) = J?oCOS^-h/oSin^,

('*) 1 . / rv — oToSin^-h VoCOsQ z

[ ^ ' coscp sincp

0

>

ce qui donnera v^ et aussi r© qui est deja connu.

Les formules (/), (m), (n), (o), (^), (y), (r) font connaitre les valeurs des elements cherches, a, e^ (p, 0, gt, e.

La solution obtenue ne laisse rien a desirer au point de vue de la rigueur; il est possible d'abreger les calculs numeriques et d'obtenir des verifications des calculs, autres que celles que nous avons indiquees ; mais nous n'insiste- rons pas.

39. Determination des SUments du mouvement parabolique d'une co- mMe, connaissant la position et la vitesse de la comMe 2l un moment donn6 t^. — Les donnees devront verifier la relation

Les formules (/) et (m) determineront sans ambiguite les elements cp, 6 et

' 2

On trouvera de meme tor sans ambiguite par les formules que Ton deduit de (/>), en y faisant ^ = i , savoir

If|jLCOS(Tiy— 0)— — Fcos0 — F'sin^, . . , ., Fsin^ — Fcos^ fasm(Tiy— 0)= : ^ coscp

si C0S9 est petit, on pourra, pour avoir plus de precision, calculer par la for- mule

F'

(pt) fasin(iiJ — 0) = : — >

hodograpiif:. 121

Z

qui se deduit de la dcrniere des relations (43), en y remplacant ~ par

Les formules (r) donneront v^, apres quoi on tirera de la premiere des for- mules (g)

(7.) ,^,,_iL_?|^tang-^-4-itang'-— J;

le probleme sera done resolu par Tensemble des formules (/), (m), (pt) ou(/?2), (r)et(y.).

40. Hodographe. — Hamilton a resolu la question suivante :

Par le centre Odu Soleil, on mene des droites egales etparalleles auxvitesses d'une planetc ou d'une comete dans les divers points de son orbite. On demande de trouver le lieu des extremites de ces droites; ce lieu se nomme Vhodo- graphe.

Partons des integrales (C), et supposons, pour simplifier, que Ton ait choisi le plan de Torbitc pour plan des xy, Taxe des x passant par le perihelie. On aura

Z^Oy (] = O, C'=:0, C* = y/f |JL/> =: c ;

les formules (42), dans lesquelles on a maintenant

	^-	^-
donneront

fpe, r^-¥'--o;

les equations (C) deviendront done

« r ^^

Mais lescoordonneesa:',y du point de Thodographequirepondau point (x,/)

rl.r ^ dy (U ^^ dt

ont respectivcment pour valeurs -^ et -^- On aura done

f^^ riic/— f/xe,

fa— = — ex ;

T. ~ I. 16

122

CHAPITRE VI. — HODOGRAPHE.

d'oii, en elevant au carre et ajoutant,

a?'»H-

(^-Vf)"=¥-

le rayon de ce cercle est \/'-^' et Tordonnee de son centre est e

Done Thodographe est un cercle ayant son centre sur la perpendiculaire menee par le centre du Soleil au grand axe de I'ellipse, ou a Taxe de la parabole ;

V p

Dans Isijig. i5, la demi-circonference A,B| A', repond a la demi-ellipse ABA'; dans le cas de la parabole, Thodographe est tangent a Taxe au foyer; enfin, pour rhyperbole, Thodographe ne coupe pas Taxe transverse.

Fig. i5.

M. Darboux a montre tout recemment, d'une maniere tres elegante, que la con- sideration de rhodographe permet d'ecrire presque immediatement les trois in- tegrales (C); nous renverrons le lecteur a une Note qu'il a publiee sur ce sujet dans le Bulletin astronormque (t. V, p. 89).

CHAPITRE VII. — METUODE DE JACOBI. 123

CHAPITRE VII.

INTiGR/lTION DES J&QUATIONS DIFFJEREiNTIELLES DU MOU VEMENT ELLIPTIQUE

PAR LA MIJTUODE DE JACORI.

41. Ces equations, qui ont etc donnees au n" 28, peuvent s'ecrirc

(«)

d^X ()\}	d'y	/)U	d*z	d\i
dt^ ~ dx'	dt*	dy '	dt*	dz'
en posant
u ^'^ -	k^	m
'• sjx^	4-/*-+-

ce sont les equations differentiellcs du mouvement d'un point materiel libre, de masse i, la fonction des forces etant representee par U.

Si nous nous reportons au n^ 7 de I'lntroduction, nous voyons qu'il nous suf- fira de trouver une fonction S de /, oc,y, z et de trois constantes arbitrairesa,, a2» a8» verifiant identiquement Tequation

alors on aura, pour determiner x, y, z, les formules suivantes :

(^) :T:r=Pi' :vr----P»> xr-=P3-

Pour trouver plus commodement la fonction S, il convient do remplacero-, J, z par les coordonnees polaires r, r,, s, rayon vecteur, longitude, latitude, au moyen des formules

(i) ^^^ /'C0S5 cosTi, / ~ /• cos5sinr,, ;; -n: /'sin.v.

124 CHAPITRE VII.

On trouve sans peine que Tequation (6) doit etre remplacee par la suivante Cette derniere ne contenant explicitement ni / ni f'^, nous ferons

(3) S = — a,^-h aiTi-hSi,

S^ ne renfermant plus explicitement ni / ni ^, ; nous aurons

dt - ""'' dr ~ dr ' dvx ~ "^^^ ds~ ds'

et Tequation (2) deviendra

h -^ 2 — h 2«i.

11 nous reste a trouver une solution de cette equation, fonction de r, s, et d'une nouvelle constante arbitraire ol^; nous pouvons faire

\ds J cos*s"" "

s'il est possible de verifier ces relations, I'equation (4) sera elle-meme satisfaite. Or on a

la premiere de ces expressions ne depend que de 5, la deuxieme que de r; on pent done prendre

Adoptons zero et r, comme limites inferieures des deux integrates; nous trouve- rons, eu egard k la formule (3),

(5)

s^_«.,+«..,-^yy.«.H-^-^rfrH-/'^i-j^.i,.

MifeTHODE DE JACOBI. 125

La limite r, est arbitraire; nous la prendrons egale a la plus petite des deux racines de requation

(6) 2«,-H — -^=o;

on voit qu'clle sera unc fonction dcs deux constantes a, ct a,. Nous allons former maintenant les equations (c); remarquons que Ton a

da

r / 2k* a\ . r dr ^ / 7.k* a.\ dr, - I l/2«,H ^dr= I — ; — --—t/2txt-+- 1-3-^;

le second membre de cctte equation se reduit a sa premiere partie, parce que le coefficient de ^ s'annule d'apres (6) ; on trouvera de meme

J y/.«. + -- - ,-i dr - - «, / _=^

doL:

et les formules {c) deviendront

,nr dr

(d) (3,--=-f4-

Jf / 2** «*'

(e) P.-i-.- " '^

«, / -^ -^y

•/« V COS* 5

(/) (3a -

J/>* ds p'' dr

f — — :^^- — aj I . ■ - - - — ^ •

Ces equations feront connaitre les trois coordonnees polaires r<, v^ et y, en fonction de / et des six constantes arbitraires ai, a,, a,, p,, ^a* Ps- H 6st inutile de developper les calculs qui nous feraient retomber sur les formules trouvees dans le Chapitre precedent; nous nous bornerons a donner la signification geo- metrique de chacune de nos six constantes.

La formule (d) montre que r ne pent prendre que des valeurs rendant positif le premier membre de Tequation (6); le maximum r^ et le minimum r, de r seront les deux racines de cette equation, que Ton pent ecrire

2 «! r* 4- 2 A:* r — « J = o ;

126 CHAPITRE VII.

on en conclut

Or on a

il en resulte

a, 2 a,

r^ — a{i — e), r,=ia(i4-e);

f^% _

a, = ) as = A^ v^a(i — e* ) =: k^p

D apres la meme formule (rf), quand la planete passe k son perihelie, on a

'•==''1, (3, = — ^; si (lone T (lesigne le temps du passage au perihelie, il viendra

La formule (e) montre ensuite que s doit varier entre des limites telles que la

a'

quantite aj -,- soil positive; or, 9 designant rinclinaisonderorbite, on sait

que s est compris entre — (p et h- <p ; on aura done

a! !r- ~o,

' cos' 9 '

d'oil

aj = aj COS9 T=L k\fp COS9.

La forpiule (e) donne ^^ = (^^, pour 5=0; la planete passe alors par un de ses noeuds. Soit 6 la longitude du noeud ascendant; on pourra prendre

Avant d'arriver a la signification geometrique de la constante ^3, introduisons au lieu de s une variable auxiliaire y], definie par la formule

sin5 = sin(psiny);

si nous nous reportons a lay?^. i4 et a la formule {e) du n® 32, nous verrons que Y) represente Tare NM = ^ — 6; c'est ce qu'on appelle V argument de la lati- tude; cela pose, on trouve

/•* ds r^ cossds _ /'^ sin 9 COSY) ^Y) _

/ . / > Q^r~ ^0 V^cos*5 — cos»9 j^ v^sin*9C0S*Yj

MtTIIODE DE J.VCOBI. 1 27

la formule (/) peut done s'ecrire

dr

2/:* a;

au perihelie, r=r r, ; done ^3 est egal a la valeurcorrespondante de y], c'est-a-dire a Targument de la latitude du perihelie; c'est {fig. i4) la distanee angulaire Nil = trr — 6 du noeud ascendant au perihelie.

Voici done finalement le systeme eanonique d'elements auquel nous sommes amenes :

Si Ton 6gale les deux expressions /i(^ — t) et nt-^t — xs de Tanomalie moyenne, on voit que Ton peut ecrire aussi

a t—XS B—XS I

128 CHAPITRE YIII.

CHAPITRE VIII.

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLtlME DES TROIS CORPS,

Lagrange (') a ecrit sur cc sujet un de ses plus beaux Memoires dont nous croyons devoir rcproduirc Ics points principaux; nous avons surtout en vue de donncr une idee de la difficulte de la question; d'allleurs, certaines recherches recentes relatives a une solution approchee du probleme des trois corps, et qui rentrent directeinent dans le cadre de cet Ouvrage, se rattachent d'assez pres au Memoire de Lagrange.

Fig. iG.

.. ;

c

/ r

.y

ji -

c r* c'

42. Soient {fig. i6) ^

C, C, C" les positions des trois corps a I'epoquc /;

r= CC r^^ C"C, r"= CC leurs distances mutuelles;

/n, /w', wl' les produits de leurs masses par la constante f de Tattraction.

Soient encore

X, J, z les coordonnees de C" par rapport a C pris pour origine; a/, y , z' » C » C"

x\y\z" » c; » c

ces coordonnees etant comptees parallelement a trois axes fixes rectangulaires.

))

))

(*) Lagrange, OEuvrex, l. VI.

RECUERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLLME DES TROIS CORPS. 1 29

Si Ton forme les equations differentielles des mouvements absolus des points C, C et C", et qu'on retranche deux a deux celles qui correspondent a un meme axe, on trouve

(0

	H- (m4-/rt'4-m") ^
\ dt^	-^{m-^m! -\-m!') ^

W +('« + '«'

— ni

— ni

— in

; d}x'

de

+ (,n4-m'-h/w'')^

— m'

(2)

dt^ d'^z'

dt^

d}x'

{m -\- m'

{m -\- ni'

(3)

X'

— m'

m'

-+-m'4-m'')-j^ — m

d'z"

dt"

{ni

m'

m'

fJfZ

m") ^-

— m"

— m

X 1-3

5!

,.'3

^ ■«# *» \

,.8 "^ ^'3 ^^ ^"3 J

r*

773

z"

o;

"pi "^ 7^3 "^ 7^/

,./3

^/

-z -\- -r.

O,

o.

On a d'ailleurs

(4)

(5)

r' r= 07* -h J* -h 5*,

/•'« = ^'»

7

/J

J? -h ^'-+-^''=:0, J 4- j' -+-/*= O.

2 -T~ 4* ~r~ Z — 0»

Quand on aura determine les valeurs de a/, y, z'; »r'',y, 5", on connaitra les mouvements relatifs de C et C par rapport a C, ce que Ton cherche en Astro- nomie, s'il s'agit, par exemple, de determiner les mouvements de deux planetes C et C" autour du Soleil C ; on n'a introduit ^r, y, z que pour avoir des formules s^ymetriques.

Soient a, i, c trois constantes arbitraires; les integrales des aires seront

m" \

(6)

\ f dz dy\ \ f , dz'

my dt "^ TtJ'^T^'Y W "^ Tt )

I ( dx dz\ I / , dx' , dz'\ 1 (

1 ( dy dx\ I ( ,dY' , dx'\ i (

m\^Tt~^'dt)'^m'y''di'~y 'di)'^li?\

dt

dx' dt

dy'

z'^-y^\

dt)

=^ a.

— X'

dz^ dt

X" -^.

dt

„ dx' •^ dt

)=

c.

On le verifie en diflerentiant, remplagant les derivees secondcs par leurs valeurs

tirees de (i), (2), (3), et ayant egard a (5).

T. - I. 17

l3o CHAPITRE VIII.

Posons ensuite

, , , clx^ dy-" dz'- „ dx'^ dy'^ dz'* „, dx'*- dy"* dz'^

et designons par h une constante arbitraire; Tintegrale des forces vives sera

^ m m' nv ^ ' \mr m' r nv r )

on le verifie de la meme maniere que pour los integrales des aires.

Si Ton tient compte des relations (5), onvoitquela solution du probleme depend de six inconnues qui doivent etre determinees en partant d'un systeme de six equations differentielles simultanees du second ordre; on connait les quatre integrales (G) et (8); il en resterait huit a trouver.

43. Lagrange decompose le probleme en deux autres : il cherche d'abord a determiner en fonction du temps les cotes du triangle forme par les trois corps; en supposant cette question resolue, il lui reste a fixer la position du plan du triangle, et Torientation du triangle dans ce plan. II introduit les notations sui- vantes :

II. It

— - ^#"

v9^ ,.'3 ,>3 V' ^>3 ' ,.3 ^' ,.3 ,.>3 " ~^

d'oii ces identites Soil encore pose

(ii) — p — x' x" -hy'y" -+- z' z\ — // — x" x -\-y''y -h z''z, —p" — xx' -\- yy' -h zz';

on en conclut, en tenant compte de (5),

(12) p'-^rp'—i^ p"^p-r'\ p^p'—r"^y

(i3) p~ , //= , f— .

Si Ton differentie deux fois I'expression (4) de H, on trouve, a cause de (7),

1 c?*/* d'^x d^y d^z

d'oii, en rempla^ant dans le second membre les derivees secondes par leurs

RECHERCHES l)E lAGRANT.E SUR LE PROBLIME DES TROIS CORPS. l3l

valeurs (i), ot tenant compte de ( 1 1) et (12),

I d*r^ m -\- m'-h m"

-J //2 :- . f)i

2 dt r

d'apres (9), les coefficients de mp' et de mp" dans le second membre sont egaux respectivement a — nuf et -{-mq". On aura done ainsi

I- . m {p' tj' -pq)--u^—o,

/ / N ] I u- r - //« -I- //#. -t- /// ' • / » /» . f«

(•4) < - ^777- -^ -7 ^'»{F'/ -/' 7)-"' = ".

	/•
ni	-h ////	-hm'
m -h /w'	-t- ///"

-f- m" {p 7 — // / ) — u"^ - <).

2 ^^* /

Ces equations font connaitre les valours de //-, m'-, m''^, en fonction de r, /^,r", et des derivees premieres et secondes de cesquantites par rapport au temps. On en conclut

m ni' fji" ~ ini dt^ 'xni' dt^ 'xm" dt^

^ '\mr m' r' m" r I

ou bien, en ayant egard a (8),

3 dt^\m m' m\) ^ \mr m t m" r^ J

Cetle formule coincide avec la formule (10) du n** 15 lorsque, dans cette der- niere, le nombre des corps se reduit a trois : c'est I'une des equations fonda- mentales du Mcmoire de Lagrange.

44. On pent poser, en designant par p une indeterminee,

dx^ . dv"

In

X' -r- -\-

-^ dt dt ) \ dt '■ dt dt I '

- vr '■'■ 9 '

/ d.r' dv' ffz'\ ( , d.r ,dr , dz\

r 'TT ^y ;it-^= di) (" w -•'■ di -^= Tt)=^'

car, en relranchant la seconde de ces equations de la premiere, on trouve

,, dv" , ,^ dv" , , dz"

dt -^ dt dt '

I'iT.

CHAPITRE V1I1

ou bien, a cause de (5),

djc

— X'

dt

„ dy' , dz

f ITT '* T.

dt

dt

X

dx\ dt

dyH

dt

^n

dz^ dt

=:0,

ce qui est une identite.

On tire du reste des relations (i i) la formule

dx" , dy

fit

-h V

-/

dz"

dt

dt

dt ^' dt

^n

dz

„i

"^^ lh-~

dp Tt

qui,combinee avee la premiere equation (T5)parvoie d*addition etde soustrac- tion, donne les deux preniieres des formules suivantes :

(16)

X'

X'

X'

X

^ dt

■^J

dt

dx^ dt

dx^ dt

dt -^ dt

dx" dy

dt "^-^ dt

dx' dy

dt '^y dt

,dz' I dt 2

^ dt 2 ^fdz

^ di

dz"

X

,dx ^ ,dy

dt

y

dt

-/

dt

dz^ dt

dz dt

I I

2

I

2

I 2

dp

dt

±^9

dt

-± -9

_ ^ dt

_dp^__ dt ^

_dp^ dt

dp"

Remarquons maintenant que les coordonnees des points C et C" rapportes au point C ont pour valeurs respectives x**^ j", z" et — x\ — y, —z'; par un point fixe 0 {fig. 17), menons les droites OM', ON', OM", ON* ayant pour cosi- nus directeurs

pour CM',

('7)

x'		y'		^1
I dx'		I dy		I dz'
u' dt '		u dt '		u' dt
x"		1 y"		-^7"
I dx" u' dt '	-t-	I dy" u" dt '	-h	I dz" u" dt

pour ON',

pour OM'',

pour ON'';

nous designons par M', N\ W, W les points oil les quatre droites percent la sphere de rayon i, ayant pour centre le point 0, et nous joignons ces points deux a deux par des arcs de grands cercles. On voit que la droite OM' est paral-

RECnERCIIES DE LAGRAN(,E SIR LE PROBLlllME DES TROIS CORPS. 1 33

lele a CC\ tandis que OM" Tost a CC ; si done on prend 00" = CC", 00' = CC, le triangle 000" sera egal au triangle forme par les trois corps, et les cotes des

Fig. 17.

V

0'\— ^ 0'

I ~- • . - k

deux triangles seront paralleles deux a deux. Les droitesON' et ON" sont res- pectivement paralleles aux vitesses des corps C" et C dans leurs mouveinents relatifs autour de C. Le point 0 est fixe; le lieu du point 0" est une certainc courbe. Considerons le plan qui passe par la tangente a cette courbe au point 0" et par le rayon 00": c'est ce que' Ton nomme le plan de Vorbite du point 0* a Tepoque /; on voit que ce plan coincide avec celui du grand cercleM'N'. On pourra done dire que, si Ton considere les orbites relati\'es des corps C et C*' par rapport au point C, les plans de ces orbites relatwes, a I'epoque /, seront respec- tivement paralleles aux plans des grands cercles M"N" et M'N'. Cela pose, si Ton se reporte aux expressions (17), on trouve

cos

M'N' = - ;-, L'^4^y'% + -^ --r 1 ^', cosM'N' = 1 ^,

M V \ ril " dt dl ) u' dt u" dt

r ti" \ dt ' dt dt J ru \ dt " dt dt J

ou bien, en vertu des relations (16),

cos

^■^■=Mt'-')' -'"•■^' = ^' (t - ')

On a ensuite

' ^.t* l_ -r' -" \ _- P .

vos^l'W ^^ yrp{^'^^' -^yy ^ -' ^')^ -py.\

enfin

cos

xvN._ _'_(^ ^V^' <>:!^^ ^\

^ ^ "" u'tr\dt dt dt dt '^ dt dt)

Mais on trouve, a cause de (5),

//'*-+- w'*— //* =

_dx'^ dy'^ dz2 df^ clf^^ dz^ IdF '^ ~JF '^ dt^ '^ dt^ "^ dt^ "^ dt^

/dx[ dx'V

' \dt dt

) \dt ^ dt J \dt^ dt )

I 34 CHAPITRE Vin.

et il en resulte

cosN'N'' =

u'^^u'^—u'-

2 U' U"

Pour resumer ce qui precede, nous poserons

a' — cosM'M% (3' :=. cosM'N% y' — cosM'N', «"= cosN'N% p-'ziz cosM^N', y'^co^W^';

=1 r, — v\ — r",

2 CI a

(i8)

crou

nous aurons les formules suivantes :

a — . — - y a —

\/(p+p')(p+p') dp dt p

dp dp' dt dt

(•9) P'=../._ .., » |3' =

v/(«'+ f') (t' + f")

2 V^(/> -+-/>') (^ -Hi'') dp dp dt ^ dt

45. Reportons-nous a lay?g-. 17; nous voyons que a', P', y, a", P", y" sontles cosinus des quatre cotes et des deux diagonales d'un quadrilatere spherique M'M"N'N". Or ce quadrilatere est determine quand on donne les quatre cotes et seulement une diagonale M'N'\ car on pent construire alors les deux triangles splieriques M'N'N", M'M"N"; il existe done une relation entre les six quantites a', P', y', a", P", y"; cette relation, qui sera demontree plus loin, est la sui- vante :

(^^^ I -f-a"a''*-+-(3'«(3''»4-y'«y''«— Qa'a^P'P'^— 2(3'i3'//— ay'y'a'a^rzio.

Si Ton y porte les expressions (19) de nos six cosinus et que Ton pose, pour abreger,

KECnEllCIIES DK LAGUANGE SUR LE PROBLI^ME DES TROIS CORPS.

i35

on trouvera, apres un calcul assez long que i'on dirigera de maniere a ordon- ncr par rapport a r, i^', r" ot aux produits do ces quantites deux a deux.

{v'v'-h v"v + (•!•') ip'p"-^.- p'p -+-/?/>') — (ri -+- v'l' -\~ v'l")

(B)

i()V ril dt ^ dt dt ^ dt dt ) ~ '

les expressions (21) de 2, 2' et S" contionnent p au premier et au second degre; done Tequation (B) est uno equation du quatrieme degre en p, dans laquelle p' ne figure pas.

Lesquantites/>,//,/?"sontdonneesen fonction de r, r'jr" par lesformuIes(i3); r, v\ V peuvent etre exprimes a Taide de i\ r\ r" et de leurs derivees premieres et secondes au moycn des formules(T 'i) et (1 8) entre lesquclles on devra eliminer a'-, u'^ et u'"^. Done on connaitra finalement I'ineonnue auxiliaire p en fonction

, , ., dr dr' dr" d^r d'- r' , d'- r'

de r.r^.r, -^-, ^, -^y, ^, -j^, et ^^. Remarque, — La premiere des fbrmules (21) pent s'ecrire

/,,«i^|^p(//-,-^'') , p

dt ^ dt

T- (p p' -I- [y p -\- pp' ) ( -TT -+-

dt dt

mais on trouve, en remplaganl/;,//, //' par leurs expressions (1 3),

(22) p'p'-^p^p^-pp' — ^{r -\-r'-^ ''")(/' -^ r' ^r'jir- r'-hr")(— r -t- /•'^- /•"):_ rr-.

cr designant le double de la surface du triangle forme par les trois corps; il vient done

(23)

,..=[K.'.y).,'f-.-f]'...(f.fy,

cela prouve que les quantites S, 1/ et 2" sont essentiellement positives.

46. Diflerentions la premiere des formules (i5 ) par rapport au temps, et reoiplagons les derivees secondes de vt',y, z\ x\ /', 3" par leurs valeurs tirees de (2) et (3) ; nous trouverons

-- hi'

.r.// _^- y/' ^ zz" x'x"-^ v' y" -r- z'z"

,.3 "'- ,.M

.r''*-4--''*

■{- m

, /arx-'-h vv'h- zz'

(

,.j

./ >."

_i_ _ • -

)•

1 36 CHAPITRE VIII.

ou bien, en ayant egard a la definition des quantites/^et q^

= — (m 4- m'-+- m'')pq -4- w' {— p' q' -^ pq) 4- rn" {— p" q" -\- pq) y

d'oii

(C) -^ -i-mpq -h m'p' q' -h m^p" q" =:o,

Cette equation, qui joue aussi un role important dans la theorie de Lagrange, donne ^ en fonction de r, r^ et r^\

Nous allons chercher maintenant a deduire des integrales (6) des aires une combinaison qui ne contiennQ que les distances mutuelles et leurs derivees; elevons ces equations au carre, ajoutons-les, et posons

(24) k^ = a^-^b*-hc^]

nous trouverons

n n' n'' 2^ 2^' 2W

' m' m'* m"* m' m" mr m mm

oil nous avons fait, pour abreger,

^ [ dz ciyY [ dx dzY ( dy dxy

^=[yTt--'iO'^Vdr'-''di)-^[''di-^d-t)'

4-

\ dt -^ dt J \ dt -^ dt )^

les valours de 11', 11", W et ^" s'en deduisent par des permutations d'accents. Les expressions de 11 et "^T sont susceptibles de la transformation suivante

i¥ / * < .x /^^' dy'^ dz^\ ( dx dy dz\

V J J f \dt dt dl dt dt dt J

[ .dx" , dy" , dz'X / ,dx' , dy' „ dz'\

2 9

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PRODL^ME DES TROIS CORPS. 1 37

en ayantegard aux formules (4), (7), (1 1) et (16), et aussi a la relation

dx' dx' , dy' df dz'_ dz^ _ a^ -^ --^u^^ _ _ ^

dt dt dt dt dt dt ' 2

deja rencontrec, on peut ecrire encore aiitrement les expressions ci-dessus de n et de W.

On trouve finalement

<r//* ,j, 1,1 dp^

II z= u^ /■* — /•* —- , q' rizyy r -h 7 p^

dr'^ I I do'*

(U7) j n' =«"/•'«- /'^ ^,-^ , ii':3=/,'.'+Ip'.-^-g^,

dr"^ I I dp"^

Avec ces valeurs, la formule (25) deviont

— ; I u-r^— /•» -TV ) -+ n ( li^r'- - /'* ^^ ) H ^ ( u'-r"^— /•** -y^ )

H T-IJ— P = ^ ■

'imm m '

Le premier membre de celte equation peut etre exprinie a Taide de/\ r\ f et de leurs derivees premieres et secondes; il en est de meme des expressions (27) de n, . . . , T'.

47. Nous allons resumer Tetal de la question :

Les quatre equations a relenir sont (A), (B), (C) et (D); il est entendu une fois pour toutes que les quantites /?, //, p\ u\ u'^, u"^, \\ i^, v\ Z, 2', 2' sont exprimees en fonction de r, ^, /" et de leurs derivees des deux premiers ordres aTaide desformules (i3), (i4)f (18) et(2i ); apres quoi Tequation (B) donne p exprime en fonction des memes quantites.

Le probleme est ramenc a I'integration des trois equations diiTerentielles simultanees (A), (C) et (D), ou les inconnues sont r, j\ r"; les equations (A) et (D) sont du second ordre ; elles contiennent les deux constantes h et k\ (C) est une equation du troisieme ordre.

Ainsi, les distances mutuelles des irois corps dependent d'un systeme de trois equa- tions differentielles simultanees; deux de ces equations sont du second ordre ^ et la derniere est du troisieme ordre.

L'integration de ce systeme amenerait sept constantes arbitraires; en y joi- T. — I. 18

l38 CIUPITRE VIII.

gnant les deux, h ot k^ qui figurent d(\ja dans les equations differentielles, on voit que les expressions les plus generales de r, r', r", en fonction du temps, eontiendront n^({/*constantes arbitraires. En supposant cette integration faite, on aura a introduire deux Elements pour Oxer la position du plan des trois corps, et enfm un dernier indiquant Torientation du triangle dans son plan. On aura bion ainsi introduit les douze constantes arbitraires dont doivent dependre les mouvements relatifs dedeux des corps autour du troisieme. Pour cette der- niero partie de la solution, on se servira, bien entendu, de deux des trois inte- grales (6) d6ja connues, dont on a utilise une seule combinaison representee par la forinule (D).

Remarque. — L'^quation (B), qui est du quatriemedegreen p, manque, comme nous I'avons dit, du terine en p'; si done, dans les termes en p^ et p*, on rem- place p' par sa valeur tiree de (D), cette equation (B) donnerappar une formule du premier degre. Cette remarque a ete faite par M. R. Radau dans un Memoire public dans le tome III du Bulletin astronomique^ p. ii3; ce Memoire contient d*autres r^sultats int^ressants. Les formules principales de Lagrange y sont ob- tenues d'une manierc tres directe; nous v renverronsle lecteur.

48. Pour arriver plus rapidement au but, nous avons laisse de cote des for- mules qui, sans etre indispensables, peuvent etre cependant utiles; nous allons les demon trer ici.

On a, en partant de la definition (7) de 1/,

I ////* (i.r fi^.v dy d}y dz d^z

'^Ih ^'ll IF '^ di TiF '^ fit HF'

en remplacant les derivees secondes par leurs valeurs tirees de (i), et avant egard au\ formules ('1), (12) et (iG), on trouve aisement

d-

dt ^ ' dt \^i^\dt dt ) r'^\ dt ' / /'^ \ dt vJ '

d'oii la premiere des (ormules ci-dessous.

— .- — \ i m -h m' -f- //* ) —J h m

iit (it

i .dp' ,dp' \

d ~ ( i8) { </w'» , . r' , I dp .dp" \

<'"'* , ^ ' • '*^ -i 'ip ftp

2 dt^ r

RECHERCIIES DE LAGRANGE SUR LE PROBLEME DES TROIS CORPS. I Sq

multiplions ces equations par rf/, integrons, etportons les valeurs de w^, a'-, u"'^, qui en resultent, dans les formules (i4); il viendra

ce sont les formules que nous voulions obtenir; si on les differentic, on fera disparaitre les signes /; les equations differcntielles ainsi obtenues, bien qu'e- tant d'un ordre plus eleve, ont ete tres utiles a M. Lindstedt dans son important Memoire Sur la determination des distances mutuelles dans le probleme des trois corps (^Annates de VEcole Normale, 3* serie, 1. 1, p. 85).

49. Supposons que Ton ait resolu le probleme restreint, c'est-a-dire que Ton ait determine r, r\ r" en fonction de / et de sept constantcs arbitraires distinctes de A et >t; nous allons montrer comment on pourra calculer a',y, z\ x'\y\ z".

Commengons par donner une interpretation mecanique simple et bien con- nue des formules (G) :

Considerons trois points materiels P, P', P" ayant respectivement pour coor- donnees, rapportees a une meme origine 0, a, v, z\ x\y\ z ; x\ y\ z"\ appli- quons a ces points des forces F, F', F" dont les coniposantes paralleles aux axes soient

I	dx	I dv	r dz
in	dt'	m dt	m dt
1	dx'	I dv'	1 dz'
m'	dt'	ni' dt '	m' dt
I	dx"	I dy"	I dz"

¥' -—

' Tn'llt' 7i? dfr' m" dt '

par le point O, mcnons trois forces S, S', S" respectivement egales et paralleles, mais de sens contraires, a F, F', F". Les forces F et S forment un couple; il en est de meme de F' et S' et de F' et S". Ces trois couples se composent en un seul dont Taxe est une certaine droite OH et le moment G. Les equations (6) pourront s'ecrire

Gcos(lIOx) — ^, Gcos(IIOj) = ^ Gcos(HOc) — c; d'oii Ton conclut, en se rappelant qu'on a pose a^ -h />* 4- c^ = k^ :

C08(H0^) — ^.> C0S(1I0/) i:^ ^y C0S(H05) — ^-

1 4^ CHAPITRE VIII.

On voit done que la droite OH reste invariable pendant toute la duree du mouve- ment; si nous la prenons pour axe des s, nous devrons avoir

done

cos(OHj:) =:o, cos(OHj) = 0, C0S(0H5) z=z I ;

rt z=: O,

bz=.Oy c =1 kf

et les formules (6) deviendront

(3o)

I m

I m

m \ dt

dlj^m'ydt " dt ) m" Y dt

~-^Tl)'^ m'V dt ""dl ) '^ m' ['

dy dx\ I / ,dv' ,d.r'\ i /

dt ~ ^ dl ) '^ ni' [fdt ~ ^ W ) '^ m' y"

dz ^di

dx di

dj^ dt

dx" dt

= o,

dt

-f

dzr_

dt

dx" dt

) )

k.

dz' dy' dx' dz'

Multiplions ees equations respeetivement par y' -jr -^ ^ dt^ ^ ~dt ^ ^' 'di^ j?'-^ — y -TT et ajoutons. En ayant egard aux formules (26), nous trouverons

(3i)

\jr'

ni

IT

^' ^J.^.dy

m

=^{''%-f'4)--

dz" dv"

nous aurons de meme, en employant maintenant les faeteursy'-^ ""^ "S"' "*'

(32)

ni

m'

W

m'

I i ,dy „ dx"

k x' -5 y — 77-

^ dt -^ dt

)

Ajoutons maintenant les equations (3o) apres les avoir multipliees d*abord par ^',y, z\ puis par x\ y\ z"\ nous obtiendrons ainsi des expressions de kz'

et de ^:;" dans lesquelles les coeffieients de ~> — 7> —5 seront representes par

des determinants qui se deduiront aisement, en ayant egard aux relations (5), des suivants :

(33)

a=3

(34)

, dx X' X —r- dt		x'	, dx' ^ dt
y y It	0--	y"	y. dy ^ dt
dt		At	^ dt
, en effet,
	kz' —	6 d" m m'
		z" —	a ^' 1 — m m

$"=1

X X

y y

z z'

dx" dt

dy

dt

dz^ dt

Nous allons montrer comment on calculera les quantites S, S', S".

RECHEaCHES I)E LAGRANGE SCR LE PROBLLME DES TROIS CORPS.

50. L'exprcssion (33) de o pout s'ecrire, a cause des formules (5),

i4i

6=2

x'	x'	dx dt
y'	y'	dy dt
		dz dt

en coinbinant cette expression avec celle de c\ on trouve

5-4-3' =

X X

, d{x-hx') dt

-^ ^ dt

^H

_, d(z+z')

" di

x' x'

y' y'

-» ^1

dx

It

dv'

dt

dz^

dt

9 >

on veriiie aisement, toujours en s'appuyant sur les relations (5), que le dernier determinant ccrit est egal a o". On a done cette formule importante

(35)

aH-d'4-6''--rzo.

On pent d*ailleurs trouver directement les valeurs de S, S', S", en elevant au carre les determinants (33) par la regie connue et ayant egard a des relations obtenues anterieurement; il vient ainsi

	/•'*	-/>'	-\{^^-%\
d«=	-p'	/•«	dr 'dt
	-KM-f)	dr 'dt	ii"

Developpons ce determinant et rappelons-nous la formule (22); nous trouve- rons sans peine

dt^ dt '^ dt 4 ^^ ^ X dt 2 dt J 4 *^

En remplagant r^^^ par sa valeur

i

ti ,x ( n^P' .dp'X idp'^ ^dp'^ /dp' dp'Y

l42 CHAPITRE VIII.

tiree de la premiere des equations (21), on trouve, apres reduction, la premiere des formules suivantes :

(36) 6 = v/(j«w»-2, (5'=v/(j*w'« — 2', ^' — ^a^u'"^-^V.

On aura done ainsi S, l\ I" en fonction des quantites connues ; mais il faut associer convenablement les signes des trois radicaux du second degre, ce qui pent se faire de la maniere suivante : la formule (35) donne

200 — 0' — 0 — 0',

d'oii, en rempla^ant dans le second menibre 0^, 0'*, 0"'^ par leurs valeurs (36),

de m^me, (3?)

Les seconds membres de ces equations sont connus en grandeur et en signe ; si done on se donne le signe de 8, on en deduira les signes de 8' et de 8"; si Ton venait a changer le signe de §, ceux de S' et S" changeraient aussi, et les for- mules (34) montrent que cela reviendrait a changer le signe de la quantite k dont le carre seul figurait dans (D).

En combinant les formules (35) et (36), on trouve

(38) y/d* £/« — 2 -+- s/a^ u'* —I'-h y/a* u'^-^l' =0;

on verifie aisement qu'en chassant les radicaux on retombe sur Tequation (B) dont on a ainsi une forme interessante.

51. Les formules (34) et (36) donnent

./

v/a* u'* — 1" v^a«««— 2

m" k mk

(E)

„_ y/g' u'^ — 1' _ y/g' g* — 2 m' k mk

Reste a trouver les valeurs de ocf, /, x'\ y'\ posons

m m' m" m m nv

RECHERCHES DE LAGRANGE SIR LE PRORL^ME DES TROIS CORPS. l43

les quantites V et V" pourront etre consideroes comme connues; cela pose, les formules (3i) ct (32) pourront s'ecrire

dy _ dx' df __ djo^

dt ^ dt \' dt ^ dt y

X

'«^y» — A-(^'»__^'*)' x"^-\-f^ /cir'^-^z'*)

Si done on fait

I — J?' zn \/r'* — z'* cos 9' , — y = v//*'* — s'* sin 9' ,

on aura

d'ou, en integrant et designant par £© et s, deux constantes arbitraires,

I r' v

(G)

I /" V

les formules (F) et (G) feront connaitre ixf,y\ x\y" *

Les valeurs de ^,y» ^'» '^'y'' 5" qui viennent d'etre determinees doivent ve- rifier la relation

(4o) X* x" -^y y" -\- z'z''=: — p;

si Ton applique cette relation a I'epoque zero, on trouve

ce qui donnera la constante £|, exprimee en fonction des neuf constantes arbi- traires qui figurent dans les expressions de r, ^, r"; s, n'est done pas une nou- velle arbitraire; il n*en est pas de meme de £0 qui reste quelconque; mais les formules (G) montrent que Ton pent supposer eette constante nulle en faisant tourner d'un angle convenable les axes des x et desj^ dans leur plan.

Enfin, si Ton prend un nouveau systeme d*axes rectangulaires tout a fait quelconques, on passera des coordonnees relatives x'\y\ z'\ — acf, — y^ — z' des corps C etC" aux coordonnees rapportees aux nouveaux axes, en introdui- sant les trois angles d'Euler qui doivent etre consideres comme trois nouvelles

1 44 CHAPITRE VIII.

constantes arbitraires qui, s'ajoutant auxneuf du probleme restreint,donneront le nombre voulu de douze arbitraires.

Si I'on porle dans la formule (4o) les valeurs (F) de x\y, x" etj", on obtiendra immediatement, et sans integration, la valeur de 9' — 9'; on aura en- suite

on voit done que, si le probleme restreint est suppose resolu, on n'aura plus a eflfectuer qu'une quadrature. Nous avons dit qu'il reste sept integrates a trouver dans le probleme restreint; e'est done a sept integrates et une quadrature, au lieu de huit integrates comme dans la methode usuelle, que Lagrange ramene la question; on pent dire qu*il a fart faire un pas vers la solution.

52. II nous resteademontrer la formule (20); nous ferons connaitre en memo temps la maniere de calculer a une epoque quelconque les positions des plans des orbites decrites par les corps C" et C autour de C.

Revenons a lay?^. 17, et posons

LM'=C', LM'=:r, M'N'=^^', M'N'=r^, M'LM^'^J.

Si nous appliquons la formule fondamentale de la Trigonometrie spherique aux triangles M'LM", N'LM", . . . , nous trouverons

ol' =icosM'M^r=cosC'cosC''4- sinC'sinCcosJ,

P' = cosM'N'' = cosC'cos(?''-h ^) -h sinrsin(r-H ^'')cosJ, y' — cosM'N' =: cos^';

a''r=cosN']N''=:cos(C'-h^')cos(r-h^')-l-sin(C'-h^')sin(r-h^')cosJ, P' — cosM^'N' = cos(C'-h ^') cosT -+- sin(C'-i- ^') sin?'' cos J, Y = cosM^N" = cos^.

En eliminant entre ces six relations les cinq quantites J^', C', ^ ^ g' et J, on

aura la formule cherchee.

Nous poserons

cosC'cosC'-h sinC'sinCcosJ = X,

,, ^ . sinC'cosC— cosrsinrcosJ:=X,,

(42) {

cosC'sinC— sinC'cosC'cosJ —X,,

sin V sin T 4- cos C' cos C" cos J — )., , ce qui nous permettra d'ecrire ainsi les formules (4i)

a' = X, P'^Xcos^'— Xjsin^, /=:cos^';

a'zz^'k cos/cos^— X, sin^'cos^— X, cos^'sin^'^-i- X, sin^' sin^' ;

{3'=:Xcos^' — X, sin^, y^—cosg".

(40

RECHERCHES DE LAGRANGE. SIR LE PROBLEME DES TROIS CORPS. l45

On peut resoudre par rapport a X, >.,, X,, X,, cosg' et cos^'^"; on trouve aise- ment

(43) i=a', x.=-'/iig', x.:.^;^:^', ■^--"-^'■/-^'f^-'y'f

s/i-y'^ \J\ — f^ v^(i-y'*)(» — y'*)

Or les formules (42) donnent

(i -f- cosJ) cos(r— O = X -^ X3,

. (n-cosJ)sin(r-C')=X2->.i,

(44) \

^ (l-C0Sj)C0S(r4-r)=X --X3,

(I — cosJ) sin (?"+ C') - X,-+- X,;

d'oii

(i + cosJ)« m (X -+- X3)* -h (X, - Xi)*,

(I — cos J)* —{I — IzY -+- (\ -+- ^i)S

1 4- cos* J — X' -+- X* -h xj 4- x;,

(45) cos J = XX3 — X|X,.

et, en eliminant cosJ entre les deux dernieres equations,

(46) i4-(XX3-x,x,)' = x*-hX?4-x;4-xj.

Mais on tire des formules (43) (47) XX3-X,X,= — ££^£IL=,

M ., ., ^ , _ g^^-h P^«-l- a"^-\- p"'— 2 y^(a^(3^4- a"(30 — ly" (a^P^4- g^jS^-i- 2 yYiodoL"^ (3^ (3^ )

A 4- Aj 4- Aj -+- A3 — (,__y'l)(i_y'^i) >

si Ton porte ces expressions dans la formule (46)» on tombe, apres reduction, sur la relation (20) cherchee.

53. Les formules (45) et (47) donnent d'ailleurs

cosJ= -=====;

d'oii, en ayant egard aux valeurs de a', p', y'. «"> P''> Y' obtenues au n® 44,

cos J

--KS-^')

■■'V(«--^)("--^)

T. - I.

'9

l4^ CUAPITRE Vllh

*

ou encore, a cause des forniulos (27),

(H)

COS J

W

v/mr

On tire ensuite des equations (42)

d'oii

ct de memo

/*4-Xj =: cos'C'-hsin'C'cosM = i -— sin* C' sin' J ;

sinMsin^C' — i-X«— ).*,

sin*Jsin*C'':=:i — ^* — >?.

En rcmpla^^antX, X^ etX^ par leurs valeurs (43), il vient

(48)

sinJ sinC'

sinJsinC''^

v/.-	at't j3'« /«-H2«'(3'7'
v/i-/»
v/.-	«'« [3"« y'«-i-a«'P'/

v/i-/=

Si Ton elevc au carre I'expression (33) de 8\ et qu'on introduise les elements de lay?g^. 17, on trouve

,."5

/•'/•" COS M'M" - u'r' cosM'N'

3'*=: -/•'/•" COS M'M^

.'1

-m'/-^cosM'N' m'/'cosM'N'

£/'/•' cosM'N'

d'ou

^/i_,ji,.//i^/i

I — a' — P'

a' I y'

- (3

" y'

— /•'« r"^ w'« ( I — «'» — P'« — y'« 4- 2 a' (3" / )

OU encore, en tenant compte de (36),

I ^ ^^»- p^»- /«4- 2a- (3-/:^ ^X'a^^

La seconde des formules (48) donnera done

sinJsinC —

v/a» a'* — 1'

'■''■'u'sfi-y'* 'V'"'""-'"'^

RECHEUCHES DE LAGRANGE SUR LE PUOIILEME DES TROIS CORPS. l/|7

on trouvcainsi, en introduisant les quantitcs 11' ot 11",

(K)

\ sinJ sm? - =:^ — 7

I smJsin? - ;=

1 r\/n'

La formule (H) fait connaitre Tinclinaison mutuelle J des grands cercles M'N' et M"N" qui representent les plans des orhites de C" et C autour de C, et les formules (K) donnent les distances angulaires ^' = LM' et C'= LM" des corps C" et C a rintersection mutuelle de leurs orbites relatives.

En resume, la solution de la seconde partie du probleme est fournie par les formules(E), (F), (G), (H), (K).

54. Le probleme des trois corps pent etre resolu completement dans le cas particulier oil leurs distances mutuelles conservent des rapports constants pen- dant toute la duree du mouvement.

Soient A, A', A" trois constantes et $ une nouvelle variable, on aura

^=|.' 7 = ^' 7'=|S'

en posant, pour abreger.

(5o)

d'ou

(5.)

'iy.-^K'^'-r-X"^ AS		V	1 A'»	I A"'
< OLi>.' — k'^-^K} K'\		v' —	I A"'	I A"»'
[ ^.^''-^A'H-A'* A"*,		v''—	I A'	I A'*'
V -h v' -h v'		:0,
f^'-+-f^''-A% fx^+fx -	A	/J >	f^-*-	f^'

L'equation (C) donne

dt ^ I -"^^

1 46

CIIAPITRE Vlil.

ou encore, a cause des foriiiulos (27),

(H)

COS J '—

^V

V ir ir

On tire cnsuite des equations (42)

d'oii

ct de memo

A--1-XJ : : COS*?' -t- sin'?' COS* J — I -— sin'C'sinM ;

sinM sinks' = i — X*— aJ,

sin*J sin*r ~ i — 7* — >.J.

En rempla(;antX, X, et A^ par leiirs valeurs (43), il vient

( . - . w v/i-a'*-|3'«-.y''»-+-2a'(3'/

sinJ sinC —

(48)

s'l—r

sinJsinC = =-r- —— '—^

V/, - y"

Si Ton eleve au carre Texpression (33) de S', et qu'on introduise les elements de lay?^. 17, on trouve

5'*:^

r^S

/•'/•" COS M'M" - w'/'cosM^N'

/•'/•" cos M'M" //'/•' cos M'N'

Ji

//'/•' cosM'N

IfCt

//'/•' cos M'N

/v/

u

l\

d'oii

o'*z= /•'*/•'»//'«

I — a' — 3' :

^ I

a' I / ; =:/'*/**a'*(i — a'*— p'*— y'*-H2a'?*/)

ou encore, en tenant compte de (36),

(J* //* — i'

La seconde des formules (48) donnera done

sinJsmr:r.-V^ " -

V/i'*-r

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLEME DES TROIS CORPS.

on trouve ainsi, en inlroduisant les quantites 11' ct 11",

147

(K)

i sin J sinC ~ 7= — y

sinisinT"

v/<7»//'«— i'

^ /ir

'• V

La formule (H) fait connaitre rinclinaison mutuelle J des grands cercles M'N' et M"N" qui representent les plans des orbites de C" et C autour de C, et les formules (K) donnent les distances angulaires C =LiM' et ^"= LM" des corps C" et C a rintersection mutuelle de leurs orbites relatives.

En resume, la solution de la seconde partie du probleme est fournie par les formules (E), (F), (G), (H), (K).

54. Le probleme des trois corps pent etre resolu completement dans le cas particulier oil leurs distances mutuelles conservent des rapports constants pen- dant toute la duree du mouvement.

Soient A, A', A" trois constantes et ^ une nouvelle variable, on aura

(49)

r =--■ A^	/•' - A'^,	r'-A'^,
p i^V,	P' F'?'.	p'-lJ-'l',
V 7 l..		'/' - ?J '

en posant, pour abreger.

(5o)

d'ou

2fJL =:A'^-T-A''*- AS

si^'-A'^-i-A'-A'*,

o.fjL''-^A»H-A'»-A''S

I

A" I

'■^ A'^S

I

A»

A"' I

I

'3>

(5,)

v-f- v'-h m" —1 o,

^'-h^^z^AS fjL'^^^^A'*, fjL-f-^'— A'V

L'equation (C) donne

i48 d'ou

(52)

CHAPITRE VIII.

Podesignanl une conslantc arbilraire ct 1 ayant pour valeur

On trouve maintcnant quo la premiere ties equations (28) devient

^. {'■'

m 4- ni

AT - -}

am

/X'^V" — fJL'V di

V

(it

--?('^'^-'/f)=^^^

si Ton multiplie par dt cette equation et les deux autres analogues, qu'on les integre et qu'on designe par x,, x'^ et x'^ trois constantes arbitraires, on aura

/

ir rrz 2

m -h m'-h fn'

.

(53) ( ..„_

u

U"^^ 2

	H
m	4- m' -+■ m"
	A' 5
m 4- ni' 4- m'

2/n

fx'v'— ^V

5

— wi

2/n

£

— m

^fxv — fx'v'

. - , 4- 2 //i

dt 'Idt

(h

/??x,,

mx,.

^/

//? /"j .

Portons ces expressions de w^, w'^ et //"^ dans les formules (i4)» et nous trou- verons

1 (^ __ m[i 4-(fxS^— fxV)A]4-/y?'4- m

2 Tt*^ A^l

(54) ( I r/^^« w 4-m'fi4-(fxV— |jLv)A']4-m'' m

2 fl^^* 2 rf^^"

A'3^

m 4- m' 4- /w" [ I 4- (|JL V — |jl' v' ) A*] m'v

" "'' A« J I-

1

T

^/

mxi

= o

dt —

^n^

mV h^ZlljL

A'» J ?»

A'*

rnV

zzzo

^^--X^T^""'

Ces equations doivent etre identiques. On en conclut que Ton doit avoir les conditions

(55)

ni[i 4- (f^'v'-— |jl''v'')A] 4- /?j'4- m" _ m -h ni'[i -{-(ix^v" — /jlv) A'] 4- m"

A} ~ a7»

__ m 4- m'4-m'[i4-(fxv — ix'v') A"]

RECHERCnES DE LAGRAXGE SUR IX PROBLfeSIE DES TROIS CORPS.

'^19

et

(56)

(5:)

a moins que Ton n'ait

(58)

/?1V

m'v'

m^v"

A'* ~ A'^* '

/MX, m'x'j w/x'J

"A*" ~ "A^ ~" "F*"

Pq=o el l=:o;

dc la deux solutions suivant que Ton considerera Ic systeme (55), (56), (07), ou Tautrc (55), (57) et (58).

55. Occupons-nous d'abord du premier. Les formules (56) donnent

mv m'v'

A'=

V ■+- v' -4- v"

A« A'» X'^"^'

m m m

on a done

Vz^v'^V^rziO, A=:A'— A%

r •= r'= /-^ I

ainsi les trois corps forment toujours un triangle equilateral ; on peut faire A = i et prendre ^ — /^, et, si Ton pose

./.-'

»..'

/?? X, := m X , =: m X, =1 — X

1

1

1

les formules (54) se reduisenta

(59)

1 rf* /•* m -h m' -+- m" ~-_ =: : X

2 dt^

»'

Les equations (53) donnent ensuite

(60)

W* r=r u'' = «'* =2

m 4- m' 4- m'

X

..'

d'oii

i> Z=L %'' z=z v" Z=l

u

n

2

I est nul, et la formule (52) donne p = p^ = const. On trouve ensuite sans peine

t If '

P'p" -+- P V -+- /V^' = <x' =

3r'*

4 '

I DO CIIAPITRE VIH.

la formule (B) so reduit a (I 'oil

On tii'o d'ailleurs de (60) et (61)

(62)

d'oii

/•' dr' (63) dt= -

On a ensuito

(7*

quantite nulle d'apres (6i) et (62); on aura de memo

(7» //'» — i' = O, (7» //"* - 2" = o,

d'oii, par les formules (E),

C'=0, XJ^rrro;

ainsi les mouvements relatifs de C et C" s'effectuent dans un plan fixe. En continuant a appliquer les formules generales, on trouve

dr'- 1

n' — n" — 11'^ r'» — /•'* — - — - o*

*^ " ^ - ^ - 4 V ^" dt* )^ 3 P«'

V'r^

et il en resulte, d'apres (G),

(64) ,.'.^=,.'.^?:-'eJ(j.^.-L + _Ly

dt dt 6 k \m m' ml

Enfm Tequation (D) donne

imm'm'^ ^^ \m* m'^ nr* 2m' in" inv m imm!)\ dt^ I

RECHERCIIES 1)E LAGRANGE SUR LE PRORLtlME DES TROIS CORPS. l5l

ct Ton en tire aisement, en rempla<;ant r'^u- — r'^^^ p^^r 3P0'

If

)

moyennant quoi (64) donnc

(65) /'^^' = ^;

on u d'ailleurs

?"-9'+^.

et, si Ton pose

, ni -4- ni' -^ m" a =:

a'J(i_e/j)— £iL, /i'2a'3-m4-m'-f-/w%

3x

les formules (63) et (64) donnent

n'dt— -- ^_ _^_

-, dr' a

dt ^

II en resulte que C" decrit autour de C comme foyer, conformement a la loi des aires, une ellipse ayant id pour grand axe, n' comine moyen mouvement et e' comme excentricite. La trajectoire de C est une ellipse egale a la precedente, qui aurait tourne de

Tangle ^ autour de C.

II convient de remarquer que les vitesses initiales relatives ti^ et u^ dc C" et C

doivent ctre egales et faire entre elles un angle egal a 2'

56. Considerons maintenant la seconde solution qui sera fournie par les for- mules (55), (57) et (58); on tire de (52)

et

(66) m/jLv -H m' [x' v' -^ m" 11' }*" =: o;

ainsi Finconnue auxiliaire p, qui etait constante dans le premier cas, est nulle dans le second. La formule (66), dans laquelle on remplacera les quantites [x

132 CHAPITRE VIII.

et V par leurs valeurs (T)©), donnera une equation de condition qui devra etre remplie par les masses m, m', rn!' ct les constantes A, A', A". La premiere des equations (55) peut s'ecrire

/ I I \ a'v' —

ou bien", a cause de (5o) et (5i),

( m -h ni -h m'' ) V 4- m - — -, ^ h m' ^-^—z — *- — =z o

^ fji' 4- fx" l^ -^l^

OU, en reduisant.

, v'-h v" , v'^-h V

,»..//

ou encore

V V

On arrive aisement a mettre cette relation sous la forme

a cause de la formule (66), cela se reduit a

Si la quantite (^'(^"H- (^"(^-+- (^(^' n'est pas nulle, la formule precedente et celles qu'on en deduit par des permutations d'accents donneront

mv-hm'v' — m*v''=o, m'v'-f- m^v" — mv=:o, m" v" -\- mv — m'v' = o',

d'oii

V = v'lz: V^^z O;

on rentrerait ainsi dans le premier cas. On doit done avoir

si Ton remplace (jl, (jl', (jl" par leurs valeurs (5o), on trouve

(A 4- A'+ A'') (A -f- A'- A'') (A - A'-i- A'') (~ A -+- A'-i- A'') =: o.

On devra done avoir Tune des relations

A-bA'zbA'^^ro,

d'ou

ce qui prouve que les trois corps resteront constamment en ligne droite.

4 *"

REClTERrjIES 1>E LAGRANGE SVR LE PRORLft.ME DES TROIS CORPS.

1-53

La quantitc ex est done nulle; les formules (3()), dans lesquelles 2, S', S" no peuvent jamais etre negatifs, donnent

il en resulte

0 =; o'= o'=zo;

-/ » — ^.

ainsi les mouvements relatifs de (7 ct C" s'effectuent dans un plan fixe. Les trois equations (54) so reduisent a la suivanto

(67)

oil Ton a fait

(68)

m -f- m' -\- ni'' -\- m" {ix.^j — fx'v') A"

* - jir, y

//ex, //I X,

A*

A'-

It "

:=. — X.

Multiplions Tequation (67) par 2?-^» integrons ot dosignons par II, uno constante arbitraire; nous aurons

(69)

4 ^ — ar^ /, ~ 11,.

On trouvc ensuite aisoment

(70)

on a d'ailleurs

u^ _ u'^ _ u'^ _ 2 F

A* "" A'* — A^ ~ 1 '''

i'

i'

2F

— X,

r _

\V \Vf XV"

_ — _ — _ — If .

A'^V* =1 ( fJL H- JUL' ) ( fx -f- fx" ) = fJL' 4- ( fXjui' 4- .u.a'' ■ h F V ) = fx^

ce qui permet d'ecriro aussi

W

X^^f

A* A"* " V*A* "" A^V'^ ~ "'

T. -^ L

20

1 44 CHAPITRE Vin.

constantes arbitraires qui, s'ajoutant auxneuf du probleme restreint, donneront le nombre voulu de douze arbitraires.

Si Ton porte dans la formule (4o) les valeurs (F) de x\ y\ x" ety, on obtiendra immediatement, et sans integration, la valeur de 9"— 9'; on aura en- suite

k J \ /•'« - s'» "^ /•"* - z'y ^^ '

9''-h<p'= 2£o-+-

on voit done que, si le probleme restreint est suppose resolu, on n*aura plus a effectuer qu'une quadrature. Nous avons dit qu'il reste sept integrales a trouver dans le probleme restreint; c'est done a sept integrales et une quadrature, au lieu de huit integrales comme dans la methode usuelle, que Lagrange ramene la question; on peut dire qu'il a fart faire un pas vers la solution.

52. II nous resteademontrer la formule (20); nous ferons connaitre en meme temps la maniere de calculer a une epoque quelconque les positions des plans des orbites decrites par les corps C et C" autour de C.

Revenons a \^fig. 17, et posons

LM'=r, hW^ri\ M'N'-^', WS'-^g", M'LM' = J.

Si nous appliquons la formule fondamentale de la Trigonometric spherique aux triangles M'LM", N'LM", . . . , nous trouverons

ol' i==:cosM'M''~cosC'cosC''4- sin C sin C cos J,

P' = cosM'N' = cosC'cos(r-+-/§^) -H sinC'sin(r-i-^'')cosJ,

y' — cosM'N' = cos^';

a''i=cosN'N''=icos(C'-4-^)cos(rH-^')4-sin(C'-4-^')sin(C'-h^'')cosJ, P" =: cosM'^N' = cos(C' + ^') cosr 4- sin(C'-+- ^') sin^ cos J, y" = cosM'N''^ cos^.

En eliminant entre ces six relations les cinq quantites Zf, J^", g\ g" et J, on

aura la formule cherchee.

Nous poserons

cosC'cosC'^H-sinC'sinrcosJ = 1,

sinC' cosC*'— cosC'sinTcosJ = X, , (42) {

cosC'sinC'— sinC'cosC'cosJ — >,,

sin C' sin C -HcosC'cosrcosJ = X, ,

ce qui nous permettra d'ecrire ainsi les formules (4i)

a' = X, P' = Xcos^''— X,sin^, /z=cos^';

a''='k cos/cos^— X, sin^'cos^— X, cos^'sin^^-i- X, sin^' sin^' ;

P'nzXcos^' — X, sin^', y'^=cosg*.

(40

RECHEHCHES DE LAGRANGE. SUR LE PROBLEME DES TROIS CORPS. 14^

On pent resoudre par rapport a X, >.,, X.j, \, cosg' et cosg"; on trouvc aise- nicnt

(43) >. = «'. i^^^^^^^E, i.^^'yjz^', _«--?'/-y /.-«'/•/■

Or les formules (4-^) donnent

(i -+-cosJ)cos(r— C') = X -+->.3. ,,,, , (i + cosJ)sin(r-r)=X2-->.i,

(i-cosj)cos(r4-r)=^ ->^3,

d'oii

(l 4- COSj)« =1 (X 4- Xa)' + (X, - Xi)*, ( I — COS J )* = (X - X3)* -h (>i 4- X, )*,

I 4- COS*J z=z X* 4- X; 4- Xj 4- X*, (45) COS J ^XXa — XjX,.

et, en eliminant cosJ entre les deux dernieres equations,

(46) I 4- (XX3 — XjX,)' — X* 4- XJ 4- X* 4- II .

Mais on tire des formules (43)

(47) }i,-\i,= -^J£^EK==,

y/(,_y'.)(,_y'l)

•>» ■>« •>. ,._«"+(3'-+«'"-H(3'"— a/(«'(3"4-o(''^')-ay'(«'i3'+«T)+3yy(aVH-(3'y)

A +A,+/,4-A,_ (,_y'i)(,_y''.) J

si I'on portc ces expressions dans la formule (46). on loinbe, apres reduction, sur la relation (20) cherchec.

53. Les formules (45) et (47) donnent d'ailleurs

cos J =

V^(i-7")('-D'

d'oii, en ayant egard aux valeurs de a', p', y', a", ^", y". obtenues au n° 41,

cosJ =

T. - 1.

-• \/{-"- '-£) («••- ^)

»9

9''-|-<p'= 2£o-|-

l44 CHAPITRE Vlll.

constantes arbitraires qui, s'ajoutant auxneuf du probleme restreint, donneront le nombre voulu de douze arbitraires.

Si Ton porte dans la formule (4o) les valeurs (F) de x\ y\ x" ety, on obtiendra immediatement, et sans integration, la valeur de 9"— 9'; on aura en- suitc

I r' ( w V" \^

on voit done que, si le probleme restreint est suppose resolu, on n'aura plus a effectuer qu'une quadrature. Nous avons dit qu'il reste sept integrales a trouver dans le probleme restreint; e'est done a sept integrates et une quadrature, au lieu de huit integrales comme dans la methode usuelle, que Lagrange ramene la question; on pent dire qu'il a fart faire un pas vers la solution.

52. II nous resteademontrcr la formule (20); nous ferons eonnaitre en meme temps la maniere de ealeuler a une epoque quelconque les positions des plans des orbites decrites par les corps C et C" autour de C.

Revenons a layig*. 17, et posons

Si nous appliquons la formule fondamentale de la Trigonometrie spherique aux triangles M'LM", N'LM", . . . , nous trouverons

(40

a' = cosM'M''~cosC'cosC''-h sin C sin r COS J, P'=:cosM'N'' = cosC'cos(C''H-/§^) + sinC'sin(r4-^'')cosJ, y' = cosM'N' = cos^';

a^r^ cosN'N" == cos(C' 4- g') cos(?:'-i- g") -h sin(C'4- ^') sin(r-h ^) cos J,

y"

cos Mm' = cos^';

cosN'N''==cos(C'4-^')cos(?:'-i-^')4-sin(C'4-^')sin( cosM'^N' = cosCC'H- ^') cosC 4- sin(C'-+- ^') sinr cos J, cos^fN'^cos^.

En eliminantentre ces six relations les cinq quantites J^', C, g\ g^'et J, on

aura la formule cherchee.

Nous poserons

cosC cosC^'-i- sinC'sinTcosJ =: X,

,, , y sinC'cosC'— cosC'sinrcosJ:=iX,,

(42) {

cosC' sinT— sinC'cos^cosJ = X,, sin C' sin C' -h cos?' cos C" cos J = X, ,

ce qui nous permettra d'ecrire ainsi les formules (4i)

«' = X, (3' = Xco8^''— Xjsin^, /zzcos^';

<x' = 'k cos^'cos^ — X, sin^'cos^ — X, cos^'sin^n- X, sin^' sin^ ;

P'=Xco8^'— X, sin^, /=co8^.

RECHEPiCHES DE LAGRANGE. SIR LE PROBLOIE DES TROIS CORPS. l4>

On pent resoudre par rapport a A, >.,, X., A3, eos^' et cos^"; on trouve aise- ment

Or les formules (42) donnent

/ (i — cosJ) cos(r— O = >. — /3. (44)

, , , , (1 -f- cos J) sin (C — D == ^.j- /•!»

(I — cosJ) cos(C"-i- D =^. — /.J, (1 - cosJ) sin (r-i- :') = ^,-h >.i;

d'ou

(l -^ C0SJ)« = (>. 4- >.,)* -+- (>., - \)\ (I — cos J)* = (>. — >.,)* -t- (>., -t- >.i)»,

I -h COS* J -— >.* -T- A* 4- >.* -H >.*, ( 45 ) COS J == /.>.3 — >.i >.,.

et, en eliminant cosJ entre les deux dernieres equations,

(46) I -+- (>.>.3 — >.iX,)* — A- 4- X; -h >.* 4- >.£ .

Mais on tire des formules (43)

>. , 7« , V , .._«"-H!5''+a'"+i3''-a-/(a'3-+a';5')-a-/(«';3'-i-«'.5-)+2yy(aV+;5'^').

A -1- /., -I- flj -I-/.J , y'»)(| y'i\ >

si I'on porte ces expressions dans la formuie (46). on tombe, apres reduction, sur la relation (20) cherchec.

53. Les formules (45) et (47) donnent d'aiileurs

COS J = ,

d'oi), en ayant cgard aux valeurs de a', ^', y'. «". ?' . Y » obtenufs au n° 41,

cosJ =

-'\/F4?)(--^'j

T. — 1.

»9

l4^ CHAPITRE VIII.

ou encore, a cause des fonnules (27),

(H)

ros.1 —

W

y/nn'

On tire ensuitc des equations (42)

d'oii

et de mcnie

}.'-hll Lj=cos*C'H-sin2?'cos*.l —1 — sin*C'sinM ;

siiiMsiir-?'^:!! — X^— >.|,

sinMsin*;":^ I ->.*->?.

En rempla^ant A, A, ctX^ par leurs valeurs (43), il vient

sinJ sinC'

_ v^ — g^*— i3^»— y"' -h 2 (x'^'y'

(48)

v/i — /»

siiiJsinC''^

v/i — a'*— (3'^* — y'*-+- 2a' [3"/

v/i - /*

Si I'on eleve au carre l*expression (33) de S', et qu'on introduise les elements de \^fig- i7» on trouve

	/•'»	/•'/•' cos M'M'	m'/'cosM'N'
;^'*-	/•'/•" cos M'M'	,.'1	m'/'cosM'N'
	• - «'/'cosM'N'	«'/'cosM'N'	m"

d'oii

^'t—r'^f^Ui'^

, ^y! -^'' \

- P

I

n I

— /•'* /•'» w'* ( I — «'» — p» J — y '» 4- 2 a' j3'' / )

OU encore, en tenant compte de (36),

7* //'* — i'

, _ a'«- (3^«-/«+ 2a'i3Y= ^pr^Ti^i

La seconde des fonnules (4^^) donnera done

sin J sinC

vVa'*— r

..»

\/'"«"-'"^'

RECHERCHES DE LAGHANCE SU1\ LE PROBLEME DES TROIS CORPS. 1 47

on trouve ainsi, en introcluisant les quantites 11' ct 11",

sin.isins ~^^ 7= — »

(K) ( '

sin J sin? — : ;=.

/\/ir

La formule (H) fait connaitre rinclinaison mutuelle J des grands cercles M'N' et M"N" qui representent les plans des orbites de C" et C autoup de C, et les formules (K) donnent Ics distances angulaires s' = LM' et C' = LM" des corps C" et C a rintersection mutuelle de Icurs orbites relatives.

En resume, la solution de la seconde partic du probleme est fournie par les formules (E), (F), (G), (H), (K).

54. Le probleme des trois corps pent etre resolu completemcnt dans le cas particulier oil leurs distances mutuclles conservent des rapports constants pen- dant toute la duree du mouvement.

Soient A, A', A" trois constantes et $ unc nouvelle variable, on aura

/—-•A?, r'r:.K'l, r^^k''l,

en posant, pour abreger,

3fX=rrA'«-T-A''*- A*,

(5o) < 2fjL' = A''«4-A*-A'»,

2jUL''=A*-f-A'»-A''S

I	I
* A'»	A"'
A"	1
A'	I A'*'

d'oii

(5.)

v-H v'-l- v''= o,

^'4-jUL'=A«, fx'^H-iUL-rrA'S fX4-fx't=iA''*,

L'equation (C) donno

— f— _

-- ^ _^ = o.

l48 CIIAPITKE Ylll.

d'oii

' rdt

(52) I

^ ^ ^ Po^^^signant une constanle arbilraire et 1 ayanl pour valeur

On trouvc maintenant que la premiere des equations (28) devient

si Ton niultiplie par dt cette equation et les deux autres analogues, qu'on les integre et qu'on designe par x,, x'^ et x'^ trois constantes arbitraires, on aura

u^ = '2 i-> h 2m *- L- rn V f y.^ • dt -I- /??x,,

dt

(53) f ,^ ni-^m'^vi" ^^'^v'-ixv ,,!''' \) i

A4

/w -h //i' 4- //^''

A'?

in -h w' 4- /^i"

/f'*= 2 ;p^-^ h 2/?i' ^^ ?r— ^ m'v' / p^^ — -- dt -h wx', ,

/po-lf'-J

m-h m -hm- ^ a v — a- v , » I J ^ j^ ,

M^^^r 2 ^^^-^: h 2m'^ ^- — ^-^- //I V / - v^ — - a^ -h mxj.

Portons ces expressions de m^, w'^ et //'^ dans les formules (i4)» ^^ nous trou- verons

2 e/^* .V? " "^' A« J ?» A^ ""^'

dt

7„'

(54) { 1 gf^^' //iH-m^[i-h(fxV— fxv)A^]-h/yi^ mV I ';^^ J_L rl ^^!^ —

i ^ _ //? 4- m^4- m'^Ci + ( fx v — fxS^ A"] mV I ^'""V ^* . _ m% _ 2 ^^* A''^^ "^ A''* J ^» A"* ~~^'

Ces equations doivent etre identiques. On en conclut que Ton doit avoir les conditions

/ /?i[i-+-(fx'v'— fx''v")A]4-/«'4- w" __ m-hm'[t -h(|jL''v'' — fxv) A'] 4- m"

I x^ ■" A7»

(55) <

m 4- m'4-/n''[i 4-(fxv — fx'v') A"]

RECHGRCHES DE LAGRANGE SLR LE PROBLftME DES TROIS CORPS.

'^19

et

(56) (57)

a moins que Ton n'ait

(58)

mv

/MX.

m' v'

"A^

m'x'j

"A^

A"!

m'%\

«%

Pq=:o et I = o;

de la deux solutions suivant que I'on considercra Ic systeme (55), (56), (57), ou Tautrc (55), (5;) et (58).

55. Occupons-nous d'abord du premier. Les formules (56) donnent

	"-~~ ■""" ~~— _ ... .. _ — — f\ •
	A» A'* A"' A> A'» A"* ' h -7 H ^ m nv nr
on a done
	V v' v" 0, A A' -A^ /• /-' /•';

ainsi les trois corps forment toujours un triangle equilateral; on pent faireA = i et prendre ^ — /, et, si Ton pose

in yL^z=zm' x', =r m* x", 1= — x ,

les formules (54) se reduisent a

(59)

1 cf* /•* m 4- m' -I- m"

2 dt^ ~ 7'

— X.

Les equations (53) donnent ensuite

(60)

•.'

d'oii

— /— *— ff!!.

2

I est nul, et la formule (52) donne p = p^^z const. On trouve ensuite sans peine

p'p" -+- p^p 4- pp' =: (7* =

4 '

I JO CflAPlTRE VHI.

la formulc (B) so reduit a d'ou

On tiro d'ailleurs do (Go) ot (6i)

(62) r'^ -^ = r- [.. —.- y\ - ^ pf,

d'oii

/•' dr' (63) dt= -

On a ensuito

(7«

quantite nulle d'apres (61) et (62); on aura de memo

(T» ///« — r = O, (7* li'^ — I" = o,

d'oii, par les formules (E),

^' = 0, ^''—o;

ainsi les mouvements rclatifs de C et C s'effectuent dans un plan fixe. En continuant a appliquer les formules generales, on trouve

dr'- I n —n —u r r dt* ~ S^""'

W

— IF' — XV"— L ( //'J /.'«_!_ o« __ ,.'1 ^z!L.\ — L n^

3 "^ \m m' //r/

et il en resulto, d'apres (G),

(64)

Enfm Tequation (D) donne

imm'm" ^^ \m' m'* m'^* 2nrm" 2m'^m imm'J\ dt^ I

RECHERCIIES DE LAGRANGE SUR LE PROBLLME DES TROIS CORPS. l5l

et I'on en tire aisement, en rempla<;ant r'^u"- — r'^ -^ par ^pj.

,^£|(A+' ^ '

>

y/3 \m in

ni

moyennant quoi (G4) donnc

(65) ,'.^^^;

on a d'ailleurs

?"=9'-^3.

et, si Ton pose

7 I .^.Z'

les formules (63) et (64) donnent

-, dr' a

^/[r'—~a'{i — e')][a'(i-he')—~r'] dt ^

II en resulte que C" decrit autour de C comme foyer, conformement a la loi des aires, une ellipse ayant id pour grand axe, n' comme moyen mouvement et e' comme excentricite. La trajectoire de C est une ellipse egale a la precedente, qui aurait tourne de

Tangle ^ autour de C.

II convient de remarquer que les vitesses initiales relatives li^ et u^ de C" et C

doivent etre-egales et faire entre elles un angle egal a 2-

56. Considerons maintenant la seconde solution qui sera fournie par les for- mules (55), (57) et (58); on tire de (52)

et

(66) mfjLv -f- m'/jL'v'-h m^fx^' 1= o;

ainsi Tinconnue auxiliaire p, qui etait constante dans le premier cas, est nuUe dans le second. La formule (66), dans laquelle on remplacera les quantites [x

102 CHAPITRE VIII.

et V par leurs valeurs (So), donnera une equation de condition qui devra etre remplie par les masses m, m\ m" ct les constantes A, A', A". La premiere des equations (55) peut s'ecrire

^ni + m'-^m")(^j^^-jj-^

ix' v' — a V , av — uf v

ni * ! -4- m' L L — o

ou bieni a cause de (5o) et (5i),

7..' ..''..'' .... .-V..ff

(m -\- m' -h m" ) ^ -\- m - — ; ^ h m' ^——j: — ^- — =: o

ou, en reduisant.

, v'H- v" , v"-4- V

.ff..ff

'^^ M —, n -^ fn'ix —z h m" V" =zo

OU encore

V V

On arrive aisement a mettre cette relation sous la forme a cause de la formule (66), cela se reduit a

{[i' li' -h iJi" IX -h fXfjL') (mv 4- m'v' — m'v") =i o.

Si la quantite (x'[jL"-h (jl"(jl4- (ji(ji' n'est pas nulle, la formule precedente et celles qu*on en deduit par des permutations d'accents donneront

d'oii

V =: v'= v^^z o;

on rentrerait ainsi dans le premier cas. On doit done avoir

si Ton remplace (jl, (jl', (jl" par leurs valeurs (5o), on trouve

( A H- A'-i- A'') (A -f- A'- A") (A - A'-i- A'') (- A 4- A'-i- A") = o.

On devra done avoir Tune des relations

A±:A'iizA''=:o,

d'oii

r ± r' ± r' = 0;

ce qui prouve que les trois corps resteront constamment en ligne droite.

RECHERCHES DR LAGRANGE SIR LE PRORLl^ME DES TROIS GORPS.

I,) J

La quantile a est done nulle; les formules (3{)), dans lesquelles S, 2', It" no peuvent jamais etre negatifs, donnent

il en resulte

0 =zz o'— o''i=o;

-/ * — f..

ainsi les mouvements relatifs de C et C" s'effectucnt dans un plan fixe. Les trois equations (54) so reduisent a la suivanto

(67)

oil Ton a fait

(68)

i_ d^ _ F _

p /?/ -h m' -\- m'^ -\- //i"(|ULv — fx'v') X"

h jTi '

m'x'.

A*

= — X.

Multiplions Tequation (67) par '-i?;^' integrons ot dosignons par H, iino constante arbitrairo; nous aurons

(69)

?^^-2F; y:,'-\h.

On trouve ensuite aisement

(70)

on a d'ailleurs

A*

w'» //

"1

A'*

A'*

(•"

2F

2F

/ ^'- y.' - y." - -I ^»

n = A'*Hi, n''zz:A"Mr,,

_ — _ — _ — If •

A'* A'*=^ {[i. -\- 11') (p + fx") = fx* ^- (fx/jL' -h /JL/JL^-t- /jl'.u') = p' ;

ce qui permet d'ecrirc aussi

W

\|C'

H'«

A'* A'* "" A''* A* " KKK"

W

T. -^ L

20

I 54 CHAPITRE YUl.

On trouve, en continuant {'application des formules,

y; ^ y. / ,^j ^/, ^.jv

En suhstituant dans I'equation (I)) !os valeurs trouvees ci-dessus pour p, I/, u\ u\ V, v\ r", r, r , r", on ohtient, toutes reductions faitcs,

* /// f/i ni J

d'oii il resulte

(71) ^''^- >*-^--l/h;

On pent prendre, si Ton vent, \"=\, d'oii ^ = r"\ les formules (()9)et(7i) donneront done

r'dr"

(II— , ■>

y/_x/''*-H5tF/''-H, / ^^ -vH,.

On voit par la que le point C decrit, dans son mouvement relatif, une ellipse ayant pour foyer Ic point C, et la decrit conformement ii la loi des aires; le demi

grand axe de I'ellipse est -j Texcentricite \/'^-pr ^^ '^ nioyen mouve-

3 X*

ment tt-

La trajectoire de C est naturellemcnt une ellipse homothetique a la prece- dente.

Pour que les trois corps restent ainsi toujours en lignc droite, il faut d'abord qu'ils aient ete places en ligne droite a I'origine du mouvement; il faut ensuite que les vitesses relatives de C et C" aient ete primitivement paralleles entre elles, et proportionnelles aux distances /\, et r^ ; mais il faut de plus que la con- dition (G6) soit verifiee.

Supposons, pour fixer les idees, qu'a Torigino le point (] se soit trouve place entre C et C" ; on aura done eu

On a d'ailleurs, en faisant A"= i.

t

0 '*()

A "A' ~''"'

UECUKilCUES DE LAGRANGE SUR LE PR0DLE31E DES TROIS CORPS. l5

il en resulte done

\'^-% A-- I 4- A', A"^--i

Avec les valeurs ( 5o) de (x et v, et les valeurs ei-dessus de A et A", on trouve aisement que la formule (G6)donne, apres reduction,

m

(a'--^) + '«'['^^^'~(.^V?]-^'""[(7Ta')-'-4#]^^'

ou, en chassant les denominatcurs et ordonnant,

((//! + m')A'^-h(2m H- 3m') A'*4- (m -f- 3m') A" ^ I — (m -f- Sm") A'- — (2 m -h Sm'') A' — (m -f- m") — o.

Cette equation est du cinquieme degre; elle n'a qu'une variation : done elle a une racine positive et une seule.

Si done, les masses m, m\ m' etant donnces et pouvant d'ailleurs etre quel- conques, on place a Torigine les trois corps en ligne droite en C©, €'„, C^, le point Co etant entre C'^, et Q, si Ton prend

C^ pi — '^ >

A' designant la racine positive de Tequation (72), si Ton impriine i\ C„ et C^ des vitesses relatives paralleles qui soient entre elles comme i et A', les trois corps resteront constamment en ligne droite, et Ton aura pendant tout le niouveinent

^ 4/

cc "■

II nous reste un mot a dire sur la determination des constantes F, x et H, en fonction des donnees initiales.

Nous prendrons pour ces donnees : le rayon vecteur initial r^, la valeur ini- tiale ul de la vitesse relative du corps C et Tangle yj^ que fait cette vitessc avec la droite CoC'o; la formule (68) donne

(73) F = m 4- m' -f- m^ [^^ ~^, - ^,];

on tire de (70)

2F

(74) "'^— 7? — ^7*

i56 CHAPiTiu: viii.

on a cnfin

ct, comine (69) clonno

/r/r" \ -

i! en resulte aisement

(75) Hi = ( 2 F — X /•;)/•; sin'yj;;

les forniulcs (73), (74) et (7.5) resolvent la question. Dans le cas ou Ton aiirait

il en resulterait

xH,

les excentricites des orbites relatives cle C et C seraient nulles, et ces orbites seraient des circonferences parcourues par les points C" et Of' avee des mouve- ments uniformes.

57. Supposons que C designc la Tcrre, C le Soleil, C" la Lune, et voyons si Ton aurait pu, a I'origine des choses, placer ces trois corps en ligne droite, la Lune etant en opposition avec le Soleil, de maniere qu'ils restassent toujoursen ligne droite.

On a, dans ce cas,

tn' .. , m" I

— i-z 324000, — = o-J

m /?i 8 1 '

Tequation (7a) montre que A' est petit et que Ton aura une valeur tres appro- chee en se bornant a

{m -f- 3m') A'* — (//i -h m") = o,

d'oii

A' ™ — a peu pr6s.

100 ^ ^

Laplace en a done pu conclure (Mecanique celeste, t. IV) que si, a Tepoque ar- bitraire prise pour origine, la Lune s'etait trouvee en opposition avec le Soleil a une distance de cet astre representee par 10 r, celle de la Terre etant representee par 100, et que les vitesses relatives de la Terre et de la Lune autour du Soleil eussent ete aussi a cette epoque paralleles et dans le rapport de 100 a loi, la Lune serait toujours restee en opposition avec le Soleil.

RECIIERCIIES 1)E LAGUANGE SVW LE PKOBLEME DES TROIS CORPS. 1 57

Laplace a reproduit cette assertion dans V Exposition da systeme du Monde : « Quelques partisans des causes finales, dit-il, ont imagine que la Lune a ete donnee a la Terre pour Feclairer pendant les nuits. Dans ce cas la nature n'au* rait point atteint le but qu'elle se serait propose, puisque nous sommes souvent prives a la fois de la lumiere du Soleil et de celle dc la Lune. Pour y parvenir, il eut suffi de mettre a I'origine la Lune en opposition avec le Soleil, dans le plan meme de I'ecliptique, a une distance de la Terre egale a la centieme partie de la distance de la Terre au Soleil, et de donner a la Lune et a la Terre des vitesses paralleles et proportionnelles a leurs distances a cet astre. Alors la Lune, sans cesse en opposition avec le Soleil, eut decrit autour de lui une ellipse semblable a celle de la Terre; ces deux astres se seraient succede I'un a I'autre sur rhorizon, et, comme a cette distance la Lune n'eut point ete eclipsee, sa lu- miere aurait remplace conslamment celle du Soleil. »

M. Liouville (Journal de Malhemaliques, t. VII, et Connaissance des Temps de 1845) s'est demande si le systeme, dans I'etat considere par Laplace, aurait ete un systeme stable, tendant a resister aux perturbations, et a revenir de lui- meme a son etat regulier de mouvement; il a done examine le probleme sui- vant :

(( Trois masses etant placees non plus rigoureusement, mais a tres peu pres » dans les conditions enoncees par Laplace, on demande si Taction reciproque » de ces masses maintiendra le systeme dans cet etat particulier de mouvement » ou si elle tendra au contraire a Ten ecarter de plus en plus. »

M. Liouville a reconnu que u les effels des causes perturbatrices, loin d'etre contrebalances, sont au contraire agrandis d'une maniere rapidepar les actions mutuelles de nos trois masses; cette conclusion subsiste quels que soient les rapports de grandeur des masses. Si la Lune avait occupe a Torigine la position particuliere que Laplace indique, elle n'aurait pu s'y maintenir que pendant un temps tres court. »

58. On vient de voir que Ton sait integrer rigoureusement les equations diffe- rentielles du probleme des trois corps lorsque leurs distances mutuelles conser- vent entre elles des rapports constants; ce cas se subdivise en deux autres; les trois corps ferment toujours un triangle equilateral, ou bien ilsrestent con- stamment en ligne droite.

Ces deux cas sont, a notre connaissance ( * ), les seuls connus oil Ton ait pu re- soudre le probleme; on n'a pas pu surmonter les difficultes analytiques, meme en supposant que les trois corps resteraient constamment en ligne droite, sans

( 1 ) Nous ne compronons pas dans le probl6me des irois corps, lei que nous I'avons d^fini, le mou - vement d'un point materiel attir6 par deux centres fijces, probl6me que Ton sait r^soudre.

1 58 CIIAPITKE VIII. — HECIIKUCIIES DE LAGRANGE, ETC.

adrnettre que leurs distances soient dans des rapports constants; apres Euler, Jacobi a considere ce cas dans son Memoire Theoria mni muUiplicatoris... (C.-G.-J. Jacohi, Gesammelte Wcrie, t. IV, p. /J78.)

Nous devons signaler aussiun Memoire interessant deM. H. Poincare : Surcer- taines solutions particulieres da probleme des Irois corps (Bidielinaslronomique, 1. 1, p. 65) ; Tauteur montre qu'il y a une infinite de positions et de vitesses initiates telles que les distances niutuelles des trois corps soient des fonctions perio- diques du temps; les conditions pour qu'il en soit ainsi se trouvent remplies approximativement dans le systeme forme de Saturne et de deux de ses satel- lites. Titan et Hyperion.

Si nous avions voulu faire un expose complet de tons les travaux importants qui se rapportent au probleme des trois corps, nous aurions di\ parler du ce- lebre Memoire de Jacobi Sur I'elimination des noeuds dans le probleme des trois corps (Journal de Matliematiques, t. IX, i844)- Dans ce Memoire, Jacobi, qui n'avait certainement pas connaissance du travail de Lagrange, arrive pour le probleme a une reduction analogue; il lui reste a integrer un systeme forme de cinq equations differentielles du premier ordre et d'une autre du second, et a effectuer ensuite une quadrature.

Nous devrions parler aussi d'un beau Memoire de M. J. Bertrand {Journal de Mathematiques , t. XVII, i852), de la these de M. Bour {Journal de VEcole Poly technique ^ XXXVI* Cahier), des recherches interessantes de M. Radau, Sur une propriete des systemes qui ont un plan invariable {Journal de Mathe- matiquesy 1^ serie, t. XIV, 1869), etc.; mais nous sortirions ainsi des limites que nous nous sommes imposees.

CIIAPITRE IX. — VARIATION' DES CONSTANTES ARniTRAIRES. I Sq

CHAPITRE IX.

MftTHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. - VARIATION DES ELEMENTS CANONIQUES. - t LAMENTS OSCULATEURS. - VARIATION DES lllLtMENTS ELLIPTIQUES.

Puisqu'il n*y a pas lieu de songer a integrer rigoureusement les equations (lifferentielles du mouvement des planetes, meme quand ces planetes se reduisent a deux, on a recours a des mothodcs d'approximation rcpondant aux besoins de TAstronomie, sinon pour toutes les epoques, du moins pour un assez grand nombre de siecles; I'une d'elles, la plus frequemmcnt employee, est la methodc de la variation des constantes arbitraires. Avant de Texposer, nous aliens de- montrer un theoreme important.

59. Considerons lo systeme canonique suivant de vth equations differen- tielles

, X dfji d\l dpi (?H

oil Ton a

II — F(/, 7i,7„ . . . , 7/i; PijPfy ...» Ph).

Supposons que Ton ait suivi, pour integrer ces equations, la methode do Jacobi; on aura done d'abord reussi a trouvor une solution S de Tequation

^/, OS OS dS\

contenant h constantes arbitraires a,, ol^, ..., a>i, sans compter celle que Ton pout toujours ajouter directement a S; on a vu, dans le n° 6 de Tlntroduclion,

l6o CIIAPITRE IX.

que si Ton designo par p^, p2»'--» ?/i> ^ nouvelles constantes arbitrairos, l(»s integrales generales des equations (i) seront donnees par les formules

2) —^—^.^ —p.^ (£Z3I, 2, ...,//),

qui, resolues par rapport aux variables /; et q, fournissent des expressions de cette forme

(o) <

I />! =4''(^» <5C|, a,, . . . , a/,; ^i, Pj, . . ., P/,).

Les equations (i) doivent etre verifiees identiquement par ces valeurs de pi et qi\ ainsi, les relations

dont les seconds membres sont supposes aussi exprimes a I'aide de / et des 2/1 constantes arbitraires a,- et p,, doivent avoir lieu quelles que soient ces quan- tites a, et p,.

Supposons maintenant que Ton veuille integrer ce nouveau systeme cano- nique de 2 A equations difTerentielles

dqi_d(U^R) dpi_ f)(H-R)

(") lu ^' dp, ' In- -^^^ (1-1,2, ...,M,

qui ne differe du precedent qu'en ce que la fonction H y estremplacee par H — R, R designant une certaine fonction de / et des ih variables pi et y,.

II est naturel de chercher a tirer parti de Tintegration deja faitc des equa- tions (1). On retient, pour resoudre le nouveau probleme, les memes expres- sions analytiques (3) des variables /?/ et y,, mais en y considerant les ih quan- tites a et p, non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles variables que Ton determinera convenablement; cela revient a faire un cliangement de variables, et la methode indiquee re^oit le nom Aq methode de la t^ariation des constantes arbitraires . On tirera maintenant des formules (3)

dqi dt '	- dt '^ ^\doLj dt ' d'^j dt r
dpi dt "	d^i 'v (i^Pi ^«y ^Pi ^^?j\ - dt Id. \doLj dt ' d^j dt y

VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. l6l

En substituant dans (5), il viendra

d(^i (^H ^ /dqi doLj dqi d^/\ OR

'dt '^ dpi'^ 2d ydoTj 'dt "^ dfj ''dtj ~^ dpi

Ot dqi 2d \dxj dt d^j dt)~ d(]i'

ces equations se simplifient eu egard aux relations (4) qui* ayant lieu iden- tiquement, sont encore verifiees lorsque les quantites a et p sont variables, au lieu d'etre constantes. On trouve ainsi

dpi~ 2d\

(6) { [^ ) (/=i, 2, ..., h).

-1- ^ — V (^ ^ ^ ^ ^^J\

■^ dqi "" 2d \doLj dt "^ dPj dt J

On a la un systeme de 2A equations renfermant au premier degre les 2A in-

doL* doL/i dQt dQfy

connues^,...,-^;^,...,^.

La resolution de ces equations, que nous allons faire par un procede indirect, fournit pour les inconnues des expressions d'une simplicite remarquable.

Les equations (2) coincident avec les equations (a) et (b) du n° 8 de I'lntro- duction; on peut done appliquer les relations (e), (/), (g), (h) de ce meme numero, ce qui permet d'ecrire ainsi les formules (6),

cm _ ^'^ fd^j da J _ doj d^j\ dpi

(7) { ;::

2/^[3y daj _ dcij ^\ \dpi dt 'dpi dt y

'i~~ 2d \dqi dt dqi dt )'

"^ ,=.

docj doLj d^j d^j

Oil les derivees partielles -r-^j 3-^, —^ -~^ supposent que Ton a resolu les

dpi dqi dpi dqi ^^ ^

equations (2) par rapport aux quantites a et p.

Supposons maintenant que, dans les formules (3), on attribue aux quantites a^, . . . , a/i, p<, . . , p^i des variations infmiment petites arbitraires Sa,, . . ., Sa^, ^Pn • •» ^Pa> sans toucher au temps/; il en resulterapour/?,, .. ., /?a> ^o • ••> ^a des variations correspondantes et faciles a calculer; R, qui est une fonction de /

etde /?<,.. .,/)a, ^1, .. ., y/i, prendra aussi une variation correspondante SR, et T. - L ai

1 62 CHAPITRE IX.

Ton aura

i = A

d'oii, en remplaQant 3— et ^ par leurs valeurs(7),

*" = 22 [if, ''' - ff ^') t - {^ "■■ - 1; *") f ]

ou encore

» = 2 1 2 {fi >^' - 1 *'■) - 2 1 2 (I; *'■ - -^. >^) ■•

mais on a evidemment

2 (t v.- 1 »•»')=*'.

II vient done

2(^V,*^;a„)=a»,.

Or on pent calculer autrement SR, en remplacant d'abord dans R les quanti- tesp el q par leurs expressions (3); R devient ainsi une fonction de / et des ih quantites a et p, et Ton aura

>^ =!.{§,''' ^^M-

Cette expression de SR doit etre egale a la precedente, quelles que soient les 2 A variations Say et S^y, qui sont independantes les unes des autres. On en conclut

Ces equations, dont les seconds membres sont des fonctions supposees con- nues de / et des quantites a et ^, determineront les nouvelles variables dont les expressions devront etre ensuite substituees dans les formules (3) pour obtenir les valours cherchees des inconnues/?,, /?2» • • » 9i> y2» • • • • Les equations (8) ont, comme on le voit, la forme canonique. Si Ton avait integre les equa-

VARIATION DES tLEMEXTS CANOMQUES. 1 63

tions (i) par une methode autre que celle de Jacobi, les constantes arbitraires ainsi introduites, devenues variables pour Tintegration des equations (5), au- raient dependu, en general, d'equations plus compliquees que les equations (8), et qu'il aurait fallu former et calculer dans chaque cas, suivant la nature de la fonction H = F(/, y^, ^2, . . . , 5r>i;/?,,/>2, ...,/?a)- Le grand avantage que pre- sente la methode de Jacobi, c'est que Ton peut ecrire immediatement les for- mules (8).

60. Appliquons les resultats precedents a la determination des mouvements des planetes. Soient x, y, z\x^y y^, s, ; ... les coordonnees des planetes P, P,, ...; /n, m,, ... leurs masses, celle du Soleil etant prise pour unite; les equations differentielles du mouvement de la planete P sont, comme on Ta vu au n° 18,

d}x ^ X dR

d}z z _ dW.

oil Ton a

fjL =11 -H /w, /•' = or* -4- j' H- 5*,

(9)

Lv/(x-a;, )> + (/- j.)«+ (--3,)' '1 J

En supprimant R, on a les equations differentielles du mouvement elliptique,

<Px , X d z i» -2

1- -^fF-3==^0-

Posons

\ dt

dx , dy , dz

rr: X

dt ' dt ^ ' dt

T =r - ( a?'« 4- /* -f- ;:'« ) , U = ^ , H - T - U ;

en remarquant que R ne contient que x^y^ z, et le temps t qui sera introduit

I 64 CHAPITUE IX.

par 07, , ^, , 2, , . . , mais ne renferme pas x\ y , z\ nous pourrons ecrire comme il suit les equations (a) et {b) :

(«)

(P)

dx d{H dt dx'	R) >	dy dt	dy	R)	dz dt	d{H R) dz' '
dx' ()(H dt dx	R)	dy- dt	d{VL dy	R)	dz' dt	<)(H-R). dz '
dx dH dt dx' '		dy dt ~	dH dy''		dz dt ~'	dH dz''
dx' dH dt dx		dy' dt	dH dy'		dz' dt	dH dz

On voit que les formules (a) et(P) coincident avec les formules (5) et (i) du numero precedent.

Or, dans le Chapitre VII, on a integre par la methode de Jacobi les equa- tions (b)y ou leurs equivalentcs (P); on a introduit ainsi six arbitraires canoni- ques a,, aa, aj, ^^, Pa^ Pa* dont la signification geometrique a ete precisee, et sera rappelee dans un moment. II en est resulte, pour les integrates generates des equations (P), des expressions de cette forme

Cela pose, d'apres la methode indiquee, quand il s'agit d'integrer les equa- tions (a), on conserve pour j?, j, z, x\ y, z' les memes expressions analy- tiques(Y); mais alors, a,, ol^, qc^, p,, Pa* Pa seront de nouvelles variables, et nous savons, par le numero precedent, que nous aurons les six equations cano- niques

(3)

d(Xt dR dt d^i '	rf«, dH dt d^t	diXi dH dt jp,'
rf(3, dR dt dxi	rfp, dH dt dxi	<)(3, dH dt dxt '

oil Ton doit supposer que R est une fonction de /, a,, aj, aj, p,, Pa, P3, obtenue en remplacant, dans (9), x,y, z par leurs expressions (y).

Ces expressions n'ont pas ete developpees dans le Chapitre VII; mais elles sont une consequence des formules (d) du n** 32 et (g) du n** 41, formules que

ELEMENTS OSCULATEURS. 1 65

nous allons ecrire de nouveau, pour plus de clarte :

a

(d)

(^)

/ \ « v — xn/i-he^ u r ^=a{i — ecosu), tang ~ V/ tang->

a: — r[cos0cos(p — 9) — sin0sin(^' — 9) COS9], y z=r[sin0cos(^— 9) -h cos 0 sin (^'— 9) coscp], \ z =rsin(^' — 9)sin(^;

a, — > at=^ k^a{i — e')C0S9, «!= A:y^a(i — e*),

(3,1= ^^a% (3,= 0, (3,=zcj-0.

II suffit, en effet, d'eliminer les quantites a, e, ... entre (rf) et {g) pour ob- tenir la premiere serie des formules (y), la seule que nous utiliserons; on trouverait celles de la seconde serie en differentiant les expressions de a?, j, z sans faire varier les elements.

Pour rintegration des equations (a), on devra considerer les elements a, p, ... ou a, e, ... comme variables, et Ton obtiendra les equations differen- tielles correspondant aux variables a, e, ... en rempla^ant dans (S) les ele- ments canoniques par leurs expressions {g) en fonction des elements employes par les astronomes. Ce calcul sera fait plus loin. En somme, les elements cano- niques n'auront servi que d'intermediaires permettant d'ecrire immediatement les equations (S).

Ce qu'il faut retenir, c'est que les expressions de a7,y, 5, ic',y, z' sont de la forme

x'=i ^=Vi(^a, ey ...), y=-^=zW^{t,ayey,..), - =^ =:V3(^, a, e, ...),

qu'il s'agisse des equations (P) ou des equations (a); seulement, les quantites a, e, ... sont constantes dans le premier cas, variables dans le second.

61. Supposons que Ton connaisse les expressions, fonctions du temps, que Ton doit mettre dans les formules (10) a la place de a, e, . . . pour representor le mouvementdc la planete P; soientao» ^o» ••• leurs valours a une epoque de- terminee et d'ailleurs quelconque t^. Rempla?ons dans (10) a, ^, ... par a^,

l66 CHAPITRE IX.

Cq, . . . , et designons par x, y , z ce que deviennent x,y, z; il viendra

(ii) I t/x ^y ^z

on aura visiblement, pour t = /^,

(12) x = x. y = 7, z=z

■*»*

fl^x cfx	dy dy	dz dz
dt " dt'	dt dt'	dt ~ dt

Les formules (11) representent le mouvement elliptique d'une planete fictive do masse w, qui aurait a Tepoque /© meme position et meme vitesse que la pla- nete P, et qui ulterieurement, dans chacune de ses positions, serait soumise

seulement a Tattraction du Soleil, ^ ' — ■

Les elements a©, e^, ... sontappeles les elements osculateurs de Tepoque /© • ce sont done les elements de Torbite elliptique invariable que decrirait la pla- nete P, si, a partir de Tinstant /o, elle cessait d'etre attiree par les autres pla- netes P,, P2, — On pourra les calculer par les formules du n" 38, connaissant les valours, pour Tepoque t^, des coordonnees x^y y^, z^^ et des composantes

\^j ' (^) ' i'li) ^^ '^ vitesse. Si done le mouvement de la planete etait

eonnu, rien ne serait plus facile que de calculer les divers systcmes d'elements osculateurs qui correspondent aux epoques t^, /,

Soient {fig* 18) PoC Torbite de la planete, Po sa position et PoAo = Vo sa vitesse a Tepoque /©> P sa position au temps /; soient PoC Torbite elliptique de la planete fictive consideree plus haut, P' sa position au temps/; supposons que rintervalle t — t^ soit une quantite infiniment petite du premier ordre. On pourra calculer a?, j, z, coordonnees du point P, et x, y, z, coordonnees de P', par la formule de Taylor :

VARIATION DES ELEMENTS ELLIPTIQUES. 1 67

on aura, a cause cle (12),

X

et, en ayant egard aux formules (a) et (6),

on aura des formules semblables pour les differences j — y, 2 — z; si Ton re- marque que les quantites (;p) ? (t") ' (tf) contiennent dans chacune de

leurs parties Tun des petits facteurs numeriques m,, m^, . . , on voit que la dis- tance des points P et P' sera infiniment petite du second ordre, a cause du facteur (/ ~ /o)^> ^^ qu'elle sera plus petite encore a cause de la presence des facteurs /w, ou /Wo, . .. , dans le coefticieni de (/ — /o)'- On pourra, pour un intervalle de temps suffisamment petit, remplacer le mouvement de la planete de Po en P par celui de la planete fictive, sur Tare d'ellipse PoP'. C'est done le probleme des deux corps, dont la solution est bien connue, qui sert en quelque sorte d'element infinitesimal pour abordcr le probleme du mouvement d'un nombre quelconque de corps.

Definitions. — Le mouvement de la planete P sur son orbite PoC est appele le mouvement trouble; on pent dire que ce mouvement, qui serait elliptique si les autres planetes n'existaient pas, est trouble par la force dont les composantes

sont -y-> Y y "p' qu6 I'^n nomme force perturbatrice;lsL fonction Rest elle-meme

nommee fonction perturbatrice. Les differences ^r — x, j ~ y, z — z sont appe- lees les perturbations des coordonnees ; les differences a — a^, e — e^, . ,. sont elles-memes les perturbations des Elements. Enfin, la partie de la Mecanique celeste qui a pour but le calcul des perturbations regoit le nom de The'orie des perturbations.

Remarque. - Soit C — /^fa?, j, ^* '^t' 'SI^ dl) "^® integrale premiere des

equations differentielles du mouvement elliptique; C sera done une certaine fonction des elements elliptiques; on aura la meme relation dans le mouvement trouble, pourvu que Ton remplace dans C les elements par leurs valeurs varia- bles a Tepoque /. Cela est evident si Ton se reporte aux formules (11) qui re- presentent le mouvement elliptique ou le mouvement trouble, suivant que Ton y suppose les elements constants ou variables.

62. II nous reste a conclure des formules (S ) celles qui donnent les derivees des elements elliptiques a, e, <p, 0, cy, e.

1 68

CHAPITRE IX.

Pour y arriver, nous resoudrons les equations (g)par rapport a ces elements, ce qui nous donnera

k^

a = —

10L

1

(i3)

» H n — >

A*

C0S9 =: — )

0 ^ (3„

Pi

e:^P,4-P,+ ^(-2a,)«

Nous aurons d'abord

et

	da k} doci dt 2 aj ^^
	de a, / flfa, ^^aX
	. d<f *» rf/ "' rff
dQ	rfP,
dt	rf«'
dxs dt	rf(3, rfp.
dt dt ~		.4 rf«,

d'oii, en tenant compte des formules (S) et (g).

('4)

\

da dt

de dt

d(^ dft

dO dt

dm Hi

dt dt

20* dK k^ 5i3,

4- -7T- -Vo-J

av/i —

/

I — e^

(?R k dK

k\Ja{

I / dR dn

■^== I COS9 -T«

<2(i — e*) sincp \

c^(3, d^J'

dn
dxt
dn	dn d(Xj
dn	dn

dxi d(X'.

k OR f 5«,

a

3a , . dn

VARUTION DES ELEMENTS ELLIPTIQUES.

On tirera ensuite des formules (i3)

169

dR dR dR

dR dR dR

k_ m

1 di

d9 ■*' dv3

di

dR

dR

dt

k^ dR

iol\ da

ia} m

k^" da

k'^e de k^ ^ '^ dt

a I — e^ dR 3 a

k^

1 dR assin9 dtp

2 OLxOL^ dR

-^--J^i^-^)

dR de

dR_

doLx ~

doL^ e k^ de ' sin 9 a J d<^

dR

AVa(i — e«)sin(p ^? a, dR

k\Ja

I y/i — e* dR i COS9 ()R

dR

En portant ces valeurs des derivees partiellcs ^^ ••• dans les formules (i4) et reduisant, il vient

(/O

da Tt

dO dt

dm dt

de dt

2_ dR na de

I dR

na^\J\ — e^ sin9 ^?

9 lang-i-

2 dR Ji — e» dR

na

tJi gi d<^ na^e de

Ji—e^ dR I r \--\l\ — e^ dR

na^e am '

na^e

de

?

e/9

^ —

de

5i ~

(>R

na^sji — e'sin9 ^^

_ ^^"^2 fdR dR\ /laVr^* V^^CJ '^ de)

?

2 (>R ^^"^ 2 (^R ; r i—Ji — e^dR

na

On a remis, pour abreger Tecriture, n au lieu de -j- T. - I.

a'

22

170 CHAPITRE IX.

Ces formules {h) sont la base fondamentale des theories des mouvements des planetes; elles contiennent en germe toutes les proprietes de ces mouve- ments.

63. Nous allons presenter a leur sujet quelques observations.

On pent partager les elements en deux groupes, 6, cj, t d'une part, a, e, <p de ['autre; les trois elements du premier groupe expriment des longitudes; leurs derivees par rapport au temps ne contiennent, comme le montrent les for- mules (A), que les derivees partielles de R prises par rapport a un ou plusieurs

des elements du second groupe; la reciproque a lieu pour ^j ^'^'777'

Le coefficient de -^ dans I'expression de ^ pent s'ecrire

I-+- y/i — e'^

done, si e est une petite quantite du premier ordre, et c'est le cas general, le coefficient en question sera une petite quantite du meme ordre, malgre le diviseur e qu'il paraissait contenir tout d'abord.

Mais ce petit diviseur e existe bien reellement dans les formules qui donnent di ^^'di' ^^^^ certains cas il en pent resulter des inconvenients serieux; on les evite en posant

(i5) Azuesinci, /=::ecosw,

et rempla^ant les variables c et cr par A et /; on trouve d'abord

dh . de dvs

-J- = smw -7- -hecosw -J- , dt dt dt

dl de . djs

-ji ~ cosw -J- — esmw-TTj de dt dt

dK dK dK

Te^ sm^^4- cos^^,

dR dR OR

OTs an dl

apres quoi, en tenant compte des expressions {h) de ^ et ^) et reduisant, on

VARIATION DES ELEMENTS ELLIPTIQUES. 1 67

on aura, a cause de (12),

X

-^=[(m-(^).]^^-

et, en ayant egard aux formules (a) et (6),

X

\dxjf^ 1.2

on aura des formules semblables pour les differences y — y, z — z; si Ton re- marque que les quantites (^) > ("X") ' (t^) contiennent dans chacune de

leurs parties Tun des petits factcurs numeriques m,, /Wa, . . , on voit que la dis- tance des points P et P' sera infiniment petite du second ordre, a cause du facteur (/ — /o)*> et qu'elle sera plus petite encore a cause de la presence des facteurs m, ou /w^, . .. , dans le coefficienl de (t — t^y. On pourra, pour un intervalle de temps suffisamment petit, remplacer le mouvement de la planete de Po en P par celui de la planete fictive, sur Tare d'ellipsc PoP'. C'est done le probleme des deux corps, dont la solution est bien connue, qui sert en quelque sorte d'element infinitesimal pour aborder le probleme du mouvement d'un nombre quelconque de corps.

Definitions. — Le mouvement de la planete P sur son orbite PqC est appele le movement trouble; on pent dire que ce mouvement, qui serait elliptique si les autres planetes n'existaient pas, est trouble par la force dont les composantes

sont -T-> ^-9 -jzy que Ton nomme force perturbatrice;\di fonction Rest elle-meme

nommee fonction perturbatrice. Les differences x — \^y— y,z — z sont appe- lees les perturbations des coordonnees; les differences a — a^^ e —e^, . ., sont elles-memes \q^ perturbations des dlements. Enfin, la partic de la Mecanique celeste qui a pour but le calcul des perturbations rcQoit le nom de Theoriedes perturbations.

Remarque. Soit C = /^fa?, j, ^' dTt^ '^t^ di) ^"® integrale premiere des

equations differentielles du mouvement elliptique; C sera done une certaine fonction des elements elliptiques; on aura la meme relation dans le mouvement trouble, pourvu que Ton remplace dans C les elements par leurs valours varia- bles a I'epoque t. Cela est evident si Ton se reporte aux formules (11) qui re- presentent le mouvement elliptique ou le mouvement trouble, suivant que Ton y suppose les elements constants ou variables.

62. II nous reste a conclure des formules (S ) celles qui donnent les derivees des elements elliptiques a, c, ^, 6, tar, e.

1^2 CHAPITRE IX. — VARIATION DES ^LfeMENTS ELLIPTIQUES.

Si I'oiT consent encore a negliger des quantites d'un ordre superieur de deux unites a celui des quantites conservees, rinclinaiscn <p etant consideree comme du premier ordre, on pent se borner a

, , dp I dR da i dK

dt na^^i — e^^^ ^^ na^s^^—e^ dp'

si e est petit en meme temps que 9, on pourra meme prendre plus simplement

^^^^ di "" nd^ dq' dt ~~ no} dp '

on voit Tanalogie de ces formules avec les formules (17).

CHAPITRE X. — VARIATION DES CONST ANTES. — M^THODE DE LAGRANGE. 1 73

CHAPITRE X.

VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. - METHODE DE LAGRANGE.

64. Les formules (h) du n° 62 permettent de resoudre toutes les questions relatives au mouvement des planetes; nous les avons obtenues par la voie qui nous a paru la plus directe. Mais nous croyons ne pouvoir nous dispenser de reproduire Tanalyse employee pour arriver aux memos formules par Lagrange, qui doit etre considere k juste titre comme le createur de la methode de la va- riation des constantes arbitraires.

Dans le Chapitre precedent, nous avons mis les equations differentielles du mouvement de la planete P sous la forme

dx __ ()(H~R) _ dx^ ()(H-R) _

dt dx' "' ~^' dt ~^ dx ■" ^'

dy ()(H-R)___ dy' . (?(H-R)_^ '

(«) <^ Ty—-^''^ -Tir-^ dy ~^-

dz, _ (?(H--R) __ dz^ (>(H — R) __

dt dz' -~^' dt '^ dz ""^'

Lagrange considere d'une maniere plus generale les 2A equations

dx dSl Y/_ ^'^' ^^ Y —

(a) {dy dQ^ dy' da

dt^dy"^-^' W^d^^^--^'

£1 est une fonction donnee quelconque de /, a?, j, ..., x\ y, ...; ilenestde meme des quantites X, Y, . . . , X', Y', . . . ; le nombre h des groupes de deux equa- tions associees pent etre quelconque.

174 CHAPITRE X.

Concevons qu'on ait rcussi a integrer rigoureusement Ic systeme suivant, que Ton deduit du precedent on y supposant nulles les quantites X, Y

X/ Y' 9 X y • • • «

{0) { dy^dQ _ ^^ ^_

dt Oy^' dt"^dy^^'

On aura done obtenu des expressions do a?, j, ..., a;\y ... fonctions de t et de 2 A constantes arbitraires a, b, c, ...,/, g, verifiant identiquement les equa- tions (b), quelles que soient ces constantes arbitraires; ecrivons ces expres- sions

On va, pour representer les integrates des equations (a), conserver les memes expressions analytiques (i) de cc, x\ ,..; seulement on regardera a, ft, ..., g non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles variables. On aura, dans cette hypothese,

dx dx dx da dx db

dt dt ' da dt'^ db dt dx' dx' dx' da dx' db

dt dt da dt db dt

• • • >

Portons ces expressions dans les equations {a) et remarquons que Ton a

dx__d^_ dx' d^_

(2) 1 dt dx''^^' dt'^'dx"^'

puisque les formules (i) substituees dans les equations (b) doivent donner des resultats nuls, quelles que soient les quantites a, 6, ..., constantes ou variables; il viendra

dx da dx db dx dc ^,

d^ dt^lbdi'^d^ 5^"*'-""-^-^'

dydadydbdy^dc __y'-o

da dt'^ db dt'^ dc dt'^'' ^ ~ '

dx' da dx' db dx' dc -,

~d^ di'^ ~dT di'^ ~d'^ di'^ ' '^ ^ -'''

dy' da dy' db dy' dc -.

da dt db dt dc dt

VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. l6l

En substituant dans (5), il viendra

'dt ^ Ipi'^ 2d \daj 'dt "^ dfj 'dtj ~'^ dpi'

-^ ^-^ V /"^ ^ -^ ^ f^\ --*- ^.

'^ dqi 2d \d^j dt "^ d^j dt)~'^ d(ji'

ces equations se simplifient eu egard aux relations (4) qui, ayant lieu iden- tiquement, sont encore verifiees lorsque les quantites a et p sont variables, au lieu d'etre constantes. On trouve ainsi

dpi ~ 2d \doLj di "^ op J dt ) '

(6) { ^"^^ ) (/=!, 2, ..., A).

dqi 2d \dixj dt "^ di^j dt ) '

On a la un systeme de 2 A equations renfermant au premier degre les 2 A in-

d(Xi doLh dQi d^h

La resolution de ces equations, que nous allons faire par un procede indirect, fournit pour les inconnues des expressions d'une simplicite remarquable.

Les equations (2) coincident avec les equations {a) et (ft) du n*' 8 de Tlntro- duction; on pent done appliquer les relations (e), (/), (g^), (A) de ce meme numero, ce qui permet d'ecrire ainsi les formules (6),

dp,

(7) i ;::

2d \dpi dt 'dpi dt y

'i "~ 2d \dqi dt dqi dt )

dq

7 = 1

doLj d<xj d^j d^j

oil les derivees partielles -r^y -^-^j —^ —^ supposent que Ton a resolu les

^ opt oqi op I oqi ^^ ^

equations (2) par rapport aux quantites a et p.

Supposons maintenant que, dans les formules (3), on attribue aux quantites

a,, . . . , a>i, Pi, . . , p>i des variations infmiment petites arbitraires Sa,, . . ., Sa>i,

Spi , . . , S^yi, sans toucher au temps ^ ; il en resultera pour /?, , . . . , />>i, 5^, , . . . , y>^

des variations correspondantes et faciles a calculer; R, qui est une fonction de t

et depi, ...^pf^.q^, . . ., q^^ prendra aussi une variation correspondante SR, et T. - I. 21

176 CHAPITRE X.

pas le temps explicitement; il faut entendre par la que, si dans le second membre de la formule (5) on remplaceo:, x\ ...,7, y, ... par leurs valeurs (i), lesquelles sont fonctions de ^ et de a, ft, ..., g^ une fois les calculs effectues, t disparait.

Pour demontrer cette proposition, il nous suffira de prouver que Ton a

— ^ — - — o. dt

On trouve en effet, en partant de la formule (5;,

d\ajy\ _ d^x dx'^ dx d^x' __ d^x dx^_dx d^x' dt da dt db da db dt db dt da db dadt

_ d f dx dx' dx' dx ~d^\'dt 'db^'dT db^"\

dx d^x' dx' d^x

dt da db dt da db

dx d^x' dx' d^x da db dt da db dt

' »

ou bien

()[«, 6]_ d f dx dx' dx' dx \ d f dx dx' dx' dx

" dt ~"da\di 'db'^'dt'dT'^'") ^Jbxdt 'da'^'dT'da

OU encore, en ayant egard aux formules (2),

d[a,^_^/d^dx da_dx[ \__A.(^^ d^dx^

dt da\dx db dx' db "'J db\dx da dx' da

V

. . . I,

ce qui pent s'ecrire, en remarquant que 12 ne contient 6 ou a que par ^, a/, ...,

d\a, ^] __ A ^P _ A ^ - ^'^ _ (>'Q _ dt da db db da db da da db

Dans chaque cas particulier, il ayant une valeur determinee et les fonctions $,, Wt, ... qui figurent dans les equations (i) etant supposees connues, on de- terminera les quantites [a, ft], ... par un calcul algebrique, en partant des formules (5) et(i); on aura ainsi a en calculer un nombre egal a

— ^ ziz h ( xh — I ) ;

1.2 ^ '

on remplacera ensuite dans les equations (6) les symboles [a, ft] par leurs valeurs

VARIATION DES CONSTANTES. — METHODE DE LAGRANGE. 1 77

ainsi determinees et Ton aura, en resolvant ces ih equations du premier degre, les valcurs de ^> —' "' ^ exprimees a Taide de R«, R^, ...» R^ ct de a,

' • • • » §•

On voit que tout cc calcul, qui peut etre tres long, est evite quand on suppose les equations (6) integrees par la methode de Hamilton-Jacobi.

La propriete qui vient d'etre demontree permet souvcnt d'abreger les caleuls, en assignant une valeur particuliere convenablement choisie au temps t qui finalement doit disparaitre.

Supposons, parexemple, queTonfasse ^ = o, etsoienta?o, jo» • • •» ^\^y\^ — les valeurs correspondantes de oc,y, . , ., x\y\ . . . ; on aura

^ ' ^ da db db da ^ da db db da ~

Admettons, ce que Ton peut toujours faire, que a^ b, ... designent precise- ment les quantites ^o>7o» • • •> ^o» fo* • • • ; il viendra

°' ^^ da^o dx'o da^'f^ dx^ dx^ dx'^ dx'^ dx^ " ' '

Or toutes les derivees qui figurent au second membre de cette formule sont nuUes a Texception de deux, -^ et y-?> qui sont egales a -f- 1 ; on aura done

[a'o, x^^\ — H- I »

on trouvera tout aussi facilement

de sorte que les formules (6) deviendront

• • »

Les valeurs initiales des variables x,y, ...^x\y\ ... constituent done un

systeme tres simple d'clements, au point de vue de la methode de la variation

des constantes arbitraires; cependant on n*emploie pas ces elements en Astro- T. - L 23

178 CHAPITRE X.

nomie parce qu'ils entrent d'une maniere trop compliquee dans les expres- sions (i).

Remarque. — Quand on donnera ainsi a t une valeur particuliere /,, si cette valeur depend d'une ou de plusieurs des quantites a, 2^, ...» il faudra avoir soin dene faire / = /, qu'apres avoir calcule les derivees partielles de ^, a/, ..., par rapport a celles des quantites a, ft, . .. qui figurent dans /|. Supposons, en effet, que Ton ait /, = /(a); il est evident que la derivee par rapport a a de op~^^(t,a, b, ...), dans laquelle on fera ensuite t=/(a). ne sera pas la nieme que celle de I'expression $, [/(^)» ^> ^» • • •]•

66. Appliquons la theorie precedente a la determination des mouvements des planetes.

Nous devrons faire

X'=:o, V=:o, 7y=o;

dans ce cas, les premieres des formules (a) donneront

, dx , dy , dz

^=:-7-> >=—,-> z=.---

dt ' dt dt

Les integralcs generales des equations (ft) du mouvement elliptique ont ete donnees au n*' 32; nous les rappellerons bientot.

Fig. «9-

• 2

r

CommeuQons par un calcul preparatoire; tragons la sphere de rayon i, ayant pour centre le centre 0 du Soleil; elle est percee aux points^, j, z par les parties positives des axes de coordonnees, et le plan de Torbite de la planete la coupe suivant le grand cercle NH. Soit ^ le point de cette sphere ou vient aboutir le rayon mene du Soleil au perihelie; prenons, dans le sens du mouve- ment de la planete, Tare ^yj = 90*^, et soit X, le pole boreal du grand cercle \r\. Les axes 0^, Oy], OX, ferment un systeme d'axes rectangulaires que nous aliens considerer, a cote de Tancien systeme Oxy Oj, Oz. Dcsignons par a, p, y; a', P', y'; a", P", y" les neuf cosinus des angles que font les axes du premier

VARIATION DES CONSTANTES, — METUODE DE LAGRANGE.

'79

systeme avec ceux du second, ce qui sera clairement indique par le Tableau ci-dessous :

	4	■n	y
.r	ex	a'	a'
/	(3	P'	?"
^	y	7'	7"

Posons, comme nous I'avons fait anterieurement,

xN — O, IIN7r=9

et

N^^o);

nous aurons

r,)^m — 0, CT — 9 -h 0).

Cela pose, la Trigonometrie splierique nous donnera aisement, par une appli- cation repetee de la formule fondamentale.

' a rz: cosOcoso) — sin0 sino) COS9 (8) I [3= sin(?cosci) -+-cos0sinci)COS9 y = sinc«)sin9

«'== — cos^sinw — sin 0 cos CO cos 9 (3':=;— sin^sina)-HCOS0cosci)COS9

y' z=z cos 6) si 09

<x' =	sin 9 sin 9
(i" .	— cos 0 sin 9
/-	cos 9

On a d'ailleurs les relations bien connues

a

(9)

(3» + y» = I OCX' + pp' + yy' = o, st'« + p'J -i- y'J = , «a' 4- pp' + yy' = o,

a'«+ p'«+ /«= I aV-H (3'P' 4- y'y' = o ;

(10)

r

(7=

-= y' ex" — a' y'

^'z=y(x' — (xy'.

II nous faut calculer les derivees particUes de nos neuf cosinus par rapport a 0, 9 et (o; on trouve aisement, en partant des formules (8), les valours sui- vantes :

(•0

do- i^'	d'} '^'
0?	dO ' *'
dy	dy'

i8o

(12)

(i3)

CIIAPITRE X.
d<^ «sm<.,,	doc' -rr- a COS 6), 0<f
-^ |3's.nc.,,	^^'-P'cosco, dip
dtp '	4 -y ^^o^'-'
dot. , dw *'	da' do)"" *'
	dui i^'
_^y y'	dy' dw ''•

Soient 5, yj, o les coordonnees de la planete par rapport aux nouveaux axes; on aura

(i4) J7=a|H-a'y], v = (3? + [3'y), z:=yl-\-y'n;

d'oii

en faisant

^4 ^,_ ^^

Les formules du n^ 31 deviennent, en y remplacant — /it par x,

(16) n-z^—^i k-=\'(iJL, // — esintt = /i/-i- x;

(17) ? = « (cosM — e), rj — a\/i — c- sinw;

on en tire

du	n
dt	I — e cos «
nas\nu	, Fia\/ I — e^cosu
1 — e cos u	I — e cos a

(18) 4'=-

Les formules (i4). (i5), (i6), (17), (18) et (8) donnent, comme on voit, les

VARIATION DES CONSTANTES. — METHODE DE LAGRANGE. l8l

expressions de x^y, z\ x\ y\ z\ en fonction de / et des six elements

0, w, o,

(19)

«, e, X.

67. II nous faut maintenant calculer les quinze quantites [a, h] par la for- mule (5) en prenant successivement pour a et 6 deux quelconques des ele- ments (19) :

[^,co], [0,9], K9];

[9, a], [0, e], [0, x]; [o), fl'], [o), e], [w, x]; [9,^], [9» ^]» [?> ^^l-

[a, e], [rt, x], [e, x].

Soient K et L deux elements du premier groupe (0, o), <p) : on aura

[R, LJ - ^ -^ - ^^ ^ 4-. . . ;

on a d'ailleurs, par les formulcs (i4) et(i5), en remarquant que ^, y], $', yj'sont independants de 0, w, 9,

(^J7 ^ (^a (^a' (>j; ^ (?a <)«'

dx' ^^doL , doi' dx' ^,do: , da'

d'oii, en substituant dans [K, L],

mais on a

(20) ln'—'f\l'=:l ^ — ^ 5; =:wa*v^ — e'=rAya(i — e*);

il vient done

(

Soient, en second lieu, K un element du premier groupe et P un element du second (a, c, x); a, p, y» a^ PS y' s^"* independants de P : on trouve aisement

I So

iHArrrRE \.

* \

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I i t, ^ z

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^ . .1. iv. -.man? in 'iic..tis

VARIATION DES CONSTANTES. — METHODE DE LAGRANGE. l8l

expressions de x,y, z\ x\ y\ z\ en fonction de t et dcs six elements (19)

( flr, e, X.

67. II nous faut maintenant calculer les quinze quantites [a, b\ par la for- mule (5) en prenant successivement pour a et 6 deux quelconques des ele- ments (19) :

[9,0)], [0,9], [w, ?];

[9, rt], [0, e], [0, x]; [w, ^], [w, e], [w, x]; [9,^], [9, e], [9> ^]- [a, e], [a, x], [e, x].

Soient K et L deux elements du premier groupe (0, o), <p) : on aura

■^ ' J ~ ciK ^ "" "dL ^ "^^ • • '

on a d'ailleurs, par les formules (i4) et(i5), en remarquant que $, y), ^', yj' sont independants de 0, o), 9,

(^o: ^ <)a dcf! dx ^ da da!

dx^ s., da , da' dx' ^,da , da'

^~^ ^R"^"^ ^' 'dL~'^dL'^'^dL'

d'oii, en substituant dans [K, L],

[K.L] = ai0'-r,?')(^^^-^^

mais on a

(^.o) \'r\'—ri^ = \ 777 —TO -i; —nd}\l\ — e^ — ksja{\ — e*];

il vient done

(

Soient, en second lieu, K un element du premier groupe et P un element du second (a, e, x); a, p, y, a', P', y' sont independants de P : on trouve aisement

1 82 CHAPITRE X.

les formules suivantes :

J. |. p^ dx dx' dx dx'

= «

' d«' ^d^' dy'\f dl' ,dl\

Or on tire de (9)

dee fl d|3 <Jy , da' ^, d?' , dv'

dK ^ '^ dK ^ ' dK \ dK ^ "^ dK ^ ' OK J'

il viendra done

'•'^'*^J~(^ dK^-^ dK^'^ dKA^ <^1* dV ^dP^^dP;

ou

ou bien encore, a cause de la formule (20),

(11) t'^'^^j -*v* dK "''P dK'^'^ die; — dP —

Soient enfin P et Q deux elements du second groupe; nous aurons

P p ^ , dx dx' dx dx'

L*^' ^J - dP dQ ~ dQ dP ■*"■ ■ •

-(."dP-*-" dPJ(,"dQ-^* doj-TdQ"^* dQJrdP+« dpj-^--

VARIATION DES ELEMENTS ELLIPTIQUES. I7I

trouve

9

dh __ y/i-A'-/* dK _ v/r-X«^=^ _ __A ^ ^^^"^a d|R

fl^^ "" na* ^A rt«* n-y/i— A* — /« ^e na}sji — h}—t^ ^9

On verra plus loin que i'on substitue a la fonction R un developpement dont les divers termes sont ordonnes par rapport aux puissances des excentricites et des inclinaisons des orbites; on apercevra des lors aisement que, si Ton con- sent a negliger de petites quantites d'un ordre superieur de deux unites a celui des quantites conservees, Texcentricite etant regardee comme du premier ordre, on pent alors reduirc les equations (i6) aux suivantes, qui sont tres simples :

dh _ j^dR dl i_^

De meme, les valeurs de ^ et de ~ peuvent etre sujettes a des difficultes

si (f est petit, ce qui arrive le plus souvent; on les evitera en faisant, par une transformation analogue a la preccdente,

(18) /? = lang9sin0, ^ = lang(pcos0,

et remplaQant 9 et 0 par les nouvelles variables p et q. On trouvera

dp ^ ^dd s\n9 dm

-f- = lang© cos9 -7- -\ r- -±9

dt ^^ dt cos* 9 dt

dq ^ ' r^dO cos Q do

dt °^ dt cos* 9 dt

-^ = langcp COS0 ^- - lang9 sm0 ^ ;

dH sin0 ()R cos 9 dR

('9)

(?9 cos* 9 dp cos* 9 dq

dp _ I cm p /dR m\

dt~^ Aia*v/i-e*cos'9 ^7 .„^«./. Z^^o^c^o^d? \*^ ^^)

dq _ I dR

2na^^i — e'C0S9C0S'-

di nay i-e^ cos' <f dp 2/i«VT^^Cosq>cos»2

, 9 \ OCT ae J

1 84 CHAPITRE X.

lations (8) (i3).

[(?, a] — l/iflr v^i — e*(aP'— ^a') — i/iay/i — c* )/":= ^ /la ^i —e* COS 9,

[9, a]r=iAiav/'— ^'Ma'a'-+-?'?''-+-/7'')sinwi=o.

Pour P = ^, nous aurons

d\/a(i — e^) , ;- c e

et la formule (II) dcvient

[K,.]=-,„.-;«-^(„.|i.p.||H.,.^);

en comparant cctte formule a cellc qui donnait, il n'y a qu'un moment, la valeur de [K, a], il vient

[K,e]=--^[K,a];

il n'y a plus qu'a faire successivement K = 0, K = o), K = 9, et a remplacer [0, a], [o), a], [9, a\ par leurs valeursci-dessus ; on trouvera ainsi

[6, e] =— /i«- -— _^=rr COS9,

[o), e] =1 — /<«-

[9, e]r=o.

Nous arrivons enfin a rapplication de la formule (III).

Pour faciliter le calcul, nous donnerons a t la valeur particuliere

qui annule u; cettc valeur est fonction de a et x; on ne devra done faire / = T qu'apres avoir effectue les differentiations relatives a a et x; on pourra calculer les derivees relatives a e apres avoir fait / = t. En prenant Q = ^, la for- mule (III) donne

( \ r p 1 — -^ ^ — ^ ^ -4- ^- — L — ^ -^-

^^'^ •- ' ^-l ~ (JP de de dV "^ ^P de de dV'

VARIATION DES CONSTANTES. — METHODE DE LAGRANGE. 1 85

les formules (17) ct (18) donnent

5 :=a(i — e), TO =0,

y, I /i 4-e k l\-\-e

pour^ = T;

on en tire

dc,' dri' na i

de ^ ^ de Ji g* * ~ ^

et la formule (21) devient

les relations (17) et (18), differentiees par rapport a P, donnent, en faisant en- suite ^ = T, w = o,

K

5P

apres quoi nous trouvons, par la formule (22), on en tire done

[flr, e] =0, [x, e] = o.

Reste seulement a trouver [a, x]; la formule (III) donne

'■ ' ■' da dA d^ da da dy. dx da *

En partant de (16), (17), (18), diflerentiant par rapport a x, et faisant ensuite ^ r= T, on trouve aisement

du I

(?x I — e T. — I. 24

5:^1

cHirnKF \.

UnvM\s v^S"^ \*^^ '•

\ ••

\ : — f- ; = t ^a I I — r- COS c,

: •

* •

IVur r c*. nous Aurv^n>

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. ' 1 ■ %

fc *

I*

*' V

r '

VARIATION DES CONSTANTES. — MfeTHODE DE LAGRANGE. 1 85

les formules (17) et (18) donnent

^ =a(i — e), TO =0,

pourf = t;

on en tire

dl dr,

dt' df\' na 1

et la formule (21) devient

les relations (17) et (18), differentiees par rapport a P, donnent, en faisant en- suite ^ = T, w = o,

dt,' na fdu\

= ^as/T^^(^^)^J

apres quoi nous trouvons, par la formule (22), on en tire done

[a, e] =:o, [x, e] =zo,

Reste seulement a trouver [a, x]; la formule (III) donne

r^ x1 - -i -^' - -i ^ -4- ^ ^' - ^ ^'.

' da dvi c)x da da dx. d^ da

En partant de (16), (17), (18), differentiant par rapport a x, et faisant ensuite / = T, on trouve aisement

du I

c)x I — e T. - I. 24

1 86 CIIAPITRE X.

et

^' na Or/ __

"5^"""" (I — e)»' dx ""^^

Texpression ci-dessus de [a, x] donne done

/ 9x r 1 na d:, * /' "^^ ^^

^ ' L 7 J (, _g)« ^^ y I — e aa

Differentions ensuite (17) et (18) par rapport a a, faisons ^ = t, et nous trouverons

		3'.-
da ' "'	da I — e da \	/i-he v'a ' x — e da

[ _ V^ —e- dna _ /i + e j/a _ __ , ,^ . A + g.

en substituant dans (28) et reduisant, il vient enfin

[a, x] =: — i/ia.

69. Nous pouvons actuellement ecrire ce que deviennent les equations (6) dans le cas present; nous aurons

[a, e] j^ -+- [a, X] ^ + [a, 9] ^ + [a, c.] ^ + [a, 9] ^ + R« - o,

d'oii, en remplaQant les quantites [<?, e\, ... par leurs valeurs trouvees ci-dessus,

/ D , e/x . d(ji I r dO

/irt'e d(ji na^e cos o dO

i / J g J dt ' i/ 1 />« t/^

V I — e'

(c)

Rx -+- i Aia ^ =1 o,

r, I / ; da na^e cos (p de . > r . do

R(^-h^na\/i — e'C0S9 -r- ^ ->- — /la-y/i — e*sin9 -7^ = o,

^^ i/,_^.i dl ^ ^ dt

y/i_e» rf^

R^-H/Jrt* V ' ~~ ^'Sin9 -7- =0,

dt da na^e de

I R„-f-i«a^/.-.'^--^==^=o

VARIATION DES CONSTANTES. — tlETHODE DE LAGRANGE.

187

da

On tii*e de ces six equations, en les resolvant par rapport aux derivees ^> • • • > Ics formules suivantes :

{d)

\ da

! Tt

2

1: ^^~ Zn ^X)

de 'di

e/9 dJ

de dt

d(ti ~di

na

I — e'

R,

na^e * "^

cos 9

na'^sjx — e* sin 9 I

R

(O

nd^sji — e*sin9

Ro,

/irt* v^i — e' sin 9

cos 9 na^sji — er* sin 9

Ro,

R»-

vi^R

na'-e

dA di

-ri — +

I — e'

R.

R«.

wa* e na

La comparaison de formules (a) et (a) montre que Ton a, dans le cas actuel,

X'=:o, Y'=o, Z'=:o;

„ _ dl\

(4) donne ensuite

Ra=-^^

dR d^ _ dR ^ _ <JR d£ dJ? <)a <?/ da ds da

dR_ da'

les formules (rf) pourront done s'ecrire conimc il suit :

ie)

da dt de dt		2 I — na	d'A	9 (?R			dR dci) '
d<^	— 4-	na'	cos 9 V 1 e»	sin9	dR d&)	na^		I	dR
'di	v.-	— e' sinip	db
d9 dt dt	— 4-	na^ na^	(	I	sin 9 sin 9	dR d9 dR d9			<)R de'
:os9
Ji e- + ^- — I— na^e
dK		I —	e«	dR	2	dR
\ dt		na	*e	de	/I a	da

1 88 CHAPITRE X. — VARIATION DES CONSTANTES. — METHODE DE LAGRANGE.

Si Ton introduit enfin au lieu de co et x les elements xs ci t par les formules

on verra aisement que les formules (e) sont identiques aux formules (A) du n^ 62.

11 convient de rcmarqucr que les formules (d) s*appliqueraient encore au cas oil X, Y, Z ne seraicnt pas les dcrivces partielles d'une meme fonction de a?, y, z ei t; X, Y, Z pourraient meme contenir x\ y\ z' \ seulement R^ aurait alors pour valeur

i{ — X — -4- Y ^ -^ Z — .

da da ' da

Cela se presente quand on veut tenir compte de Tinfluence de la resistance d'un milieu sur les mouvements des planetes.

CHAPITRE XI. — CONSIDERATIONS SUU LES PERTURBATIONS PLANETAIRES. l8()

CHAPITRE XI.

CONSIDERATIONS GENERALES SUR LES PERTURBATIONS PLANETAIRES. ~ PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. - PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE. — INJ&GALITES PERIODIQUES. — INEGALITES SfiCULAIRES. - INEGALITES A LONGUES PERIODES. - PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE.

70. Pour connaitre le mouvement de la planete P, il suffit d'obtenir en fonc- tion du temps ses coordonnecs rectangulaires heliocentriques x,y, z.

En suivant la methode de la variation des constantes arbitraires, nous avons transforme le probleme et introduit, au lieu des trois inconnues x^ y, 5, six va- riables auxiliaires a, e, 9, 0, cy, e. Les relations qui lient Tun a I'autre les deux systemes sont (n° 32)

»=v/^

4- /W )

-— > M --esm« = /I/ 4- e — cj,

V — m /i 4- e u

r = a{i — ecosw), lang ~ V/ _ ^^"o ""'

(0

X =:r[cos^cos(t' — 6) — sin6 sin(i' — 6)0089], Y = r[sin9 cos(r— 9) 4- cos 9 sin (c — 6)0089], \ z =zrsin{v — 0)sin9.

II convient d'ajouter que les valeurs de ^> 'di^^'Jt s'obtiennent en differen-

tiantles formules precedentes par rapport au temps, sans faire varier a, e, ...,£. Nous Savons, d'apres le n** 62, que les variables nouvelles doivent verifier les

190 equations

CHAPITRE XI.

(2)

da tit

dO dt

dm di

dc dt

d^ ~di

dt dt

On a d'ailleurs

na ds

dl\

/ia*v/i — <?* sin 9 ^9

T" >

na

Si/i e^ ^? Aia'e (^e

— V I — ^

- I — ^/i 1- e« c)R

na^e

d£

9

0\\ ^'"^ .

/ia'v/i — e*sin9 ^^

na\^7^e^ \<^ dt )

1. ^

na da

'""Sf c)Il

/m-v

s»,/7zr^«' (^9

F^ + VA

-J I — s'l—e^ d\K

na*e

Oe

(3)

XX'

'\i

-}-(Z-'Z')

yy;

--/

]

x\y,z';x'\ ... designant les coordonnees dcsplanetes P'jP", ..., ct w', m", ... les rapports dc leurs masses a cclles du Solcil.

Si Ton remplace x, y, z par Icurs valeurs (i), a:\y, z\ ... par Icurs valeurs analogues, R deviendra une fonction connue du temps t et des elements a, 0, ... a\ 0', ... des diverses planetes, et les diverses parties de R contiendront en facteur Tune ou I'autre des petites fractions m\ m'\ . . . que nous regarderons, ainsi que m, comme de petites quantites du premier ordre.

Les formules (2) montrent que, au moins pendant un intcrvalle de temps limite, les elements a, 0, ... varierontentredeslimitcsassez resscrrees; il en sera de meme de a\ 0', ...; on pourra, par suite, dans une premiere approximation, considerer les elements comme constants dans les seconds membres des equa- tions (2), et Ton obtiendra des valeurs tres approchees de a, 0, ... par des quadratures.

C'est la Tavantage que Ton trouve a remplacer les trois equations differen- tielles du second ordre en x^y, z par les six equations differentielles (2) du premier ordre, bien que ces dernieres soient assez compliquees, parce que R est loin d'etre une fonction simple de / et de a, 0, . . . .

En operant comme nous venons de Tindiquer, il est toutefois utile d'eviter un grave inconvenient que nous allons signaler. II sera demontre, dans le cours

CONSIDERATIONS SUU LES PERTURBATIONS PLANETAIRES. IQI

de CO Volume, que la fonction perturbatrice R peut en general etre developpee en une serie convergente de la forme

(4) R=:2]^c^s^' oil Ton a

(5) D ^ i {nt -h e) -h i' {n' t -^ b') -h km ~h k-'us' -\-jO -hJO' ;

I, i y A*, k ,j G{f sont des nombres en tiers quelconques, positifs, nuls ou nega- tifs. Les coefficients C sont des fonctions de a, a\ e, e\ (f et ^', qui diminuent en general assez rapidement quand les valeurs absolues des nombres entiers I, r, k, k , y, J augmentent.

Dans I'expression (4) devraientfigureraussi des termes analogues a ceuxque nous avons mis en evidence, et dans lesquels riy e', ... seraient remplaces par

ri' y € y On voit bien ainsi de quelle maniere entrent les divers elements des

planetesP, P', P", . . . dans le developpcment de R.

Les derivees partielles de R par rapport a Tun quelconque des cinq elements e^ 9, G, cT, £ seront exprimees par des developpements de meme forme que (4), sauf que les cosinus pourront etre remplaces par des sinus.

II en va tout autrementde la sixieme derivee partielle -. ; ellese compose, en

effet, de deux parties : la premiere, que nous representerons par (-r- )» s'obtient

en faisant varier a seulement dans les coefficients C; la seconde provient de la variation de a dans n sous les signes cosinus. D'apres la formule (5), les argu- ments D dependent de/i, par suite de a, d'apres la relation

On aura done

dn \da ) dn da^

m

OU bien, en remarquant que n n'entre dans R que par nt qui accompagne tou- jours £,

On trouvera ainsi, en se reportant aux formules (4) et (5),

On voit que le temps / est sorti des signes cosinus; de la un grave inconve- nient que presenterait Temploi de la valeur (2) de ~> la seule des six derivees

1 8a CHAPITRE X.

les formules suivantes :

P„ jj, dx Ojo' dx dx'

dK dP dP dK • ' [K,P]= (^5K+^^j(«iJF+«dp)-(^5K^^5KJ(«5p-^«5p)

dK

V«^-^PrfK^->'5KJv''dP"'' 5p;

P dK ^^ (JK;/ V «^P <^P/

"dK

Or on tire de (9)

"dK^P()K^'^dK -* (JK^i^ dK^^ d^-^'

il viendra done

FK Pl - (x' ^ + 3' ^ +/ ^^ d^-l' ^ -« ^ +«' Ln,rj_(^a ^j^ -t-p ^j^ + / ^j^y^^i; ^j, '^ ()P "dP^''

ou

ou bien encore, a cause de la formule (20),

OP

(11) tK,P]--A^^« ^-hP ^ + y ^j ^,

Soient enfin P et Q deux elements du second groupe; nous aurons

PP -., dx dx' dx dx'

L*'. yj - ^ ^ - ^Q -jp- +• •

H-(0C«'H-PP'+y/)(|^

c)^ <?Tn' (^^' c)y) dl! dri\^

-\-

dQ dP dQ dP dP dQj'

VARIATION DES CONSTANTES. — MfeTHODE DE LAGRANGE. 1 83

d'oii, en vertu des relations (9),

(uu rp m - -^ ^ _ i?i ^?' ^ *1 ^ - ^ ^

^ ^ ^ ' ^J ■" dP dQ dQ dP "^ dP dQ dQ dP '

II ne reste plus qu'a appliquer les formules (I), (II) et (III).

68. Faisons d'abord K = 0, L=:a), dans la formule (I), et tenons comptedcs relations (11) et (i3); nous trouverons

[9, w] = na^ sji — e* ((3a -+- P'a' — a^ — a'(3') — o;

en posant, dans la meme formule (I), K= 0, L = (p, et ayant egard aux rela- tions (i i) et (12), il vient

[0, <p] = nd^sjT^^^ j {ai^" — (3a*') cosw + ((3'a''— a'(3'')sinco j

ou, en vertu de (8) et (10),

[9, 9] z= na}\' \ — e*(— / cosco — y sinco) = — nd^sji — e' sincp.

Enfin la formule (I) donne, pour K = co et L = 9, en so reportant aux rela- tions (9), (la) et (i3),

[w, (p]=:/ia»v/i — e«j (a' a" 4- (3' (3" -h//)cosc.)-f-( aa''-^ (3(3'' 4- y/) sin CO }=io.

Passons a la formule (II) dans laquelle nous supposerons d'abord P = x, ce qui nous donnera

^p = o, [K, x] = o;

il en resulte done

[9, x]=o, [w,x]-_-o, [9, x]i=o.

Si maintenant nous faisons P = a, ce qui entrainc

nous trouverons

k—^ — 3 z=. —^ — ■- — =:i/iav/i— e*

^« isja

[K.«] = i„av'rr:^(«'^-^P'||+/J^);

d'oii, en donnant successivement a K les valeurs 0, co, (p et ayant egard aux re-

1 84 CHAPITRE X.

lations (8), ..., (i3).

[9, a] —.\na\/i — e* ( a^' — (3a' ) ~ ^ na\' i —e^ y' = \ na ^i -^e^ coso, [w, a] = » /laV-V^"? (a'«-i- ?'*-f- /«)::= }/jav^"^^,

Pour P = e, nous aurons

<)\/a(i — e^') __ r- e _ . c 3 = — K\ a —z =. - - na* —=:=. >

et la formulc (II) devicnt

t''-i=-"-:^ilef("'^-^w-''^>

cncomparantccttc formulc a ccllcqui donnait, il n'y a qu'un moment, la valour de [K, a], il vicnt

[K,e]=--^[K,«];

il n'y a plus qu'a fairc succcssivcment K = 0, K = a>, K = o, et a remplaccr [0, a], [a>, a\ [9, a] par leurs valours ci-dessus ; on trouvera ainsi

<^

[C0,6?jr=— //a ^ ^.

[9, e]rziO.

Nousarrivonsenfin a rapplication dela formule (HI).

Pour faciliter le calcul, nous donnerons a / la valour particuliere

*■ n k '

qui annule u\ ccttc valeur est fonction de a et x; on ne devra done faire /=:T qu'apres avoir effectue les differentiations relatives a ^ et x; on pourra calculer les derivees relatives a e apres avoir fait / = t. En prenant Q = c, la for- mule (III) donne

^^'^ L* > <?J - ^p ^^ ^^ ^p -+- ^p ^^ ^^ ^p ;

VARIATION DES CONSTANTES. — METUODE DE LAGRANGE.

l85

les formules (17) et (18) donnent

?-«(«	-e).	•ft —0,	)
?' 0.		"■="V^:=;.\/:::^ i	Dourt t;
on en tire			dri' na i
	de 4/1 -^/?« i—e

et la formule (21) devient

(22)

[P,e] = a

dl

>l

na

dri

(?p'^(,_e)s/r:r^c?P^

les relations (17) et (18), differcntiees par rapport a P, donnent, en faisant en- suite / = T, w = o,

dt,' na (du

5p~"

5P

apres quoi nous trouvons, par la formule (22),

r,. T na^ I du\ nn^ /Ou\

on en tire done

[a, e] = Oy

[x, e] z=z o.

Reste seulement a trouver [a, x]; la formule (III) donnc

' da d'A dA da da Oa d'A da

En partant de (16), (17), (18), diflerentiant par rapport a x, et faisant ensuite / z= T, on trouve aisement

du I

(?x I — e

T. - I.

24

1 86 et

CnAPITBE X.

-^ = O,

0/.

Or) _ /i + e dx y I — e

na

(l-0«

o;

Texpression ci-dessus dc \a, x] donne done

(23)

r T na dX . /' -+-^ dn'

^ •* (i — ey da \ \ —c da

Differentions ensuite (17) et (18) par rapport a a, faisons / = t, et nous trouverons

		, ^'-
da ' ''	dr/ y^i — e- dna da 1 — e da \	/i-\-e \'a 1 \^ e da

'[_ _ \'y—e' dna ___ /i-^e y/g ^^i ^ 4 /I±^- I 1 — e da \ I ^ e da ^yi — e*

en substituant dans (23) et reduisant, il vient enfin

[a, x] z= — i/ia.

69. Nous pouvons actuellement ecrire ce que deviennent les equations (6) dans le cas present; nous aurons

[a, e] ^- H- [a, x] ;^ -4- [a, 9] ^7^ + [a, w] -^

dt

dt

dt

r n^^ i>

= 0,

d'ou, en rempla^ant lesquanlites [^,e], ... par leurs valeurs trouvees ci-dessus,

(c)

l^a'-'kna-^^-'jnas/i^e^ ~ —{na\f^

dt

dt

-^ de

„ na'^e cfw /?a*ecoscp d^j

/ 1 Qi dt J I ^* ^/

1 -. , / ; da na^e cos o de

^0

V^i— e* ^^

/Iff- VI — e'sin9 --^

1=0,

R^-h/2a' y/i — e'sin9 -7-1=0,

r/^

_ , / -da na^e de

Reo -H J /la V 1 — e* -7T ; -rr = O.

V

i — e^ ^/

VARIATION DES COXSTANTES. — HETHODE DE LAGRANGE.

187

da

On tii'e de ces six equations, en les resolvant par rapport aux derivees -r- Ics formules suivantes :

J • • • >

id)

i da ! di

de dt

d(^ dt

de dt

doi

di

d% dt

— R

na

na^e

R,

y/i — e' na^e

R

a»

cos 9

Ra,+

/ia*y/i — e^sincp ^ /ia*y/i — e' sincp

— z^— R9,

Ro,

/la' y/i — e- sincp

cos 9 nd^s/i — e' sin 9

R _V1EZr

na*e

i — e'

'2

-=— Rg H Ra.

La comparaison de formules (a) et (a) montre que Ton a, dans le cas actuel,

X'=o, Y'=:o, Z'=:o;

(4) donne cnsuite

R„=

^^dx_dRd/ OR ds dx da dy da dz da

£R.

da'

les formules (d) pourront done s'ecrire comme il suit :

(«)

da dt de ^dt	4- 4-	na I -- na	dR e^	L (JR (?X			do)
na^e
' rf9	— -h	no"	cos 9 v/i e«	sin9	dR dw	na^		1	dR
dt	v'..	— e* sin<p	fl^(>
dO	H-	na^ na^	<	I	sin9 sin 9	(^9 dR ^9
dt	e^ :os9
dui dt
d^		I —	e'	JR	2	dR
\ dt		na	*e	de	/I a	da

1 88 CIIAPITRE X. — VARIATION DES CONSTANTES. — METHODE DE LAGRANGE.

Si Ton introduit enfin au lieu de a> et x les elements gt ct e par Ics formules

on verra aisement que les formules {e) sont identiques aux formules {h) du n^ 62.

II convient de remarqucr que les formules (rf) s'appliqueraient encore au cas oil X, Y, Z ne seraicnt pas les derivecs partiellos d'une meme fonction dc a?, y, js et /; X, Y, Z pourraient meme contenir x\ y\ z' \ seulement R^ aurait alors pour valeur

Oa da da

Cela se presente quand on veut tenir compte de rinfluence de la resistance d'un milieu sur les mouvements des planetes.

CHAPITRE XI. — CONSIDERATIONS SLR LES PERTURBATIONS PLANETAIRES. l8()

CHAPITRE XL

CONSIDERATIONS GENERALES SUR LES PERTURBATIONS PLANl&TAIRES. - PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. - PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE. - INEGALlTtS PERIODIQUES. - INEGALITES SfiCULAIRES. - INtGALlTES A LONGUES PERIODES. - PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE.

70. Pour connaitre le mouvemcnt de la planeteP, il suffit d'obtenir en fonc- tion du temps ses coordonnecs rectangulaires heliocentriques ir,y, z.

En suivant la methodc de la variation des constantes arbitraires, nous avons transforme le probleme et introduit, au lieu des trois ineonnues ccj y, 5, six va- riables auxiliaires a, e, 9, 6, gt, e. Les relations qui lient Tun a I'autre les deux systemes sont (n° 32)

i"=\/^

— 9 u — es\nu=:nt-he — m,

(I)

/ V , <^ — TS /i H- e u

r =za{i — ecosti), lang =4/ — — laug ->

a: = /*[cos0cos(i' — (5) — sin0sin(r — 0)cos(p], y =: r[sin9 cos(i' — 9) -h cos0sin(r — 0) C0S9],

II convient d'ajouter que les valeurs de ^> di^^'ii s'obtiennent en differen-

tiantles formules precedentespar rapport au temps, sans faire varier a, e, ..., e. Nous Savons, d'apres le n° 62, que les variables nouvelles doivent verifier les

190 equations

CHAPITRE XI.

(2)

da di

cW dt

dxs ~dt

dc_ di

d^ ~di

na dz

-_ -I- V

V 1 — e*

na^e

de

9 ^^"^"^ /^R ^H\

^R

/la da /iaVi — e* <^?

H- V^i — e

- I — v^^"^^^ ^^^

na*e

de

On a d'aillcurs

(3)

R = f m' r , '

JT j;' 4- .VJ^' -H 5-s

-'\i

-\-{z-^z')

..'3

]

a;', y, 5'; a?", ... designant les coordonnecs (lesplanetes P'jP", ..., et m', w", ... les rapports de leurs masses a celles du Soleil.

Si Ton remplace x, y, z par Icurs valeurs (i), x\y\ z\ ... par Icurs valours analogues, R deviendra une fonction connue du temps / et des elements a, 0, ... a', 0', ... des diverses planetes, et les diverses parties de R contiendront en faeteur Tune ou I'autre des petites fractions m', m\ . . . que nous regarderons, ainsi que m, comme de petites quantites du premier ordre.

Les formules (2) montrent que, au moins pendant un intervalle de temps limite, les elements a, 0, ... varierontentre deslimites assez resscrrees; 11 en sera de meme de a', 0', ...; on pourra, par suite, dans une premiere approximation, considerer les elements comme constants dans les seconds membres des equa- tions (2), et Ton obtiendra des valeurs tres approchees de a, 6, ... par des quadratures.

C'est la Tavantage que Ton trouve a remplacer les trois equations differen- tielles du second ordre en x.y^ z par les six equations diflerentielles (2) du premier ordre, bien que ces dernicres soient assez compliquees, parce que R est loin d'etre une fonction simple de / et de a, 0, . . . .

En operant comme nous venons de Tindiquer, il est toutefois utile d'eviter un grave inconvenient que nous allons signaler. II sera demontre, dans le cours

CONSIDERATIONS SUR LES PERTURBATIONS PLANETAIRES. IQI

de ce Volume, que la fonetion perturbatrice R peut en general etre developpee en une serie convergente de la forme

(4) R=i2]^<^osD, oil Ton a

(5) I) = i{nl -\- b) -h i'{n' I -{- b') ~h kxs ~h k'us' -^jO ^JO' ;

I, i\ k, k ,j ety' sont des nombres entiers queleonques, positifs, nuls ou nega- tifs. Les coefficients C sont des fonctions de a, a', e, e\ 9 et 9', qui diminuent en general assez rapidement quand les valeurs absolues des nombres entiers I, i\ k, k\ j\ f augmentent.

Dans Texpression (4) devraientfigureraussi des termes analogues a ccuxque nous avons mis en evidence, et dans lesquels n\ b!, ... seraient remplaces par

n"y t", On voit bien ainsi de quelle maniere entrent les divers elements des

planetes P, P', P", . . . dans le developpement de R.

Les derivees partielles de R par rapport a Tun quelconque des cinq elements e, 9, 0, GT, £ seront exprimees par des developpements de meme forme que (4)» sauf que les cosinus pourront etre remplaces par des sinus.

II en va tout autrement de la sixieme derivee partielle -.-; ellese compose, en

effet, de deux parties : la premiere, que nous representerons par \-t-\ s'obtient

en faisant varier a seulement dans les coefficients C; la seconde provient de la variation de a dans n sous les signes cosinus. D'apres la formule (5), les argu- ments D dependent de/i, par suite de a, d'apres la relation

n}a'^z=i f(i H- m).

On aura done

dn \^ci ) dn da

OU bien, en remarquant que n n'entre dans R que par nt qui accompagne tou- jours £,

da \da ) dB da

On trouvera ainsi, en se reportant aux formules (4) et (5),

On voit que le temps t est sorti des signes cosinus; de la un grave inconve- nient que presenteraitTemploi de la valeur (2) de ^> la seule des six derivees

192 CnAPITRE XI.

des elements qui contienne y-« Malgre la petitcsse du facteur m' qui entre dans

le coefficient C, le tcrme Ct sinD pourrait prendre des valeurs tres grandes, et serait genant de toutes fagons. Voila Tinconvenient dont on a parle; on Tevite comme il suit :

Si Ton a egard a la valeur (6) de ^> la derniere des formules (2) donne, en n'ecrivant pas, pour abreger, les termes en -r- et -r-y

dt na \da ) na dt da

Or on a

dn dn da 54 (?R dn •

dt da dt na de da .

ce qui permet d'ecrire comme il suit I'equation (7),

dt dt na \da J

On est ainsi conduit a prendre, au lieu de e, un nouvel element £^*^ tel que Ton ait

dt^') de dn

(^^ nr^di^^di'

On trouvera immediatement, en ecrivant maintenant les termes en 3- et ->->

de (;<p

9

^^^ dt ~~ na\daj na^Ji — e^ ^? '^^'^ ^^

m

Or on tirecle (8)

£<') zzze-hlt-T-dt^ze-^-nt— I ndt, (io) nt-{-e= I ndt -4- £<*^

On voit done que le changement de variable sera bien facile a faire, puisqu'il se bornera a remplacer dans les expressions (i) de cc, y, z, nt -h 1 = I par

I ndi 4- i^^K La forniule (10) montre d'ailleurs que Ton aura

OR _ d\\ de ■" de^'' '

PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. IqS

Si Ton remplace dans la premiere, la quatrieme et la cinquieme des for- inules(2), -y-par-j-^^ et si on les rapproche ensuite de (9), on voit que les nouvelles equations differentielles ne differeront des anciennes qu'en ce que e et -J- auront ete remplaees respeetivcment par e^*^ et y-j-y H convient, pour ne pas multiplier les notations, de supprimer Tindice de e^'^ et la parenthese de (^); cela permettra de conserver les equations (2) sous leur premiere

forme. Seulement il sera bien entendu que la d6rivee -p y devra etre prise sans faire varier a sous les signes cosinus, et que, dans les formules (i), qui donnent a;, J, Zf nt-h I devra etre remplace par I ndi 4- £. Nous ferons, pour abreger,

/•

ndl=zp^ d'oii n =: -J-;

quand n sera connu, en effectuant la quadrature //ic?/, nous n'ajouterons pas de constante d'integration, parce qu'elle irait se fondre avec e qui accompagne toujours / // di. Enfin nous ferons rcmarquer qu'iei, comme partout ailleurs, la

lettren n'ad'autre sens que celui qui estdefini par laformulen = i/ ^"^ > de sorte que Ton a

Pour determiner le mouvcment de la planete P', il y a lieu de considcrer des equations toutes pareilles a (2), qu'on obtiendra en accentuant les lettres, et mettant an lieu de R la fonction perturbatriee R'. On devra former la derivee

-j-r sans faire varier a' sous les signes cosinus; mais, dans les formules qui don- nent a;', y, z' en fonction de /, a', 0', ..., il faudra remplacer n't -hi' par

in'di-he'; nous poserons aussi ln!dt = p\ La consideration des equations

differentielles en -^> -^y •• • est indispensable, mcme pour determiner le mou- vement de la planete P, quand on va au dela de la premiere approximation.

71. Pour fixer les idees, ne considerons que deux planetes P et P'; nous au-

rons a integrer par approximations successives le systeme des douze equations

T. - I.

S45

IC)4 CIIAPITRE XI.

differentielles simultanees suivantes :

da _ 2^ M

dt na <h

(ii) W? — ' ^

>

^^ ~ n'a' de' '

(12) i^__ L ^^

Oil Ton a

R=:2]CcosD,

(,3) ^ I) = '(p -H £) 4- «''(p' -H £') 4- kw -h k'm'^jQ -\-fO',

I ndl, ^'—in'dt;

C et D' sont de meme forme que C et D.

Nous avons dcja fait observer que les seconds membres dcs equations (u) et (12) sont de petites quantites du premier ordre, a cause dcs facteurs m' et m qui entrent dans les coefficients C et C.

Nousallons chercher a developperles expressions des elements variables sous la forme

a = rto -H Oi «o "+" Oj ^0 -+-...,

(i4) { '

a = ^/q -I- Oj aJq -}- Oj ^0 H- . . . ,

ao» Oo» • • • » «o» ^o» • • • ^^^^ douze constantcs arbitraires dont on trouvera les va- leurs numeriques en comparantla theorie a Tobservation; les quanlites repre- sentees d'une manicre generale par la caracteristique O/ sont des fonctions inconnues du temps /, des constantcs ci-dessus et des masses m etm'; relati- vementa ces masses, tons les O/ seront de Tordre 1; ccuxdes O/ qui se rapportent a la plancte P devront s'annuler avec m\ et contenirw' en facteur, tandis que pour la planete P' ils auront le facteur in.

PERTURBATIONS DES DIVERS ORDRES. IqS

On mcttra ainsi en evidence les quantites o,ao, Sa^o* • • ., ou les perturbations du premier ordre^ da second ordre^ etc., de I'element a, et dc meme pour les autres elements.

II s'agit de calculer ces perturbations des divers ordres. Nous poserons aussi

(l5) n =z/?o hO', /'o+ ^t'^Q 4-. . .

et nousprendrons

(i6) ''^'-'-y—^i —

En substituant les valours (i4) et (i5) de a et /i dans la relation

_ 3

n =

a

il viendra

s * / OiCLq OmClo \

^0 -h ()| /lo H- Oj 'io + • • • = "o IH 1 h . . .

\ ^0 «o /

3 2

_ r 3 ditto 3 3jao i5 /airto\* 1.

''0 I * I" "J- I I "T" • • • »

d'oii, en egalant dp part et d'autre les quantites de meme ordre,

3 Ojrto

iHq — Hq >

2 a^

('7)

On posera ensuite

(i8) p^z^n^i, 3,po= / 5, /lofl?^ dtPo=^ I Ot^'odtf ...,

et la formule p = I ndt combinee avec la relation (i5) donnera

(19) p = po-4-5i?o-+-3jpoH-... ;

S|Po sera du premier ordre, Ojpo du second, etc. On aura des formules toutes pareilles pour la planete P'.

II faut substituer dans les equations diflerentielles (11) et (12) les expres- sions (i4)» (i5) et (19).

196 CUAPITRE XI.

72. Perturbations du premier ordre. — Pour commencer, nous allons faire la substitution indiquec, on ne considcrant que les quantites du premier ordre, ct negligeant cellos du second. On pourra done, dans les seconds membres des equations (i i) et (12) qui sont deja du premier ordre, remplacer a, 6, ... , a', 0', ... par ao,0o, . . ., a^,* O'o» •••> et aussi p et p'par n^t etn^t.On trouvera ainsi

(20) Ro = 2] ^o^^^^o*

(21) Do=/(/io^-+-eo)-+-/'«/-h£;) + A-GTo4-/:'Gj;-hy^o-^y^'o,

dt ~~ HqUq Oso ' do, Op ^ I Mo

Les seconds membres de ces formules sont des fonctions connues det; on aura done

01^0= I -^ — at.

riQals^i — elsinc^oJ <^?o

On est ainsi ramene a des quadratures; il est inutile d'ajouter des constantes

qui, dans les expressions (i4) de a, 6, . . . , iraient se fondre avec a^^ G©, Au

point de vue analytique, toutes ces quadratures dependent d'une seule,

f^Qclt; car on a, par exemple. On aura de meme

^'''^ <5.e;= -L= ff^dc,

n'o «o* V » — ^'0 sin 9^ ^ ^9o

Ro et R'o sont des fonctions tres compliquees du temps t et des constantes a©* 60, ...; de telle sorte qu'il ne faut pas songer a effectuer rigoureusement les quadratures qui figurent dans les formules (a) et (a').

On pourrait bien avoir recours aux quadratures mecaniques; c'est ce qu'on

INfeGALITlfeS PERIODIQUES. 1 97

fait le plus souvent dans la pratique, pour les astero'idcs et les cometes. Mais on n'obticnt ainsi que les valeurs numeriques des perturbations, sans rien con- naitre des lois analyliques qui les regissent. De plus, quand on cherche les per- turbations pour une seule epoque tres eloignee, on est oblige de les calculer pour un nombre considerable d'epoques intermediaires.

Aussi prefere-t-on, dans les theories des anciennes planetes, decomposer la fonction R© en une serie de termes tels que Teffet de chacun d'eux, dans les formules (a), puisse etre determine analytiquement; la serie (20) remplit ces conditions. On trouve, en effet, en tenant compte de Texpression (21) de D© et en ayant egard a la fagon dont les quantites e©, 9o» • • • entrent dans les coeffi- cients Co et dans les arguments Do,

de

0

= — 2 iCoSinDo,

dBo ^ dC

dcpo ^ ^9o

2^!^^^»-

Les formules (a) donnent ensuite

1 S^ao — V iCo / sinBodc,

n^al \Ji — el sm<po ^^ V^^o *^ /

On voit sans peine que les seconds membres des quatre equations qui n'ont pas ete ecrites ne contiennent non plus que les quadratures

/ sin l^odt el / cosDoC^^.

Or, en se reportant k Texpression (21) de Do, on trouve

/• rk J. cosDo r ^ ,, sinDo

smDofl?^ = — 7-— -^TT/ » I cosho dt= / ■

II vient ainsi

^ 2 ^ ItipCOSlio

iCoCosD,,

(b) { J ^sinDo

$1 9q =: X, ■: v~T '

'0

198 CUAPITRE XI.

On voit que chaque terme CoCosDo ilu developpement de R© donne naissance a des termes corrcspondants, ou, pour employer le langage des astronomies, a des inegaliles correspondantes dans les expressions des divers elements. Ces inegalites sont en general /^enW/yi/e^ comme les termes de R© d'oii elles deri- vent; cellesque Ton a mises en evidence dans les formules {b) ont pourperiode la periode meme de Targument D©, savoir

T,z= ^"^

i/io -+- i' /i'o

Si Ton pose

on pourra ecnre

T2 Tt _,, 2 71

0 — > * 0 — ~^'

''0 /'o

_L — jL L T, - To "^ t;

Les nombres entiers i et i' ont en general des valours peu considerables, parce que, dans la formule (20), Ics coefficients C© diminuent assez rapidement quand i et 1' augmentent. La periode T| sera done comparable aux durees des revolutions To, T'^ de deux planetes fictives peu eloignees des planetes reelles.

73. In6galit6s s^culaires. — Les formules {b) sont en defaut quand on a

cela arrivera d'abord si les nombres i eti' sont nuls tons les deux, cas que nous allons considerer immediatement.

Nous envisageons done, dans le developpement (4) de R, les termes qui sont independants des longitudes moyennes let I'; pour ces termes, t disparaitde Texpression (21) de D© qui doit des lors etre traite comme une constante; on aura

I sinDorf^= ^sinDo, / cosDo<i/=: ^cosDo.

Si Ton porte ces valours dans les formules (22), et qu'on y fasse i = o, il viendra

}$,e,=:.- — __L= — yf2

cos Do,

INEGALITES A LONGUES PERIODES. 1 99

Le signe 2] ne porteplus maintenant que sur les indices k, kf.jetf.

Les termes que Ton vient de considerer dans R introduisent done dans Te- lement 0 des parties proportionnclles au temps, et il est tres aise de voir qu'il en est de meme pour les elements e, <p, xs, e. Ce sont la les lnegalites sfecuLAiRES de ces cinq elements. Les termes de R qui les produisent sont appeles par exten- sion lermes seculaires.

Les inegalites seculaires, variant constamment dans le meme sens, acquie- rent une importance capitale quand on envisage deux etats du systeme solaire separes par un intervalle de temps considerable, forme d'un nombre plus ou moins grand de siecles; elles modifient son aspect d'une maniere tres sensible; tandis que les inegalites periodiques, au botit de I'intervalle en question, se compensent en partie, ou du moins restent comprises entre les memes limites.

II importe de remarquer que, dans la premiere approximation^ les grands axes des orbites n ont pas d' inegalites seculaires; c'est ce que montre la premiere des

formules (c). On voit que cela tient a ce que Texpression (2) de ^>

da 2 dK

dt na de

ne contient que-n-> quantite qui se reduit a zero, pour /= i'=o; les cinq

autres derivees partielles ^? -^ > -p? -te> ^ ne se reduisent pas a zero dans les memes conditions, et Tune au moins de ces derivees partielles figure dans

, . y \ ^ de do dQ dxs ^ de

les expressions (2) de ^, J, ^, -^ et ^^.

Le moyen mouvement n n'a pas non plus d'inegalite seculaire; c'est une con- sequence de la premiere des formules (17),

(26) driQ^zz riQ ,

qui donne S, /lo = o, quand on suppose 8 ^ao =0.

L'absence d'inegalites seculaires dans les expressions de a et n, dans la pre- miere approximation, constitue le Theoreme de rinvariabilite des grands axes et des moyens mouvementSy theoreme fondamental que nous aurons occasion de completer, et qui sert de base aux theories des mouvements des planetes.

74. In6galit6s it longues p6riodes. — II nous restea examiner ce qui arrive lorsque I'equation

(2^) i/io-f- e'/ijj=o

200 CHAPITRE XI.

est verifiee sans que let i' soient nuls; on aurait done dans ce cas

no ___ i[

c'est-a-dire que le rapport des moyens mouvements n^ et n^ serait rigoureuse- meni commensurable, Les valcurs de tIq et n^, qui sont liees a a© ©t^'o P^^ '^ ^^^' mule (iG) et sa correspondantc, doivent etre tirees des observations; les valeurs numeriques ainsi obtenues ne sont exactement commensurables pour aucune combinaison des planetes prises deux a deux. Mais il y a en revanche un assez grand nombre de commensurabilites approchees. Ainsi, il arrive frequemment que, pour des valeurs entieres convenables des indices i et «', en general peu considerables, la quantite in^-k- i'n^ est petite par rapport a n^ et /i'^, de sorte que la condition (24) est verifiee approximativeinent.

Si Ton considere les tcrmes du developpement do R pour lesquels i el i ont ces valeurs parliculieres, les inegalites periodiqucs des elements, calculees par les formules (6), pourront etre tres sensibles, en raison du petit diviseur in^ -f- i' ri^ qui figure dans ces formules.

La periode T, = ^r-r do ces inegalites sera tres grande par rapport a

'''0 ~i ' '•ft

'0

0 = — et T„ = —J car on aura

T, I T,

To litU^i'n^\ T; /inp-hi'n^

Ces inegalites, qui sont en quelque sorte intermediaircs entre les inegalites seculaires et les inegalites pcriodiques ordinaires, ont regu le nom A'inegalites a longues periodes; elles jouent dans notre systeme planetaire un role tres im- portant. '

C'est surtout dans Texpression de la longitude moyenne que ces inegalites sont tres sensibles. On a en effet

d'ou

/ =Z /q -f- (5l /(, -f- ^2 /^ -h . . . , /o = /io ^ + ^0'

5, /o = 5ipo+ <5ieo»

(25)

Or les formules (18) et (23) donnent

2 «o ./

INEGALITES A LO^GLES PERIODES. 201

d'oii, en remplacant o^a^ par sa valeur (/>),

, ^ 3 ^ £ Co sin Do

ce qui montre que cclles des inegalites dc la longitude moyenne qui provien- nent de p conticnnent le petit diviseur mo -f- i'n^ au carre, tandis que ce diviseur ne figure dans les autres elements qu'a la premiere puissance.

Quand on connaitra les valeurs numeriquesde n^ ct n'^, il sera facile de trou- ver les nombres entiers i et i', tels que in^ -h i'n^ soit tres petit par rapport a Hq

et n'^ : il suffira, en effet, de convertir en fraction continue le rapport -^; les

nombres i' devront etrepris dans la serie desnumerateurs desreduites, changes de signe, et les nombres i dans la serie des denominateurs. Avec ces nombres, on formera la suite des valeurs de in^ -h i'n^j et Ton verra si, parmi elles, il s'en trouve une tres petite. Si, pour arriver a ce rcsultat, on est oblige d'employer de grandcs valeurs de i et i', les inegalites a longue periode correspondantes seront generalement peu sensibles, a cause de la petitesse du coefficient Co; il s'agira du reste de s'assurer de Tordre de grandeur de Texpression

( in^ -h i n^ )*

Pour la planete P', dont le mouvement depend de la force perturbatrice R', il y aura des inegalites a longue periode correspondantes.

On a, par exemple, pour Jupiter et Saturne, en prenant le jour solaire moyen pour unite de temps,

710= 299^1284, n'o= 1 20% 4547;

on trouve aisement

n'

i4

• >

2 5

les reduites successives sont-> -> •••? etTon a

I 2

5w'o — 2/^o=^4'^o'^7= ~? ~ ^ (environ). On voit que les termes de R et R' qui sont de la forme

Ccos(2/-- 5/'-i- ytro -f- ^'ro'-f-y ^ -f-y 6') T. - I. 2G

202 CHAPITRE XI.

peuvent donner naissance a des inegalites periodiques tres sensibles, bien que les coefficients C et C soient assez petits; Icur periode sera egale a environ 74 fois celle de Jupiter, soit tout pres de 900 ans.

Ces inegalites sont, en effet, tres considerables dans les longitudes moyennes, et la longitude heliocentrique de Saturne se trouve alteree, par ce fait, d'en- viron 5o'.

75. Perturbations du second ordre. — La consideration des inegalites du premier ordre ne suffit pas generalement pour etablir les theories des planetes; on est oblige d'avoir egard aux perturbations du second ordre, ou du moins aux plus importantes de ces dernieres. Nous allons donner, des a present, quelques indications a ce sujet.

Considerons Tune quelconque des formules (2), celle par exemple qui donne

:7T> et ecrivons-la comme il suit

at

dO

~ = mT(p + £, p'-h£', Oy a'y ...);

nous allons y substituer

et egaler de part et d'autre les termes du second ordre. On developpera, par la formule de Taylor, I'expression

en negligeant les carres et les produits des quantites S,. On trouvera ainsi, en designant par F,, ce que devient F quand on y remplace p, e, ... par po, £o» • • • »

On mettra dans le second membre, pour les perturbations du premier ordre, les expressions obtcnues precedemment. On aura deduitdu developpement (20) de Ro un developpement analogue pour la fonction F^,; c'est de la qu'on

tirera les expressions de . % ,-,-> • • • qui figurent au second membre de la for- mule (26); il faudra cffectuer les produits tels que -3-"SiPo' ^t les mettre sous

une forme commode pour I'integration. Finalement, on obtiendra ^^^q par une quadrature; on n'ajoutera pas de constante d'integration; on calculera de meme les perturbations des cinq autres elements.

PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE. 2o3

Pour ce qui concerne Oap^, on tire des formules (17) et (18)

(27) o,po = — -— / o,fl(o</'-l--g- -, / {OiaoYdt.

On peut aussi dinger le calcul autrement, en partant de la formule

qui se deduit aisement des relations

dp i ^ c/ \ \ • da 2 OR

dt dt na Oe

mais e'est un sujet sur lequel nous aurons I'occasion de revenir.

S'il etait necessaire de calculer les inegalites du troisieme ordre, on egale-

rait, par exemple, la valeur de —^ au produit par m' de I'ensemble des

termes de second ordre dans le developpement par la formule de Taylor de Tex- pression

La methode est, on le voit, des plus simples; il n*en est pas de meme des calculs, qui se compliquent singulierement avec Tordre des perturba- tions. Fort heureusement, dans les theories des anciennes planetes, on n'a le plus souvent a calculer que quelqucs inegalites du second ordre; il y a lieu de faire toutefois une exception pour Jupiter et Saturne ou le nombre des inega- lites du second ordre dont il faut tenir compte est considerable; on est meme oblige d'avoir egard a quelques inegalites du troisieme ordre. On doit convenir que, dans ce cas, la substitution des six elements variables aux trois coordon- nees d'une planete parait ctre une source de complications; car cela augmente beaucoup le nombre des termes a considerer dans les developpements ou inter- vient la formule de Taylor.

Nous ferons remarquer que la methode suivie, qui revient en somme a deve- lopper les perturbations des elements suivant les puissances des petitcs quan- tites /n, m", ..., ne peut pas etre employee pour un intervalle de temps indefini. Elle convient pour un certain nombre de siecles, ce qui tient a la pctitesse des inegalites seculaires quand il s'agit d'un pareil intervalle; cela suffit aux besoins actuels de TAstronomie. L'emploi de la formule de Taylor suppose, en effet, que les quantites 5,0,,, S,gt^, ... SaO^, ... restent toujours assez petites pour que la convergence des series soit assuree ; or, S|0^, S,gTj,, . . . contiennent des termes de la forme Am't; ces termes, qui sont petits pour des intervalles

204 CIIAPITRE XI.

moderes, a cause du facteur m', finiraient par grandir au dela de toute limite, et, a supposer que Ics series restcnl convergcntes, elles ne seraient plus d'au- cune utilite pratique.

76. Poisson, dans la theorie du mouvement dc la Lune, pour laquelle les ine- galitesseculairessont considerables, a apporte une modification utile auprocede donne plus haut pour le calcut des perturbations des divers ordres; bien que nous nous proposions d'etudier ce point conapletement dans le tome III de cet Ouvrage, nous croyons utile d'en parler des a present, etd'une maniere generale.

Nous considerons toujours, pour fixer les idees, deux planetes P et P", etnous ecrivons les equations differentielles sous la forme

dO

— -- m'¥{p r £, 6, GT, a, .... p'4-e', . . .)>

--TT ~ m'<S>{p ~\- e, 0, U5y a, . . . , p'-i- e', . . .),

(2q) { de

* -J- —m'W(p-h tyO.xs, a, .... p' -he', . . .)>

da

di ~~ '

En ayant specialement en vue les inegalites seculaires des elements 0, cr, e, designons par X, [jl et v trois constantes indeterminees, par 0,, cr, et e, Irois nouvelles variables, et posons

les formules (29) pourront s'ecrire comme il suit :

in

- i rr m'[F(p4-£i-h vm'/, Oi~\-lm'l, TSi-h ixin't, ...) — ^].

dc

dxsx ~dt

Tt da

\ Tt

Cela pose, on pent appliqucr la methode primitive aux equations (3i) et faire

^1 — ^o-t-^i^o-HOi^o-H...,

?> '^

CTi ^= Wo~H ^1^0"^" '^i^o'^- • •

PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE. 2o5

en designant de nouveau par 6^, xs^, . . . des constantes arbitraires ; seulement, quand on developpera les fonctions F, $, ^, . . . suivant les puissances et les prod uits des S,, Sa, . . ., on aura soindene pasfairesortirlestermesX/n'/, [xm'/, vm't des signes F, $, Ainsi, par exemple, on ecrira

F(p-l-e -f-v/n'/, , , ,) — 'F{pq-\- eQ-^-vm't, Q^-\-'km' t, xs^-}- ixm't, ...)

<^F ,^ ^ .

■^ 7)7" (°iPo-+-Oi£o)-+-

On determinera cnsuite les inconnues X, [x et v de maniere que les expres- sions de 6, , GT, et e, , fournies par les approximations successives, ne contiennent pas de parties proportionnelles a t.

On applique generalement le premier terme dc la transformation precedente, meme dans le cas des planetes. On calcule en effet le plus souvent, dans la premiere approximation, les inegalites periodiques en substituant dans leurs expressions les elements e, gj, 0, e', ccr", 0' augmentes de leurs inegalites seculaires. Si, par exemple, on considere dans le developpement de la fonc- tion perturbatrice le terme dont I'argument est

on prendra dans les formules (22)

/

— cosDo

sin Do ^^

i(/io -hvm')-\- /'(/^o 4- v/n) -\- k[>.m' -\- k' ix' m -hj'vm' -^j'v' m

11 convient de remarquer qu'en operant ainsi on tient compte, des la pre- miere approximation, de termes qui sont du second ordre par rapport aux masses.

Apres avoir donne ces indications generales sur le calcul des perturbations, nous devrions nous occuper du developpement de la fonction perturbatrice R sous la forme (4) mentionnee au commencement de ce Chapitre.

Nous traiterons cette question avec toute Telendue desirable; nrais nous com- mencerons par un certain nombre de recherches et d'etudes preliminaires, qui nous servironl a etablir le developpement cherche.

2oG CHAPITRE XII.

CHAPITRE XII.

TRANSCENDANTES DE BESSEL.

Nous aurons besoin frequemment, dans la suite de cet Ouvrage, de certains developpements en series des coordonnees d'une planete dans son mouvement elliptique autour du Soleil.

Les /onctions ou transcendantes de /?e^^e/constituant la base de ces develop- pements, nous croyons utile de presenter ici une theorie concise de ces fonc- tions.

77. Considerons I'expression

(i) Z^E^("'),

dans laquelle E designe la base des logarithmes neperiens, x ^iz deux quan- tites quelconques reelles ou imaginaires (nous supposerons neanmoins dans ce qui suit X reel); cette fonction pent etre developpee en une serie convergente suivant les puissances positives et negatives de z. On a, en effet,

r

E* est developpable en serie convergente suivant les puissances de -s et E

Test aussi suivant les puissances de — > en exceptant toutefois le cas oil le mo- dule de z serait egal a zero; on aura

Ke ae

^ i.2...a ' ^ 1.2... (3 " '

a=o p=o

TRANSCENDANTES DE BESSEL. 207

on en conclura

a=« p = oc (_,)P^f\

\a+p

^ ^ Zti Z^ 1 .2. . . a. I .a. . . (3

a=o p=o

Nous ferons

i=-+-«

E?(' »)= 2 '''(^)^''

I =—06

(I)

c'est-a-(lire

Z=: Jo(a:) -h Jj (a;)-s -f-J, (a;) -5* -f-...-f-J/ {^x)z^ -f-...

Nous allons chercher les expressions generales et les proprietes principales des fonctions J/(^) qui sont les fonctions de Bessel.

L'expression (i) ne change pas quand on remplace z par — -; nous aurons done

Z=:Jo(^) — J-l(^)'5 -f- J_,(a:)-5* —...-h(— l)'J«;(j?)5' H-...

La comparaison de ces deux expressions de Z donne

(II) J_,(a:) = (-!)' J,(^).

On pent done se borner au cas ou I'indiee i est positif.

Si, dans la formule (2), nous faisons a = p -f- 1, de maniere que I'exposant de z soit egal a t, nous trouverons pour le coefficient de 2' dans Z, c'est-k-dire pour J/(a7), Texpression suivante

J/^^J-^ i.a...(3.i.2...{t + P)'

d'ou

(III)

J© ( «^) — ^ i I i i • • •

J,(x) =

(1)' r. (f)' , (f)' 1

1.2... «L i.(«-i-i) 1. 2. (t -+-!)(« -4-2) J

2o8 CHAPITRE XII.

On conclut de (Il)et(III)

La serie qui figure dans Tcxprcssion de J/(^) est convergente; car, si Ton consi dere les deux termes consecutifs (— lYup et (— i)''"^* «/h-i» on a

(0

fVM

et cc rapport tend vers zero quand/? croit indefiniment. La convergence sera d'autant plus rapide que x sera plus petit et i plus grand; si x est considere commc une petite quantite du premier ordre, J,(a?) sera de Tordre i.

Les fonctions ii(oo) avaient ete considerees avant Bessel par Fourier dans sa Theorie de la chaleur; aussi leur donne-t-on souvent le nom de fonctions de Fou- rier-Bessel.

L'equation (I) pent s'ecrirc, en tenant compte de (II),

E* V '^ = J,{x) + J,(x) {z^-hz-^) 4- J4(^) {z^-hz-') 4-. . .

faisons, dans cette formule,

il viendra

E-'v^~*«'"? = Jo(^)-i- 2jj(a:)cos29-i-2j4(x)cos49-f-. . .

-f- v^— ^ [2Ji(^) sin9 4- 2j,(ar) sin39 4-. . .].

Supposons a? et 9 reels; nous aurons, en egalant dans les deux membres de Tequation ci-dessus les parties reelles et les coefficients do y^— i ,

I cos(a?sin9) = Jo(ar) 4- 2jj(j7) COS29 4- 23^{x) cos49 H-. . . (IV) j •

( sin(j:sin9)=: 2j,(j7)sin9 4- 2j3(a;) sin39 4-

On voit done que les fonctions de Bessel permettent de dcvelopper en series periodiques les expressions (a? sin 9).

TRANSCENDANTES DE BESSEL. 209

En changeant 9 en 9 -f- -> il vient

Icos(a:cos(p) = Jo(^) — 23i{x) COS29 -f- aJiC^) cos49 —...7 sin(a?cos(p) = 2Ji(^) coscp —213(^)005394-....

78. Entre trois fonctions consecutives J|_,(^), J|(^), J|+i(^), il existe une relation tres simple que nous obtiendrons en differentiant Tequation (I) par rapport a z, ce qui nous donnera

ou bien

— «o

d'oii, en egalant dansies deux membres les coefficients de s'-',

(V) iJ,(x) = ^[3,Mx) + 3,-d^)y,

c'est la relation cherchee. Soit T une quantite quelconque; on a

E? (-a [._ I (. H- i)] = 2 ['.<-) - .i-iM±w£)] .,

OU bien, a cause de la relation (V),

(3, EKH)r,_t(,,i)]=2"(,_.j)M.).'.

1= — «o

cette formule a ete employee par Cauchy dans un de ses Memoires.

La relation (V) est utile surtout pour les determinations numeriques. Sup- posons qu*on veuille calculer Jo(^), Ji (^)f hi^)^ .--t J/(^)» ^ ayant une valeur connue; on calculera directement Jo et J, par les series (III); la relation (V) donnera de proche en proche Jj, J3, ..., J/, mais avec une precision qui ira en diminuant a mesure qu'on s'eloignera du point de depart. On v6rifiera J/ en le calculant directement par la serie (HI).

Toutefois, il vaut mieux avoir recours au procede suivant ;

Posons

W Pi — T^ Pi = l-^ "y Pi=l — ^ Pi-^l —

9 • •,

Jo Jl J/-1 Jf

T. — I. 27

2IO CHAPITRE XII.

nous en tirons

J J = Jo./?i)

/ 5 \ I J J ^== Jo 'P\ Pi »

I 7

J/ = ^O'PiPt' ' 'Pi'

On est done i^amene, crunc part, au calcul de J© par la serie (HI); d'autre part, au calcul de/?,,^2» •••»/>/• La relation (V) pcut s'ecrirc

2/ .!/», . J/+,

ou bien

X Pi

d'oii Ton tire successivement

I

Pi=r-

21

- - Pi^^

(7) _ I

Pi+\ — r?

at -<- a

On aura done ce developpcment de/>j en fraction continue :

(8) /" = 77

2{

:r 2/ H- 2

X 214-4

a:

On calculera/?/ par cettc formule. L'equation (6) donncra ensuite, pour le calcul de />/..,• '"^ Ptf

I 21 — 2

I 2 / — 4

(9) \ P'-*

X

— Pt-u

I 2

TRANSCENDANTES DE BESSEL. 211

Voici done I'ensemble du calcul :

On determine directement J© et J, par les series (III), Pi par la fraction con- tinue (8), Pi-n Pi-2f .••»/>! par les formules (9), J,, Ja* ...» J* par les rela- tions (5); la valeur trouvee ainsi pour J,- devra coincider, dans les limites de la precision cherchee, avec la valeur obtenue directement. S'il en est ainsi, tout le calcul se trouvera verifie.

La fraction continue (8) se calculera elle-meme par cet ensemble de for- mules

I

Pi-^J ^^ — : -^

X

P/-»-y-i =

3^4-2/ — 2

F P'-^

I

ou le nombre y aura generalement une valeur peu considerable, telle que i, 2, 3f et que Ton determine rapidement par tatonnements : le calcul est plus facile quand on a recours aux Tables de logarilhmes d'addition.

Dans son Memoire sur la determination des perturbations absolues dans les ellipses d^une excentriciti et d^une inclinaison quelconques^ Hansen a calcule des Tables numeriques donnant avec six decimales les valeurs de Jo et J| ; I'argument

est -; il varie de o a lo, en augmentant chaque fois de la quantite con-

stante o,o5.

Dans le Tome I des Mdmoires de Bessel, publics par Engelmann, on trouve, p. io3y des Tables donnant avec dix decimales les valeurs des fonctions Jq et J| : Targument est a?; il varie de centieme en cenlieme, depuis o jusqu'a 3, 2.

On pourra evidemment faire usage de ces Tables pour determiner Jq dans le precede de calcul indique plus haut.

79. On pent exprimer la derivee de J,(^) en fonction de J,-4., (^r) et de J,_, (x) ; il suflfit, pour y arriver, de difTerentier Tequation (I) par rapport a a?, ce qui donne

K=-;)2''W='=2^'"^

en egalant dans les deux membres de cette equation les coefficients de 2', il

212 CUAPITRE XII.

vient

On tire de la

dx'-

V' 'lY dx dx \

ou bien, en remplagant les deux derivees premieres par leurs valcurs conclues

de (VI),

Or on lire de la relation (V)

(«-M)J/^,(^)~^[J/_^,(jr)-hJ,(a?)],

d'oij

(I — i)J/_i(x)=^[J;_,(a;)-hJ/(x)],

OU bien, a cause de (V) et (VI),

^ i^3i{x) — 2 — ^^ = f [J/-Ht(^) — 2j;(a;) -h J/-,(a?)] -h aj? J^(j?);

en combinant cette equation avec Tequation (lo), on trouve enfin

cette equation dilFerentielle que verifie la fonction h(^) est lineaire, du deuxieme ordre, a coefficients variables et sans second membre; elle est trfes utile quand on veut faire une etude approfondie des fonctions de Bessel. Ecrivons, comme il suit, la formule (I)

1 1

en changeant 5 en -> il vient

E *^' ''=h{-r)-h^3i{jr)z-'+^{-ty3t{x)z';

TRANSCENDANTES DE BESSEL. ai3

si nous multiplions ces equations membre a membre, nous obtenons unc equa- tion do la forme

I = Ao 4- 2 A/-' 4- 2^-/5

1

qui, (levant avoir lieu quel que soil Zy nous iburnit les relations

A^=o, A-, = o;

nous ne developperons que la premiere, qui nous donne

(VIII) i = j;(x)-f-2jJ(x)-haJJ(x)-f-....

Cette formule curieuse montre que, x etant suppose reel, la valour absolue de Jo(^) est plus petite que i, et que celle de chacune des fonctions suivantes

J, (a?), JaC-r), ... est inferieure a -p*

On pourrait verifier la formule (VIII) en partant de I'expression suivante, a laquelle on arrive assez facilement pour le carre de la fonction h(^) •

/?=•

I .2.3. . .(2/0) \2/

(IX) J?(^)-2(' ')'' \l,2...(p^i)][l,2..,{p-hi)] (l.2...py'

p=i

80. On pent exprimer J,(^) par une integrale definie.

Revenons, en effet, a la formule que Ton obtient en remplacant, dans (I), zpar

E^^^, savoir

S = — SB

on en tire

/ E'v^-»"»?E-^?v^e/(p= 2^ Jp(or) I E(/'-'>?^e/9,

ou, en remarquant que Ton a

,_^i=:o pour ^^o,

^ ( =27r pour 7 = Oj

11c

2l4 CUAPITRE XII. — TRANSCENDANTES DE BESSEL.

V--I disparait du second membre decette formuie, comme on le voitaisement, et ii reste

f cos(i9 — a?sin9)cf9

0

ou plus simplement

(X) J;(x):zz-/ cos(i<p — a:sin9)c^9.

On pent obtenir une autre forme en operant commc il suit : L'expression generate (III) de J/(^) pent d'abord s'^crire ainsi

^ ' ^ ' l^2,[\.,,2l ^ 1.2. ..2p 2.^. . .(2l-\- 2p) J

Or on a cette formule bien connue, dans laquelle A ct B designent deux nom- bres entiers positifs,

jf sm«A9COs'B9^9=t 3.4. ■ .(A 4- 2B) ^^'

on en tire, en iaisant A = iet donnant successivement a B ies vaieurs o^ i,...,p^

2

f sin"cpc^9,

1. 3... (2/? — i)

2.4. . .(2i-\'2p)

f sin'^9 cos*'' 9^/9,

0

En portant ces vaieurs dans la formule (i i), il vient

, , ^ X^ \ C^ ^ ^t \ ^*C0S*9 (--l)''J7«/'COS'''9 1 ,

'^ ' I.3.. .(2i — l) TT Jj, ^L '2 \.2...2p J ^

ou bien

(XI) ii{x)= 1,3,, Ta^_i) ^J cos(a:cos9)sin«'9rf9.

Cest la seconde forme cherchee; elle a sur la premiere Tavantage de mettre en evidence le facteur x^\ si x est considere comme une petite quantite du premier ordrc, J|(ip) sera de Ford re 1.

CHAPITRE XIII. — APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 21 5

CHAPITRE XIII.

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL AU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.

81. Th6or%me pr61iminaire. — Soit/(JJ) une fonction periodique de ^, dont la periode est 211, qui reste finie pour toutes les vaieurs de ^; cette fonction est('), pour toutes les vaieurs recUes de rr, developpable en serie convergente comme il suit :

I /(t) = iAo-t-(AtCosC-t-BjSinC) -t-(A,cos2C -t-B,sin2C) -t-. . . ( -t-(A/COSiC-t-B/sinit)-t-

Les coefficients]A etBpeuvent etre exprimes par des integrales definies; on a, en effet,

cette expression de A/ convicntaussi pour i= o, si Ton a eu soin, comnie nous Tavons fait, de mcttre dans la formule (i) ^ A^ et non A^.

(1) Consid^rons une fonction quelconquo do C, 4>(i;)} ot portons notre attention sur les limites o et 9.7: do C et sur les vaieurs correspondantes de 4>(() que nous supposons finies. Le th^or^mo de Fourier ot la demonstration de Lejeunc-Dirichlet nous apprennent que, dans cet intervalle, on peut toujours trouver un d6veloppement periodique convergent do la forme (1), c*cst-d-dire

/(5) = ^AoH-(At cosC-4-Bj sinC) -+-•••-+- (A/ cosi'C -4- B/ sin jO-t- • • »

tel quo, dans tout Unlervalle consid6r6, on ait /(C) = *(0> ^t co d6veloppement est unique; la

2l6 CHAPITRE XIII.

On en conclut que \e developpemcnt periodiquc (i) n*cst possible que d'une scule manierc.

Si la fonction/(2^) csipaire^ les sinus doivcnt disparaitre de la formule (i); on a, en efTet, par hypothese, pour toutes les valeurs de 2^,

(3) /(0=/(-0;

en remplacant/(^) et/(— JJ) par leurs valeurs dcduitcs de la formule (i), sup- primant les termescommunsaux deux membres, il reste

o = Bi sin C 4- B, sin 2 C -+- . . . -h B/ sin I'C 4- . . . ;

cette equation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de 2^; on peut appliquer la derniere dcs formules (2), en rempla^ant sous le signe / la fonction /(^) par o; on trouve ainsi

Bi = o, B,=:o, ...;

done, dans ce cas, le developpement (i) se reduit a

(4) /(C) = iAo4- Ajcost-t-. . .-h A/cosiC-h

On conclut de la formule (3) la relation

/(27r-0 =/(?); on a, d'ailleurs,

cos£(27r — 0 = cosi?; si done on considere les valeurs de Telement differentiel de la formule

A/=iy /(OcosiCe/?,

qui correspondent aux valeurs ^ ct 21: — !^, on voit que ces valeurs sont ^gales et de mSme signe, et Ton peut ecrire

(5) A,z^|J"/(C)cosiC^;.

fonction *(C) pout mtoo 6lro discontinue. Mais, do air k 47t, do ^tz k 67t, ...,/(0 reprendra les m^mos valours quo Ton a obtonucs de o ^ 21:; tandis qu'on g6n6ral ^(C) pourra prendre des valeurs n'ayant aucuno esp6co do rapport avoc cellos do ^(0 pour t^ compris cntro o ot stt. II n'en est plus do mftmo quand la fonction 4» est p6riodiquo et a la p6riodo air; les fonction8/(?) et *(C) coTncido- ront alors pour toutes les valeurs r<^olles do x.

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 2I7

Si ia fonction/(Q est impaire^ on a, quel que soil !^,

(3') /(0^-/(-C)-o;

(I'oii, en remplacant /(^) et/(— ^) par leurs valeurs tirces de la formule (i), et supprimant les tcrmes qui se detruisent,

Si done on applique la premiere dcs formules (2) en y remplacant/(J^) par o, il viendra

Aq ^^^— Of Aj '^^^ Of • ' * y

etf dans ce cas, le developpement (i) se reduit a

(4' ) /(?) = B, sine -h B, sin2C -h . . . ;

on aura ensuite

/(27r — ?) — —/(Of sine (27: — C) = — sine?,

et en groupant les elements differentiels, commc on Fa fait plus haut, on verra que la seconde des formules (2) pourra s'ecrire

(5') B,= ^ r7(0sini?^.

82. Soient e rexcentricite de I'orbite d'une planete, excentricite qui sera comprise entrc o et i ; 2^ ranomalic moyenne correspondante au temps quel- conque f^ u^ w etr les valeurs de Tanomalie excentrique, de I'anomalie vraie et du rayon vecteur qui se rapportent a la meme cpoquc. On aura, comme on Ta vu au n® 32, Tequation

(6) u —esinu = C.

Soity un nombre entier positif : considerons la fonction

cosyw=/(C);

lorsque 2^ augmente de 21:, u augmentc aussi de 21:, et la fonction cosju ne change pas ; cos ju est done une fonction periodique de ^ dont la periode est 27c ; d'ailleurs, cette fonction reste finie. On pent done la developper sous la forme (i), et appliquer les formules (4) et (5), parce que/(^) est une fonction paire. Nous poserons

(a) cosyw = |/?i/' H-p*/' cosC -^p^^ COS2C -h. ..-hp^/^ cosi'C-h. . . ;

T. - I. 28

2l8 CHAPITRE Xlll.

la scrie sera convergente, quelle que soil la valcur de e antra o at i, at nous aurons

0

7j r"

(7) -py^~ I cosya COS «?£/?.

On tire de la formule (6)

^=(1 -- e cos u)du;

il an resulte d'abord

-p^^'=z I COS J u du — e I cos u cos J udu;

on an conclut que, siy est superieur a r , on a lorsquey = i, il vient

-p'*'z= — e / cos* udu z= e.

d'oii

K*' = -^.

La formule (7) peut s'ccrire

cn integrant par parties, il vient

'^ th r^ • 'y dcosj'u ,^

-^P'/'=-—l sine;— ^^-rfC.

ou bien, en remarquant qu'aux limites o et :: de 2^ repondent les memas limites de I/,

—.p^pTzz I sin iZ sin judu.

Nous pouvons remplaccr l par sa valeur (6), ce qui nous donnera

-^ p^p ^=. I 1 s\n ju sin ( iu -- iesinu) du

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 219

ou bien

ill /*^ r''^

—rp^/^z=. / cos[(£— y ) w— lesin w]<ii/ — / cos[(i4-y)M — iei\nu\du.

Si I'on a egard k la formule (X) du n® 79, on voit qu'on peut ccrirc

(6) ' '

lU)

Fi'—Oy pour y>i,

On aura, en particulier, poury = i,

Pi — -• y

cette expression peut etre transformee au moycn de la formule (VI) du n° 79, qui donne, en y rcmplaQanto? paree,

il viendra done

(O

Considerons maintenant la fonction

sinju =/(};);

c'est une fonction periodique de ^ dont la periode est 27c; cette fonction reste toujours finie, elleest du reste impaire; on pourra done poser

(a') sinyw=:^V^'sint -t- ^J/* sin 2 ? 4- . . .-t-^J^'sin/C-f-. . . ;

cette serie sera convergente pour toutes les valeurs de e comprises entre o et r,

et Ton aura, par la formule (5'),

*

-q^^:=z I sinycisiniCfl^

OU bien

'^ 1/) r^ • • c^cosiC tM

220 CHAPITRE XIII.

d'oii, cn operant comme precedemment,

in C^

— . ^J/> = I cos I C cosy'tt da^

in r^

-^ q^/^ zz: I 2 cosju COS ( /« — ie sin // ) ^/tt,

0

cos[(« — y) w — /iesinw] <i« 4- / cos [(i 4-7)1/ — le sin ii]c^£i,

On aura, en particulicr, poury = i,

^(i)_ J/-i(«e)4- J/^.,(/^). 7/ - ,

cettc expression pcut etre Iransformcc au moyen do la formuie (V) du n® 79, qui donne, en y rcmpiacant x par le,

ii viendra done

(O ^S*'= Jj/(^0.

Remarque. — On tire dcs formules (a) ct (ft), (a') et (6'), en supposant

( d) cos /■« = y 2 [ h-j (ie) — it+j ( «e) ] ^

1 = 00

. ^T cos/C

1=1

1= JO

. ^T sini'C

{d') sinytt=y 2 Ut-J{ie)-^^i^j{ie)] —,

1 = 1

On peut ecrire ees formules comme il suit

1 = 4- oe

. . cos /;

/ \ • V ¥ / • X COS

1 = 4-90

(^) s\nju=/ 2 j._^.(/e)*—

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 22!

oil I'indice i prend la serie des valeurs entieres positives et negatives, zero etant cxcepte.

Pour le voir, il suffit de remarquer que Ton a

83. Nous pouvons appliquer ce qui precede au developpement periodique du rayon vecteur r, dans le mouvement elliptique. On a

il suffit done de remplacer cose/ par son developpement fourni par les formules (a) et (c); on trouvera ainsi

1 = 1

en rempla^ant Ji(ie) par son developpement en serie

i.a...iL\2/ i.(i-Hi) i.2.(i-hi)(i

-h 2)

et faisant

_ 2 \2/ I ^ _ l-f-2 V2/ _^ <'-f-4 \2/

' II.2...«L «(i4-l) 1 «(« H- l) («-h 2) 1.2

(A) C,=: 7

la formule (/) donnera

1= «

(B) - = n V C/Cosi'C.

i = t

Les formules (A) et (B) resolvent la question proposee; il est important de remarquer que, si Texcentricite e est consideree comme une petite quantite du premier ordre, le coefficient de cosiJ^ dans le developpement de r est de I'ordre i, et qu'il ne contient que les puissances i, 1 4- 2, i 4- 4» • • • de e.

Cherchons maintenant le developpement de la difference w — ^ entre Tano- malie excentrique et Tanomalie moyenne; on a

u — C==^sinM

222 CHAPITRE XIII.

ou bien, en ayant egard aux formules (a') et (c'),

= I Posons

,,.-._(iir_j)L_i!)' (I)

' 11.3...1L i.(n-i) 1.2(14- i)(«-i- 2) i.a.3(£-M)(/-

et nous aurons

2) i.a.3(£4- i)(/4-2)(i4-3)

i = ae

(B') tt-C^^D/siniC,

1 = 1

On voit que le coefficient D, desini^ est de Tordre 1 et qu'il ne contient que les puissances 1, 1 4- 2, 1 4- 4» • • • de e,

84. C'est ici I'occasion de donner deux formules qui sont souvcnt utiles; de- signons par tv Tanomalie vraie de la planete; on a

a y 1 — e

lang -iv={/ ;— ^tang ^ u;

cela rentre dans le type

tang/ = fjL tangd?,

qui donne, comme on sait,

(8) Y = oc-h- sin2j:4--(^- ) s\nf^x-h nl- ) sin6

^ ' -^ fX-M 2\|JL4-I/ 3\fJL4-l/

on aura, dans le cas actuel,

f\-\-e fj. — I e

(Ye I «* (I'zz £/ 4- 2 Sinw 4 7 — sinai/

J7

I e^

2 T — .-sin3</-h ... j.

3 (i4.^i_e«)»

]

On pent ecrire aussi

2 y I 4- ^

lang-i/ = \/ -— ^langii*'.

APPLICATION DES TRANSCEND ANTES DE BESSEL. 223

Pour appliqucr la formule (8), on devra prendre

^-^yWe

F-' _

il en resultera

sintr 7 — -^rj sin2w

Nous allons considerer ensuitc la difference cntre Tanomalie moyenne et I'a- nomalie vraie. On a les formules

C =z // — e sin w,

^ sinw

sin u = v^i — e?* ^

d'ou

, . ^ / r^. lOg(H-CCOStv)

Or on pent ccrire

I -\- e cosw = -^ (i -H (3E"' v^-0 (i 4- (3E-"' v^),

2p

en posant

On en conclut

log(i -+- e cosir) - log -^ H- ^ (E**'v^ -+- E-»^ v^-0 - ^ (E«»'V- » -f- E-»**'V -») -+- . .

= log— « -f- 'if Pcosiv P'cosan'-h ^P'cosSiP— . . . j,

et, en substituantdans la formule (9),

C= aH-2 v^i — «*(— PsinfvH- P'sinajv — (S'sinSii^-f-. . .)•

On pent remplacer u par son developpement (C,), ce qui donne

Hi^zzsv-^-i

y — 7^ 7 ^ sini(V4-2v/i-g*y(-i)^;p .^^==^^sin£«',

-^^ * (14-V1 — <?V (i-hvi — e*/

(-ly e'

C = tv -h 2 V ^ — A- 7 ■ ^w (* -+- «V* — ^*) sin «V.

224 CUAPITRE XIII.

On a done cette formule

L 2 (, ^. ^1 _ ^«)* 3 (, 4, ^1 _ e»)' J

Remarque. — Considerons les trois anomalies w, J^, ti^, et d*abord les deux pre- mieres; on pent se proposer de developper la difference u —X, suivant ies sinus des multiples de !^: ce but est atteint par la formule (B'); la meme difference s'exprime bien simplement a I'aide des sinus des multiples dc u^ puisque Ton a w — J^ = e sinw. Les formules (C) et (C,) donnent ensuite le developpement de la difference w — u suivant les sinus des multiples de u ou de w.

La troisieme difference J^ — m^ est developpee par la formule (D) en fonction des sinus des multiples de m:^; il reste a y introduire les sinus des multiples de X,; c'est une question tres importante, et plus compliquee que les prece- dentcs; clle sera resolue plus loin.

On peut rcmarquer encore que, dans les expressions (C), (Ci ) et (D), les coef- ficients sont desfonctions algebriques tres simples de Texcentricite; il n*en est pas de meme dans la formule (B'), ni dans cellc qu'il nous reste a obtenir, et qui doit donner ^ — mp' en fonction des sinus des multiples de X,.

85. Donnons encore quelques formules interessantes dans lesquelles figurent les fonctions de Bessel. On verifie tres aisement les deux relations suivantes :

, . a du

/•*

d. ~

rt*

(11) ,^ =:2esin^.

La premiere donne, en ayant egard a la formule (/'),

«=cc

ig) y,=i -f- 2^1/(16) cose?.

1 = 1

On a done ainsi le developpement periodique de -•

On tire ensuite de la formule (i i), en tenant compte de (a') et (c').

r*

d. -2 '=•

1=1

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 2q5

d'ou, en integrant ct designant par C une constante arbitraire,

1 = 1

Restc a determiner C; or on a

i = I — 2 e cos U -h e^ cos* U:=il-\ 2 6 COS U -\ COS 2 U ;

a

on a vu plus haul que le tcrme non periodique dc cosa est > et que cclui de

COS 2a est nul; done la partie non periodique de -5 est r -h -e^ = C, et Ton a

1 = 00

/ / '*' ^ * / \? ¥ / • N COS

. , cost?

1 = 1

On pent obtenir aussi facilement les developpeincnts periodiques de s'xnw et costv :

On a d'abord

d'oii

/• — — '-,

1 -h eCOSiV

e COS tr :zz — 1 4- - ( I — e- ),

ou bien, en remplagant - par son expression {g).

6 ^BB

1 = oe

e

i=\

On verifie ensuite aisement la formule

n e

'AT —-7^-=-= sin IV,

, /•

qui donne, aprcs qu'on y a remplacc - par sa valeur (/).

l-=ae

(A ) siniv=:2v'i-e»2^ — ^^ -.- .

T. - I.

■«9

22G CHAPITRE XIH.

Soil C I'equation du centre; on a

sinC = sintrcosC — costrsinC; d'ou, a cause des formules (k) et (k'),

sinCz= 2^/1 — e' > — ^ . 1- esinC— 2 > J|(/e)cosiCsinC;

1=1 1-1

si Ton transforme siniJ^cos^ et cosi^sin^ en une somme et une difference de sinus, on obtient la formule suivanle

1= 90

sinCz= V F/sine'C,

1=1 oil Ton a

! F,r-e-{ J,(2e)+ -\/i — e^' — )—>

(/) ( e ^ ' 2 ^ ae

el pour I > I, F/= ^' jJ,H-i[(^-f-i)^]~J,-,U^'-i)^]t

y ^ ( « 4- I ^e i — I de

86. Soient ^ et y] les coordonnees d'une position quelconque de la planete dans son mouvement elliptique, par rapport au grand axe (axe des ^), et a la parallele au petit axe menee par le centre du Soleil (axe des y]). On aura

^ = rcostv=: «(cosw - e),

r\-=^ r sintv=- a\J \ — e^ sinit.

Si Ton remplace sinw et cosw par leurs developpements pcriodiques trouves plus haut, on obtient sans peine les formules suivantes

^ • — ! — +-«

Y) z^ a y I - e

y^r^h-die)^^'i,

dans les^, on doit donner a Tindico « toutes les valeurs entieres depuis — qc jusqu'a -f- ao, en exceptant la valeur zero.

APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 227

Enfin, dans une methode importante relative a la thcorie des perturbations planetaires due a Hansen, on a besoin des developpements des expressions

'^i- et —^9 suivant les sinus et cosinus des multiples de Tanomalic moyennc.

Ces developpements sontfacilcs a obtenir; on a, en effet,

cosw ^ sin^v Y)

— •

/•* /•* f* /•*

Par rapport aux axes 0^ et Oy), les equations ditferentielles du mouvement elliptique de la planete sont

d^-n . - TO

on en tire, a cause des formules

dK

W-^.-"-

rt'Y) d'f}

Dans les seconds membres des deux derniercs equations, remplagons ^ et y) par leurs valeurs (m), et nous obtiendrons

I =r-|-ae

in)

/— — 00

I =— flO

Dans ces dernieres formules, on pent ne plus excepter o parmi les valeurs de f ; les termes correspondants sont nuls.

228 CHAPITRE XIV.

CHAPITRE XIV.

THiiOREME DE CAUCHY. - NOMBRES I)E CAUCHY.

87. Considerons iinc fonction S, finie et bicn detcrmince, dc ranomalie excentriquc w, ayant pour periodc 27:; S sera aussi une fonction periodique de ^, admettant la meme periode; on aura done ces deux developpements con- vergents

\ S =r: - ao-\- a* cos // -i- aj COS 3 M 4- . . .

(•) 3

( -+- f?i sin u -J 6, sin 2 w 4- . . . ,

\ S ^- - Ao H- Ai COSC 4- A,C0S2j 4-. . .

( 4- Bj sinC -I- B, sinaC 4

Supposons que le premier soil connu, et proposons-nous d'en deduire le se- cond; ccla est facile en partant des formules trouvees dans le Chapitre prece- dent pour les developpements de cosju et sinyw suivant les sinus et cosinus des multiples de 2^. On avait fait

i=«

cosy « =1 - /?5/^ 4- 2 pY^ cos /?,

sinyw— ^ g^^ sin/?;

on trouvera aisement

1=1

• #

iAo= ^«o^-«iK'>

A/ = flr,/?'i*' 4- «3/?I'' -f- . . . 4- ajp'/^ 4- . . . , B,^6,7;«'4-6,7i«^-h...4-^.y^i^'

THEOREME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 229

ou bien, en mettant pour les quantites pp ct q^P leurs expressions a Taide des transcendantes de Bessel, formules (i) et (6') dti Chapitrc precedent,

I A/ = I ^, [J/_, (/e) — J/+, (£<?)] 2 a, [J/ _i ( /e ) — J/^-, ( le )]

(3)

/B,= i6,[J,_i(/e) H- Jn-,(/e)]

4-3^a[.)/_3(te) -I- J/4 3 (V^)] -\-

La question proposee est entierement resolue par ce systeme de formules; on devra, pour les appliquer numeriquement, calculer les valours des transcen- dantes

Jo(^), Jo(2^)» Jo(3e), J,(e), J, (26?)^ J,(3e). J,(e), JjCae), Ji(3e),

• • »

• »

Caucby a resolu la memo question d'une facon differente, au moins quanta la forme; nous aliens faire connaitre les resultats auxquels il est arrive, sans donner les demonstrations dans toute leur generalite; nous nous contenterons de considerer les cas qui nous serviront reellement.

88. Posons

(4) E^^~=:.^

la formule (2) vadevenir

= ^Ao-+- ^ Ai(-3H- 5-^)4- i A,(5«H-5-«)4-...

2^/ — I 1\J — I

ou bien

(5)

S = Po4-Pi-3 -+-P,55 H-...4-P/X;' +..., H- P-i 5-« h P_s C-* 4- . . . -h P-/-" '■ 4- . . . ,

23() CHAPITRE XIV.

cn posant

2 2 y/_,

d'oii

A, = P,-4-P_„

/ B, = v'TTi(i.._p_.).

Remarquons que, si p estnul, Tintegrale / z^dl, est egale a ^tt, et qu'elle

•-0

est nulle si/> designe un nombre entier quelconque positif ou negatif; cela re- sulte de la formule

On aura done, en multipliant les deux niembres de I'equation (5 ) par s~'d^, et integrant entre les limites o et 2ir,

(7) 27rP,i:/ Sc-'6/?;

cette formule a lieu pour toutes les valeurs entieres de i, positives, nulles ou ne- gatives.

Posons maintenant

(8) E«v-* — 5;

il existe entre les variables 5 et 5 une relation importante; on a, en effet,

C = w — e sin u ;

(I'oii

RemplaQons V — 1 sin w par

et nous trouverons

_ ^ /' _ M

(9) - = *E iV .';

telle est la relation chercliec.

TDEORfeME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCIIY. 23 1

Nous aurons ensuite

portons ces valeurs de z etde dZ dans la formule (7); elle va nous donner, en remarquant que, si ^ croit de o a 2ir, u croit lui-meme de o a 21:,

7rp,= r'%5-'E'«(' ^)r,-?^5+i)i^./

ou bien

l]s-'du,

" 0

en posant

(,„ « = sE?H)^,_;(,,:)].

La fonction S est developpable en serie convergente procedant suivant Ics puissances positives et negatives de^; cela resulte des formules (i) et (8); il en est de meme du produit de S par I'expression

c'est-a-dire de U.

Nous pouvons done ecrire

i 4- p: 1 5-- -i- PI, 5-2 -h. . .4- PL ,•*-'+. . . .

On conclut de cette equation que Ton a

0

et, en comparant cette formule a la formule (10), on arrive a

P — P'

Done le coefficient P, de s', dans le developpement de (5), est egal au coeffi- cient P'; de 5' dans le developpement ( 1 2) ; on voit qu'on est ramene a developper, suivant les puissances de 5, la fonction U qui est un produit de troisfacteurs:

Fun 1 — - (s -^ -j est tout developpe, Tautre E'^' * se developpe aisement

232 CHAPITRE XIV.

(cela introduitles fonctions deBessel); enfin, dans un grand nombre d'applica- tions, S est une fonction simple de s : c'est en cela que consiste le theoreme de Cauchy.

Quand on aura determine ainsi les coefficients P/, on calculera A, et B, par les formules (6).

On pent donner au theoreme de Cauchy une forme differente; ecrivons d'abord Tequation (7) comme il suit :

i\/-iJo ^?

Si nous integrons par parties, il vient, en remarquant que S prend la meme va- leur pour J^ = o et J^ — 2ir,

Remplagons z par sa valeur (9), et ^ par v^— i E"^ = ^v^— i, et nous trou- verons finalement

(i3) 27:P;r=4 / 5-(^-i)^E»^' ''Uu,

Or, si nous considerons la fonction

/ ds '

et que nous la supposions developpee suivant les puissances positives et nega- tives do 5, de maniere a avoir

V= 4^E'V' ^^rz:Q, + Q, 5 +Q, 5' -f-...-f-Q,_, 5'-> +...

nous en conclurons, en multipliant par !^~^'~*^c?a et integrant de o a 21: relati- vcment a w,

(i4) 27rQ^'-»>=:-i f s-(^-')~E^^"''^ du.

I J^ ds

La comparaison des formules (i3) et (i4) donnc

P/ = Q/-i; done P, est le coefficient de 5'"* dans le developpement de la fonction V.

THEORlfeME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCUY. 233

Voici done le theoreme complet du a Cauchy : Considerons le developpement

S r=z P<, 4- Pi 2 -h . . . -f- P/ 2' -H . . . 4- P_iS~* h. . .-i- P-/5-' 4-. . . .

I" P/ est egal au coefficient de 5' dans le developpement de lafiynction

(=.) U = SE?H)[,_l(,^i)].

2" P, est encore egal au coefficient de 5'"* dans le devehppement de lafonction

(?) v = ifE?H).

Dans les applications, on prendra cclle des deux formes qui paraitra la plus avantageuse; il faut remarquer que, pour le calcul de P^, « etant nul, on devra employer la forme (a).

On pourra se convaincre facilement qu'en partant de la forme (a), et passant ensuite des valeurs des coefficients P, a celles des A, et B,, on retombe sur les formules (3).

Faisons neanmoins une application au developpement de -> deja considere

ci-dessus. On a

S = ^=(i-ecosw:)-*= [^1-^54-ijJ ; la fonction U se reduit a

ie , I

P, est done egal au coefficient de 5' dans le developpement de E*^ *\ c'est- a-dire a ii{ie)\ P^,- est egal a J_/(— le) == J,(te) = P,. Les formules (6) don- nent

-Ao=Jo(o)=ii, A/ = 2J/(/e), B/:=o;

on retrouve bien la formule deja obtenue

i= «e

- =z I 4-2 \^ ii{ie) coseC. I = I

Avant de faire des applications plus compliquees, nous aliens introduire des coefficients numeriques que Ton rencontre dans plusieurs questions, et aux- quels on a donne le nom de nombres de Cauchy.

T. — 1. 3o

234 CUAPITRE XIV.

89. Soient j et q deux nombres entiers posiiifs ounuk, p un entier quelconque, positif, nul ou nigatif ; V ^yii^vtssxon

l = a:-p{x+l)'(x-l^

peut etre developpee suivant les puissances positives et negatives de x\ le de- veloppement contient d'ailleurs un nombre limite de termes. Nous representons par N_pj,^ le terme independant de x dans ce developpement; on peut dire aussi que ^^pj.q est le coefficient do of dans le developpement de Texpression

07 -h -j (x — --] suivant les puissances de x; N.^j,^ represente Tun quel- conque des nombres de Caucliy. L'introduction de ces nombres permet de pre- senter d'une maniere plus simple certains developpements qui se rapportent au mouvement elliptique; nous allons faire connaitre quelques-unes de leurs pro- prietes. On a

1=1, si y4-<7— /? est nul,

(—0, SI y -h ^—/? est n^gatifou impair.

En effet, le developpement du produit (a: -4- - ] (x—-j est de la forme

on en conclut

On voit que, s\j-hq—p est nul, la partie constante de 1 est egale a i; si j -^ q — p est negatif, il n'y a pas de partie constante, et il en est de meme siy -H y — /> est impair.

On a la relation

En efTet, ^^pj^q est le terme independant de x dans le developpement de x-pIx -\- -^ Ix — -\ ;ce sera aussi le terme independant de 0?' dans le deve- loppement de I'expression suivante, que Ton deduit de I en changeant j? en -i>

TH^ORfeME DE CAUCDY. — NOMBRES DE CAUCHY. 235

or ce dernier terme est par definition egal a ( — i^N^.y,^; la formule (i5) est done demontree.

Cherchons I'expression analytique de N_po,^ ^n supposant q^p, ce qui est toujours possible d'apres la formule (i5).

On a

oil a et p sont deux entiers nuls ou positifs verifiant la relation a -h p = y ; pour obtenir le terme constant de ce developpement, il faut faire

on en conclut

et

2 ^2

q_-p f

I 2 ?-±^I 2 ?^I^

2 2

f-^p+A 1±P + ^

(i6) N_p,.,„-(-i) - ^ ^ ' ^

2

On pourra calculer par cette formule les valeurs de N.^^^,^^ et former un pre- mier Tableau contenant tous ces nombres : p sera I'argument horizontal, ety Targument vertical du Tableau.

On a ensuite la relation

qui resulte de la formule

x-Pi x-\

x) \ x) \ x] \ xj \ x) \ X

r

On aura, en particulier,

on pourra done former un second Tableau contenant les nombres de Cauchy pour lesquelsy= i.

On continuera ainsi poury = 2,y = 3

Nous allons reproduire quelques Tableaux donnant les valeurs des nombres de Cauchy, N_^j,^, poury = o, y = i ety = 2 ; /> est Targument horizontal, q Tar- gument vertical ; quand une case est vide, c'est que le nombre correspondant est egal a zero.

236

CHAPITRE XIV.

Tableau dks N-;,,©,^'

(/I ett rargumenl horizontal et q rargument rertlcal.)

	0	-+- 1	-\- 2	-+- 3	-+- 4	-^ 5	-+- 0	-4- 7	-4- 8	-f- 9
0	-4- 1
1		-+- I
2	— 2		4- I
3		3		-f- I
4	-4- 6		- 4		-r- 1
5		-h 10		- 5		-h I
!#••••• ••	— 20		-+- i5		6		-4- 1
7		35		4- 21		— 7		-4- I
8	4- 70		- 56		-^- 28		— 8		-4- I
9		-+-126		-- 84		-4- 36		9		-+- I

Tableau des N_p,i,^.

0. i.

"2^ 3^ 4.

7,

0	-4- 1	H- 2	-h 3	-^- 4	-+- 5	-4- 6	-\- 7	-4- 8
	-4- I
		-h I
	— I		-h I
		— a		-4- 1
	-h 2		3		-^ I
		-i- 5		- 4		-h 1
	5		-^ 9	5		-4- I
		- 14		:- li		— 6	-4- I
	-^ 14		28		-4- 20		— 7

-4- I

J

Tableau des N_p,i,y.

	0	-h 1	-4- 2	-\- 3	-4- 4	-4- r>	-4- 6	-h 7	-4- 8	-H 9
0	-4- 2		-4- I
i		-4- I		• -4- I
2	— 2				-^ I
3		— 2		— 1		«- I
4	-+- 4		— I		— 2		-4- I
5		-4- 5		-4- I		3		-4- 1
6	— 10		-4- 4		+ 4		- 4		-4- I
7		- 14			-4- 8		— 5

THfeORfeME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCDY. 287

Nous renverrons pour plus de details a un Memoire interessant de M. Bourget, insere dans le Tome VII des Annates de t'observatoire de Paris, et particuliere- ment aux pages 3oo-3o3 de ee Memoire.

Le lecteur pourra consulter aussi le Tome V de la r* serie des OEuvres com- pletes de Cauchy, p. 3o8-3io (Paris, Gauthier-Villars, i885).

90. DSveloppement de ( 1\ suivant les cosinus des multiples de

I j

est une fonction periodique de J^; la periode est 2ir, et la fonction est paire; on aura done en serie convergente

I = «0

(18) U-- iV" =: i Cj,"*^-!- 2 ^i'"' <^^S«C

1 = 1

ou bien

l = ae

S --= Pi"" -+- 2 P'<""(«'+ -')

1 = 1

avec

on a

cT'—'i^T';

(19) S = (-ecosi/)-=(-i)-y K'^ s) '

Pour trouver PJJ"', nous appliquerons la premiere forme du theoreme de Cau- chy; PJ,'"^ sera egal au terme independant de s dans le developpement de la fonction

".=<-)-(0"(-0"[-K-y]-

II y a deux cas a considerer, suivant que m est pair ou impair : On a

"•=(.-) K^-^-s) -[-.) (^^-s) ■'

le terme en (5-4- -j ne donnera pas de terme independant de s; il y en aura un au contraire provenant de (y -4- - j , et son coefficient sera

( m' -h 1 ) ( m' 4- 2 ) . . . 2 m' ^

1 .2. . .m'

4-1

^38 CHAPITRE XIV.

on aura done

^^^^ 2^ ~ 1:2.3. ..m' "\2j '

On a alors

C'est maintenant le terme en ( 5 -h - j qui ne contiendra pas de partie in-

/ jNJ/n'-hl

dependante de 5, tandis que (^ H- - ) donnera la partie constante

(m^4- a)(m^-+-3) . . . (am^4- a)^ i.a. . .(m'-h i) '

on aura done

I ,,;n^^,,_ (m^+a)(m^4-3)...(am^+a) /ey-'-' ^^'^ a^« - i.a...(m'4-i) Va/

II nous reste a ealeuler^cj.'"^ = PJ/"', j 6tant different de z6ro; nous applique- rons la seconde forme du theoreme de Cauehy, et nous aurons pour ^c}'"' le eoef- fieient de ^'~* dans le developpement de la fonction

I as

en remplagant S par sa valeur (19), on trouve que cela revient a chereher le coefficient de ^ dans la fonction V'= V^,

v=<-)-?a)"(-;r'('-J)^*<'"''

>

en developpant Texponentielle suivant les puissances de 5 — i> il vient

ie

I .2. . .^ \ Sj \ si

7-M

THifeORfeME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 289

Le coefficient de 5' dans le second raembre de cette formule sera, en introdui- sant les nombres de Cauchy,

/ie\ /ley /iey

On aura done

. = . fff w

7 = 0

Les formules (20), (21) et (22) resolvent le problemc qui se trouve ramenjc au calcul des nombres de Cauchy; ces formules sont dues a M. Bourget. On re- marquera que, pour que N^i^m-i,q^i ne soit pas nul, on doit avoir

^etantun entier positif ou nul; done

m H- ^ = I -f- 2 At.

II en resulte que, relativement a e, c'f'^ est de Tordre i, et ne contient que des puissances de e dont les exposants sont de meme parite que i.

91 . DSveloppement de f - j suivant les cosinus des multiples de Tano-

malie moyenne, m d6signant un nombre entier positif. -- Nous aurons en serie convergente

lr=«e f = 00

(23) ^-(^) "'=l^o"'^-^^G'i"''<^osit:=PT^-\-^P\'"'{z^'hz-i),

1=1 1=1

en faisant

La fonction S a d'ailleurs pour expression

H'-iH)]

—m

Nous appliquerons le theoreme de Cauchy sous sa premiere forme; PJ/^' sera le coefficient de s^ dans le developpement de la fonction

(2/0

"=[-^-5)]"'"""^'^'"''

24o CHAPITRE XIV.

CommenQons par P^'"'; ce sera le terme independant de s dans le developpe- inentde

".= [-5(<-7)]"'-"^

or on a, en laissant de cote les puissances impaires de 5 h- -i qui ne nous don- neraient aucune partie independante de 5,

»T (^ — i)m / e

(iyo-^0'^---

1 .2

(m — i)m...(m-h2p — 2)/e\'P/ iVP

1 m J» • m m Ja ■

}TH.

On trouvera ainsi

' mm) (m — i)/n /e\' (m — i)m{m -\- i)(m -h 2) /e\* - (jo — I H ---5 I - -l-

— i)/n / e\

•J- • • • (I)' \^J ■ (1.3)'

(2r>) \

(m — i)m{m -^i). . ,(ni -h 20 — 2) /^VP

(1.2.. .p)* \2/

Venons maintenant a la recherche de GJ""; posons, pour abreger,

/Mo — I,

m — I m*'=z — - - ) I

(m— i)m

(26) / ' I. a

(m — i)m...(m -j-y — 2)

nij "=. . i

' 1 . 2 . . .y

nous aurons, par la formule du binome,

[-i(-;)]-"-=2-(-:)'(-

La formule (24) nous donnera ensuite

"=2-'(0'('-0'>^2,^'f-,(-7)

/=0 7=0

=i:27:,^,a)'"""(-0'('-j)

/ */

THEORlfcME DE CAUCDY. — NOMBRES DE CAUCHY.

On en conclut, en introduisant les nombrcs dc Cauchy,

2^1

(V)

«'"=»22:r^">ay"«— ■

/ 7

J varie de o a -h oo, et y aussi; on a vu que, pour que N_/,y,^ ne soil pas nul, on doit avoir

k designant un nombreentier nul ou positif; il en resulte que, relativement a e^ le coefficient GJ'"' sera de Tordre i, et ne contiendra que les puissances de degres

I, « -H 2, J -H 4» •• • de e.

Calculous en particulier G,'"'; nous trouverons

-^ (fy (-3N-,3.o^ ^«N.,,,^ ^N.,,,-^ ^N.„.,)

-h

On trouve directement

N_i,i,o — H- i» ^-1,0,1 — N-i, 5,0 = 4-10, N_,,4.,=:

-+-2, N-,.3,,

-2, N_,,,.3=— 2, N.-,,,,4=H-2, N_, .0,5 = 4-10;

et, en remplacant Wo, ^i » /w^, . . . par leurs valeurs (26), il vient

If^^m)^ /e\ /n(/n'-hm — 3) /ey m(/n*H-6/n»-h5m»— - 8/n — 3) /gV

92. Appliquons les formules precedentes au cas de m=2; nous aurons alors

1 = ae

: ^iGi^'4- ^Gi'^cos/C;

r* 2

1=1

la formule (25) donne ensuite

LCA^^=zi-[- ie'4-

2

1.3 2.4

I .3. . .(2p — i)

2.4< • '^p

e*P

T. - 1.

3i

2^2 CDAPITRE XIV.

le second membre se trouve etre le developpcment de (i — e^) *. On a done

2

^1-e'

Les formules (26) et (27) donnent ensuite

JHq t=: m^ = /Wj z=z , . . rzi I

enfm on aura

I = ae

(29) ^ = ^=4^.4- yGi»' cos iC

Nous allons deduirc de la un developpement dont I'importance est fonda- mentale, celui de Tequation du centre suivantles sinus des multiples de Tano- malie moyenne.

En designant toujours par w Tanomalie vraie, le principe des aires nous donne

on en conclut

dt ^

dw a-

(3o) -rfC=r^^^^^'

et, en remplagant -^ par son developpement (29),

dw

r=l-Hv/l-e' 2 GJ^'COS/C

dK

1 = 1

Multiplions par X,, integrons et determinons la constante par la condition que, pour J^ = o, on ait w= o\\\ viendra

• * 4

c4-^/7_-ci2Gi«>^5.

1-1

Si done nous designons Tequation du centre par c et que nous fassions

t=.n

(a) i-=2H/sineC,

/=!

TH^ORfeME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. ^43

nous aurons

tout est done ramene en derniere analyse au calcul des nombres de Cauchy.

On se rappelle que les indices j et q prennent toutes les valeurs entieres nultes ou positives satisfaisant aux conditions

j-^q — h

>

on aura done pour H,- une expression de cette forme

H,= ^^'-^' [Hi" (fY+ Hi=" (0'" + . • -J- Cherchons Texpression de H^®' ; nous aurons

oil les indicesy et q prennent toutes les valeurs entieres nuUes ou positives, telles quey 4- ^ = «; or on a vu que, dans ces conditions, on a N_„y,^ =1 ; on trou- vera done, pour le coefficient cherche,

=t

11(01 V '' ' ' ^

'^^ 1 .2, , .q I 1.2 1 .2. . .*

Remarque. — On a vu dans les n*^* 91 et 92 que, pour m = i , - GJ,'"^ est egal

a I et que, pour m = 2, ^ GJ,'"' se reduit a -p=L==- On pent demontrer que Ton

pent sommer la serie (25) quel que soit le nombre entier m, suppose mainte- nant superieur a 2. On tire, en effet, do la formule (23),

J'="'=JX"(s)""'«

ou bien, en remplagant e/J^ par sa valeur tiree de (3o) et remarquant que w varie entre les memes limites, o et 2ir, que ^,

2 Ji^e^n! \aj

244 CHAPITRE XIV.

On a d'ailleurs

r I — e*

a i-hecosw^

il viendra done

-Gr' = (i — «')* *" - / (I -f-e cos «')'«-« efw'.

Or on a, en employant la formule du binome,

(m-2)(/n-3) ^ r'^ , .

4- i LI i e« / cos' W dw

r .2

i

(m — 2)(m — 3)...(m — p— i) „ Z*'^ „ .

L'integrale / cos^wdsv est nulie si p est impair, et egale a

1 .3.^. . .(/? — i)

2.4-6. . ,p

si p est pair. On trouve ainsi, apres une legere transformation des coefficients,

-;Gr=(-e'r'"[.-H^"-^iS"-^>(fy

(3i) { +

(m — 2)('w — 3)(/M — 4)(''* — 5) /e\* (m — 2)(w — 3)...(w — 7) / e

(1.2.3)'

On voit que la serie qui figure au second membre de cette formule se termine d'elle-meme, si m est un nombre entier superieur a 2 ; pour m = 2, ce second

membre se reduit bien a —

Pour terminer ce sujet, nous reproduirons ici Tenonce d'un theoreme que nous avons demontre dans les Comptes rendus de VAcademie des Sciences^ t. XCI, p. 897:

Soit/(r)une fonction finie of bien determinee du rayon vecteur r; on pourra devclopper cette fonction suivant les cosinus des multiples de I'anomalie moyenne

1=

f{r) -^^H I cos iK.

i =0

TH^ORl^ME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 245

Le coefficient B,- est represente par une serie ordonnee suivant les puissances de I'excentricite ; voici sa valeur symbolique :

p=»

iT"

(3a) iB,=(-,v Xl^TTJ.f'rr ,iT7^«(«-')'"-'(« + ')'-« + . + a/.):

p = 0

quand on aura effectue le produit

on devra y remplacer une puissance quelconque de $, ^^ par

le coefficient de ( - ) dans -B^ se presentera sous la forme suivante :

oil les a sont des coefficients numeriqucs; on voit qu'on a pu condenser cette expression en adoptant une notation symbolique.

93. Posons

X=:--I,

y—w — ti — C\

nous trouverons sans peine, en partant des formules des n°* 90 et 92,

=-(0'-KO-K:-)"-ia)'-^(0'-]--

(33)

cos 2?

-KO'-f(i)'-fa)'--]'-

-[^(0'-^(0'*-]-«

c

*=^'^^-[^(0'~'--]^*''^^""--

246 et

CUAPITRE XIV.

(34)

-[x(:-)'-fG)'--]""« -[^(-:)"--i?(0'--]''"^=

-['^^i^y-y-'H-My-]""''

Ges deux formulcs sont Tune des bases fondamentales du devcloppement usuel de la fonction perturbatrice, cclui qu'a adopte M. Le Verrier.

On aura a en conclure les developpements de x^, x% .... de y^, y', . . . , dc xy, x^y, . . . , xy^, xy^ . . ., et en general de x^'y" suivant les sinus ou cosinus des multiples de ^.

Pour ce qui concerne les puissances successives de x, la question est resolue par les formules du n°92; elies montrcnt que x"' ne contient que des cosinus des multiples de ^ et que le coefficient de costs est de la forme

(35)

Cei-^lk _^_ c^ gi+t A+l ^ Ci gMk-i-k + . . . ,

k designant un entier positif qui pent etre nul; on doit avoir d'ailleurs

Pour les puissances successives de y, on les effectuera de proche enproche, en partant de la formule (34), que nous ecrirons ainsi

bp et bg sont respectivement des ordres/? et q relativement a e, et ne renferment que des puissances de e dont les exposants sont de meme parite que/^ et q\ on aura d'abord

ou bien

TUfiORfeME DE CAUCHY. — NOBIBRES DE CAUCHY. ^47

11 n'y aura done que des cosinus dans le developpement de y^; I'ordre de ^6^, coefficient de cos 2/?^ est 2/?; celuide bpb^, coefficient de cos(y -i-p)^ est y-hjo; I'ordre de bpbg, coefficient de cos(y ■~p)X, esiq -hp^ (q —p) -h 2p.

On en conclut aisementqucle coefficient de cosj^dansy^ estde la forme (35), et que J'on doit avoir

On verra de meme que y' ne contiendra que des sinus et que le coefficient de sine^ sera de la forme (35), avec

I 4- 2 /: ^ 3 .

En general, le developpement de y" ne renfermera que des cosinus, si n est pair, et des sinus, si n est impair; les coefficients de cosi^ et de sini'C seront de la forme (35), avec la condition

£-t- 2k^n,

On passera ensuile aisement aux developpements periodiques des produits tels que x'^y", ohm et n designent des nombres entiers positifs ou nuls; x'^y" ne contiendra que des cosinus si n est pair, des sinus quand n sera impair; les coefficients de cose^ et de sine^ seront de la forme (35), avep la condition

I -h 2 A: 5 w 4- /I.

Le Verrier a donne les developpements ci-dessus, pour toutes les valeurs telles que m-h/i^y, dans le Tome I des Annates de V Observatoire de Paris, pages 343-345; il a neglige e% e^

94. Nous aurons besoin egalement des developpements periodiques de

\p-i co%hy et de x'*"'^ sin Ay,

oil p, y, h sont des nombres entiers nuls ou positifs, q etant au plus egal a/?.

Pour les obtenir, il suffira de remplacer cos Ay et sin Ay par leurs developpe- ments connus suivant les puissances de Ay.

On trouvera ainsi

(36) \P-^ cos hy = \P-^ — x'^-^y'H -^-^ x^'-^y* — . . . ,

1*2 1<2*0«l|.

h A*

(3-) x''-^sinAy=:: -\P-^y ^x^'-'^y'-t-. . .;

^ ' ' I 1.2.0

il n'y aura plus qu'a remplacer les diverses puissances, telles que x*yP, par leurs developpements ci-dessus; le nombre entier A restera indetermine.

248 CHAPITRE XIV. — TH^ORl^lME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY.

On verra aisement que x^"^ cos Ay ne contiendra que des cosinus, tandis que x^~^sinAy ne renfermera que des sinus; ie coefficient de cosj^ dans x^"^ cos Ay sera de la forme (35), avec la condition

le coefficient de siniJ^ dans x''"^ sin Ay sera de la forme (35), avec la con- dition

i -{- 2k=p — q -h I.

Ces nouveaux developpemcnts se trouvent dans les pages 346-348 du Tome i des Annates de VObservatoire.

Enfin il nous sera encore necessaire d'obtenir les developpemcnts periodi- ques de

el ^

Pf q eth designant des nombres entiers nuls ou positifs ; on les obtiendra en de- veloppant par la formule du binome (i 4- x)"''"* suivant les puissances entieres et positives de x :

(38) : rT;x7~x7cos/iy— x'^-^^cos/ty + -^ x^-^*cosAy — .. .,

(l-t-X)'*'^* I 1.2

,« . x^sin/iy „ - , P^^ n^^ i . (/^ + 0(p-H2) ^^, . ,

^ (l-f-X)''"^* "^ I 1.2 ''

On se trouvera done ramene k appliquer plusieurs fois les formules (36) et (37) ; le developpement (38) ne contiendra que des cosinus et sera de la forme (35; avec la condition

(39) ne contiendra que des sinus, avec la condition

i-\- 2kz,q -hi.

Ces developpemcnts occupent les pages 348-355 du Tome I des Annales de COb- servatoire.

CHAPITRE XV. — FORMULES DE HANSEN. 249

CHAPITRE XV.

FORMULES DE HANSEN POUR LE D^VELOPPEMENT DE CERTAINES FONCTIONS

DES COORDONNfiES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.

Dans la methode de Hansen, relative au calcul des perturbations absolues des petites planetes, on a besoin de developper, suivant les sinus et cosinus des multiples de Tanomalie moyenne, des fonctions autres que celles que nous avons considerees jusqu'ici. Hansen a traite ce sujet dans son Memoire intitule : Entwickelung der negativen und iingeraden Potenzen.., (^Memoires de la Socidte Royale des Sciences de Saxe^ t. IV). Nous croyons devoir resumer ici la partie essentielle de ce Memoire.

95. II s'agit de developper les fonctions

( - j ^xnmw ct ( - ) cosmw

met n designant deux nombres entiers, le premier positif, le second positif ou negatif.

Ce sont des fonctions periodiques de ^; la premiere est impairc, la seconde paire. On aura, en series convergentes,

(-) sinmwP'rrz -f- B, sinC-i- HiSin2C -H. . .-hB;siniC-h. . . ,

(0 {

( - I COSm«'=:- Co-h Cj COSC-H C, C0S2C4-. . . H-C/COS^C-H

T. - I. 3a

25o CUAPITRE XV.

Posons, commedans ie Chapitre precedent, E^^~* =z; nous tirerons de (i)

(-Ye'"^>/-' z= i Co -f- i Ci(5 4- 5-») -+-. . .-4- 1 C;(:j'4-5-0 +. . .

4- - B,(5— ;:- 1) -^. . ._♦- i B/(;;' — «-0

Faisons

2 ^0 — -^0 y

l(C,4-B,) = X?''", 1(C.-B,) = X-','",

i (C,.hB/) ==X?'-, i (.a-B,) =:X:!r,

il viendra

ou, plus simplement,

/=+•

(2) {^y^Yi^^>i-^ = 2 x^'~5^

i=— •

On est done ramene a developper f - j E'^'^^^ suivant les puissances positives et negatives de z. On aura ensuite

U-2Xo , d = X?''" + X^J'" , B; =r X?-'" — X^^J.'" .

Avant de proceder a la determination generaie de XJ''", nous allons resoudre quelques questions preliminaires.

96. Considerons deux nouvelies exponentielles qui correspondent a I'ano- malie excentrique et a Tanomalie vraie,

(4) ^ = E"'v^, j=:E«v^, 5 = E^vCT;

y est ce que nous appelions 5 dans le Chapitre precedent. On aura done, comme on I'a vu dans ce Chapitre,

(a) z^y'E.

-i(/-j)

FORMULES DE HANSEN. 25 1

On pout aussi trouver une relation entre x el y; partons, en effet, de la for- mule

2 V 1

, — e sv

tang - = \/ 7-:^ tang-,

remplaQons-y tang - par -^ -^^^^-— ^ = ^3^' ^^"glP^'-T^I ^

E'' +E

et posons

s/r-'-'

i4-e i + P'

d'ou

(4) t ._ '^P

e I — \l\ — e^

P =

-^\Ji — e^

y

nous trouverons ainsi

d'oii

y — I I — (3 X — I

/-hi "~~ I -f- (3 a:-M*

on en deduit

Si nous eliminons J entre les equations (a) et (6), nous aurons une relation entre z et a?; nous tirons d'abord de la formule (6)

En portant dans la formule (a) la valeur (b) de y et la valeur ci-dessus

de J J et remarquant que Ton a - (i — p^) = p y/i — e^, on trouve

y 2

(O

z — x(i-^^\{i-^^xy^'Es ^*^*^Ci+{j^' i+px-O.

11 convient de remarquer que, d'apres sa definition (4)» P est plus petit que ^, et diflere peu de - si « est petit.

2^2 CHAPITRE XV.

Exprimons maintenant le rayon vecteur r en fonction de x ou de y; on a d'abord

2>

(5)

_^(,_-4^')(,_i^4EZ)=__i-^_p,(,_.),

I

On a ensuite

/• I — e* I — e* 2(1 — e^)x

- — * '

i-f-

i\^'^ x)

r 2(1 — e^)x 2(1 — 6'*)j"

't^){^*-=^^) '<-+P)(--p)

/' « I — e'

OU bien

(6) r^(i-A«)«

(I

m(-I)

Nous aurons tout a Theure a introduire du ou dw au lieu de dX,\ nous au- rons pour cela les formules

(7) dt:—---du,

(8) rfC=^__

«" v/« — «*

97. Nous pouvons maintenant aborder Ja determination de X"*". Multiplions les deux membres de I'equation (2) par z"'rf^, et integrons rela- tivement a ^ entre Jes limites o et 21: ; nous trouverons

(9) ^?""=^X"' (3'-'" --''«•

Nous pouvons remplacer maintenant, dans le second membre de cette for-

FORMULES DE HANSEN. ^53

mule, r, x^ z, dX, respectivement, d'abord par leurs valeurs (5), (&'). (a), (7), puis par leurs valeurs (6), (c), (8) (dans cette derniere substitution on ne louche pas a la quantite x)\ il viendra

(A) X?''"z:--(n-p*)-'»-*— / ^'«-'(,-Pj)«-m+i/,_ Pj E*^ yf du,

A chacune de ces equations correspond une des formuJes de Hansen. Puisque p est compris entre o et i et que les modules de a? ety sont egaux a I, on voit que (i — pj)""'""^* et ( i — - ] sont developpables en series

convergentcs suivant les puissances dey ou de -; il en est de memo relative-

mcnt a x, pour (i -+- ^x)' "~^ et ( i-f- - ) ' ; E'^*'*~''*»-^p-** est developpable

suivant les puissances de — ^5— j done suivant celles de x; E~'^ *"'' j+P^' est de meme developpable suivant les puissances de a?~*.

On en conclut que, si Ton considfere les fonctions

(BO

(B)

^ z:^(l__Pj')/i-m-Hl/,-_ P\ E*^ y\

ces fonctions seront developpables en series convergentes procedant suivant les puissances positives et negatives de j ou de;r.

Designons par x le coefficient de y^'"^ dans le developpement de O, et par x' celui de a?'"'" dans le developpement de O' ; nous aurons

(C) X^'^z^Ci-i-P')-'*-*^,

(C'\ V*!"* V r / (1/

car le terme xy~"* donnera, dans I'integrale du second membre de la for- mule (A),

X>x — / duziz X^

27r J„

254 CIIAPITRE XV.

et tout autre terme, tel que uby ""'•^^, donnerait

111) X — f y^ e/M = o .

Nous ailons nous occuper d'abord des formules (A), (B), (C).

98. II convient de rcmarquer que le theoreme de Cauchy conduirait imme- diatement a la formuie (A) de cette premiere methode. Nous supposerons d'abord t = o; la fonction $ se reduit a

soit cl.0 ie coefficient de j""' dans O^; on aura Posons, pour un moment,

pz=zn — m-t-i, ^=:/i-H/w4-i;

on aura

parce que m est un entier nul ou positif ; Ie terme general de Og est egal a

on doit avoir

r — 5 = - m, d*ou ^ m r -f- m.

On donnera ensuite a r les valeurs o, -h i, -h 2, . . . et a ^ les valeurs corres- pondantes; il viendraainsi

^^ ^ /_ ,)m^m \'g{g-i)-^-(g-m-^i) ^ p 7(7-1). ..(^-m)

® L i.2...m I i.2...(/n4-i) ""^

^ p(p — \) g(q^i)...(q — m — i) 34 .^ _ 1

1.2 1.2. ..(/7l 4-2) ---J

On aura done

/I — //I -t- 1 {n -^i){n-\- 2). . ,{n-\- m-hi) ^^

^ ' I //I -h I

( /i — /;/ -h I ) ( /I — /?? ) n{n-hi), . .{n-{-m-hi) p^^

1.2 (//I 4- i) (m 4- 2)

p^-f-...].

FORMULES DE HANSEN. 255

Si le nombre n est tel que Ton ait

n > — m — I,

la serie qui figure dans le second membre de la formule (D) se termine d'elle-meme; si n est egal a I'un des nombres — a, — 3, .... —m — i , on a X"''"= o. Si Ton a n<^--m — i, la serie se prolonge indefiniment. On pent ecrire alors, en employant la notation employee pour representer la serie hyper- geometrique,

^ '' ^ ^ ^ (l-hp*)'*'*'* 1.2. ..m ^ ^^

Gonsid^rons main tenant le cas general oil i est un nombre positif ou negatif different de z^ro; en faisant

, . ie ,1 -^ V/i — c*

(id) v=-^r=t ^ ,

^ ^ ap a

la formule (B) donnera

en posant

(ii) {^ = (I —(3/ )«-'"-»-» E^PJ',

\ n+m+l __^P

Nous allons chercher le developpement de 0 suivantles puissances de j; nous en conclurons celui de 0, en changeanty en -> /n en — /n, v en — v. On a, en series convergentes,

« V , fi — 'w -H I ^ (n — m-\-i)(n — m) ^. .

(n — m-hi)(n — /n)(/i — m — i) «• ,_^

" r J -1- ... *

V ^ V* ^. . v'

I .2.3

Si done on pose

/ _ n — m -y- 1 v * I 1

{n — m-hi)(n — m) n — /n -f- i v ^ v*

Fj —

)

1.2 I I I .2

(12) \ _ (^ — /?H-i)(/i — m)(n — m — 1) {n — m-\-i){n — m) v

Fj — — - ~ii ~

I .2.3 1.2 I

n — m 4- I V* v'

-\-

1.2 I .2.3

256 CIFAPITRE XV.

on aura

(i3) e^i _P,(3j4-P,j3*j«-P,{3y + ....

On fera de memc, en changeant /n et v en — /n et — v,

^ /I 4- 7?l -h I V

Qi — H >

I 1

^ (n -\- rn -{- i) (n -h m) n -\- m -h I ^f v-

1.2 I I I .2

( i ^1 ) \ ^ { n -h m -h i) ( n -^ m) {n -h ni — i) {n -h ni -h i) ( n -^ m) ^f

1.2.0 1.2 I

« 4- /w -h I v' v'

H h

I 1.2 1.2.3

et il viendra

li faut maintenant faire ie produit des seconds membres des equations (i3) et (iS,), et chercher dans ce produit le coefficient ^i, du terme en j'~'". Si i — m est positif, on trouve

au lieu que, dans ie cas de « — m negatif, ii vient

^ = (-,)— '(Q,,_,p-'-HQ„.-,^,P,{3'«-'-^»-f-...).

On aura done ces valeurs de X^''" :

2" « < m,

^ ^ ^ X^''» = (-ir-'(i4-(3') «-»?--'(Q,„-/4-Q,.-/^,P,P«4-Q,,-^^^^

II convientde remarquer que, dans les formules (E) et (F), il suflira d'un nombre de termes peu considerable, puisque chaque nouveau terme contient un facteur p^ de plus que le precedent.

Les quantites P,, P2» •• . . Qi, Qa* • • • seront calculees par les formules (12) et (i2,), V etant defini par la relation (10).

FORMULES DE HANSEN. 257

Appliquons ces formules au deveioppemcnt do -^; nous aurons done /? = — 2, m = o;\es formules (i 2) et ( 1 2, ) donneront

P, = i 4--, I

P.=:i H 1 J

I I ,'2

I 1.2 I ,'2.6

Pj =r I H 1 1 5 J

Qi-1-7'

V V*

Q,= i-7 +

I 1.2

y v' v'

Q3=I 1 o>

I 1.2 1 .2.6

(I)')

apres quoi la formule (E) deviendra

X7«'^ = (-i)'(3'(i + (3*)(P,4-P,>,QiP«4-P/^,Q,|3* + ...).

99. Nous allons appliquer maintcnant les formules (B') et (C). Nous considererons en premier lieu le cas dc 1 = 0; la fonction O' se reduit alors a

soil ^i,'„ le coefficient de x~"' dans cette formule, on aura on arrive ainsi sans peine a la formule suivante :

X«,m__ J — iJ_ P K' P; \ fn -h ^) (n -i- 3) . . .{n -^ m -h i) ® i.2...m (i-4-(3*)'*-»-* l^v ^ ^^ ^ ^ ^

/i-t-2 {n -h 2) {n -\- 3) . . .{n -\- m -h 2) f^

1 //t 4- I

(/l-t-2)(/l4-3)(/l-H2)(/l4-3)...(/H-/7H-3)

1.2 (m -h i) (/?i -h 2)

T. - I. 33

-h

(3*-+-...!.

258

CliAPITUE XV.

On voit que la serie qui figure dans cette formule se termine d'eile-meme lorsque n-\-m -hi est negatif, auquel cas la serie qui entre dans (D) se com- pose au contraire d'un nombre iiiimite de termes.

On pent done toujours exprimer X^"' sous forme finie.

Si /I -h 2 est positif, la serie qui figure dans (D') n'est pas limitee; on pent ecrire, comme on le voit aisement,

0>i ) ^S'' = (-0'" -j^-^j^i T:^. m ^('" 4- /I 4- 2, « + 2, m -+-I , (3«)

On verifie facilement I'identite des formules (D,) et (D,), en partant de la propriete de la serie hypergeometrique qu'exprime la relation suivante :

(14) F(«, ^c,(3») = (,-(3«)— ^F(c-a, c-^c,|3«).

Enfin on a aussi cette autre propriete [OEwres de Gauss, t. Ill, p. 225, for- mule (loo)],

(i5) F(2a',2a'-M-c',c',p«) = (H-(3>)-««F[a',a'-^^, c', ^^^^],

qui donne, en posant

la^zzzni — n — i , c' = /?i -h i : F(m-/i-i, - /t - I , m 4-1, (3>) - (i 4- (3»)^-^'-^« y{^^~''^'~\ ^^T^' w4-i, eA.

La formule (D,) peut done s'ecrire (1),) XJ."' =. (- .)". (^^^)(!i±3):--^±^i±i) Q"'F(^iz:iil^' . ^S m 4-., e').

ou encore, en tenant compte de la propriete (i4)»

On aurait pu, d'ailleurs, demontrer beaucoup plus simplement ces relations (D2)et(D;). Ona, eneffet,

.27: / . V » . ^.J«

-r. — -_ / ( — J cos/ziu^au'

^/,_t'* -^7: Jp \aj

"- (1 — t'-) * — / (I 4- t' cost*)'"'*"' cosmvvdw

FORMULES DE HANSEN. ^Sq

ou bien, en developpant(i -f- ecosw)~"~^ par la formule du binome,

XJ''" = (i — e*) * y (— i)P ^^ -- ^^ - ^P — / cosPwcosmwdw .

^m I 1.2. ..p 2TC J^ I

Or rintegrale — / cos^ cosrrn^^ dw est nulle si p est plus petit que m; elle

Test encore si, p etant plus grand que m, la difference p — m est impaire ; dans le cas oil cette difference est paire,

p=r/W4-2p', p'=Oy

on a

I 1 .2. . (m -f- 2p')

QO^m-hip' ^ (JOS mw dw =:

2W-»-Sp' I .2. . . p'.1.2. . .(/n-4-p')

II viendra done

P' c 00

p'=o

on verifie aisement que cette formule coincide avec (D^).

Considerons maintenant le cas general oil i est un nombre positif ou negatif different de zero; en posant

la formule (B') donnera

en faisant

(II') J «.' P-

e' =(i4-Pj:)-^' E^'i^^S /, =n4-2 — /,

nous allons chercherlc devcloppement de 0' suivant les puissances dex; nous en conclurons cclui de 0', en changeant ^r en -> t en — i, v' en — v'. Or on a

^'''iTP — , 4. 1 (I 4_ (3^)-i p^ 4_ ^ (, 4- pa7)-«p«a:2 4- . . . ;

on en conclut

V' ^ . ,. ..« v'«

8'=: (i 4- (3.r)-''4- - (I -H (3a:)-^''-^-')(3^ H (i -h (3ar)-^'^+«)(3»a:*4-. • . .

26o

CHAPITRE XV.

On peut (levelopper les puissances de i •+■ ^x, ct ordonncr par rapport a ^a;; on est conduit a poser

(12')

/p;

p'.=

n

V'

— >

I

,'i

P',=-

( /? -4- 2 — 0 ( w 4- 3 — 0 /I 4- 3 — / v'

1.2 I I I .2

1.2.3

-H

n ~h :\ — / V

I .2

.'3

1.2 1.2.3

on a alors

(i3')

0' = I - p; (3x 4- p; (3».r»— p; p'^» -i- . .

On fera dc meme, en cliangeant ion — / et v' en — v',

Q't =

q;-

/^ 4- 2 H- ; v'

h -)

I I

( /? 4- 2 -+- 0 ( /? + 3 H- £ ) /I -4- 3 4- I v' V

n

I .2

I .2

(i^;) \

q; - - —

(/? 4- 2 4-0('i 4-3 -I- / ) ( 72 4- -1 -f- /) (/I 4- 34- /) (n

1.2.3

I .2

I

I .2

4 4-1) ]/ I

.'5

I .2.3

ce qui donncra

(i3;)

e; = 1- q; (3.r-»4- q;p*^-^- Q'3(3^r-'4-

II faut maintenant faire le produit des seconds membres des equations (c3') et (i3',), et chercher dans ce produit le coefficient Ao' du terme en a?'-"*.

La formule (C) donnera ensuite X^'"'; on trouve, comme precedemment, qu'il y a a distinguer deux cas, et I'on arrive aux formules suivantes :

i<* e> niy

(E')

X^''' -(-!)'-''■ IL-^-^^,- p--". [I»;..„, + 1>;..„,,, O; p^

(F)

(i + (3«) 2<' i<, nif

J/H-3

/| .rgjyi-Hi P'" ' [Q//I-I 4- Q,;i_,v, P, fi* 4- Qw-/4-2 "2H 4-... J.

FORMULES DE HANSEN.

261

On peut remarquer que, si I'on developpe suivant les puissances de e les quan- titcs 3 = f et v' ~ £ Y^i — eS Xf"* sera de Tune des formes

Proposons-nous comme exemple de calculer 'XY ^^ quatrieme ordre pres inolusivement; on a ici

m = I

/? rrz 9,

lzz:ini-=L\,

La formule (E') donno

^r' = 7r;-|^

on trouve, d'ailleurs,

p; =. 3 - V',

p;z= 6-4v'-h- v'«,

^* 2

v' = \l\ — e* = ^ = I — a fl

I • • • >

^'•• = [fqrFl('^''^'-^X''*^---)'

XJ»=-:H-2P»— ^P*

* 2 64

e'est le resultat chcrche.

262 CHAPITRE XVI.

CHAPITRE XVI.

CONVERGENCE DES SERIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.

100. On a vu, dans les Chapitres XIII et XV, que les quantites -> w — ?,

w — 'Cj (- ) cosqw, (-j sinyfv, oil p et q designent des nombres entiersposi-

tifs ou negatifs, peuvent etre developpees en series convcrgentes suivant les sinus et cosinus des multiples de Tanomalie moyenne ^. Ces series convergent pour toutes les valeurs de rexcentricite comprises entre o et i ; leurs divers termes sont, les uns positifs, les autres negatifs. Si on les groupe autrcment, la convergence pent ne pas subsister.

II y a lieu d'examiner ce qui arrive quand on ordonne les series par rapport aux puissances de I'excentricite. Laplace (*) a montre le premier que les series ne restent convcrgentes pour toutes les valeurs de Tanomaiie moyenne qu'au- tant que Texcentricite est inferieure a 0,6627.... C'est une question importante; car, dans la theorie analytique des perturbations, on est oblige de negliger les puissances des excontricites a partir d'un certain ordre, et c'est reellcment suivant les puissances de ces excontricites que Ton ordonne les calculs.

Pour traiter le probleme, nous nous appuierons sur les resultats, aujourd'hui bien connus, concernant la convergence de la serie de Lagrange.

Soit Tequation

(i) z — a — (x/(z) =iOy

dans laquelle a, a et 5 designent des quantites reelles ou imaginaires; soit S un

(*) Mffcaniqite ciflestCy t. V, Supplement.

CONVERGENCE DES SERIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 263

contour ferme, tel que Ton ait sur tous ses points

mod -^ ^ ^ < I ;

z — a

nous supposerons la fonction/(5) holomorphe dans tout Tinterieur de S.

On demontre (voir le Cours de M. Hermite a la Faculte des Sciences de Paris, 3* edition, p. 167; 1886) que Fequation (i) admet une racine z et une seule dans rinterieur de S, et, en designant par Il(z) une fonction holomorphe quel- conque de cctte racine, on a ce developpement de !!(:;) en serie convergente suivant les puissances de a :

n(.) = n(a)-H 2 TT^^^.,,) ^[n'(«)/-(a)].

71= 0

Nous prendrons pour I'equation (i) Tequation de Kepler

(2) // — C — ^sinw — o,

dans laquelle nous supposerons J^ et e reels.

D'apres ce qui precede, si Ton pent trouver un contour ferme S sur tous les points duquel on ait

(3) mod n = e mod r < i ;

I'equation (2) admettra une racine w, et une seule, dans Tinterieur de cc con- tour, et Ton aura en serie convergente

/I = •

(4) n(«) = n(C)+2^^:^;^^jn'(0sin-c].

n — O

Voici comment M. Rouche arrive a trouver la plus grande valeur de e pour laquelle la serie (4) reste convergente, quelle que soit la quantite reelle ^.

Soient A le point de Taxe des x dont Tabscisse est J^ et Mle point dont Taffixe est u. Prenons, pour le contour S, une circonference de rayon p decrite de A comme centre. Faisons mouvoir le point M sur cette circonference et designons

par <p Tangle que fait le rayon AM avec Faxe des x; posons d'ailleurs >/ — i = i. Nous aurons

La condition (3) reviendra a

(5) -modsin(C-+-pE'?)<i.

P

264 CIIAPITRE XVI.

Soil F(p) le maximum du module dc sin(J^ 4- pE'^) quand 9 varie de o a 21: ct que J^ prend toutes les valeurs reelles possibles; si I'on donne a e une valeur telle que Ton ait

la condition (5) sera verifiee et la serie (4) sera convergente pour toutes les valeurs reelles de X,.

Si Ton determine ensuite la valeur p, du rayon p de maniere que I'expression

prpr soit la plus grande possible, et que Ton fasse e^ = Trp-:, la serie (4) sera

certainement convergente quand on aura

II faut trouver d'abord I'expression de F(p). Or le carre du module de sin(J^ -I- pE'^) est egal a

sin(C -t- pE'?)sin(C -4-pE-'?) = sin(C-i- pcos9 -4- /psin9) sin(C-t- pcos9 — ip sin9)

— cos* ( ip sin 9 ) — cos* ( C -t- p cos 9 ).

On aura done

modsm(CH-pE'?) = i/ ( j — cos*(C-+-pcos9).

Le maximum de cette expression, pour une valeur donnee de p, aura lieu

/ J]pHin9 I J]— p8in9\ J •! i >

quand ( ) sera le plus grand possible, c est-a-dire pour sin<p = i,

et qu'on aura en meme temps

* cos*(C-t- PCOS9) 1= o, cos? — o, Cz=ih-.

II viendra done

«, , EP-f-E-P *(P) = ^

II faut maintenant trouver le maximum e, de Texpression

EP4-E-P

En egalant sa derivee a zero, on trouve

EP(p — i) — E-P(p -f- 1) = o.

Le premier membre de cette equation prend des valeurs de signes contraires pour p = I et p = 2; sa derivee p(EP -f- E"P) est toujours positive. Done cette

CONVERGENCE DES SERIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 265

equation admct une racine p, positive et rien qu'une; on trouve

Done les series sont convergentes pour e<^ 0,6627....

Les excentricites de toutes les planetes et celles des astero'ides compris entre Mars et Jupiter sont toutes notablement inferieures a la limite ci-dessus; il en est de meme pour cinq des cometes periodiques actuellement connues. Done, pour tons ces corps, la convergence des series du mouvement elliptique est assuree.

II est facile de former Tequation transcendante dont depend e^ ; si Ton eli- mine, en effet, p, entre les deux equations

on trouve aisement Tequation cherchee

101. En faisant successivement, dans la formule (4),

n(a)=:M el n(w)=:cosw, il vient

(6) ,,^t-^esm? + 4- ^-^— ^ ^c^-t "^

(7) cosw =:cosC--esin'C--. . . -. r — ^„. ,

^'' 1.2. . .(m — i) fl^"*-*

Or on a ces formules connues : Pour m pair,

m

sin'"C=: ^— ^^j—p cosmC cos(/w — 2)Ch ^^ cos(m — 4)?-— . • . ;

et, pour m impair.

m-l

sm T. - I.

in'"?= ^ — ;^rr" sm/n? sm(m— 2)Ch ^ sm(m — 4)C — • . . r

^1 1 1 • ^ I

34

266 CHAPITRE XVI.

On en tire aisement

^m-x ="■ ^^iTTt ym^"-' Sin niK - J (m - 2)'«-»sin(/n - a)?

m{m — I ) 1 .2

(m — 4)'""* sin (m — 4)? — ... I ;

cette formule convient aux deux cas de mpair ou impair; seulement, elle se termine au terme en sin2 J^ dans le premier, et au terme en sinJ^ dans le second. On trouve de meme

dK

m-

\fnr I r ni

^ — = ^^3j m'w-'cosmC— — (/w — 2>"*-*cos(/n — 3)C

m{ni — I )

I .2

(m — 4)'"~'cos(m — 4)t — •. . I >

oil Ton doit s'arreter au terme en cos2J^ si m est pair, et au terme en cos^ si m est impair.

En ayant egard aux formules (6) et (7), on obtient ensuite

w — C = esinCH — sin2CH-. . .

2

,0. / H -— : I m"»-» sin/nC (m — 2)'»-»sin(/n — 2)?

(8) < I .2. . . /?1.2"*"' L '

H ^7— — (m — 4)'"-'sm(/w — 4)C — ... ,

1 • ^ I

>

- = I H ecosC COS2C — . . .

a 2 1.2

(9) ' 1 .2. . .(m — 1)2'"-* L '

-— ^j- m'"-*cos/nC— ~ (/w — 2)'"-*cos(m — 2)? 1)2 [_

m(m — i) /v« , / /v*. 1

H ^^ ^ (/?i — 4)'""*cos(m — 4)C — •. . h

1 . ^ I

102. C'est Laplace, avons-nous dit, qui a trouve le premier la limite c, de Texcentricite pour la convergence des series; son analyse est tres remarquable. Disons quelques mots de la marclie suivie. Laplace etait arrive facilement a trouver les expressions generales des coefficients de e^ dans les formules (8) et (9). Considerant le dernier de ces coefficients, il remarque qu'il prend sa

plus grande valeur absolue pour J^ = -> quand m est pair; il est alors egal a

"* 1 . 2 . . . ( /;i

2

— 1)2'""' L ' 1.2^ J

CONVERGENCE DES SERIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 267

Laplace trouvc ensuite, par un chemin assez difficile, cette expression appro- chee de A;„ quand m est tres grand

. . . 2 r g(i — 2co)E "I

m

(I) etant determine par la formule

' ~"^^ __ 171-20)

(M) --=£

Si la quantite

e(i — 2oa)E

2oj«*>(i — co)

1— u>

surpasse I'unite, Texpression (lo) de A,;, deviendra infinie avcc m, et la serie (9) sera divergente. La liraite dcs valours de Texcentricite qui font converger cette serie sera done

(12) ^1 =

(1 — 2oa)E

Si Ton tire de (i i) la valour

-m'

pour la porter dans (12), il vient

2 v/w ( I — w)

^1 —

I — 2W

d'oii

I

I — 2W == »

v/i + e}

I

— 03 _ (1 + y/i-^-e*)'

CO ej

En portant ces valours dans la formule (11), il vient

on retorabe bien ainsi sur I'equation deja trouvee.

Laplaco arrive ensuite au memo resultat en partant de I'expression du coeffi- cient de c"* dans la formule (9).

C'est Cauchy qui a ^onne une demonstration plus directe et plus rigoureuse

268 CILVPITRE XVI.

des resultats de Laplace; M. Rouclie a simplific a son tour la demonstration de Cauchy.

Nous renverrons le lecteur a une Note interessante de M. 0. Callandreau {Bulletin aslronomique, t. Ill, p. 528); Tauteur considere le coefficient de e^

dans le developpcmcnt de - suivant les puissances de e; il arrive d'une ma-

niere tres simple a Texpression asymptotique de ce coefficient, et ii en deduit facilement la limite ^,.

103. Nous croyons devoir donner, en terminant ce Chapitre, quelques indica- tions sur d'autres expressions asymptotiques. Reprcnons le developpement pe-

riodique

/•

- rir Co-4- (i| cosC-h. . . -fC;„ cos 7/1^4-. . . ;

a

le coefficient C,;, est une fonction do e^ et Ton pent se proposer d'en trouver Texpression approchee lorsque m est tres grand.

Laplace a traite cette question (Mecanique celeste, t. V, Supplement)^ et il a trouve que, pour m tres grand, on a approximativement

m

3(i — e«)* 1	^ eEv*-*^'
m\fm y^.TT '	^ I 4- V/l — e*

La meme question a etc traitee plus completement par Carlini, et surtout par Jacobi (Astronomische Nachrichten, n^^ 665 et 709-712). Considcrons en second lieu le developpement

(?)■=

Fo-4- Fi cosC-t-. . .-hF,„ cosmC-i-. • . ,

d'oii Ton passe aisement a celui de Tequation du centre. Jacobi a donne pour les coefficients C,^ et F;„ les expressions asymptotiques suivantes

y-t/n

=-2(ia„gi9Ec<."9y\A:^r.__i_(, — v)+--.l.

F,„ = -^ (tang i 9E-?y" (i -f- 5-^— i/ -h. . . V

cos9\ ^2^ / \ 3cos9 V 7rmcos9 /

oil Ton a fait

6'=: sin 9,

On voit immediatement que ia premiere partie de Texpression de C^ coincide

CONVERGENCE DES SERIES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 269

avec celle dc Laplace. Dans le tome XVII des MathematischeAnnalen,M. Scheibner a calcule, dans les expressions asymptotiques deC;„etF,;„ les coefficients de puis- sances plus elevees de -7=> et il a resolu le meme probleme pour les develop-

pements de (^j cosqw et (-] sinqw.

Enfm, M. Flammc, dans une These soutenue en 1887 devant la Faculte des Sciences de Paris, a trouve par une methode rigoureuse fondee sur de belles recherches de M. Darboux (*), les expressions asymptotiques d'autres deve- loppements qui jouent aussi un role dans la theorie des perturbations.

(*) Memoirc sur I'approxlmation de fonctiotis de tres grands nombres {Journal de Math^matiques , S'sdrie, t. IV, 1878).

270 CUAPITRE XVU.

CHAPITRE XVII.

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES QUI SE PRtSENTENT DANS LE DfiVELOPPEMENT DF 'A FONCTION PERTURB ATRICE.

104. Soient ia et 2a' les grands axes des orbites de deux planetes; nous aurons, dans le developpement des fonctions perturbatrices, a developper sui- vant les cosinus des multiples de la quantite reelle ^^ les expressions qu'on deduit de la suivante

( a* 4- a'* — 2 aa' cos ^ )""*,

en donnanta^ les valeurs ->->-> ^-> —

2222

Les fonctions ainsi obtenues sont des fonctions periodiquesde^' aperiode 211;

elles sont paires e t finies pour toutes les valeurs reelles de ']^, si a est different dea'.

Nous pouvons done poser

-J- I

(a*-4-rt'*— 2aa'cosij^) * = - A^®) + A<*^ cos^J^ -h A^'^ cos2ij;4-. . .,

ou bien, en convenant de prendre A^'^ == -h A''\

-f-ce

{a}-\- a'*— 2rtfl'cos^J^) * = - X A^'^ cosiij^; faisons de m^me

-l-«o

aa'(a*-f-a'* — 2aa'cos^) * — - X ^^^^ cosc\};,

(I)

rt'a'*(a*-ha'*— 2aa'cos^) *~- X C^^^COStv};,

— 00

-+-•

a*a"(a*-hrt'*— 2aa'cos^) * = - X ^^^'^ coseij^,

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. Ufjl

En supposant a<C^a\ faisons —, = a; a sera done eompris entre o et i ; la fonetion

(i-f- a*— 2a cos ^J^)"'

pourra etre developpee suivant les eosinus des multiples de ^. Nous poserons

-i I ^r^

( I 4- a*— 2a cos ^J^) * =- > ^^'^ cose^Jy, 6^-0 — -h6<*>,

-4- 00 3

(H- a*— 2aC0S^J^)"' = - 5] C^')C0Sl4'» C<-'> i=:-h c^'),

(2)

-+•00

-! I

(i 4- a*— 2acosij^)"' = - V e^^^ costv};, et-'> =-i- e^' ,

2

— oe

7

(1+ a»- 2a cosv};)' ' — - ^ -^^'^ ^^^''^'' -^^""^^ ~ "^•^^'^'

et, en general,

-+•«

(A) (i 4- a*— 2a cosvj;)-' = - Tl ^^f COSIij^ = illl)i<>' + ^<^i*^ cos^ -I-...-+- iP^'^COStvJ; -h.

Les divers coefficients Dl>i'' sont des fonctions de a; on aura

t

En faisant dans (i) a = oca' et comparant a (2), on trouve aisement

(3) a'A<')=:^<'^ rt'Bf') = ac<'), a'C<'> = a«e<^^ a'D<'") = a'/^'),

Les fonctions A^'\ B^'\ C^'\ D^'\ ... sont done des fonctions horaogenes de degre — I de a et a' qui se ramencnt aux fonctions ift)i'* de la seule quantite a.

105. Cherchons I'expression analytique de \\u['\ Posons

d'oii

2 cos 4* = 5 4- 5~S 2 COStij^ = 5* 4- Z-'y

(i — a-c)(i — a 5-*)=: I 4- a' — 2acos^.

272 CHAPFTRE XVII.

La formule (A) deviendra

(I - (xz)"^ (1 — (xz-')-'= - D^«^ -t- ^MK'^ {z 4- — ») -h. . . -h - WWJ' {z' -+- z'i) -4-

ou bien

(4)

(,_a^)-.<(,_«^-i)-.^12ei')^^

Or, le module de z etant I'unite, olz et as"* ont des modules egaux a a, par suite inferieurs a Tunite; on a done, en series convergentes.

/ V . -^ s(s-{- l)

^ ' I 1.3

• • •

s{s-{-\)(s-h'x).,.{s-h i — l) ^^.

; Of. Z — r~« . . «

• • • {

(! — «:;-*)-'= 1-4-7 a5->-i- ^^r. — ^^ "^- • "• ^ "~^ -'a'^'-f....

1 .2

Le coefficient de 5' dans le produit de ces deux series sera, d'aprfes la for- mule (4), egal a -\)i>i''; on trouvera ainsi sans peine

'^ 2 * 1,2... I L I I -hi 1.2 (1 4-1) (4 4- 2) J

En calculant directement - ii!)i'\ on voit que la formule precedente s'applique

pour I =K o a la condition de remplacer -^ ^^ — -. par 1 unite.

On aura, en particulier,

(^)

I,,,. i.3.5...(2/ — i) T i2e-4-i . i.3(2£-4-i)(2i - b^^^ =L y—^ : — aM iH ; a- h -, -. — -. -^ — r

2 2.4.0. ..24 L 2 2e-l-2 2.4 (2I-H2)(2e

4)

]•

I ,,, 3.5.7. .. (2e-i-i) T 3 2£-4-3 , 3.5 (2/4-3) (2/ -f- 5) , 1

2 2.4.0. -.^e 2214-2 2. 4(214- 2) (2*4-4) J

On voit que les coefficients des memes puissances de a^ sont plus grands dans c^'^ que dans U^^ ; la convergence de la serie qui donne Db^'^ diminue quand s augmente.

Pour 1 = 0, il faudra, comme prccedemment, prendre egaux a Tunite les coefficients qui precedent a' dans les seconds memhres.

Voyons comment converge la serie

Wo4- Wi-H. . .4- W;, -+-. . . ,

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 27^

qui figure dans le second membre de la formule (B). Nous avons

_ s{s-h i) . . , (s -h n — i) (.YH-i) (5-4-/4- !)...(.? -f-/H- /I — i) ,^ 1. 2. ../I {i -{- i) (i -\- 2) , . . (i -{- n) ^

d'oii

— Qjl .

pour n infini, ce rapport tend vers a^ qui est plus petit que i, et la serie est convergente. Tous les termes de cettc serie etant positifs, la formule (B) montre que iib^'^ croit sans cesse quand a croit lui-meme de o a i ; pour a = o, on a d'ailleurs

^S\^^,^^ = 2 et Dl>i'^ =. o pour / ^ i .

106. Nous allons exprimer ij^'^ par une integrale definie.

Puisque '\ft>i" est le coefficient de cosr]; dans le developpement de Texpression

(1-4- cf}— 2acos0)-',

la formule (5) du n*^ 81 donne

2 r""

(C) ia>J''=- / (i-4-a'— 2acos^J^)-*cos/^Jyc^^j^;

cette formule s'applique aussi pour i = o. On aura, en particulier,

b^i) = -

2 r"^ COS/d; ,,

s / 1''^'

/ (i 4- a*— 2acosij^)*

(0

c<0 — -

2 r"^ cos/iL _,

=s / 1"^^'

J (i4-a*— 2acosij^)*

En partant de ces expressions, on demontre facilement (\\xeU^\ c^'\ ... sont infinis pour a = j ; en effet, on trouve, pour cette valeur de a,

' sm-*-

ct') = — 4

I sin'-

T. - I.

35

274 CHAPITRE XVll.

L'element differentiel de chacune dc ces integrates est infini a la limite infe- rieure, et rapplication d'une regie bien connue de Calcul integral montre que les integrates elles-menies sont infinies.

107. Nous allons faire connaitre une autre expression de 6^'^ par une inte- grate definie. La premiere des formules (b) nous donne

1 1//^ .ri«3...(2« — i) I 1 .3. . . (2/ -+- 1) . 1.3 1 .3. . . (21 -f- 3) . 1

-b^^^ = a' J- ;— 'h -, — -. -— r a«H ; -7 ; . ^ ; a* 4- . . . ;

2 L 2.4. ..21 22.4-..(2«-f-2) 2. 42. 4. .-(214-4) J

les coefficients de a®, de -a^, ... s'exprimcnt par des integrates definies, en par- tant de la formule connue

1.3. ..(2« — l)

TT.

2 . 4 • • * 2/i

On trouve ainsi

= «' / sin*' 4* ( ' 4--a*sin*^{/H — ^a* sin*4'-+-- • • ) ^'|-

On a d'aitleurs

I 4- -a'sin*<]^H — '-ra^sin^^'T-. . . = -

it vient done En comparant les formules (c) et (rf), on trouve cette relation interessante

(5) /-" cps^^. — ^^^^, r -'}^'A__,^,

En faisant dans (d) j = o et e = i , it vient

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 275

Si done on designe, suivant Tusage, par F, et E, les integrales elliptiques completes de premiere et de seconde espece relatives au module a, on aura

n a

Or Legendre a donne des Tables etendues pour le calcul numeriquc de F, et de E, (Exercices de Calcul integral, t. Ill, p. i25 et suiv.); Targument, qui est arcsin^, ou ici arcsina, varie de dixieme en dixieme de degre depuis o® jus- qu'a 90**; les Tables donnent logF, et logE, avec 12 et i4 decimales.

On a done le moyen de calculer tres rapidement les valeurs numeriques de j(o) Qi j(i) pQUp yjjg valeur donnee de a.

108. Nous aliens chercher une relation entre 'Ubf , ift)i'"*^ et \ll>i'"*^ Partons de la formule generale

-J-oo

(6) ^,^.«._«^5^-i^j"^i2;<'=^•

-^ X

nous en tirerons, en differentiant par rapport a r,

-t-oo

— X

d'oii, en ayant egard a (6),

-+-00 -4 90

— «D — 00

En egalantdans les deuxmembres de cette equation les coefficients de 5'"*, il vient

d'oii

(F) 111

Cette formule est trfes commode pour le calcul numerique; elle permet de determiner de proche en proche iii>i*', ')S\>[^\ . . . , connaissant ii^^®' et ub^*' que Ton calculera directement par la serie (B), ou par une des autres formules qui seront donnees dans la suite de ce Chapitre.

276 CHAPITRE XVII.

La formule (F) donnera, en particulier,

6 6

(/') ( ' ._^

11 — I -11 — I

en faisant

I a

Ayant done determine b^^^ et 6^*^ par les formules {e) et les Tables de Legendre, on calculera ainsi dc proche en proche b^^\ U^\ . . . ; on verifiera Tensemble du calcul en determinant directemcnt la derniere transcendante b^^ dont on a be- soin par la premiere des formules (6). On devra remarquer que la precision diminue avec le nombre des calculs, et que, si Ton veut avoir 6^'^ avec un assez grand nombre de decimales, il faudra en prendre davantage dans U^^ et b^^\

On aura de meme

11 — 3 2 « — 3

(/^^ ) < 21 — 5 2 1 — D

•^ 21—7'' 21 — y"'

109. II est facile d'exprimer -ubi' en fonction de deux des transcendantes qui se rapportent a la valeur 5 -h i de Tindice s. La formule (6) donne en effet, en y changeant 5 en 5 hi,

•4-00

— eo

apres quoi Tequation (7) devient

-f- • -4-00

I-l

«(' ~ ^) ^ 2 <■ ^' -- ^2 '■"'••'" ^'

— 00

Egalons dans les deux mcmbres les coefficients de z^~\ et nous trouverons

( G ) i^^f 7= s OL [ iB,iV-,' ' - »»S>iVV ' ] •

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 277

En appliquant cette formule, on pourraitdonc obtenir successivement

les quanlil6s e<'^ en fonction des f^^\

» //') » c(');

mais il vaut mieux suivre la marche inverse et, prenant comme point de depart les fonctions U^ qui jouent le role le plus important, cliercher a en deduire suc- cessivement les c^^\ puis les e^'\ et enfin les/^'\

La formule (F) donne d'abord, en y remplagant i et s pari -h i et^-i- 1,

(8) . « ^:-= i(i:t-j^)<...-('+^)«<^-.'';

portons cette valeur de ifb^'^.^' dans (G), et nous trouverons, apres reduction, (9) ^..^,--J&,zM±^)^k,

d'oii, en changeant i en i 4- i ,

i — s-^-i

Les equations (8), (9) et (10) permettcnt de determiner les trois inconnues

i«C/'' ^Ci ^^ ^'^'m^ qui y figurent au premier degre; (9) et (lo) donnent d'abord

(I --h a--) Diitv'- 2«ill>i2j - - — ^-±-!. DJ>;'>»^

en portant dans (8) ces valeurs de ofli'^T/^ etDbi'^V^ o'^ trouve, toutes reductions faites,

(0 _(^'4-0(i-f-a')Di)y>-2(e-5-hi)«iiH^^')

(H) ift,i2,=

5(1 — «*)--

Cette formule resout la question; mais on pent obtenir des resultats plus sa- tisfaisants au point de vue des calculs numeriques en procedant comme il suit : cbangeons dans (H) t en — j — i , et nous trouverons

^ '"' 5(1 — a«)'

278 CHAPITRE XVII.

Nous tirerons ensuite aisemcnt de (H) et (H';,

(K)

2 l-''^^* "^ ^"^^» J - " ~ 2^(1 - ocY

Ce sont la les formules dont Le Verrier fait usage pour calculer numeri quement les ift>,+i en partant des iij>,. On trouvera, en particulier,

(^)

2 *■ ^ ^ ^ 2(1 — «)«

2 ^ -^ ^ ^ 2(1 -+-«)*

on appliquera ces formules comme il suit :

d'oiic^^^et d'\

d'ouc(*^etc'-J; ... .

2 *- -■ 2(1-+- a)'

i fed) H- cf«)l =z 3 ^— ,

2 ^ J "^ 2(1 — a)*

I ^,(1)^^,(2)

2 *■ -" 2(1 -h a)»

On voit que c^*\ c'^ , . . . , d^' *^ seront calcules deux fois, ce qui donnera une verification utile. On trouvera de meme

(X:')

(r)

^r,m , ,...ni^^ (2/4- 3) c(0-^ (2/- Qc^^'^n 2^ -■ "6 (I — «)'

2 Ly -+-y J-,0 (I — «)»

En resume, on calculera dircclement 6°^ ct i '^ soit par les series deduites de la premiere des formules (6), soit par les formules (e) et les Tables de

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 279

Legendre; les relations (/') donneront ensuiteft^^^ b^^\ ... , apres quoi ontrou- vcra les c^'\ e^^^ et/^'^ en appliquant successivementles formulcs (*), (A') et (k"). Enfin les formules (3) donneront les A^'^ B^'\ C^'^ et D^'^

110. On pent introduire tres utilement dans cette theorie la serie hypergeo- mctriquc

La formule (B) nous donnera, en effet,

(11) - \jl>i''=i-- ' ; ' a'F(5, 5-M, f-i-i, «*);

^ '^ 2 * 1 .2. . .1

on aura ainsi Tavantage de pouvoir employer les proprietes Lien connues de la serie hypergeometrique, pour lesquelles nous renverrons a deux Memoires de Gauss, inseres dans le tome III de ses OEuvres. On a d'abord cette relation remarquable

(12) F(A, B, C, X) = (I -^)-AF^A, C- B, C, f^)> qui donne, en y faisant

(i3) A = 5, B = 5H-«, C = /-hi, J7=ia'

et, tenant compte de la formule (i i),

2 * i.2...£ (i — a')' \' ' 1 — a*/

ou bien

1 , j„ _ 5(.y-f-i). ..(54- « — i) «^ r _x_ ^ ^ — ' «'

2 * 1. 2... I (i — a')* I « -+- I I — a'

(L) V / L

.?(.?-4-i) (5 — 0(5 — 2) / a* \*

1 .2 (

f-f.i)(£-+-2)Vi-aV J'

Celte formule importante est due a Legendre; si on la compare a (B), on voit que le facteur '-. est remplace par ■: qui est petit quand i est grand ;

de meme — -. est remplace par ."" ; la formule (L) sera done beaucoup

plus avantageuse que (B) pour les calculs numeriques, si i est assez grand. La serie qui figure au second membre de Tequation (L) procede suivant les puis-

28o CUAPITRE XVII.

ex} »

sances de -^-i* et il est aise de voir, en appliquant la regie relative a la limite dc -^^> qu'elle est convergcnte tant que Ton a _ ^< i, d'oii a < 0,707

Si nous appliquons la formule (12) a F(C — B, A, C, :i~")* noil's^ trou-

verons

f(c - B, A, C, j-^ =z (i 4- -^^ ''""''fcC - B, C - A, C, x),

d'oii

F^A, C-B,C,-^) = (i-^)C-»F(C~A,C-B, C,x), et, en portant cette valeur dans (12), il vient

F(A, B, C, .t)=:(i-^)*^'-a-bF(C-A, C-B, C,^).

Nous avons deja fait usage de cette formule dans le n° 99; si nousy donnons a A, B, C, X Ics valeurs (i3), et que nous portions le resultat dans (11), nous trouverons

^a,l,(o^ _^__.^^ ^.__^ t(,^. _,,,_,,, .Hi,««)

ou bien

/i .w/^ .9(54-1). . .(5 -f- 1 — 1) cf} r I— .9«-M — ,9

12 ' 1.2... I (I — a')*'-* I I /-+-1

1.2 (£4- I) (£ 4- 2)

^ (I — .9)(2 — 5) (f 4-1— >9)(<4-2— .9) 1

La serie qui figure dans le second membre de cette formule reste finie pour

a = I, si Ton a ^r -; on voit done qu'on a mis en evidence le facteur -. t^^t—t

qui rendait nJ>y^ infini pour a = i ; mais la serie en question est encore infinie

pour a = I lorsque s= -• (II suffit pour le voir d'appliqucr une rfegle de Gauss,

QfeVrms t. Ill, p. 139.)

La serie hypergeometrique verifie une equation differentielle lineaire du second ordre, savoir

AHF-[C-(A4-B-i-i)x]^.-(x--^')^=o.

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 28 1

En faisant x — a^ ei donnant a A, B, C leurs valours particuliercs (i3), on trouve sans peine

d^¥ dF

a (I — a') -j-^ -h [21 -H 1 — (2« -M4- ^s)(x^] -^ /4ixs{i -hs)F=zo.

Si I'on pose enfin dans cette equation, conformement a la formule (i i),

F = a-'i)^'^ X par unc conslanle, on obtient finalement

cette equation pourra etre utile dans certaines recherches.

111. Indiquons encore pour les ift>"* un autre procede de calcul employe sur- tout par Hansen. On tire de la formule (F)

W/-^^ ' ' a

d'oii

(i4) {i-s)p'/' = {i-i)

en faisant

I -4- a' £4-5 — 2

a r.'i'-i)

7— r»— y

(•5)
Posons encore
(16)	pu) '+« ' «
(17)	rs *^s Js y

el Tequation (i4) donnera

,2

I !-+-«*' 'a ^ 'i-t-5 — 2ayy

ou bien

ii'

(i — s){i-\- s — i) / OL

M^ — I — ,

T. - I. 36

282 CIIAPITRE XVll.

d'oii

Ai-l) — '

i-fxi'>yi'>'

(18)

oil Ton a pose

Supposons que Yi'^ ait ete calcule d'unc facon quelconque; on en deduira, de proche en proche, par la formule (18), les valeurs de Yi'^'» Ti'^^ •••» T**'* ^^ calculera par (16) et (17) les valeurs de />"\ p^r^\ .••» p^^y aprcs quoi (i5) donnera

I >

On connaitra done ainsi toutes les quantites \jj>i'^ en partant de la premiere u^i"^ que Ton calculera directement par Tune des formules (B) ou (L).

II nous reste seulement a monlrer comment on calculera yl'*; nous aurons recours a la formule suivante {OEiwres de Gauss, t. Ill, p. i34),

F(A, B-M, C + i,a:) I

F(A, B, C, jc) «,J7

I

I

1 — .

oil Ton a

A C - B , _ B 4- 1 C -f- 1 - A

_ A-i- I C-M — B , _ B-h2 C-h2— A

^'"C + 2 C-h3 ' ^»-C4-3 C4-4 '

les relations (i 1), (i5), (16) ct (17) nous donncnt

Hl>V'^ ___ s -I- / — 1 F(5, 5-h /, i-\- I, g') _ (/, __ 5 -f- f — I Qc (,-, ^^0 ^,i,u-i) - - « F(5, 6M-/-1, I, a*) ""^'' "" « 7T^"« ^' '

d'oii

H-g» ^" "' F(5, n- 5 - I, /, g*) '

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 283

on aura done, en appliquant la formule de Gauss mentionnee ei-dessus,

IS —

1 -ha*' «!«'

^,a«

c, a'

I — .

(22) / avec

_S{1~-S) _ (l-f-5)(/4-I— 5)

^1 — • / • r> ^1 — — T~' TT'- \ — '

«(«-4-l) (£-hl)(£-h2)

— (^ + 0(^ — s) , _ (f -h5-t-i) (f -f- 2 — 5)

Lorsque i est grand, a, est petit, la fraction continue se calcule tres rapide- ment; £ tendant vers Tinfini, -^f tend vers i •+- ql^, et la formule (21) donne

ainsi, quand i augmente, les Di>"' tendent vers les termes consecutifs d'une pro- gression geometrique de raison a.

Resume. — Supposons que Ton veuille calculer \j»4®\ oib^*', ...,1(1)^'; on calcu- lera directement ii»4*^^ comme on Ta dit, YJ^ par la formule (22), puis

Fi*', Fi»', ..., Fy', par la formule (16),

(18),

apres quoi les formules (20) donneront enfin ij»4*\ \ll>i*^ . . . , \)bi'\

112. II sera necessaire encore de calculer, pour le developpement de la fonction perturbatrice, les derivees successives des fonctions ySi^^J^ par rap- port a a.

On pourrait sans doute les oblenir en partant de la formule (B) differentiee plusieurs fois par rapport a a; on trouverait ainsi

i .^i,(/) ^ y 5(5-hl)...(5-h/t-l) Sis-fl),..{s-hi-^n-l) ^^_^,^ ^y X ^Mn

2 *' Jmd 1.2. ../I I .2. . . (f -h/l) ^ " *

n n

rs 9		• * • » f*"* '	))
fs t	fS 9	• • • ♦ fS 9	»
	^^5 >	• • • > ys 9	»

284 CHAPITRE XVII.

en posant

B„ =: (1 4- 2/l)(l -h 2/? — 1). . . (1 -H 2/1 — /? -h l) A,|.

On en conclut

B«+, _ (l-h2/^-f-I)(^ + 2/1 -h2) A;,_H, , A«_h,

Brt (I-H2/1 — /? 4-i)(e 4-2/1— )y-h2) A„ A^

Inn -|Y— i = hm — T— i J pour /? = 00 .

La serie (23) est encore convcrgcnte pour les valeurs de a comprises entre o et I ; niais la convergence est moins rapide. En effet, remarquons d'abord que, dans la formule (23), on doit avoir i -h^n — p^o. L'expression de k^ qui resulte de la formule (24) donne ensuite

\l -f- 2/1 — p -f- 2/

ou bien

I -\-in — p -\- 2

On voit que X-,,, qui tend vers i pour n infini, est notablement superieur a i pour les premieres valeurs de n, surtout quand p est grand. La serie (23) con- vergera done bien plus lentement que celle qui donne iiK^^

Exemple. — Considerons . I ; nous trouverons aisement

Bj Aj Bj _ 1 1 A3

Bi~'^A/ B, ""Ta;'

B4 26 A4 58 — ^^5

B3 "~ 7 A3' B4 "~ 12 A4'

On voit qu'il faut aller assez loin dans la serie pour trouver une diminution des termes aussi rapide que celle qui a lieu pour i»i>^".

dp lib'*'

II convient done d'avoir recours a d*autres precedes pour calculer , / -

Revenons a Tequation ((>) et differentions-la par rapport a a; nous trouve- rons

_,^,«_(,^.i)j[.+«,_«(,+i)]-'-'=i2.'^

(I'OU

— oe

— 00 —00

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 285

en egalant dans Ics deux mcmbres de cette equation les coefficients de 5', il vient

LesDb^+4 ayant ete calcules, cettc formule resoudrait la question pour les de- riv^es premieres des oft,,; mais il est preferable d'introduire dans le second membre les alb, au lieu des '\Si>s^i.

La formule (G) donne d'abord

ct, en portant dans (N), il vient

Si Ton met dans cette formule, au lieu de oP^+i ®t de ofl^^V^ '^^^^ valeurs (H) et (H'), on trouve, apres reduction,

^ ^ da ^ a(i- (/})

Mais il serait difficile de calculer ainsi les derivces suivantes.

Nous allons trouver une autre formule qui nous sera plus commode; en retranchant de (N) ce que devient cette equation quand on y change t en i — 2, il vient

or chacune des trois parties du second membre de cette equation pent se de- duire de la formule (G) elle-meme, ou de cette formule dans laquelle on rem- place t par e — i ou par t — 2; en operant ainsi, on trouve

(Q)

a r^ _ ^^^!^1 =- (I- 2) Ui>i'-«'4- (21 - 2)al«,i'->'- illl>i'\

Cette formule importante ne contient pas s explicitement; elle s'applique done aux quantites b^^\ c^'\ e^^f^^K Elle pcrmet, en donnant a i les valeurs 2, 3, . .., de calculer de proche en

proche --7-^^ —.-- > • • • , —~- en fonclion de —r-^y de —r^ et de -ob, , '^i » • • •»

da da da da da

ift)^*; ces dernieres quantites doivent etre considerees comme connues par ce qui precede; il restera seulement a determiner—^ et — ^-

286 CHAPITRE XVII.

En differentiant {p — i) fois la formule (Q) par rapport a a, on trouvera

(R)

En faisant dans cette formule d'abord

pzmo. et £ — 2, 3, . . .,

puis

pTZL?t oi I — 2, 3, . . .,

on obticndra de proche en proche toutes les derivees des divers ordres des fonctions iib^' en fonction des quantites connues et des derivees des divers ordres de iPo^^' et de iibj.*'. II ne nous reste done plus qu'a montrer comment on

pourra calculer -^-y- et —r-y- ou bien

dPh^^'^ dPb^^^ dPc^^"^ dPc^^) dPe^^^ dPe^^^ dPf^^"^ dPf^^^ docP ' doLP ' ~daP~^ '"d(KP~^ do^P ' daP ' "clolF' d(xP

113. CommeuQons par , ^ et , ^ -

En faisant dans la formule (P)^ == - ete = o, puis 1 = — i , il vient

d(x I — a' doL a ( I — a' ) ^

d'oii

db^^^

{cj ) a(i - a*) ^ - a6<^^ - b('\

Ces formules donneront d'abord -^— et -^; en differentiant/? fois la for- mule (y), on trouve

^dp^^b^^) . . .^dpb^') „ , . dp-'b^')

(25) / ~^(/>-i)(/?-2) ^^^_^

_ rf^'^^^o) dP-^b<'') dPb^^^

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 287

On tire, d'ailleurs, de (q')

dP-'^b(^) _ dP-^b^^^ dP-^b^^^

grace a ces deux dernieres formules, (25) donne

dP^^b^^^ dPb^^^ dP-^b^^^

Lcs formules (r)et(r') donneront, de proche enproche, lesderiveessecondes, troisiemes, etc., de 6^®^ et 6^'-; -^-r- n'est pas donne par la relation (r'); mais on trouve directement, en partant de (y) et (y' ),

da} doL

114. II nous reste enfin a indiquer le calcul des derivees des divers ordres des fonctions c^^^, c^'\ e''\ e^'\ f^\ p\ Les formules {k) donnent

(I — a)* [c(«) -h c(»J] = 6(«^ — Z^(»^

En differentiant ces equations, par rapport a a, une fois d'abord et ensuite p — I fois, on en tire aisement

{s)

(5')

iVdc^ fl(c<^"l_ i_ [db^^db^'X i ^^^ ^,

2 L rfa e/a J ~ 2(i — «)* L ^a e/a J i — a "^ -''

L r^ ^^-^1 — __L__I ^^ ^^1 L_ (o)_ (i)T

2 [ rfa "t/a J ~ 2(n- a)» [ ^a "^ ^a J ^4=^ L^ ~ ^ ^ '

doLP "^ "5ai^ "~ I — a [ d(xP-^ ~^ ~doF^ \ ~ (i — a)» [ t/a''-* "^ ^a''-* J

J VdPb^ ___ dPb^'\

daP daP '^ i -h al daP-^ daP-^ J "~ (! + «)«[ </«/»-* ^aP-« J

288 CHAPITRE XVII.

Ces formules resolvent la question pour Icsderivces dec^^^etc^*^; on en trouvera d'analogues pour les derivecs de e^^^ et e^^\ et de /^®^ et/^*^ en partant des for- mules (A*') et {k"). Nous renverrons pour plus de details au tome X des Annales de VObservatoire de Paris, p. 17-36, oil Le Verrier a developpe completement tons ces calculs.

115. Dans le developpement de la fonction perturbatrice, il nous faudra en- core calculer les expressions suivantes :

1 ,2. . .p daP

1.2. . ,p daP ** '

aP dPO^^

I	• ^ • •	P	daP
I	aP	P	dP\Yn daP ~	^P '

Si Ton remarque que Ton a, a cause de a = -,»

on tirera aisement des formules (3) les expressions chercliees, savoir

olP dPW^ P 1 . 2 . . ./> dcuP

^^'' - i2.T7pY' "dap- "-P-d^--^

(^^ Y^'p-\w—pY-d-^'^^p''-^

' i.2.,.p\_ d(xP ^ dOLP^

116. Nous allons terminer ce Chapitre en faisant connaitre une maniere

speciale de calculer, soit les quantites iPoy\ soit leurs derivees des divers ordres.

Nous avons dit que les series dircctes se pretent mal au calcul des quantites

'^' ; mais il est possible d'obtenir un resultat satisfaisant en transformant

ces series.

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 289

Considerons d'une maniere generale la seric convergente

(26) /{x):r=\-\-Bx-\-Cx^~\-Dx^-\-.,,,

dans laquelle nous supposons o < a; < i. On pent ecrire

/(j?)=:A(l-t-^-ha?«H-...)H-(B— A)(^-f-a?«4-a:8-t-...)H-(G — B)(a7«H-J?»4-...)-^----»

comme on le voit en reunissant les termes qui contiennent A, puis B, .... Or

I • 3S

le coefficient de A pent etre remplace par — — ; celui de B — A, par —^^-^ • • • • On en conclut cette formule importante

A-hB^H-Ca?»-f-D^»4-...-— ^4- — ^ [B-A-t-(C-B)a?-+-(D-C)a?«-t-...], ou bien

I /(,r)z=:A4-Bj?-f-C^*4-Da?5 + ...

I — X I — a?

nous avons introduit Talgorithme des differences, en posant

5,Ani:B — A, 5iBz=:C — B,

Nous ferons de meme, dans un moment,

a,A = d,B-d,A, i,B=i3,C — djB, ...; 3Ai=3,B — 3, A, ^sB^iSiC — SfB, ...;

Appliquons la formule (27)21 la serie S,A-i-a?S|B 4- ... ; nous trouverons

(28) 5j A -f- ^ijB + x^S^C-hx^d^J) 4-. . . = -^^ 4- -^- ((J,A4- a:d,B 4- xH^C 4- .rM,D 4-. . .)•

I "~~~ X I """• X

Nous aurons de meme

, d^A 4- a?(J,B 4-:i?«3,C4-:rM,D 4^ ... = -^^ 4- -^— (33A4- ord, B 4- x^S^C-\-...),

(29) < I — ^ I — J7

On conclut de (27) et (28), puis de(27), (28) et (29), les formules sui- T. - I. 37

290 CHAPITRE XVII.

vantes :

( 3o) /(.r) = -A_ + _^^ 3^ A + (^^

X *. X^ ^, /JT^*

(3.) /(..) = __-^+ ^__^3.A + ^--^,5.A+ (^j— ^j (3,A + ,r5.B + x*3,C4-...),

La loi de ces diverses formules est inanifcste; la derniere de toutes, qui est d'Eulcr, serait

(32) f{x)— V . ^-j3,A-f-7-^— rr d,A4-— ^-rr3,A-+-

' ^v / 1 — J? (i — ^)* (i — xy (x — xy

On pourra employer, pour Ic calcul de/(ir), Tune dcs series (26), (27),

(3o), (3i) (32), en admettant, bicn entcndu, que ces series soient con-

vergentes; il pourra se faire que quelques-unes d'entre elles soient beaucoup plus convcrgentes que les premieres.

Appliquons ces considerations a la fonction ift>^'^ : si nous faisons

. 5(54- 1). . .(.?4- t — 1) r» 5 5(54-1). . .(.V-f- 1) A =1 2 ; > K = 2 - —. T > • • • >

1 .2. . . f I I .2. . .(£ -f- l)

I — or

nous trouverons

iil>i''= a'(A 4- Ba-4- Ca* 4-. . . ),

iil>y> = a'-»p«A 4- a'(3«(di A 4- a»3iB 4- aM,C 4- . . .),

i«>y'=:a'-«p*(A4-P*3,A)4-a'(3*(5,A4-a^3,B4-a^5,G4-...),

iij>f =z a'-»(32(A 4- (3«it A 4- (3^d,A) 4- a'(3«(a3A 4- a'ijB -\- aM3G4- . . .)»

• • »

ill>i'^ = a^-»(3«(A 4- (3«3i A 4-(3MjA 4- (SMjA 4-. . .)•

C'est en suivant cette voie que Le Verrier est arrive a obtenir des series assez rapidement convcrgentes, soit pour ift,^", soit pour , '^ ; elles lui ontservi a

controler les valours de —7-77- obtenues par la methode indiquee au n^il2; pour

les details nousrenverrons le lecteur au tome II des Annates de V Observatoire de Paris, p. 10-17.

J'enoncerai en terminant un theoreme que j'ai donne dans le tome XC des

SUR CERTAINES FONCTIONS DES GRANDS AXES. 29 1

Comptes rendus de C Academic des Sciences (voir dans Ic meme Volume des Notes interessantes sur le meme sujet, par M. G. Darboux, et M. 0. Callandreau).

L'expression

(xP dP \VJ^

— ,-..— y

1 . 2 . . ./> (/(XP

dans laquelle s designe Tune des quantites ->->-> • •> tend vers zero pour a< i> etvers Tinfini pour a > -y quand, i et s restant fixes,/? croit indefini-

2

ment.

292 CHAPITRE XVIII.

CHAPITRE XVIII.

DfiVELOPPEMENT DE LA FONGTION PERTURBATRICE DANS LE CAS OU LES EXCENTRICITtS ET LES INCLINAISONS MUTUELLES DES ORBITES SONT PEU CONSIDERABLES.

H7. Nous allons chercher les expressions analytiques des coefficients du developpement de la fonction perturbatrice suivanl la. forme indiquee au n** 70.

Considerons deux pianetes P ct P', les rayons vecteurs r= SP et r' = SP' menes du Soleil S a ccs pianetes; designons par a le cosinus de Tangle PSP'. Les fonctions perturbatrices correspondant aux actions de P' sur P et de P sur P' s'obtiendront en multipliant respectivement par ini et f/w les quantites suivanles :

ra

(0

R ~i-^

r^

Ces quantites ont une partie commune ^> Tinverse de la distance mutuelle A = PP' ; nous ferons

I •

(2) Ri = ^ =:(/-2 4-/-''— 2/7-'c7) *,

et nous nous occuperons d'abord du developpement de R|.

Fig. 20.

Tragons une sphere de rayon i ayant son centre au centre S du Soleil {fig. :2o).

DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURB ATRICE. 293

Les parties positives des axes de coordonnees la perceront en a? et y; soient NM et N'M' les grands cercles suivant lesquels la sphere est coupee par les plans des orbites des deux planetes pour I'epoque quelconque /, et soit G le noeud ascendant de la premiere orbite par rapport a la seconde. Les rayons vecleurs SP el SP' perceront la sphere en M et M', et Ton aura

(j = cos MM'.

N et N' sont les noeuds ascendants des deux orbites relativement au grand cercle ooy. U convient de rappeler que le plan de I'orbite d'une planete a un moment donne est le plan qui passe par le Soleil et par la vitesse de la planete a I'instant considere. Posons

xN = e, j^NG = 9; xW = e', /N'G=i9';

^N 4- NG = T, arN'+ N'G =. x' ;

MGM' = J.

La premiere chose a faire est de calculer J, t et t' en fonction de 0, 0', (p et9': cela revient a resoudre un triangle spherique NGN' connaissant un cote NN' = 6 — 0' et les angles adjacents NN'G = cp' el N'NG = u — 9; les autres elements NG = t — 0, N'G = t' — 0' et NGN' = J seront calcules sans ambiguite par les formules de Delambre

(3)

/ . J . (t'-0')-i-(t-6)

sm - s\ii- ^

2 2

sm - cos^ ^^

2 2

J . (t'-0')-(t~(?)

cos- sm^ ^

2 2

cos- cos^^ ^^

2 2

. B—0' . OH-©' sm sin-

2

0 — 0/ . m~9'

COS sm ^ ^

2

. 0—0' 94-9' sm cos-i^ —

0 — 0' 9 — 9' cos — - — cos-^^ —

On en tirera, en effet, - > t — 0, t' — 6', d'oii J, t et t'.

2

On pent aussi employer pour le meme but le groupe des formules de Gauss:

(4)

sin J sin (t — 0)	sin9'sin(0— 0')»
sinJcos(T — 0)	cos 9' sin 9 — sin9'cos9cos(0 — 0')y
cosJ	cos9COS9'-f- sin9sin9'cos(9— B')y
sin J sin (t' 0') —	sin9 sin(^— 0')y
sinJcos(T'— 0') - -	- cos9sin9' + sin9 cos9'cos(0— 0')

Si Ton ajoute les deux premieres ou les deux dernieres des relations (3) apres

2g^ CUAWTRE XVIII.

les avoir multipliees par des facteurs, tels que — sin -^^ — et -f- cos > des-

2 2

tines a faire disparaitre — — ou du premier meinbre de I'equation re-

sultante, on trouve les formules suivantes :

. J t-ht' sin - cos

2 2

. J . T-+-T'

Sin - sin

2 2

J t-t' cos - cos

2 2

J . T — t'

cos - sin

2 2

e-{-9' 0 — 0' . 9 — 9' . 0-^0' . 0-^0' . 9 4-9' cos COS sin - - - — sin sin sin — >

2 2 2 2 2 2

. O^ry 0-0' , 9-9' 0 -h 0' . 0-0'. 94-9'

sin cos sin - — - -f- cos sin sm ~ —y

222 222

_ ^0 — 0' 9 — 9' . A—0' 9-^0'

= COS

cos

sin- cos - ->

2 2

-sin(9-6' 2 ' \

) f cos ? — ?- -

COS

9

t)

Une transformation facile donne ensuite

(5)

. J

sin - ,

2 T 4-t'

; COS

9 9

COS- COS — 2 2

. J

Sin - ,

2 . T -f- t'

99' 2

COS ^ COS -- 2 2

J

COS- ,

2 T — r

00' 2

COS- COS — 2 2

=1 lang 2 cos(? — tang 2- cos 6',

~ lang^ sinO — tang— sin 0',

=ii-Mang? lang— cos((? — 0'),

J

cos -

2

T_r'

9 o cos ^ cos -^

2

> sin ^ = lang - lang— sin(0 — 0'),

Des deux dernieres de ces formules, on conclut

lang

__-'

lang? Iang2-sin(0— 0')

Or la relation

I -\- lang ^ lang — cos(0— &)

V sinx* langv — ,

dans laquelle la valeur absolue de v est supposee inferieure a Tunite, cntraine, comme on sait, pour celle des determinations de j qui s'annule avec a?, le deve-

DfeVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. SqS

loppement convergent

y = vsinj? v'sin2^ 4- ;= v'sinSo: —

•^ 2 3 .

On aura ainsi, dans le cas actuel,

(6) '^-^^^ = lang^lang^ sin{9 — 6')— - tang* ? lang« ?- sin 2((? — ^') -+-... .

Si done <p et 9' sont consideres commc de pctites quantitcs du premier ordre, la difference t — t' sera du second, et Ton pourra prendre, en negligeant seule- ment le quatrieme ordre,

T — t'= 2 tang 2 lang ^ sin(^ — 0'),

118. Soient (^ et^^' les longitudes des planetes dans leurs orbUes(y7g^. 20); on aura

i; z= ^N 4- NG H- GM, v' = orN' 4- N'G 4- GM',

d'ou

Le triangle spherique MOM' donne ensuite

«

(7=:cosMM'=:cos(f' — t)cos(^'--t') 4- sin(f' — T)sin(p' — t') cos J, (7 = cos(p— - p'4-t'— t) — 2 sin*- sin(t'— -T)sin(/— t').

11 convient de representer sin- par y) et de poser

u = xN'4-N'G4-GM; on aura ainsi cet ensemble de formules

( J

(7) 2

( (J— cos(u — i>') — 2Y)*sin(u — T')sin(^'— t').

L'expression (2) de R| pourra s'ecrire

*■ L r^-{- r'^— 9. rr' cos {'J — v') J

Or les orbites des anciennes planetes sont peu inclinees les unes sur les aulres;

296 CHAPITRE XVIII.

c'est ainsi qu'a Tepoque actucllc on a, pour Jupiter et Saturne, J = 1° 17', pour Mercurc et Venus, J == 8° 46'; la plus grande valcur de J est i2°3o', ct elle se presente pourMercure etMars. Meme dans ce dernier cas, le plus defavorable,

la quantite y)*= sin^- est petite, et il en sera de meme de I'expression

. . 4in*/v'sin(u — T')sin(i»'-— t')

^ ^ ^ r* -+- /•'« — 2/7*'cos(u— i^'Y' ^

qui est inferieure en valeur absolue a

n Ti sm«-;

J , /irr'

le facteur sin^- est petit et Tautre, j^>_:-.xi' ^e prend jamais de valeurs tres

grandes, parce que les rayons vecteurs r et r' de deux planfetes sont toujours notablement differents.

On pourra done developper, par la formule du binome, en une serie rapide- ment convergente I'expression

[4in*/'r'sin(u — t') sin((''— t')T r* -+- r'^ — 2 rr' cos ( y — v') J

i

2

>

et la formule (8) deviendra

— rr' [/•*-*- r'*— 2 /t' cos (u — f'')] * 2Y)'sin (u -T')sin {v' — t') (10) ( ^ /V'-Cr* -H r'*— 2r/'cos(u — (>')]"* 6y)* sin*(u — t') sin*(r'— t')

— /•'/•''[/•* 4- r'*-- 2/t'cos(*j — r')] * 20Y)*sin'(u — t') sin'(i'' — t')

Les quatre premiers termes du second membre suffisent pour toutes les an- ciennes planetes.

Si Ton considerait les planetes Jupiter et Pallas, le developpemcnt (10) ne serait pas toujours convergent; on pent, en effet, assigner a ces deux planetes, sur leurs orbites, des positions telles que I'expression (9) soit, en valeur ab- solue, superieurc al'unite; cela ticnt, d'une part, a la tres grande inclinaison de Torbite de Pallas sur celle dc Jupiter (34** environ) et aussi a la grande ex- centricite dc Pallas (0,24) qui diminuc notablement la difference r'— r a dc certains moments. 11 faudra done, dans Tetude des perturbations causees par

DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 297

Jupiter dans le mouvement de Pallas^ employer un autre mode de developpe- ment.

H9. II faut maintenant remplacer dans Texpression (lo)les quantites r, r', u ell'' par leurs valeurs

(11) I r —a (1-+-X), i^izr/4-y,

( U=r/4-y-+-T'— T=:X4-y,

en posant

(12) X=:/-|-t' — T.

Dans ces formules (ii) et (12), on a designe par a, a\ I aij' les demi grands axes et les longitudes moyennes dans les mouvements elliptiques de I'epoque /; x et y sont des fonctions connues de rexcentricite e et de Tano- malie moyennc I— xs\ elles contiennent^ en facteur; de meme, x' ety' depen- dent de e' et de /' — tn', et renferment Ic facteur t\ On a donne au n° 93 los premiers termes des dcveloppements periodiques des quantites x, y, x' et y'.

Les excentricites e et e' etant petites, nous developperons, suivant leurs puis- sances et leurs produits, les diverses parties de I'expression (10) de R|. en em- ployant la formule de Taylor; le premier terme de cette formule sera ce que devientR, quand on y suppose

e r=: o, e' = o

et, par suite, Soil Ko cette valeur correspondante de Ri ; si Ton fait

(I) z= [a'-\- a'* — 2aa' cos(/'— X)]"^

{ll)—aa' [a«H-a'' — 2aa'cos(/'— X)]~* 2Y)« sin (/'— t') sin (X — t'),

^^^^ ^ (III)~a»a'»[a»H-a'«— 2aa'cos(/' — X)]"^ 6Y)*sin«(/'~ t') sin*(X-- t'),

(lV) = a'a'»[a*-ha'*— 2aa'cos(/'— X)]"^2on«sin'(/'— r')sin'(X — t'),

on pourra ecrire

(i4) Ro= (I) - (II) 4- (III) - (IV) + . . . .

T. - L 38

298 CHAPITRE XVIII.

Or, dans le Chapitre XVII, on a appris a developper, suivant les cosinus des multiples de /' — X, les fonctions

[a*-ha'*— 2 aa' cos (Z' — X)]-',

dans Icsquelles s regoit les valours ^> -> • • • • On a pose

2 2

(.5)

aa' [a* 4- a" — 2 aa' cos ( T — >. )] a* a'« [a« 4- a" — 2 aa' cos ( /' - X )]' a^a" [a»-f- a"— 2aa' cos(/' — X)]

= ^2]A<'^coS£X/'-X),

r= i2]B(')C0SiX/'-X),

.ni^ G('>cos« (/'->.),

=i-^D('>COS£(/'-X),

L'indice i prend toutes les valeurs entieres de — 00 a 4- 00; on a

\(-i) = \(i)^ «(-/)__ U(/,^

• • • •

A^'\ B^'\ ... sont des fonctions homogenes du degre — i de act a'; leurs valeurs, quand t augmente, diminuentd'autantplus rapidementquele rapport -

est plus petit (en supposant a < a').

II faut maintenant porter les expressions (i5) dans les formules (i3); on doit chercher a n'introduire finalement dans R<, que les sinus ou cosinus des multiples de /' et X; on trouvera, dans ce but, paries formules les plus cle- mentaires de la Trigonometrie :

2sin (/'— T')sin (X — t') — cos(/'— X) — cos(/'4-X — 2t'), 8sin*(/'— T')sin*(X-- t') — 2 4- cos (2/' — 2X) --2C0s(2/'— 2t')

— 2C0S(2X— 2t') 4-C0S(2/'4- 2X — f\T'),

('6) ( 32sin'(/'-T')sin»(X-T') = 9Cos(/' — X)4-cos(3/'— 3X)

— 9C0s(/'4-X — 2t')— 3cos(3/' — X— 2t')

— 3 cos(— /' -H 3X— 2t') 4- 3cos(3/' 4- X — 4t') 3 cos(/'4- 3X — 4t') - cos(3/' -h 3 X - 6t').

En substituant les expressions (iS) et (16) dans(iv3), on sera amene a une

DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 2gg

suite de termes de la forme

cosv y D(')cos«(/'-X) = - y D(')cos[/(/'-X)-+-v]4- - T I>^'^cos[i(^'- X) -v];

or les deux 2] du second membre sont egaux, comme on le voit, en changeant dans Tun ten — j, ce qui reproduit Tautre; on a done

cosv ^D(i^ cosi{l' —l) — ^D^i^ cos[i{l' -l) -h v],

et cela aura lieuaussi quand on remplacera D^'^ par C^ ou B^'K On trouvera ainsi aisement

(11)= iyj» yB('>cos(t -+-!)(/' -X)-iy)» y B(')cos[(f-f-i)(/'-X)4-2X-2T'],

(III)= I t)»| 2^] C<"cost(f'-X)-+-2]C("cos(i + a)(/'-X)

— a 2] C<'>cos[(t + 2) (/' — X) + aX — 2t']

— 22C<«cos[t(/'— X) + aX— 2t'] 2] C('>cos[(« + a) {I' -I) H- 4^ - 4t'] j,

(IV) = -^t)«|9 2]D("cos(t + i)(/'-X) + ^D(')cos(i + 3)(/'~X)

-9 2]D"'cos[(t-; .)(''-^) + aX- ar']

— 3 2] D'" cos[(i + 3)(/'— X) + aX - 2t']

-3 2]D("cos[(i — i)(/'— X) + 2X-2t']

3 2] D") cos[(j + 3)(/'- X) + 4X -At*]

3 2]D<"cos[(ti-i)(/'-X)-+-4X-4T']

- ^D(')cos[(£4-3)(/'-X)-h6X-6t']|. On pent dans ccs 2] changer i, tantot en i -- i, / — 2, i — 3, ou t -m, do ma-

3oO CHAPITRE XVllI.

ni^re k ramener toujours sous Ics cosinus le coefKicient de /' a ^tre egal a ('; on trouvera ainsi

-t-2) N<"cos[<(/' ->)-i-2X-2T'] ('7) \ +^ P")cos[t(^'->-) + 4>-4T']

+- 2] Q"'' COS [t (/'- X) + 6X - 6t']

oil Ton a fait, pour abrcgcr,

' M")= - AC) - - Y)»B('-«) -h 3 Y,*[2C") + C<'-«)] - 4 ri«[9D('-«) ■+■ D('-»)] -i- . . . , a 2 8 •* ID ■'

Ni')=i t)»B<'-" -?Y)♦[C^')^-C('-'n^- 4 ^•[I><''^" + 3D<'-" + D<'-»' ]-...,

2 4 lO ^

('8) \ p(/)-| y)*C('-')-^ri«[D('-«) + D('-»i4-...,

1

ID

L'indice i prend toutes les valeurs entieres, depuis — ao jusqu'a h-qo; on voit que lesquantitesM'\N'\ ... dependent dea,a'etdey)^. On remarquera que nous n'avons neglice que y)*, c'est-a-dire Ics quanlites du huitieme ordre, en regar- dant y) = sin - comme une pctile quantitc du premier ordre.

II convient d'observer que cliaeun des arguments de la formule (17) est de la forme

la somme des coefficients de /',XetT' est done egale at — (1 — 'ip) —2/?; elle est nulle; on voit de plus que le coefficient de cos[j; (/' — A) 4- 2p'k — 2/?t'] est de la forme

c'est ce que Ton verifie aisement pour p— i, p=z 2 et/? = 3, d'apres les for- mules(i7) et (18). Si Ton fait h = i — 2/?, Targument considere ci-dessus devient

ct Texpression (17) de Ro rentre dans la forme suivante,

(19) Ro== 2] ^^''''^ COS[£Y'-/iX~ (f- /i)T'],

DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3o I

en prenant successivement

(20)

^ = £-6, K ('•>'*)== Q<'\

et donnanta i toutes les valeurs entieres de — oo a ^- oo.

120. II faut maintenant remplacer dans Texpression (19) deRo

respectivement par

rt(i4-x), rt'(i-Hx'). ^-^y> ^'-t-y',

t' restant le meme; le resultat decette substitution changera R^ en R^.

Faisons d'abord la substitution dans K^''^\ qui est une fonction homogene et de degre — i de a et a', que nous representerons par F(a, a!) ; nous aurons done, en designant par^ une quantitequelconque, et par la definition meme des fonctions homogenes,

F[A:a(i-i-x), A:a'(i4-x')]= ~F[a(i-Hx), a'(i4-x')];

d'ou, en prenant X: = ,i

(21) F[a(i + x), a'(i4-x')]- fij:^, F[a(i4- ^^), «'] .

On pent developper

F(a4-a^^",> a'\

par la serie de Taylor relative au cas d'une seule variable a, ce qui donnera

r/ X — x' A „, ,, X— x' rt dF(a, a') Fa 4- a 7> a'] =F(a, a') H r ^-~ — '-

(22) {

/Xj-x^Y ^ (^'F(a, fl^)

\H-x'/ 1.2 (^a*

X — — x'

cette serie convergera rapidement parce que , est petit.

3o2 CUAPITRE XVIII.

En remettant pour F(a, a') sa valeur K^'''^\ etposant d'une maniere generale

K(/,A)__ ^_ ^^^

'^ 1.2.../? (^a^

les formules (21) et(22) donneront

/

F a(i + X), a'(i 4- x')] r=: i^, 4- 7^^ ^ KV''^^

V /' V /J 14-x' (14-x')* *

11 ne nous reste plus qu'a remplacer, dans le second membre de la for- mule (19), K^''^^ par Texpression precedente, ct X par X 4- y, /' par /'H- y"; nous trouverons ainsi

(24) R, = 2] ^i'""' (T^PT^

oil p devra recevoir les valeurs o, -hi, -+-2, ..., et oil il faudra remplacer ensuite h et K^'**^ par les valeurs indiquees dans le Tableau (20); 1 prend du reste, comme on sail, toutes les valeurs entieres, depuis — 00 jusqu'a H-oo.

Le Verrier a pousse son developpement jusqu'aux quantites du septieme ordre inclusivement ^ en considerant y], e et ef comme dc petites quantites d\x premier ordre; ce degre d'approximation lui a suflQ pour etablir les theories des an- cicnncs planetes. On devra done donner a /?, dans la formule (24), les valeurs

O, 1,2, . . y y .

On voit que ce qui nous permet de limitcr le developpement actuel, c'est la petitesse des excentricites des orbites; en resume, dans la formule (24), les indices/? et A seront limites, le premier par la petitesse de e et e', le second par celle de y]; Tindice i prendra des valeurs qui seront d'autant moins nom-

breusesque le rapport — sera plus petit.

121. On remplacera cos[i7' — AX— (i — h)-:' -h iy' — Ay] par

cos[//'— AX — {i — h)T'] {coshy cosiy' -h sinhysiniy') 4- sin [if — hTi— {i— h)T'] {sin hy cosiy' — cos/iysiney'),

et(x — x'/ par

xp—^ \p-'\'-\- ^^^- -^ xP-^\'' — .. . ,

I I ,'A

DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3o3

et la formule (24) donnera sans peine R. = K!,'-*> (cosAy ^^ + sinAy 5^,') cos[»7'- /»X -(.- /i)r']

+Ki,'.*'(sinAy^^-cosAy^')sin[/V'-AX-(t-A)T']

[cosiv' siniv'

•^ (I -i-x')* (i -f-x')*

(25)

— COS

4-

K.'.A. fxsinAy ,^^, -xcosAy J^I^^L.

* L "^ (l4-x')* '' (14-x')'

^ (l -\-\'Y (l 4-x')'J •- V / I

Klf''^^ x''cos/iy T TT-ri ~ - x/*-* cosAy , rr^

pip— i) „ , , x'*cosey' 1.2 "^ (i-Hx')''-^*

x/'sinAy ; ?4iri:7 — - \P-^s\nhy , rf^

4- ^i^JUll x/>--- sinAy T^^^^^l-, - . . .1 cos[e7'- AX - (i- A)t']

K^/,A) r ^p sin Ay , ^^^'^1^. - ^ n^-' sinAy

x' COS iy'

PiP — ^) „ * • 1 x'*costy' 4- ^-^ x^-* sin Ay , j-^ — . . .

1.2 "^ (l ~\-\')P-^^

, sin/y' p , , x'siniV

-x/>cos Ay (^^p^ 4- f X.- cosAy ^j^p^

On trouvera cette formule ecrite tout au long, jusqu'a /> = 7, dans les pages 355-357 du tome I des Annates de robservatoire.

On voit qu'on est ramene a trouver les developpemenls, suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes, de facteurs rentrant dans les

3o4 CHAPITRE XVIII.

quatre types suivants :

6V_/ .saP(P-^^)'"(P — ^-^^) x'^cosiy'

^'i = ("i)^

1.2. ..7 (i-hx')P'^^

Ces quantites ne dependent chacune que de ce qui concerne une seuie des planetes.

Les formules (36) et (37)d'une part et (38)et(39)de Tautre, du n® 94, don- nent ces developpements (dans les deux dernieres, iifautaccentuer les lettres).

122. Voyons maintenant quelle sera la forme finale des divers termes de R, ; nos facteurs ^sont developpables, comme il suit, en series procedant suivant les sinus ou les cosinus des multiples des anomalies moyennes ^ et J^' :

i^z=2] ^ cosnC, ^1=2] ^^« sinnC,

^ = J^ ar,'cos/2r, ^i = J^ ^%;sin/i'C'; .

X et ^1 sont de la forme c""^^P(p(e^), p designant un entier positif ou nul, et (p(c-)une serie convergente procedant suivant les puissances de e^; de memo 3^' et S(^\ sont de la forme e'"'^*P'^(e'^), p' designant un entier positif ou nul. Ces remarques, qui resultent de ce qui a etc dit au n°9i, nous seront utiles dans un moment.

Portons les expressions ci-dessus de ^, %, ^ et ^', dans le termc general de la formule (26) ; nous trouverons

Kf^^l^ y^' cosnt:cosn'K' -h ^i^\ sinnKsinn'K')cos[il' -- h'k---(i -- h)T'] -^-K'^^^^^K^i^'sinnKcosn'ti'—^y:, ^'iCOsnCsin/i'C') sin [«/' — AX — («--- A)t'].

Cette expression, dans laquelle figurent des produits de trois lignes trigono- metriques, se transforme aisement, par des formules bien connues, dans la sui- vante, qui ne contient que des cosinus :

7 K''''^U^^^'— ='^i'^'i -- ^i^'4- ^X',) cos[iY' — AX — (1 — A)t'-h /iC-H n'C] 4

7 Ki/''^'(^;K;.'— XjX',-t-0i;>i^'- =k..)i:,;)cos[z7'— ax — (« — a)t' — nc-n'c']

4

(36) (

7 K^y^i^^'-h ^i^\ — X,^'— 51^;k;;)cos[i7'--AX — (f — A)t'h- wC— n'C] 4

, . -];K{;*''^J(^}t:,a;^'4-x,;y^; i- JT^r^'-f- J^^'jcosLiT-AX — c/ -A)t'— /iC-hn'C].

DEVELOPPEMENT I)E LA FONCTION' PERTURBATRICE. 3o5

On a II convient de faire

(27) CO =: ny-f- t' — T ;

on aura

(28) ^=zX — CO, ri'^l'^m';

en portant ces valeurs de ^ et Xj dans Texpression (26), on pourra Tecrire ainsi :

(29) {

4- i Kf''\^ - 0i;,,)(X' — ^\) cos[(/ — /i')/'-h (- h -h n)X - /ICO -H n'm' — {i— /Or']

+ 7 KJJ'^'^U^ "^ ^i)(^^'-H <•%;) cos[(f 4- /i')/'4- (— /i ~ /i)X 4- nco — n'Gj^

Le developpement de R, resulte immediatement des formules (25) ct (29). On voit qu'il ne contiendra que des cosinus d'arguments D renfermant les cinq quantitcs X, t, (o, trr' et t' de cette maniere

(3o) D = aX -h a' /' -H (3co 4- P'w'— iyx\

en designantpar a, a', p, p' des nombres entiers positifs, nuls ou negatifs, et par Y un nombre entier positif ou nul (car on a vu que i^=i —h ne doit recevoir que les valeurs o, 2, 4» •••)• ^' convient de remarquer des a present que la sommc algebrique des coefficients a, a', p, p' et — sy de X, l\ co, gj' et t' dans D est nuUe; cela se voit immediatement sur I'expression (29); pour le premier des arguments qui figurent dans cette expression, on a, en efTet,

a4-a'4-P-H(3'— 2y i=(f4-/i') 4- (— /i4- w) — /I — n'— (« — /0--=o,

et la meme constatation se fait pour les trois autres arguments de rexpression(29). On pent d'ailleurs demontrer autrement la relation generale

(3i) a4-a'4-P4-(3'— 2y = o,

en remarquant que la fonction R| , qui represente Tinverse de la distance mutuelle

des deux planetes P et P', doit etre independante de la situation de I'axe des x T. - I. 39

3o6 CHAPITRE xviri.

dans le plan fixe des ay; il doit on elre de memo de cliacun des arguments D. Or, si Ton fait tourner dans ce plan Taxe des x d'un angle quelconque a, les quanlites /, /', cr, tn', t, z' augmenteront toutes de a: il on sera de meme de X et (o, en vertu des relations

). -~- I. -i- 7' — 7, 0) " - G7 -H t' — T ;

alors, d'apres la fbrmule (3o), la variation de D sera egale a

fx(a-h ol' -\- (3 -i- (3'— ?.y),

et, cette quantito devant otre nulle quel que soit (ji, la relation (3i) en decoule immediateinent.

123. Nous avons maintenanta nous rendre compte de la composition gene- rale des coefficients de cosD dans le developpement de R,.

Considerons pour cela la premiere ligne de Texpression (29) : x — X|, qui depend seulement de e, ne contient, d'apres une remarque faite au commence- ment du numero precedent, que des puissances de e de la forme ^'"^^^p, p desi- gnant un nombre positif qui pent etre nul; d'ailleurs, le coefficient de (o dans Targument correspondant de la premiere ligne de Texpression (29) est egai a — /I, et sa valeur absolue est -+- n. Done, le plus petit exposant de e dans le coefficient de cet argument est egal a la valeur absolue du coefficient de o), augmentee d'un nombre pair qui pent d'ailleurs ctre nul. On pent faire la meme remarque pour les trois autres arguments de I'expression (29), et aussi pour ce qui concerne les cxposants de ef compares aux valours absolues des coefficients de Gj' dans D.

En decomposant done le coefficient de cosD en diverses parlies contenant chacune un produit tel que e"e?'" , et so reportant a la formule generale (^S), on pourra dire qu'un torme quelconque du developpement de R, est de la forme

[^C^Ki/'^'']xe"6f'»'cosD,

oil C^ designe un coefficient numerique, et H et ir "ont la signification sui-

vante :

II -_ I (3| -h un nombre pair,

H': - |,3'| -h un nombre pair,

en representant, suivant Tusage actuel, par|^| ot|[i'| les valours absolues de P et ^'.

Si maintenant on remplaco K^^^* par

1 .9.. . .p OaP

DEVELOPPEMENT I>E LA FONCTFON PERIL RDATRICE. 3o7

et que Ton ticnnc compte des formulcs (20), on Irouvera que K'^'^^ sc compose d'une suite de termcs, tels que

1 ,1. . ,p da^

aP d^W^^

1.2.../? OaP

multiplies par des puissances de y) dont Ics exposants sont 2y, 2Y-+-2, ...; ccia resulte des formules (18) et des remarques qui les suivent.

Done, en considerant a part les divcrses puissances de y) et envisageant le developpement de a'R, au lieu de celui de R,, on pourra ecrire ainsi la forme generale de ce developpement

(32)

et Ton aura

D = aX + a I' ■+- p&) -+- P'gj'— 2yT',

H — I (3 I -I- un nombre pair, ll'=z I p'l -+- un nombre pair, F ~ 2y -!- un nombre pair.

Enfin le coefficient N, sera de la forme

(33) N, = V<»a'A^» + VV'fl'AV' -4- VV'fl'A'/^-i. . . ;

TJ^ est un coefficient purement numerique independant de a et a'; AJ/^ pent etre remplace par Tune des quantites B^^ 0J\ D|/', dont on a donnc les valeurs au n** 115 et qui se trouvent ainsi constituer la base fondamenlale du develop- pement de a'R|. On remarquera d'ailleurs que a'A^^^ est une fonction homogene

et de degre zero de a et a\ ne dependant done que du rapport — •

L'ordre du terme general du developpement de a'R, defini par ies for- mules (32) et (33) est egal a

(34) H-hH'+F= |(3| -4- |(3'| 4- 2y -4- un nombre pair qui peul (ilre nul.

On pent donner de cet ordre une autre expression tres utile*, en remarquanl que la somme des valeurs absolues de plusieurs quantites positives ou negatives est egale a la valeur absolue de leur somme algebrique ou bien a cctte valeur augmentee d'un nombre pair.

3o8 CHAPITRE XVIII.

On deduit dc la relation (3i)

2y — (3 — P' = « + «',

et Ton en conclut, en observant que y est positif,

(35) 2y-h |(3|-+-|(3'| = |a-+-a'| 4- un nombrc pair.

De la cette seconde regie :

L'ordre du coefficient de cosD dans un terme quelconque du developpement de a'R, est egal a la valeur absolue de la somme algebrique des coefficients de /' et X dans Targument D, ou bien a cette valeur augmentee d'un nombre pair.

Application dece qui precede. — Considerons les termcs seculaires du deve- loppement de a'R,, pour lesquels on a simultanement a = a' = o; Tapplication de la derniere regie montre que ces termes seront des ordres o, 2, 4> ••••

Considerons en second lieu les termes suivants

C, cos(— 2X 4- 5/'— 3ci)),

C2C0S(— 2), 4- 51'— 20) — cj'), C8C0S(— 2X4- 5/'— 0) — 2t'),

qui jouent, comme nous Tavons deja dit, un role considerable dans les theories de Jupiter et de Saturne.

On voit immediatement que C|, Cj, C3, ... sont d'un ordre au moins egal a la valeur absolue de — 2-h5 == 3; ils sont done au moins du troisieme ordre. De plus, la presence de — 3(o dans le premier argument indique que C| doit contenir le facteur e'; C2, C,, ... rcnfermeront de meme les facteurs e^ef, t^ii f ....

Nous remarquerons enfin, en terminant, que si Ton ne voulait pas conserver sous forme de monomes les coefficients de cosD, on pourrait presenter comme il suit le developpement de a'R, :

( a'R,=:2]^n.cosD,

;)rL = elPl e'\?'\ ^*^* ( ^ ' e\ e'\ yjM ,

$ designant une serie ordonnee suivant les puissances de e^,V^ et r\^\ les coeffi- cients des puissances et produits de e^, e'^, r\^ seraient des fonctions de - •

Nous allons donner ici le developpement de R, jusqu'aux termes du second

DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

ordrc inclusivement :

3oQ

R.=

(3:)

2] r J A"' - ^ n»B('-') -1- — '^— (- 4«'*A"' + 3AV' + a A',")] cos«(/- X) -I- i e J^[—2 J A"» - A',"] cos [tV — (t - 1) X - w]

214- 1) A^') + A'/^] cos [(« 4- I) I'- a — w'] ^i'—5i) A('' 4- (4i - 2) AV'J H- 2 A;'^] cos [il'- (/ - 2) X — 20] 4«-4- 2/)A<'^- 2A'/' _2A'/']cos[(«-hi)r— (/4-i)X — w'-i-w] ~4i'-20A<'^4-(--4i — 2)AV'^--2Ai'']cos[(«H-i)/'--(«--i)X--ny'---co]

4^** 4- 914-4) A^'^ 4- (4« -H 6) AV 4- 2 a/'] cos [(I 4- 2) r-a - 2CJ']

4- i yj» y B('-»J cos [ir- (f - 2) X - 2t'].

Dans cette formule, Tindice i doit prendre toutes les valeurs entieres, de — Qo a -i-Qo; A'/^ et A,*' ont la meme signification qu'au n** 115.

Pour i'expression complete du developpement de R| jusqu*au septieme ordre inclusivement, nous renverrons au Tome I des Annales de robservatoire, oil la formule qui donne R< occupe les pages 277-330; elle ne renferme pas moins de 4G9 tcrmcs.

Dans une These soutenue en i885 devant la Faculte des Sciences de Paris, M. Boqucl a ctendu le developpement de R| jusqu'aux termes du huitieme ordre inclusivement (voir le Tome XIX des Annales de rObservatoire).

124. II faut maintenant passer du developpement de R, a ceux de Roj et

de R< 0- On a, par les formulcs (i),

(38)

(39)

Rm:=Ri-

R,.o = Ri-

Occupons-nous d'abord de Ro,i : quand on neglige les excentricltes, la quan- tite TiO", en ayant egard aux formules (7), se reduit a

(4o)

--^cos(/'-X)4-^Yj«sin(X-T')sin(/'-T')

— — -^cos(/' — X) 4- -^Yj*cos(/'— X) ^yj'cos(/'4-X — 2t').

3io

ClIAPITRE XVni.

Or, si dans les formuies (17) et (18) on suppose

A(»)=Af-») = -

a

a

n

B(0)=:__

2a

a

1%

et tous les autres coefficients A^'\ B^'\ C\ D^'^ nuls, on trouve

M<»)=:

a

ia

n

-\-

a

a

1%

n'\

M(-i)--.

a

2a

'4>

N(»)=:

a*

tous les autres coefficients M'\ N'\ P^'\ Q'^ sont nuls, et il vient

R, irr f- 4l -^ -^ ^*) COS(/'- X) - 4 Yl* C0S(/'-h X - 2t').

C'est precisement Texprcssion ( V>)-

Tous les raisonnements et calculs faits dans les n^' 120, 121 et 122 ne sup- posent qu'une chose, c'est que K"'''' est une fonction homogene et de dcgre — i de a et a'; on pourra done les appliquer dans le cas actuel; seulement, on devra remarqucr que Ton a

Oa

(J(i

et que les derivees suivantcs sont nulles.

11 suffira done d'appliquer la formule (37) en donnant a Tindice i dans ies divers termes les valeurs 4- i et — i et prenant

a

^(1)„^(-i)___:l

2rt

a

'i

B(^)=:— ^

a

It

a

Ai»'::=Ai-^^=^---T^> Ai''r=A^f»':=0.

On trouvera ainsi, en negligeant toujours les termes du troisieme ordre

a

ft

— (Ro.i~Ri)

(40

~ r_i -i-i (e«4-e'»)-hri2| cos(/'— X)

3

— ee'cos(2r— 2X — ny'-t-o)) 4- - ecos(/'— w)

ecos(/'— 2X 4- &)) — 2e'cos(2/'— X — gt')

o

— ^ e*cos(/'4-X — 2w) — ^ e*cos(/'— 3X4- 2co) 4- See- cos(2/'— w'— 0)) — 3 e'* cos ( /' 4- X — 2©')

o

— ^6''*cos(3/' — X — 2©')— -n^cosC/'-i-X — 2t').

DEVELOPPEMENT 1)E LA FONCTION PERTURDATRICE. 3ll

On vorra de meme qu'en negligeant les excentricites R, „ - K| dcvient

(4o') - (S - J^ ^') cos(/'->0 - l^, r,^ cos(r-f-X - 2z'h

Cost a cette meme expression que se reduit Roquand, dans les formules(i7) et (i8), on suppose

tous les autres coefticients etant nuls; on en deduit

d'oil

a'^

Alors, si dans la formule (37) on donnc a rindice Hes valeurs -+- 1 et — i, I'expression correspondante de R, se confondra avee celle de R,,© — R|, et Ton trouvera sans peine

J' (R,,o- R,) =: [- I -i- ^ {e^-^e'^) + r,^] cos(/'->0

3 • I

— 2ecos(/'- 2>L-hOj)4--^'COS(X — CJ') e'cos(2/'— X — CJ')

I 27

(/ji') y — g e*cos(/'-i-X — 20)) ^ e*cos(/'— 3X -+- 20))

— ee'cos(2/' — 2X — cj'-f- «) +3ee'cos(2X— gj' — co)

Q

— 3 c'»C0S(/'4- ). — its') - 3 t>'» C0S(3/'— X — 2CJ') o o

— Yl*C0S(/'4-X — 2t').

Les divers termes dans lesquels on developpe ainsi les differences R|,o — Rj et Ro,, — R, rentrent dans la forme generale (32); dans chacun des arguments D, la sommealgebrique des coefficients de X, /', (o,g/ etT'seranuUe; on aura, pour fixer les limites inferieures desexposants de e, ef et y), et de Tordredu terme, les memes regies que pour R|, puisque le procede de developpement est identique.

125. On pent obtenir aisement Texpression generale d'un lerme quelconque des developpements des differences Ro.i — R|, R|,o--Ri a Taide des fonctions de Bessel, comme nous allons Tindiquer.

3l2

CHAPITRE XVIII.

On a, en tenant compte des formulcs (7) et (38),

r

Ro,i— Ri ~ 75 cos(r — r'-f-r' — t) + 2yj* -j^ sin(f' — t) sin(p'— t')

ou bien, en introduisant les anomalies vraies w et (^ et posant encore

(0 = CT -f- t' — T,

Uo,i - Hi -

(42)

,, / cosir' . sincr'X

— cos(o) — cj ) ( /'cosd' — jTj h /'sim^' — j^ \

. , ,. f • COSir' sin<r'\

4- SUl(o) — CT )•( /'SintV -j^ /COStf' — ^7^ j

4- 2yj*[/cosiPsin(o) — t') 4- /' sint»'cos(w — r')] -^:7jp-sin(cT' — T')4--p^cos(cj — ^ )J-

Or on a obtenu dans le n** 86 les devcloppements periodiques de reos^p, rsxiiw^ —,}j-y —7,i-l les formules (m) et (n) de ce numero donnent

+•

(43)

- cos HP'— 7, A;, cos /I. C,

— 00

•J,/-l(/'e)

/•

n

Ao-^--e;

- sin (IP' = 7 B«sin/jC,

'^ /I

(?'' COS U^'

-+-•

<7'*sin(i''

-f-x

r'l

=-- 2 A;„ cos«'r, ^iF- = 2 B'„, sin/,'C',

90

— ■»

A;,,

a;. =

u

/i'J„_i(/i'e'), o.

B;,.=v^~e'*/i'J„.-,(/i'e').

En portant ces valeurs dans la formule (42), elle donnera

— (Ro,!— Ri) — — cos(aj — ct')^^ (A^A;,, cos/jCcosw'C'4-B«BrtrSinwCsinn'C')

(44)

4- sin(G)— ct')^^ (B,tA^, sin/iCcosw'C' — A„Brt/Cos/iC sin/i'C') 4- 2yj*rsin(o) — t') T] A„cos/iC4- cos(o) — t')^ B„ sin/iu X I sin(cj' — t') 2] A'„,cos/i'C'4- cos(cj' — t') ^ B'„,sin/iT .

DEVELOPPKMENT I)E LA lONCTION PERTURBATRICi:. 3l3

On inettra sans peine le second membre de cette forniule sous la forme (32); nous ne ferons pas ce calcul, et nous nous borncrons a deux remarques :

En premier lieu, A'^ n'etant pas nul, on voit que le second membre de la for- mule (44) pourra bien contenir des termes independants de t, mais qu'il ne renfermera pas de termes independants de C; la difference R,,,, — R, ne con- tiendra done pas de termes seculaires.

En second lieu, les formules(43) montrentque A« et B;,sont, relativementa e, de Tordre /i — i ; A), et B^,, sont de meme de Tordre n' — i relativement a e'. Cela pose, en examinant altentivement la formule(44)»on reconnaitquele coeffi- cient d'un argument contenant ±n\± n'l' sera de Tordre des quantites A;,A^,,, B«B„, » B/|A',,, , A;,B^^, , ou de Tordrede ccs quantites multipliees par y)^. L'ordre du coefficient considere sera done egal a n — i-H/i'— r =/i-f-/i'— 2 plus un nombre pair.

En general, en prenant D sous la forme (32), on pourra dire que Tordre du coefficient C est au moins egal a

a I 4- I a' I — 2.

Cette limite pourra etrc plus elevee que Tancienne | a 4- a' | , qui ne cesse pas d'ailleurs d'etre applicable ici, comme pour R,.

Exemples. — Considerons de nouveau les termes dont les arguments sont de la forme

D=z-2>.4-5/'-H7,

q contenant gj', co et t', mais non /' ni X.

La regie ci-dessus montre que Tordre des termes de cette nature, qui pro- viendront de Ro^ — R,, sera au moins egal a a -+-5 — 2=5, tandis que les memcs termes qui provenaient de R, etaient du troisieme ordre.

Dans la theorie des perturbations de Pallas par Jupiter, les arguments de la

forme

D=—7>. 4-18^4-7

sont tres importants a considerer, parce que la difference entre 7 fois le moyen mouvcment de Pallas et 18 fois celui de Jupiter est tres petite. DansRi, le coef- ficient de cosD sera de I'ordre 18 — 7 = 1 1 ; tandis que, dans Ro,i — R|» il sera de Tordre 7 -f- 18 —2 = 23; les termes de la forme indiquee seront entierement insensibles dans Ro,i — R| .

126. II resulte de ce qui precede que les developpements de Ro.i et R,,o sont de la forme

(45) a'Ro,, -= ^ Ne»»e'"-n^' cos^D, a'R,.o -" ^1 ^''^"^'"^** cos 1),

T. — I. 4o

3l4 CIIAPITRE XVIII.

Oil Ton a

I) — aX -h a'i -+- i3« -4- (3'cj'— ayr',

a4-a'H-(3 + S'— 2y=:o;

(46) {

H =: I a I -H un nonibrc pair,

ir=: |a'| 4- un nombrepair,

F =: 2y -H un nombrepair.

N et N' sont des fonctions de -^^ qui pcuvent etre differentes a cause des lermes

provenant de Ro,i ~ Ri et de R,,o — Ri •

Parlours definitions memes, formuics (i), Ics fonctions R©., et R|,o doivent etre completement independantes et de la 'position du plan fixe des xy et de Torientation de I'axe des x dans ce plan. II doit en etre de memo des argu- ments D, et ii est bon de le verifier. Cela est facile, car on peutecrire

I) = a (/ 4- t'- t) -h a'/'-h (3(gi 4- t' — t) 4- (3'nj'— (a 4- «'+ (3 H- PO^'f

( 47 ) D — a / -H a' /' 4- (3cT 4- P' ct' — ( a 4- (3 ) T - (a' 4- (3^ t' .

Cette expression est symetrique par rapport aux elements des deux planetes.

Designons maintenant par L, L', (i, Q! les longitudes moyennes des deux planetes et les longitudes de leurs perihelies, toutcs ces longitudes etant comp- tees sur les orbites respectives des deux planetes, a partir du point G de la fig. 2o. Nous aurons

et laformule (47) deviendra

(48) I) - aL 4- a'L' 4- (3£2 4- (3'£2\-

cette expression est maintenant tout a fait independante de la position des axes de coordonnees; il en est de meme des fonctions perturbatrices, qui peuvent s'ecrire

j a' Ro.i rr. 2] * ( j) e"^'"' (sin i jV cos (aL 4- a'L'-h (3i2 4- i^'Q!), (/i9) {

^'Ri,o^^^ ^*(j.)e"e'"Ysin i jycos(aL4-a'L'4-(3i2 4-(3'12').

Ce sont des expressions reduites qui ne dependent plus que de la situation relative des deux orbites, et non de leurs situations absolues. II n'y figure que quatre arguments L, L', (i, Q!.

DEVFXOPPEMENT I)E LA FONCTION' PERTURBATRICE. 3 r j!

127. En parlant, au n^ 70, du calcul general des perturbations, nous avons suppose, pour cliacun des termes du developpeinent de la fonclion perturbatrice, une forme un peu differente de celle que nous venons de trouver, savoir

e cos(a/ 4- a'/'-f- Pw -+- ?^'ts'-r-jQ -^j'O'),

le coefBcient'G dependant de a, e, 9, a\ e\ ^'. Nous allons demontrer ce re- sultat.

Les expressions des coordonnees rectangulaires Xy j, :; trouvees au n** 32 peuvent s'ecrire

- = COST -h 2 sin^^sinfv' — ^) sin* -> <- -—. sinv — 2 cosOsinfv' — 0) sin- -y ^ =: sin(r — 0) sin9;

.r' v' -'

on a des expressions toutes pareilles pour^j — j ^,j et Ton en conclut

0-= 7 -+--—/ -i- ~ -7 =cos(i''— r) 4- 2 sin* - sin 9 sin (t^ — (?)cosr'-+-

r r r r r r 2

Nous avons ecrit dans le second membre la partie independante de 9 et 9', et seulement Tun des sept autres termes, qui sont du second ordre ou du qua- trieme, si Ton regarde 9 et 9' comme de petites quantises du premier ordre. On transforme les produits, tels que sinO sin(^ — 0) cos^', en sommes de cosinus, et Ton trouve ainsi

o-^cos(i''— 1') -h - Q,

>2

en faisant

Q = ( — 2 sin- -i- -— 2 sin* —4-2 sin* ^ sin* — ) cos U>' — r) \ 2 2 22/^

-Hsin9sin9'cos(f''— r — 0' -i- 9) 4- 2 sin* - sin*— cos((^'— v—20'-h29)

2 2

7 ^f

4- 2 sin* - cos* — cos((»'4- r — 2^) 4- 2 sin*— cos* — cos(i''4- i> — 29') 22^ ' 22

— sin 9 sin 9' cos (r' 4- i^ — 0 — 0'), Nous poserons en meme temps

/ * 4- /•'* — 2 rr' cos {v' — r) z=i P,

3l6 CHAPITRK XVIII.

de telle sorte que la fonnulc

A* 3^ /•* H- /*'* — 9s rr' a

nous donnera

Q est du second ordre, et, pour les anciennes planetes, la valeur absolue de r/ ~ est petite; on peut developper (P — rrQ) ^ par la formule du binome, ce qui donne

II faut mettre pour /*, r\ r, r' les valeurs

/•i-<7(i4-x), /•'- <7'(i 4- x'), i'— /4-y, {>' zrz I' -i- y' ;

on commencera par faire

Ri, P, Q se changeront en Ro» P© ^^ Qo» ^l il viendra

I Qo — — 2 sin^ ^ — 2 sin* — f- 2 sin* ^ sin* ^ cos( r— /) [ \ 2 2 22/

-hsin9 sin9'cos(/'— /— 0' -\- 0) h 2 sin* ■ sin* - cos(/' — /— 2O' -+- 2O) (5o) ' '^' ^

o o o' P

-h 2 sin* - cos* — cos ( I' 4 /- 2 9) -i •« sin* — cos* - cos( /' -h I— 2O') 2 2 22

— sin9 sin9' cjs(/'-t- /-- 0 — 0');

II convient de poser

;

(5l) tang--:/, tani:: '-::::- x'.

9 o

a n <>• i- 2

Les coefficients des divers termes de Qo se developperont aisement suivant les

DEVFXOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 817

puissances dcs pctites quantites x et x', ot ces termcs eux-memes scront de la forme

les entiers G et G' etant egaux aiix valcurs absoiucs dey et j\ ou a ces valeurs aiigmentees de nonibres pairs; c'est ce que Ton constate sur la formulc (5o); on peut remarquer en ineme temps quey -\-f est pair et que Ton a

;/

II faut maintenant elever Qo a la puissance k et, au lieu des puissances de

cosinus, n'introduire partout que des cosinus des multiples des arcs /, /', 0 et 0'.

U est facile de voir que les divers termes de Qj seront encore de la forme (52 );

on aura encore

G - \j I -\- WW nombre pair,

(i'z.-|y'| -h un nombre pair;

la demonstration se fait d'abord pour QJ et s'etend ensuite de proche en proche. Les remarques faites sur les sommes j -^ f et a 4- a'-f-y -f-y' subsistent pour Q*. Nous aurons ensuite

(53) PT^*"*"*^ = i lii>'''' 1 -H lll>'»' , C0S(/' -/)-+- Hi>^»' , C0S2(/'— /) 4- . . . , •

et il faudra multiplier cette expression par a^a'^Qj; les divers termes du produit seront de la forme

(54) MoX^-x'<icos(a/-ha'/'4-y&-+-y'^'),

Mo etant une fonction bomogene de a et a\ de degre — i ; on aura encore

parce que, dans chacun des termes de Texpression (53) la somme des coeffi- cients de / et Z' est nulle.

Nous avonsainsi obtenu ledeveloppement de R©; pour passer a celui de R,, il faut remplacer a, a\ /, t par a -f- ax, a' -4- a'x', /+ y, /' 4-y'; tons les raison- nements et calculs faits dans les n'*'* 120, 121 et 122 subsistent identiquemenl, et Ton arrive a cette conclusion qu'un terme quelconque de la fonction per- turbatrice peut etre mis sous la forme

(rj) Me"e'"' Aang | j ' /^lang 2. Y cos(a/-h a'/' i (3© 4- ^'is'-hjO -hfO');

3l8 CHAPITRE XVIII.

M designe une fonction homogene de degre — i de a et a'; les differences H — |P|, H'— |[3'|, G — |y|, G'— 1/1 sont des nombres pairs positifs ou nuls; la sommey" -h/ est toujours pairc, et onfin on a

128. Reprenons la premiere forme

(A) j \ 2j ^

II ne sera peut-etre pas inutile de transformer directement (A) en (a). On aura d'abord

D Tz a (/-+- 2 ^-) 4- «'r 4- P ^CT -h 2 ^^-=^) 4- P'cj'- 2y (^~^ 4- ^-^)

OU bien

- _i_ -^' r — -^^ = A — 2 y 2 0 ^

' 2 2

en faisant

( 0 --(x-i-p — y.

Designons par p un nombre entier positif qui pourra etre nul; nous aurons a transformer Texpression

8 =- ( sin - j cos ( A — 2 y 20 J

OU bien

. J\*p

(56) er^u(sin^) en posant

(57) U =--. (^sin •- j %os (a - 2y ^ ^^ - -^^^^^-^^j

II V a lieu d'introduire

V r— I sin - I sin ( \ — •>.'/ 20 I

DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. SlQ

On aura

T-f-r .^ ^__T— r

(58) U + Vs/^T =(sin ^yV^E"'^"^ — E-''^

Or, si Ton a egard aux formules (5) et (5i), on trouve

sm-E ' = — , ,

ill * = 5 :

cos - V^I 4- X* v/l -+-x'*

en portant dans Tequation (58), il vient

E^v^^lxE-V^-x'E-Q'/^y^ri-f-xx'E'^^-^'v^l*^

U 4- V i/— 1 = ^^ :^ i. — i !— ;

/ J\20 *

( COS - j (I 4- x*)Y-^^ (I -h x'*)Y-^

U sera la partie reelle du second membre. Or le termc general du developpement de ce second membre est de la forme

COS-] (l-hx«)YH-8(i4-x'*)T^-S

oil A est un coefficient numerique, p eiq deux entiers positifs ou nuls, infe- rieurs ou egaux respectivement a 2y et 28.

On en conclut la valeur de U, et, en tenant compte de (56), il vient

( sm' - j

(09) 0= — g-!^ ^ ^ AxP^^x'^y-P^^cos[X-(p^q)]9^{2y-^p^q)6^)].

f cos - j (14- x«)Y-*-«(i 4- x'*)Y-*-8

On tire, d'ailleurs, des formules (5),

. , J _ x»4-x^*— 2XX^COS(0- 0^) , ^^^ 2 "" (i4-x»)(i4-x'*) '

si Ton porte cette valeur de sin^- dans la formule (Sq) et que Ton remplace A

par sa valeur (55), on voit sans peine que 0 se compose d'une serie de termes de la forme

xCx'G'cps(«/4-«'/'4-(3Gy4-(3'iij'4-y94-y'6'),

320 CHAPITRE XVIII. — DEVELOPPEMEM I)E LA FONCTION PEKTURBATUICE.

avec la condition que Ton ait

(i — 17 I 4- un nonibrc pair, iV — \j' \ -i- an nombre pair;

C'est Ic resultat que nous avions obtenu prccedcmment dans le n" 127.

Le Verrier a employe constamment la forme (A) dans ses theories des an- ciennes planetes; il a eu ainsi Tavantage de reduire les arguments a cinq au lieu de six, en ajoutant ii / ct cj la tres petile correction t'— t.

Mais les equations dilTerentielles (/i) du n° 62 supposent la fonction pertur- batrice developpee sous la forme (a).

Pour utiliser le developpement (A), il est necessaire de transformer les equations differentielles : c'est ce qui va faire Tobjet du Chapitre suivant.

wW^

CHAPITRE XIX. — TRANSFORMATION DES DIFFERENTIELLES, ETC. 32 1

CHAPITRE XIX,

TRANSFORMATION DES DIFFERENTIELLES DES ELEMENTS ELLIPTIQUES

129. Nous considerons specialement deux planetes P et P' auxqiielles cor- respondent les fonctions perturbatrices

m'

(i) Rnrfm'Ro^, = — n* a^ R^,, ou |jl=i-+-/w,

(2) R'— fmR,,o= ^'i'*«''Ri,o ou fi'iz^i-f-m'.

Nous avons d'ailleurs, d'apres lo Chapitre precedent,

(3) a'Ro.i =z J^^ e^^e'^^'r/ cosl),

(4) «'R,.o —2] N'^^^'^'-^-^cosD,

(5) D = il 4- i'l' -h A-o) -h A'^'-huT\

(6) i-h i'-h k-h k' -h u = o;

i\ i\ k, k sont des entiers positifs, nuls ou negatifs; u est un entier pair negatif ou nul; N et N' sont des fonctions homogenes et de degre — i de a ot a\ h, h, f sont des entiers positifs ou nuls, et les differences

h-\ki //-|A-M> f-\u\

sont des nombres pairs, positifs ou nuls. Les relations

dans Icsquelles t' — t ne depend que do 9, 9' et 0 — 0', nous montrent que nous T. - L 4,

v322 CHAPITRE XIX.

aurons

Nous allons maintenant efTcctucr les substitutions (i) et (8) dans les for- mules (h) du n^ 62; en meme temps, nous eliminerons des expressions de -j-

et de J- la valeurde -y^' au moyen de Tequation Nous trouverons ainsi sans peine

da 2 m' , (^Ro , at fx OA

cU m' ,<?Roi m' naeJi — c* {^llo , ^ q , dO

-.- ——2— /?«*-.— -1 ^.^--zrr^ --T-^ +lang-i-sin9-T-,

de fx da fjL I _^ i/| e« ae ^ a ^ a/

rfe _ m' na\li — e^ <?Ro,! '^i' naesji — ^* <?Ro,i c^^ fx e (?w f^ I -f- i/i e» d\

drs m' na \Ji — e* (^Ro i , o , d9

-di- 7 — ; 5r + ''"e^'"^5F'

dB m' na t^Ro.i

dt ~ fx y/7^'^sin9 <^?

{a) { <p

^ ___ ^ ^5 <^Ro,i _ '^i' ^2 /^R(M f^Ro.A

(A)

Nous aurons de meme

da^ 2/yt ..f^^t^^Rj.o

dt -' ix.'' ^ dl'

(A')

«^ fx' da' \jJ ,4_i/|_e'J (?e' ^2 ^ dt

-- - _ ?* '''^V^~^ ^^t.n fn /i^oV v^i — e'j ()R,,o (t/^ ~ fx' e' ' ()gj' ~ ' fx^ , _|. y/iTT^'i di' '

dO^ _ m n'a' (jR^.o

^^ "" f^' v^F-^^V^sincp' ^?'

I dt fx^ v^r^TTisin?' ^^' F-' " V^-^^* " \ <^^'" "*" ^' /

TRANSFORMATION DES DIFF^RENTIELLES DES ELEMENTS ELLIPTIOUES. 323

130. II nous faut transformer les equations (a), parce qu'il y figure les deri- vees partielles de ^^o,^ par rapport a 9 et 6 et que Texpression (3) de Ro,i nc con-

tient pas directement o et G, mais les quantites t', t — t' et y] = sin -, qui sont

des fonctions connues de 9, 6, 9' et 0'.

Nous aurons, en ayant egard aux formulcs (7),

(9)

(10)

dR

0,1

de

~ <k' de '^\ dl'

1 (^Ho 1 J dJ

r-^ COS -T- )

2 ari 2 o(f

d(T'-T) I (?Ro, J dJ _: . — r _} — zii cos - —

La premiere chose a faire actuellement est done de calculer les coefficients differentiels

Ot[ ^' 0{t'-7) Oir'-r) d^J dJ 0^' 09' (?9 ' 00 ' O^y 09'

II suffit, pour cela, de differentier totalement les formules (3) ou (/|) du n** 117 ou mieux d'appliquer au triangle NGN' de lay?^^ 20 du meme numero les formules differentielles connues de la Trigonometric sphcriquc

(II)

dS. t= — cos c dW — cos b dC -f- sin c sin B da,

sin Adb — sincdB +- sin 6 cos A ^C -1- cose sin Bt/a,

sinA</c i=:sinccosAt/B -4- sinbdC i- cos^sinC^a;

elles donnent ici

I dJ=:z

(12) \ sinJ6?(T — 9) — - ( sinJd{z'-9')^-

On en conclut

cos(t

cos J sin(T

sin(T

9)d<f, 9)d(^ 9)d^

cos(t — ^•)e/9'4-sin9'sin(T' -9')d{0-9').

sin(T'-^')^9' + sin9'cos(T'— 6')t/(^-</'),

cosJsin(T'-'(?')e/9'+sin9 cos(t — 9)d{9-9').

(i3)

<?9

01 09

(^9

Or 09

(^9

\ 09

^,.^^cos(r'-0'),

= cos(t — ^),

= —-^77 ==sin9sin(T — 0) = sin9'sin(T' — ^'),

09

cos J sin (t — 9)

: — i y

Sin J

sin9^cos(T'— 9') sin J

sin(T — 0)

: — I >

SIUJ

sin9C0s(T— 9) sinJ

0(?'

Jt 09'

&^

0^'

&^ 09'

sin(T'-^')

= — I — ^

Sin J

sin 9' COS (t'— 9')

= i ^

sinJ cosJsin(T'— 9')

: i >

Sin J sin9C0s(T— 9)

sin J

324 CHAPITKE XIX.

On tire de la

dir'—z) sinycosCr — ^) — sin9^cos(T^— 9^) _ ()(t — tQ

Cette (lerniere expression doit etre transformee, car nous savons d'avance, par

la formule (6) du n° 117, que --^7^-- doit etre une petite quantite du second

ordre, et cela n'apparait pas dans la formule (i5). Or la formule connue

(iG) sinB cose - sin A cosCh- sinCcosAcos^

donne, quand on I'applique au triangle NGN' de layZg^. 20,

(17) sin 9' cos (t'— 0') — — cos 9 sin J 4- sin 9 cos J cos (t-— 0); si Ton elimine cos(t'— 0')entre (i5) et (17), il vient

(18) — lang - sm9C0s(T — 0) — 2sm* -•

Nous remarquerons, en passant, qu'en partant des formules (5) du n'^ 117 on arrive aisement a cette expression plus elegante

., ,^ sin- - -h sin* -^^ sin*-

d(r — t') 222

( .9) — -.^_ =

cos' -

3

Les formules (9), (10), (i3), (i\) et (18) donnent maintenant

(20)

(21)

o(j> sinJ <Jt a 2 ^ dn

00 suiJ O7' 2 2 ^ On

^ [tang J- sin,cos(.- ^.)- 2si„. t] (%1 -h ^)

Si Ton porte ces valours de ^-p- ot de — —^ dans les formules (a), on trouve

TRANSFORMATION DES DIFFERENTIELLES DES ELEMENTS ELLIPTIQUES. 325

qu'elles dcviennent

.Q / ii> / '^^ cos - .„

.1

(B)

__ - _. I- sin(r - 0) f ^,«^ 4- ^),

J

/ / ^r> / '^^ COS - ...

J?.__^ _Ji^ cos(T-0)^J",-'-i^ ,.. ..3sin(T-9)^

J

, na tang -

131. II faut maintenant faire des calculs corrcspondants pour la planete P'. Si Ton conservait dans ces calculs la fonction R^^o sous la forme (4), les derivees

-^7^;-et —T^ introduiraient —^ ct ^—~ a cause de ^z' — ". qui figure dans les

formules (7); il y aurait aussi -r^ et -—,- qui existent deja dans les equa- tions (a'). Ce serait un inconvenient que Ton evite comme il suit. On pose pour un moment

Texpression (5) de D devient

(5') D i^ //h- i'V 4- km -\- A'oy'-h mt,

car, si Ton rctranche (5') de (5), on trouve

condition qui est satisfaite d'apres (G).

Pour plus de clarte, nous mettrons des parentheses aux derivees partielles do R^^o prises dans Thypothese oil D est mis sous la forme (5').

Nous aurons

(^Rt.o J dJ • cos -

Of) 2 (^9'

^ ' ' ''" cos -

dO' 2 On 2 Oe^'

calculons d'abord ^j ^ par la formule (i5) que nous transformerons au moyen de la relation

sin9Cos(T--9) ijr cos9'sinJ 4- sin9'cosJ cos(t'— 0')

326

CilAPlTRE XIX.

conclue de la formulc (i6); nous trouverons

(18')

-^-wj — - = — tang - sin9'cos(r — 0 ) — 2 sin' —

dO'

Les formules (20') et (21') nous donneront ensuite, en tenant compte dc(i3)

et(i8'),

— •'" — 1- — ,, i i - JLilL] cos - cos

2 2

(?9'

sin J

at]

sin9' , , ^,. sinJ

dz

cos - sin9'sin(T'

22^

-0')

Of)

II n'y a plus qu'a porter ces derivees partielles dans les formules (a'); mais nous reviendrons en meme temps a la premiere forme ( j) des arguments D dans le developpement de R^^o; nous aurons evidemment, par le simple rapproche- ment de (5) ct(5'),

&: )" dz' '

et nous trouverons finalement

' dl'

m

(d_^^_dV^ \dt^' )'' dm'

sin 9'

dt

' 7

— ,. .- s»n(^-^) -Tiir"- 777-7--=^ cos(t'

K v^i — e?'*sinJ

dz

F v^i — e'*

^ dn

n'a' tans -

(B')

ix' Ji — e'^ \ 01' dxs' J

d^ dt

m n! a!

.r» /i'a'cos-

i/v <^Ri,o I w 2 .

-- ^^^ — cos(t'- 5') ^^° -+- - -^ , sin(T'

v/i-e'*sinJ <^ 2 fx' y/i-e'*

J

/I'a'tang-

.'^^

dl'

132. Nous allons ecrire de nouveau I'enseirible des formules auxquelles nous

venons d'arriver; nous y joindrons celles qui donnent -^ ^'t-^jr d'aprfes la for-

mule (28) du n" 75; enfin, dans les coeflicients des derivees partielles de Ro.i et R,,o. nous ferons avec Le Verrier

(22)

ezrsin'^, e'=:sin'y.

TRANSFORMATION DES DIFFERENTIELLES DES ELEMENTS ELLIPTIQUES. 32'J

Dans Texpression de ^> nous remplacerons --^ par savaleur tiree de la pre- miere des equations (A).

Cela pose, les formules (A) et (A'), (B) et (B') deviendront

a'Ro,, - ^ Ne^' e'^*'Yj/cosD,

dt [X d\ dt^ fx Ok

dt fx {?a fx ^ ° 2 (?e ^ 2 ^ </^

fl?e m' na dWo i . 'i' , i da

dt fjL tang^* </ot) ^2 ^ 2a dt

(C) / e/cj m' Aia (^Ro i , o , dS

t/^ fjL tangij^ de ^ i ^ dt

^? =- ^ -^ f-i^ ^ ^ J /^R.. ^N-l ^^

^^ fx cosq^ LsinJ or °2\ (?A ^w /J ^

\ m! na J ()Ro.i . . /jv

r cos —^ sin(T — y),

2 fX cosy 1 OTi

^ dt fx cosv{;|.sinJ (Jt' ° 2 \ {?a <^w /J ^ '

I m' na J dRo.i , ^^

H r cos v^ cos(t — 0);

2 fX cos 4* 2 (7Y)

«' R,.o = 2] N'^'^e^'^'tj/cosD,

*

D = a 4- /'/'+ Aro) -i- ^'Gy'-+- wt' ;

dt fx' d/' a^* fx' 01'

^«' 'w , ,t ^B,.o m , , d;' {?R,,o , 9' . , d6^

(C) { rfb' m n'a' dR, n , 9' . ,t/9'

-TT = -7; TT -^rf- ^- tang-i- sin9' -77,

</^ fx' tang 4' <^^ ° 2 ^ <//

^' = - ^ r • ^. ^ tang J- fe + ^-^l cos(r'- B') dt [tl cos 4' LsinJ d-c' ^ 2 \ (}/' dm' /J ^ '

1 m n'a* J dRi.o . , , ^,,

H ; n cos T^ sin(r'— 9')^

2 fx' cosy 2 Of]

sin9' --77 = -7 n -^-i — ^-T- +tang-(-37r + ^r) sin(T'— 6')

^ <i^ fx' cosy LsinJ ()r 2 \ dl' dts' J \ ^ '

1 m n'a' J (^R. 0 , , g... / n cos x^ cos(t'— ©').

2 fx' cosy' 2 OY) ^ '

328 CHxVPITRE XIX.

Cest la forme employee par Le Verrier dans ses theories des anciennes pla- netes.

133. II n'y aura aucune difficulte a former les derivees partielles de Roj et R^.o en partant de leurs developpements qui viennent d'etre rappeles en tetedes formules (C) et (C) ; il y a lieu cependant de donner quelques explications pour

ce qui concerne -y^ et ^V- • On trouve immediatement

aa' ^\''^ ^y a^ £>''e''''Y]/cosD, da J^ da '

a'

Considcrons maintenant le developpement de a'R< = ^> et faisons

(24) a'R,:r2]N,e'"e''''Y]/cosD.

II resulte des formules (4 1) et (4i')du n'' 124 que Ton a

N = N, 4- Q -, , N' = N, -I- 0' ^* ,

a a*

oil Q et Q' sont independants de a et a' . On en tire

(?N d^, ^a , dW , d^, ,,, a''

"'Ta^'^Ta '' ^a'' ' W '='' Ta' "^^^ 7^'

La fonction N, etant homogene et de degre zero, on a

il en resulte

a' -^- —W — ^a - > — N, -hQ — aa' da a-

Les formules (23) donnent ensuitc

aa' ^«-

(s5)

,,. ^. ^ 2; (- « ^ - N. -^ Q' ^) e'>e"^'nr cosD.

On est ainsi ramene au calcul de -^ •

aa

TRANSFORMATION DES DIFFERENTIELLES DES ELEMENTS ELLIPTIQUES. 320

Or on a vu au n** 123 que N, est de la forme

V^•'^ V/', ... sont des coefficients independants de a et a'; A^^ est Tunc des fonctions A^\ B^\ C^^, D^^ definies au n° 104; on a fait en outre

On en tire

'* 1 . a ... /I da"^

— ^ ^^ .-I .

da 1. 2... (/I — i) da'*^ i.2...n da^'^^

("7) a^^'.= /^Ai;•)4-(/l4-I)A^^>,.

Les formules (2G) et (27) donnent finalement

(28) « ^ = y^J^a'k'J' -h \f\a'k'(' 4- 2a' A^'] -h Vi'^Caa'A;^' -h Sa'A^/'^-i-. . . .

On voit ainsi que le calcul de -^ se trouve ramene a celui des fonctions A'„'' , B)/\ . . . , calcul qui sera fait par les formules (T) du n'^ 115.

T. — I. 4a

33o

CHAPITRE XX.

CHAPITRE XX.

PERTUUBATIONS DV PREMIER ORDRE DES ELEMENTS ELLIPTIQUES.

131. Nous adoptons Ics notations trcs claires employees par Le Verrier dans Ics tomes II et X des Annates de V Observatoire .

Nous nous occupcrons d'abord de la planete P, et nous partirons des for- mules (C) du n^ 132; nous poserons

(«)

dt

cUK> ~dt

d^ dt

m'

^Ho,i

2 — na^ .^ fA Oh

m' ^}Ro.,

fx Oa

dl^

dl dt

5 m' dRo,t

fx Oh

— wacosd* — r-^>

^^ 2 p. cos 4' On

_ — , Ooi

d(^ I m' na i (^Rq.i

r//

2 a J , n Ot'

^ cos - cos 4^

dt

2

, na lang -

cosd»

)

Nous ferons de plus

(')

^f -B-

• *-

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ELEMENTS.

alors les formules (C) du n® 132 nous donneront

33

(*)

dt

UcAo

d^ dt

— 2

Bai ^rt^t'^'e'^'Yi/cosI),

<)rt

^ -_=B/icos^2//Ne^'-^e'^''Y3^cosl),

Tt

B /I cos -

1 2

2 cos

I B/*

2 J ,

cos - COS^L 2 ^

B 72 tang -

2 wNe'*e'^''Yj/-»sinl),

COS 4*

2('-+-^)Ne'*e''''t]-^sinD;

(c)

- e/r __^-.l.

d/^'

dt'

^ d.i

dt ' ^^"^i^^^^"^^^"?^'

e/a _ rf^ c(»p _ d*\

dt

dt dt

de dt

dw di

e/cp dt

d^a ^ + ,1 <

--J- — tang-i- cos^' -j;

dt 2 ^ ia dt

d.i

9

dO

^T77 = :77-+-^tangf sin?;^,

<i^

e/^

:=^_Sin(T-9)^VcOS(T-(?)/'^

. d9

do

eos(.-^»^^-.sin(.~(?)(f-H^)

Pour la premiere approximation par rapport aux masses, d'apres ce qui a etc dit au n®71, il faut remplacer, dans les seconds membresdes equations (6) et(c), les elements a, e, . . . , a', c', ... par des constantcs a©, e^, . . . , a^, e'^^ . . . ; ce seroni douze constantes d" integration, dont les valeurs devront etre determinees ulterieurement par la comparaison de la theorie avcc les observations; les con- stantes n^ et n^ dcpendront de a^ et a'^ par les relations

nlal=:({i-\-m)=z(iM,

/ • ft

f(n-m')---:f/jL'.

332

CHAPITRE XX

On aura ensuitc

lo = n^e-h £o-+- ^'o — '^0, ^0 —K^-+- £'o ;

Do = ( ino 4- /' // 0 ) t -+- ieq -h I'e'o 4- Au^o 4- A-'gj'o — ( e -}- At) Tq — ( «' -I- A-')t

En calculant 41o» Ao, . . . , Vo par les formules (i), on aura a effectuer des qua dratures que Ton calculera commc il suit :

/ sinDo^^ =

cosD,

T >

l/^o4-^'/^o

/,. . Sin Do cos Do dt = -; ^

ff

sinDa r/t^z=— 7-r

sin D<

(i/io4-i'/?o)

-•' w' M

135. Pour abreger Tccriture, nous omettrons les indices zero, en nous rappe- lant, bien entendu, la signification de or, <?, . . . , a\ e\ .... qui, dans les seconds membres des equations (i) et (c), seront des constantes d'integration.

Nous poserons

(2)

n'

et nous trouvcrohs

id)

^~ 2Ba y -^ — Ne^'e'^'tj/cosD, Ar=- 3B V ■■ ', ,, Ng*6''^''-n-^sinD,

llo — ^~"

(?N

2B y ^-^ a ^ e^e'^*'y)/sinD, ^ := Bcosa.y-:-^Ne^-»e'''''Yj/sinD, = - B cosd> y -r-%- Ne''-»e''*'ti/cosD,

(e

Q

I

B cos -

6==— -

2 cos

I B

-j^ y^-^^Ne''e''''ti/->sinD, y -r-^ Ne''e"^'tj/-« cosD,

V=z

2 J ,

cos- cosu^

2 ^

B tang - ,

I y i_-t,^ N e^ e'^'' Yj/ cos D .

cos^* -Adi4-rv

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ^.LEMENTS. 333

On voit que ces valeurs de ^, A, . . . , V sont de la forme

C :^ ^ A cosD, A r= ^ L sinD,

<£= y EcosD, A.>i=r.^CsinD,

(e) { ^

^ =:2]GcosD, J =r:2]PsinD,

V ^ ^ U cosD, (f := 2] TsinD.

On a les expressions analytiques des coefficients A, C, . . . , U qui correspon- dent a chacun des arguments D, etTon pourra calculerleurs valeurs numeriques quand on connaitra celles des constantesa, c, . . . .

On trouvera Tordre de chacun des coefficients A, C, . . . , en faisant la somme des exposants de e, e' et yj dans ces coefficients; car nous considcrons toujours ^, e' et Y] comme de petites quantites du premier ordre.

Peut-etre convient-il do remarquer qu'il resultc de ce qui a ete dit au n** 126 que les expressions ci-dessus de ^, A, . . . , V ne dependent en aucune faQon, ni de la position du plan fixe des xy^ ni de Torientation de I'axe des x dans ce plan.

Nous ferons encore observer que Ton conclut des deux dernieres for- mules (rf),

U £-4-yt . ,J

7T =2 sm' -,

G M 2

de sorte que, sauf le cas de m = o, les divers termes de V seronl beaucoup plus petits que les termes correspondants de G. Les equations (c) donneront ensuite

^i« = -C» 3ip = A,

8j e = .% 4- .f tang -^ 4- tang ^ sin 9 3, (?,

(/) / die=a' — tang ices J>-^,

ed|Gyi=rT -t- e tang 2 sin9d, 0,

5,9=: — gsin(T— e)4-(G-f-V)cos(T — 0), sin9d, 0=:4-(^cos(t— 9)4-(C4-V)sin(T — ^).

Si Ton remplace dans ces formules les quantites ^, A, . . . , V par lours va- leurs (<?), on aura les expressions, analytiques ou numeriques, des inegalites pdriodiques du premier ordre des elements de la planete P.

334 CHAPITRE XX.

Dans le cas ou le diviseur i 4- i'v qui figure dans les formules {d) est tres petit, on a les inegalites a longues periodes dont il a ete question au n*^ 74.

Remarque. — On aurait pu calculer S^ p par la formule

$ipz=z I dindl=i—- — / diadl;

elle aurait conduit au meme resultat que celui que nous avons tire de Tequa- tion

136. Les formules (d) cessent d'etre applicables lorsque i et i' sont nuls simultanement, car alors le denominateur 14- t'v est egal a zero.

Dans ce cas, il faut remonter aux expressions (b) et les integrer aprfes y avoir fait i = o, i' = o, et en regardant D comme une constante. Si nous con- siderons I'ensemble des termes de la fonction a'Ro.i pour lesquels t=:i' = o, termes que Ton appelle seculaires, comme nous Tavons deja dit au n** 73, nous aurons

a'Ro,, = 2]Ne"e''''Yi/cosD, D =1 A: w 4- A:' Gj' 4- mt'.

Pour simplifier Tecriture, nous employons ici les memes lettres N, A, h\ /, k, k\ w, que precedemment.

Cela pose, nous tirerons des formules (A),

/ 4^=0, A = o, .1, = — 2B/i^ 2^a^ef*e''''f\fzoili,

^8)

j = B/i/coS'l^/iN^^^'-'e'^'r/cosD, a" — B«/cos^2 XNe^'-*e''*'y3^sinD,

()

J

cos -

2 cos

X 2/Ne^'e'^''r/-*cosI),

t^ —

L \^nt ^ 2 u Ne''e'^''yi/-» sinD,

cos - COS'L 2 ^

J

tang - Vr= B/i/ '^ y (i-\-k)^e»'e"^'f\f%\\i\S

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ELEMENTS. 335

Nous aurons ensuite, pour determiner les variations seculaires du premier ordre des elements de la planete P, les formules suivantes :

Si a -=10, dip =z o,

0, / =$i£ = X H-cTlang - -h lang2 sin95i(?,

e(),Gy = Jn-elang -^ sm9 Ojy,

0,9 =— g sin (r— 6)4- (^-f-V) 008(7 — 6/), '. sin9^, 61 r-H-(,'cos(T— 6) 4- ((^^4- V)sin(T— 0).

On retrouve leresultat dun** 73 : dans la premiere approximation, le grand axe n'a pas d'inegalites seculaires, tandis que les cinq autres elements e, e, tar, <p, 0 en sont affectes.

II sera facile de calculer par les formules (g^) et (A) les variations annuelles de ces cinq elements; il suffira, en effet, de faire ^ = i, en supposant que n et n! soient exprimes en prenant I'annee julienne do 365^25 pour unite de temps. On trouvera ces valeurs numeriques pour les anciennes planetes dans le tome II des Annates de V Observatoire de Paris^ p. loo et 102. II faut, bien entendu, faire la somme des valeurs obtenues en combinant la planete P, d'abord avec P', puis

Si Ton fait, pour chacun des elements, la somme des inegalitesperiodiques et seculaires donnees par les formules (/) et (A), on aura Tenscmble des inega- lites du premier ordre.

137. Occupons-nous maintenant de la planete P'.

Nous nous bornerons a reproduirc les formules sans explication, vu qu'elles sont tout a fait analogues a celles que nous venons d'obtenir. Nous posons

d^V m , „ <)R,,o d^' m . , ,,dRi.o

(«') { d<S' _ m n'a'cos'Y <)R,., rf(," _ i m'^^^'^^Z dR,,,

dt [>.' e' dw' dt 2 ^^.' cos"]*' dti

' 'f i

d&' ^ 1 m n'a' i dR,,, dV' ^ m " '^ ^""^ a /JR,., dR, ,\

ni n' m

(l') -;-=-V = B'.

jJL /4 jJL

336 CIIAPITRE XX.

Les formules (C) du n" 132 nous donnent

1^ -

- 2h' na' ^i'^'e^'e'^U^ sinD,

dW dt*

= SB'nn' 2 «'N'e^'e''''t)^sinD,

~ = 2B'/^ 2 (« ^^ -HlS')e''e'''VcosD,

-B'ncos^' 2 //N'e^*e'^*'-*Yi/cosD,

(^')

y f)f =l^''^cos'y 2 ^'N'e^'e'^^'-^Yi/sinD,

, B'wcos-

C^^ '2 COS

IVn

-y- = , > wNe^'e'^' yj/-* sinD,

dW , dt

cos - cos J/'

2 ^

B'w lang -

cos 4/ -^iJ

^ _ dJ:j dy _ d/«A^

dt ~" ~c^/ * 6^^« ~" dt*

dt' _ d.V dt "" dt

^' drf

9' . ,^^'

— sino -7- 2 ^ t/^

(C)

de' d'S' , dy' ,,1 r/C'

-di= sin(r

'-^/)^-cos(r'-^')(-^4--5-)

s,n9'^=-cos(r'-0')^i-sin(r'-^/)(^^4-^|

» #

PERTURBATIONS 1)U PREMIER ORDRE DES ELEMENTS.

On trouvera sans peine, en partant des formules (//),

337

{d')

A'-=:-3B'v y ~'-;--.^ N'eV'^'V/sinD,

-.l>' z= 2

B' y -. ' .7- (a -\- - -+- N'^ e''e"''r/sinD, ^^ i-\- i'm\ ()a /

J'

//

" B'cosO;' y ~-.r N'e^'e'^''-»r/sinD:

A'

()■'

tJ COS - ^

2 cos V ^^ / H- « V

G'z^--i -

' ?' - y -. " ,- Ne^'e'^''r/-» cosD

2 J ,,^/-h«v

cos - cosuy 2 ^

J

V --^ -

;. y : ~^"^_ N'e^'e'^''Y,/cosI).

cosu;' -^ £ H- r V

Les inegalites periodiques de la planete P' seront determinees par les for- mules

(/')

o^a'=C ^.P'^--A',

6

?\,;

^,£' — e,l,'-h-T'lang 7- -f-lang— sin9'oid',

0, t' =

- a"— tang -^-- cosd;' -^, ^ 2 ^ 2a

e'diGj'— J'-he'lang ^ sin9'd,6'',

5,9'= (,"sin(T' - 0') - (C'+ V')cos(t'- (/'), sin9'5,9' .-- f,-'cos(T'- (/') - (5'+ V) sin(T'- 6').

On aura cnfin, pour le calcul des inegalites seculaires,

a'R,,o = ^ N'f"e'"'n/cosD, D =: ^w + k'xs' ■+■ ut'

r. — 1.

is

338 ot

(^'')

rjlAPITRE XX.

; C = o,

V=o,

ri' — ir/2/coS'y2//N'e"e'''-»yi/cosD,

(

J

cos -

?)' =

c?' -

- Wnt

cos - cosvl'

J

tang-

cosd- ^^ ^ *

COS'^i

(/,')

0,a' r-: O, d,p' rr- o,

0, 1 -—

o,£' — -1,'-+- -7' tang -^ -f- tang ^ sino'ojO',

^,o,ct' —

* I

rV 4- e'tang ?- s'm^'diO'y

: (f' sin ( t' - ^' ) - ( ?/ -+- V ) cos ( t' — ^' ) , sin9'o,6' --(,^'cos(t'-(}') — ((^/-+- V')sin(7'-(/').

Le lecteur trouvera une application Ires detaillee des formules ci-dessus dans le tome X des Annales de V Obsenatoire de Paris, pour Jupiter et Saturne. Les Tableaux numeriques donnant les valeurs des quantites A, L, ..., T y occupenl les pages no a i25; les pages 127 a 142 sont remplies par les Tableaux qui repondent aux formules (/). Les donnees correspondantes pour Saturne se trouvent dans le meme volume, p. i4'^ a i63 et p. 164 a t83.

138. On pent presenter sous une forme un peu differente le calcul des per- turbations du premier ordre de 9 et 0, 9' et 0'. On a trouve

(2)

( 5,9 =

( sin 9 3, 0^^

(J sin (r — ^) -+- ((^ ~h V) cos(t - 9), Cfcos (t - (/) 4- ((5 -h V) sin (t - 9).

Supposons que Ton cbange de plan fixe et que Ton adopte la position du plan de Torbite de la plancte P' a un moment donne /« ; nous savons que les quantites

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ELEMENTS. SSq

d', G et V ne seront pas aflectees par ce changement. On a, en general (^fig. 21), NG=T — 0; aTepoque/o* le grand cercleN'G estcouche ^\xv xy\ on a NG = o. La

Fig. ii.

quantitc t — 0, qui est ainsi nulle a Tinstant /o. sera petite, de Tordr-e des masses, a i'epoque /. Comme il s'agit ici des perturbations du premier ordre, on pourra faire, dans Ics formules (2), t — 0 = o et sin^ = sin J. Les valeurs correspon- dantes de S, 9 et S, 6 seront les perturbations de Tinciinaison et du noeud ascen- dant de I'orbite de P sur le plan primitif de I'orbite de P', q'uantites que nous designerons par $ et 0; ainsi

Les formules (2) donneront done

(/) oi <&=:(?;-+-¥, sinJd,e_i(,'.

Ces equations offrent une representation pbysique interessante des quantites G -f- V et 0^

Les formules (2), entendues dans leur ancienne generalite, pourront s'ecrire

I d|9 :=cos(7 — ^)0j<&— sin(T — ^)sinJoi0,

( sin95i ^— sin (t — (/)oi<& -t-cos(T — ^)sinJd|0.

Si Ton a egard aux expressions (rf) de (j, €> et V et que Ton pose

B cos - .

'2 cos 4/ I -h I V

a ~h '2{i -h A) siii'-

K=-i f : r, ^N>''e'^*'r/-',

cos - cosd>

on pourra ecrire les formules (1) comme il suit :

(A) dia»=:2]*^^^sD, sinJ3j0i=2]MsinI).

34o CUAPITRE XX.

En portant ces valeurs dans (y), il vient

sin 9 3, 0 = 2 — -— sin (D -f- T - 0) + 2 ^-^ sin (D - t -+- 0),

On obtiendra ainsi les diverses inegalites periodiques du premier ordre de 9 et deO.

On sail qu'a un argument donne D, dans lequel le coefficient de t' est w, cor- respondent les valeurs — w, — w -4- 2, — w -4- 4» • • • de/; si Ton pent negliger

sin^- devant Tunite, il sera pcrmis de faire/— — u; les formules (3) donne-

ront

2 cos 4; £ -h f V

les expressions (/) se simplifient et dcviennent

(/j ) 3, 9 = 2] H cos(D -+- T - ^), sin 9 3, () ~ 2] H sin(D 4- T - 5) ;

les formules (X-) deviennent, dans la meme hypothese,

(A-,) -a.O^^^HcosD, sinJo,e=:2]HsinD.

On voit qu'on passe de (X , ) a (/, ) en remplagant simplement D par D 4- t — 0.

Si les formules (/, ) et (/•, ) ne sont pas entierement rigoureuses, elles donnent du moins, sous une forme tres simple, les parties les plus importantes de S<9 etS.e.

Dans ses theories des diverses planetes, Le Vcrrier calcule les inegalites periodiques du premier ordre de 9 et 6 par les formules (k) et (/).

Faisons les memes modifications pour la planetc P'.

Soient $' et & Tinclinaison et la longitude du noeud ascendant de I'orbite de P' par rapport a la position qu'occupe a Tepoque /© 'c plan de I'orbite de P.

On trouvera

en portant ces expressions dans les formules

3,9'zrz cj' siniz' - 9') - {d' -hW) cos{7' - 9'), sin9'5i^'=-(J'cos(T'-y)-(G'4- V')sin(T'~^'),

PERTURBATIONS 1)U PREMFER ORDRE DES ELEMENTS. 34 1

on aura

I 0,9' =- cos(t'- 0') 3,<^'-+- sin (t'- 0') sinJ 5,0',

I sin9'5, (;'=-sin(T'-^')o,0'-cos(T'-G')sinJd,e'.

On pourra poser

(X^) ^i ^' ^ 2] K' cosD, sin J3,e' = 2] ^' ^*"^ '

on en deduira

5,9'=.-2 5-^ cos(D4-t'-5')4-2 --^— [ sin 9' 0, (^' =_ 2 -^-- sin (D 4- r'-O')- ^ --^'^- sin (D - r' 4- 5').

139. II nous faut donner encore les formules qui permettent de calculer les perturbations du premier ordre de t' et yj, quantites qui figurent explicitement dans les developpements des fonctions perturbatrices; la connaissance de ces perturbations est tres utile pour le calcul des inegalites du second ordre.

La premiere des formules (12) du n*^ 130 donne d'abord

J- =cos(t — ^)-j: 4-sin(T — ^)sui9 ^ — cos(t'— ^ ) -^ — sin(T'— ^') sin9' -j-\

en remplacant ^ ct ^ d'une part, -^ ^^ -4: d'autre part par leurs valeurs (c) et (f?'), on trouve aisement

dS /d(^. dy\ fdCr' dV'\

^^) di ^ydj-^^dij-^yiu-^ -di)'

On peut ensuite mettre la troisieme des formules (12) du n*^ 130 sous cette forme

smJ -J- =— sin(T — 6) -^ -hcos(T— v)sin9 -j- 4-sin(7'— - 0') -J--

clt at at etc

d^' da'

(5) / ~cos(T'-^')sin9'^ -(i-cosJ)sin(T'-6') -^

4- [ sin 9' cos (t'— &') — sin 9 cos (t— B) 4- sin J] -^«

Les quatre premiers termes du second membre se reduisent ^ w> "^ T/f quand on y remplace, comme plus haut, ^> -^> ^> -^ par leurs valeurs (c)

342 CIIAPITRE XX.

ct (c'). II y a lieu de transformer le coefficient de -.- en y inettant pour cos(t — 0) ct cos(t'— 0') icurs expressions tirees des relations

cos 9'= cos 9 cos J 4- sin 9 sin J cos(t — 6/), C0S9 — cos9'cosJ — sin9'sinJ cos(t'— 0').

On trouve ainsi

, r , rt^ ' / f, 1 siii-J — (I — COS.!) (coso -h cosq') sin9'cos(T — 0') — sin9Cos(7— v) 4-suiJ — ^^ r-^; '■ ^-

—- tang -( i COS* COS9 — COS9 1

•I / • * ? • • ^' • • J\ =:i X lang - Sin* - -+- sin' sin' - |i

^ 2 \ 2 2 2/

et la formule (5) donne tinalenient

sinJ -77 = ->; 4- -77 — 2 sin* - sin(T'— 0') -^ dt dt dt 2 dt

2 tang - ,

-^ — 7- sin- • H- sin* -i^ sin* - sin 9' ->-

sino' \ 2 2 'x) ^ dt

Les deux derniers termes du second niemhre de cette equation seront tres

do' dO'

petits; car les coefficients de -j- et sin^'-i- sont du second ordre par rapport

aux inclinaisons.

En integrant les equations (4) et (G) multipliees par dt, on obtient les expressions suivantes pour les perturbations du premier ordre de J et de t' :

sinJdiT'-(,'-hCj'-2sin*- sin(T'- O')0i9'

2 tang -

® o / ^ o' 1\

— — ,— ( Sin* - -\- siiH -i sin* - I sin9 0.9 ;

81119 \ 2 2 2/ ^

d'oii, a cause de r^ =^ sin 7*

2

(m)

J (e^-f-V)-h(c?.'-4- V)

O.Ti z= cos 9

2 2

Yi^^V:^ _L riL:}liL_sin*-sin(T'-&')5,9' J I 2 2

cos -

2

tang - ( sin* 2 -|- sin* 2. __ sin* - ) 0, 6'

PERTURBATIONS Dl' PREMIER ORDRE DES ELEMENTS. 3/j3

L(» plus souvent, ces formules pourront (Mro mliiifes a

i'^i)

ou encore a

('0

	1 o.r,
	YJo'^1 0 ---- ^
o,r,

y3'5,T'— - rsinJ6,0-h sinJoi0'l» ,j I. • " .1

formules dans lesquelles on clevra remplacer o,<I>, sinJo,0, S,$', sinJS,0'par Icurs expressions (t) et (X'), si Ton veut avoir Ics inegalites periodiques de y) ot de t'.

On pourra obtenir aussi les inegalites seculaires du premier ordre de yj et t', en remplacant dans les formules (m), (/, (^, V, (/, g', V par leurs expres- sions (g) et (^'), et o,o', S^O'par les valeurs(A'); on voit ainsi que les quan- tites Y] et r sont affectees d'inegalites seculaires.

140. Nous avons dit deja au n° 63 que, quand les inclinaisons 9 et 9' des or- bites sont tres petites, il est souvent avantageux d'introduire, au lieu des quatre quantites <p, 6, 9', 0', quatre nouvelles variables p, q, p\ q' definies par les relations

{ p n= iang9 sin 6', q z= iang9 cos^,

^ j />'=::lang9'sin^', 7'= tang9'cos^';

on y trouve cet avantage que les variations de/?, q*p\ q' sont toujours petites; il n'en serait pas de meme de la variation 6 si 9 etait tres petit; de plus, I'in- troduction des variables/? et q facilite le calcul des perturbations de la latitude heliocentrique.

En differentiant la premiere des formules (7) et remplagant 3? et -r- par

leurs expressions, on trouve successivement

tansT — dp ^ dS sin^ do cos 5 . dO sin9 ^o '^ . * r do

-L- — tang9C0s(> -j- h 5 ~ — SH19 -7- n -^- -\ lang9sm& -±

dl ^^ dt cos* 9 dt cos 9 ' dt cos 9 dt cos 9 ^ dt

cos^ r , ., di^ . , ., /ri6 dSW

9

sin 0 1 . , , . di^ ^ ,^ (dC^ d\\-\ ^ ^^"^ 2 do

— sin(T — 0) -/' ■+■ cos(t-- 0) -77 4- -r ) H -r •

C0S9 L d^ \d^ d^J] C0S9 dl

1*

344 CIIAPITRE XX.

C'est ainsi qu'on obtient Ics formules suivantes :

dp dii

cos© -f --- COST -,'7 -h SI

• dt dt

(8)

fd^ dV\ o do

dq . d(l {d& d\'\ o do

C0S9 ^ =-s.nr ^ +cost (^^ + ^-j+ytang- ^,

cos

, dp' , dq' . , /d(s/ «rv'\ , 9' do'

cos9'-^=+smT - -cosT(^-^- + -^j+7'tang^^.

On peut avoir besoin d'exprimer J, t et t' a Taidc de p, q, p' et q' ; pour cela, il y a lieu de se reporter aux deux dernieres formules (4) du n"^ 117, et de les multiplier respectivementpar cosO' et sinO', ce qui donne

sinJsinr'^ sin 9 cos 6' sin (6— 0') — cos9sin9'sin^' -h sin 9 cos 9' sin 6' cos (0 — (?'), d'oii

T

— - — 7 sinr' — lang9 sin 0 — tang9' sin ^J' COS9COS9' ^^ ^^

_j_ _^"^_^ [— coso'sin^-f-coS9'sin^'cos(^— 5') 4-cos&'sin(0 — 9' )1 cos 9 ' ^ \ /J

ou

sin J . , , • » ?' tang9 . ,. .,^ ., isinr — p — p' HSism*— - sin(9 — (? )cos9 ,

COS9COS9' r f- ^ COS9

en remplacant, dans Ic coefficient de — ^> sinO par ^ ^ C0S9 ^

sin5-cos(^ — ^')-+-cos©'sin(d -9').

C'est ainsi, et par des calculs analogues, que Ton arrive aux formules ci- dessous :

sinJ . , . , 9 tang9' . ,^ ^.. , 7 SUIT — p — p -H 2Sin'- — -- sm(6/— O')cosc/,

cos 9 cos 9' r r ^ ^^^^

sinJ , . , 9 tang9' . ,, ^,. . ^

7 COST =7 — <7 — 2sm* - — ^^-'- sm(9— 9')siny;

»9COS9' 2 COS9

(9)

COS 9

(9')

smJ . , , .a© tang9 . , ^^ ,,. ^,

— : sinr =/? — «'-H 2sin-— — ^ sin(y — y') cosy',

COS9COS9' r r ^ COS9

i sinJ , , . , 9' tang9 . ,^ ... . ^,

I _.__ ^cost'i=<7 — 7' — 2sm' -'^ =^ sm(0 — 6'')sin&'.

\ cos 9 cos 9' 2 cos 9'

D'autre part, la formule

cos J = cos 9 cos 9' -h sin 9 sin 9' cos ( () — 6' )

nERTURBATIONS Di: PREMIER ORDRE DES ELEMENTS. 345

donne

COSJ = COS9 C0S9'(l \' pp' -\- qq');

or

tang* 9 = p2 _|_ ^i^ langi ^' __ p'l _^ fj't^

(roil

cos' 9 COS* 9' -- -. -— -, ,j. ;

il en resulte successivement

cos'j - , il±lt;^:Jlt)t

rr >

(14-/7* 4-7')(i-hA>'*+7'*)

Lcs formules (9), ((/) et (10) sonl rigourcuses el determinent avee precision les quantites J, z et t', en fonction des auxiliaires/?, q, p\ q\

En ncgligeant les cubes des inclinaisons, lcs relations (9') donnent

( sin J sin t' = />--/>', ( sinJcosr' — 7 -- q'.

D'autre part, la formule approchee

T — r'-- ;- lang9lang9'sin(^ — 6'),

demontree au n*^ H7, donne, en exprimant t — t' en seeondes,

T — T — ■ — r— .

sin 2'

On tirera des equations (8) les formules suivanles pour calculer les pertur- bations du premier ordre des quantites/?, q,p\ q' :

1 COS9 hxp — ^ COST -h (C H- V) sinr -+-/> lang 2 ^19, (•3)

COS9 3.7 =— g sin? -h (G -h V)cosT -h q lang - 3,9;

cos9'5,/;' = — cJ'cost'— (G'4- V ) sinr'-H /?' lang ^ ^19', (i3')

COS9' 3, q' r= H- g'sinr' — (5' -+- V')cost' h- 7' lang 2. 3, (p'.

T. - I. • 44

346 CII.VPITRE \X.

On pout ecrire encore, a cause des relations ('/) et (/'),

(o)

COS9 Oip

sin 7 o,<I> -h COST sin J o,0 -h p tang -^ di9,

( C0S9 6, f/ -.. COST OjO -- sinT sinJo,B -}- 7 tang ^ Ojo;

(o')

./ "^ . '

COS"/ 61 p -_ — sinT'o|<I>' - cosT'sinJ6,B' ^-/?' lang ~ Oio', cos9'rj,7' - — cost'o,<I>' {- sin t' sin J 0,6' 4-7' tang -^ *5, 9'.

j5

Ces fornuiles permettent de calculer les inegalites periodiques du premier ordrc de/;, 7, //, r/, et aussi leurs inegalites seculaircs, ou plutot leurs varia- tions annuelies.

En tenant compte des relations (/) et (/'), on pent niettre ics formules (o) et (o') sous cette forme :

(Oi)

{o\)

COS9 Oip

cos 9 OjY zir

coso'oip'

C0S9'di7'

2^ — —_ sin(D-i t)h^ —-— sin (1)-t) +/> tang i 0,9, 2^ __^. __ cos(U-HT) — ^ — - — cos(D— t) 4- 7 lang j 0,9;

ti Fr I K' .

- 2^ — ;^— Sin (D H- t') - 2^

-2

1L_J^ sin(l) - t') +/>'lang ?-' 3,9',

H/4-K' ,. ^ir-K

cos

•2

(1) H- t') -i- y - — — cos(I) - t') -f- 7'lang ^ 5,9'.

Les derniers (ermes des seconds membres de ces equations, ceux qui contien- nent 0,^ eto,^', seront le plus souvent negiigeables; on en tiendra compte, s'il y a lieu, en ayant egard aux relations (/) et (/').

II nous reste enfin a calculer les inegalites du premier ordre de t'— t; elles nous seront necessaires pour calculer celles de X et co par les formules

>. = / H- t' — T, CO =: d 4- t' — T,

en partant des inegalites de /et cr, lesquelles ont etc considerees deja; or on tire de la formule (12)

iP)

Oi(-'--')= - ( p' Oiq — q' Oip — p d^q' -h q StP') I

done, en tenant compte des formules (o^) et (o\), on aura les perturbations cherchees, lesquelles sont d'ailleurs tres petites et negiigeables dans un grand nombre de cas.

PERTURBATIONS 1)1' PREMIER ORDRE DES ELEMENTS. 3/|7

La (liffenMicc t' — t sera alFeclee trunc petite inegalite seculaire du premier orclre.

141. Les trois termes dc I'expression (//) deo,/ = o,£contiennent/cnfacteur; soit (J/ la somme de ces trois termes; on voit que I'expression de/, fournie par la premiere approximation, sera de la forme

(i4) nt ^- E -i- (jt ■{- les perlurbalions periodiques;

(7/ represente les inegalites seculaires du premier ordre de ['element e. Le coefficient de / dans cette formule (i/j) est egal a /?,, en posant

c'est lui que I'on obtiendra directement quand on comparera deux valeurs de la longitude moyenne deduites des observations faites a deux epoques separees par un intervalle de temps considerable. II est naturel de determiner une quantite r/, par la relation

(i5) //JrtJ =r f(i 4- m);

on a deja

/?'«'— r(l ;- m)y

et Ton en conclut

d'oii, en negligeant a-, qui est de I'ordre de m'-,

(.6) a:=a,(^,-^l^.y

On pourra ccrire ainsi Texpression (i4)

/?, ^ 4- £ H- les perturbations p6riodiques;

on calculera a,, puis a paries relations (i5) et (x6); partout oil a figurait direc- tement, on devra done mettre sa valeur (i6). Sous lessignes sinus et cosinus, ce qui entrejusqu'ici dans nos formules, c est ni = (n^ —a)/; on devrait done faire cette substitution si Ton tenait a ordonner rigoureusement suivant les puis- sances des masses perturbatrices. Mais, dans Tapproximation suivante, il fau- drait remplacer / par /i^ / -h £ -f-. . . , c'est-a-dire arriver finalement a mettre /i, au lieu de n; il vaut done mieux le faire des la premiere approximation.

Quand n figure en dehors des signes sinus et cosinus, il n'est la que pour

348 CIIAPITRE XX.

abreger reeriture et representc I'cxprcssioni/— ^^-^; c'est ce qui arrive, par

example, pour le coefficient — na'^ qui cntre dans la premiere des formules («). On ne doit pas y remplacer n par /i,, mais ecrire

toutefois, pour la premiere approximation, on pourra ne pas tenir compte du terme en a de.l'expression precedente, car ccia reviendrait a introduire imme- diatement un tenme de Tordre du carre des masses; on voit done que, dans la

rn' « m'

' \ • ^ • 1 Iff- A lit «» • • A •

premiere approximation, on pourra prendre - na^ = — n^a^, ce qui revient a

remplacer partout net a respectivement par w, et a, ; mais, dans les approxima- tions suivantes, il faudra procedcr comine nous Tavons indiquc (* ).

Donnons quelques indications sur le calcul de a« par la formule (i5); nous appliquerons cette formule au mouvement de la Terre autour du Soleil en met- tant deux accents aux lettres; nous aurons ainsi

(17) f(l + m'')r-:,i';*«7,

En eliminant f entre (iS) et (17), il vient

. . t

/ I -4- //^ /iV

Tunite de longueur ctant arbitraire, nous la choisirons de maniere que a\ = i, ce qui nous donnera

^'1	y/i + in"	1 -h m
If	2 ff'
a	3 /2,

La formule (17) montre que I'unite de longueur se trouve etre actuellement le demi grand axe de Torbite d'une planete fictive qui ne serait soumise qu'a Tac- tion du Soleil, et serait animee d'un moyen mouvement egal au moyen mouve-

(1 ) Pour ne pas mulliplicr u Tcxccs los notations, nous laisserons // et a la oh nous devrions mettro //i et oi.

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ELEMENTS. 349

ment apparent de laTerre. On a, par Ics observations, pour Ic moyen mouve- ment de la Terre, en une annee julienne de 365^,25, /i", = i 29,5977", 38. Lc

Verrier adoptc nf = ^ — ? — , et il a trouve, par la theorie du mouvemenfde la

^ 520000 ^

Terre, a"— h- 2", 507. Les formules ci-dessus deviennent ainsi

a^-— (4,0750645) y/i -i- n^ ^1 '»

a'^zz: I ,000001 29;

le nombre mis entre parentheses dans la premiere de ces formules dcsigne un logarithme.

Remarque, — Le changement de n en n, permet de tenir compte, avee la meme forme analytique, des inegalites seculaires du premier ordre de I'ele- ment e.

Nota, — Oulre le lome X des Annates de I'Observatoire de PariSy on pourra consuller avec fruit, pour rapplication des formules de ce Chapilre, un travail de M. Pcrrolin sur les perturbations de Vesta {Annates de I'Observatoire de Toulouse, I. I).

35o <:hapitke xxi

CHAPITRE XXI.

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONNEES

IIELIOCENTRIQUES.

Quand on connalt les perturbations des elements de I'orbite d*une planete P, il est facile d'en deduire les perturbations des coordonnees heliocentriques. Nous ne nous occuperons ici que des perturbations du premier ordre par rap- port aux masses.

142. Perturbations de la longitude hSliocentrique. — Considerons d'abord la longitude dans Torbite, ^. L'anomalie moyenne est egale a

/ — CT r= X — 0),

et Ton a, en se reportant a Texpression de Tequation du centre, y, donnee au, n« 93,

(0

( y — Ci sin(X — w) -h CiSin2(X" w) -h. . .— CiSin(/ — tj) •+- CjSina (/ — tj) -i-. . . ,

avec ces valeurs de C,, Ca

On voit que la valeur de ^ depend des trois quantites /, e et tu. II n'y a qu'a remplacer ces quantites par leurs valours en tenant comptc des perturbations

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDOXNEES. 35 1

du premier ordre determinees dans le Chapitre precedent, savoir

On trouvera par la formule de Taylor, en negligeant les carres et les produits do S, /, S, e, S, ts que nous laissons actuellement dc cote comme contenanl mf- en facteur,

djT -. Oi/-h Ci C0S(>. — W)dj/-h 2Cj cos 2 (X — &3)5i/4-. . .

4- -7- sin (A — 0)) o,t' cos(a — w) eojCT,

(3) ^

~\ >- SU12(A — &)) O.e C0S2(A — &)) t'O.GT,

■h

On tirera d'ailleurs les valeurs de-y- > -r-S • • des formules(2), savoir

cie de dC,

de

(4) '^-s/f

de \ 2

= '-^{^*^--

Les formules (J) et (A) du n** 135 donnent les expressions de S,/, S,e et eo,GT. Si nous considerons specialement dans ces expressions, ce qui con- cerne un meme argument,

D 1= /). -h i7'-h A<«) -t- k'T3'-h ut', et si nous posons d'une maniere gencrale

(5) '^ ^^o^e:^^0^LcosD,

la formule (3) nous donnera

0, t'moi/H- V [2 ^sinD cosy (X — w) -+- OIL cosDsiny(X — o) — XsinDcosy (X — w)] ou bien

352

CllAPlTRE XXI.

On peutfaire unc remarque utile : Cy contient des termes en e-', e^"*^^, e'"^*, ... ; e etant suppose petit, le premier de ces termes sera de beaueoup le plus impor- tant, et Ton aura a peu pres

D'autre part, en se reportant aux formules {d) et (/) du n** 135, on voit que les parties principales de S,e et eo,trr ont pour expressions

5

eo.xs^d— B y -;— ^Ne^'-»e''''n/sinD.

Si on les rapproche des formules (5), on trouve

de i-i-i'v

En tenant compte de Tequation approchee (7), il vient

Or les valeurs de h sont egales a ( X- 1 ou | X- 1 -h 2, . . . ; les termes les plus impor- tants correspondront a A = | X- j, ce qui donne

Done, dans Texpression (6), Tune ou Tautre des quantites oil -1- x et OIL — 0;^ sera voisine de zero, et il en resultera une simplification notable.

On calculera de mcme les perturbations de la longitude qui repondent aux inegalites seculaires de e et cy. Toutefois, il convient de dire que les astronomes ont rhabitude de ne pas faire figurer les inegalites seculaires detrr dans le calcul de S|^; cela tient a ce qu'ils calculent Tequation du centre par les formules du mouvement elliptique

5

(8) y = 2csinC -+- 7e'sin 2^-1-...,

4

mais, en y introduisant la valeur de cr affectee de ses inegalites seculaires. lis emploient generalement aussi dans ce calcul la longitude moyenne /j/-+-£ du

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONXEES. 353

mouvcment elliptique augmentee de ses inegalites a longues periodes. L'ex- pression ( 8) de y est convertie en Table d'argument ^ ; e'est cet argument sur le- qucl on fait porter et les inegalites seculaires de us et les inegalites a longues periodes de /.

On voit done que, dans la formule (3), o, gt doit representer Tensemble des inegalites periodiques de trr et S,/ Tensemble des inegalites du premier ordre de /, en omettant celles qui ont de longues periodes. On a vu, a la fin du Cha- pitre precedent, que / pent etrc considere comme n'ayant pas d'inegalites secu- laires du premier ordre; la variation seculaire dc Tequation du centre ne pro- viendra done que de la variation seculaire de Texcentricite. On la calcule comme il suit :

On a

dy _ d(iv — K) __ di^\ de de de ^

les Ibrmules

2 y I — e

lang -iv=z^/ ---- -'-. lang ^ m,

donnent

On aura done

u — e sin M = C du sin// . i + ecosw

-r- — = Sm U r 9

de I — e cos u i — e'

(^(v s'lUKv du sinti^ . iH-ecosti^ sintv

3- ~ 3 — I , =:smt»' i 1 i

de sin u de i — e^ i — e^ i — e*

* . , 2 -h^cos(r — ct)^ d, y =:. sm ( i^ — Tij) — — ^ d, e.

Si Ton attribue a 0|i? sa variation seculaire, on aura pour Siy une expression de la forme oLt; ol est une fonction de ^ ou de X,\ on donnera sa valeur dans la Table meme dont on a parle ci-dessus, a cote de la valeur de Tequation du centre qui resulte de la formule (8).

Quand on aura obtenu les diverses inegalites periodiques de ^, on y remettra / -f- t' — T et trr -f- t' — T au lieu de X et co. On reduira ensuite en un seul tous les termes dependant d'un meme arc gt-\- p, et Ton construira, une fois pour toutes, une Table numerique avec / pour argument, donnant la valeur de Tine- galite en question.

On passera de la longitude {^ dans Torbite a la longitude lieliocentrique v^ par les formules (/) du n*^ 33, \

tang'- lang^-

p = ; — ^ sin2(i'— 0) H ; — =- sin4(^' — 0) — . . .,

^ sini"^ ^ ' sin2'' ^ ^

T. - I. 45

354 CIIAPITRE X\I.

les inegalites de p seront generalcment inscnsiblcs, et on les attenuera en rem- piagant^ par sa valeur perturbee; il y aura lieu toutelois de tenir compte de la • variation seculaire de p provenant de celles de 9 et 0.

143. Perturbations du rayon vecteur. — On a, en se reportant a la valeur de X donnee au n"* 93,

(9) r— a-]- a\ -- aX^i~r- aXi cos((- - gj) -f- aA, C0S2(/ — cr) -h. . .,

avec ces valeurs des coefficients,

Ao - I +-

■ (0

e

Co) { "' -\^

^,._,(.,..3(f)'-i(^-)V

-*2

— (O'-xa)'

On tirera de la les derivees

t/A« r/A, ^A,

r— > — r - >

cie de de

apres quoi, si Ton remplace dans la formule (9) a, e, / et trr par a-f- S,a, « 4- S, e, / H- S, /, tjcf -T- 0, GT, on aura, en negligeant les carres des masses pertur- batrices, Texpression suivante de o,/',

/' dj/-: - AoOia -i- A,cos(X— co) 8, a 4- Ajcosa (>v — o)) dja + . . . - rtAi sin(>v — 0)) 0,/— laKi sin2(>. — &))0i/ — . . .

(' 0 \ H — -3—^ o,e4-rt cos(>. — co) -,- OiC4- acos2(A — w) -7- OjC 4- . . .

flfA* . -^ . ^ 2CfAj . ... \ ^

-T ^ sin(/. — Co) eo,GTH — sin 2 (A ■— co)eOiTiJ -+-... .

Considerons les termes qui contiennent un meme argument D, et posons

- \jOia — ^ HcosD, -jaAjOil -: y K sinD,

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDOXNEES. 35

en portant dans (n), il viendra

M

cos(D— yX-f-yw)

n-K^^-t^

On verra, comme pour S| r, que I'une ou Tautre des quantites P -f- Q et P — Q sera generalcment tres petite.

On construira une Table numeriquo donnant la valeur de

/•

(i4) - — ■ An -t- A, cosC f- AjCOsaC -h. . . .

n

Dans chaque calcul de r, a Taide de la Table, on determinera la valeur de Tar- gument t = I — uy, en affectant ts de ses inegalites seculaires, et / de ses inega- litcs a longucs periodes. Ces inegalites de cj et / devront, bien entendu, etre omises dans les formules (12). La variation seculaire de r proviendra unique- ment de celle de e; on la caleulera comme il suit :

dr . du e — cos //

-7- r= — a cos u -\- ae ^\i\ u ^r- ~~ ^ r-r— a cos w,

oe ()e I — e cos u

d^r =— a cos{v — m)Sie.

Si Ton attribue a 8<e sa variation seculaire, on aura 8<r— y/, y etant une fonction de ^ou bien de !^; on inscrira la valeur de y dans la Table qui repre-

sente Texpression (i4)» s^ cote de la valeur de -• On reduira finalement en un

seul tous les termes periodiques de o, r dependant d*un meme argument gt -h p, et Ton construira, une fois pour toutes, un nombre de Tables numeriques egal a celui des arguments gt -h ^.

Remarque importante . — Les perturbations du premier ordre de la longitude et du rayon vecteur, calculees comme on vient de Texpliquer, contiendront des termes dependant de Tanomalie moycnne J^. Nousrepresenterons ces termes par Ssin!^-f- Tcos^ pour la longitude, et par S^sin^ -f- T|Cos^ pour le rayon vec- teur. Dans le mouvement elliptique, la longitude contient le terme C^sin^, et, de meme, le rayon vecteur renferme le terme aX^ cos^; on pourra done ecrire, en ne considerant dans ^ et rque les termes en sinJ^ et cos^,

(f5) i^ — . . . 4- (Ci -i- S)sin(/— ct) -j-Tcos(/— cj) -t-. . . , (16) r = . . . SiSin(/--cj) i- (aA, H- T, ) cos(/ — tj) 4-

3j6 CHAPITRE XXI.

On a, d'ailleurs,

4 . . 3

O

Cela pose, concevons que Ton remplace les constantes e et cy par e 4-Ae et trr + Act, les petites corrections \e et Acer etant de Tordre des masses perturba- trices m\ m\ . . . ; en faisant cette substitution dans les formules (i:)) et (i6), on pourra laisser invariables S, T, S, et T, (les variations de ces quantites don- neraient des termes de Tordre de m'^)-, on pourra de meme negliger les produits tels que S Ae, SAcy, . . . , et Ton prendra simplement

dCx _ d\i

On trouvera ainsi

(j^) ^. — ..,-f-(Ci-hSH' 2^e) sin(/— Gj) + (T— 2e AnT)cos(/— gt) -}- . . . , (i8) /•=... (Sj— ae Its) sin(/ — gt) -f- (aAi 4- T, — a Ae) cos(/~ m) -\- , . . ,

Or on pent disposer des indeterminees A^ et Atar de maniere a avoir

S-f-2Ae-zo, T — 2eAGyrz:o;

d'oii

^e-- -S, e^m^-\--T,

'\ 2

et les formules (17) et(i8)deviendront

(19) r — . . . 4- Ci sin? -h. . .,

(20) /• — ( wA, 4-T,-i- - aSj cosC-h ( S,— - aTj sinC-t-

On voit que, grace a Tartifice employe, la longitude v ne contient pas de terme en cosJI, et qu'en outre le coefficient C, de sinJ^ est le meme que dans le mouvement elliptique. Mais Texpression du rayon vecteur contient un terme en sin^, et un autre en cosJ^; le coefticient de ce dernier n'est plus le meme que dans le mouvement elliptique. II faudrait encore remplacereetturespectivement

par e SetcTH dans les autrcs termes de v et r, qui dependent de 2^,

3^. . . . ; mais ces termes contiennent e^, e', . . . , et la modification qu'il y aurait lieu de leur apporter serait insensible. Enfm il n'y a pas lieu de faire la substi- tution en question dans les perturbations du premier ordre de r et ^, car cela

PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COOROONNEES. 35 7

rcviendrait a tenir comptc des carres dos masses perturbatrices. On se bornera done a prendre dans ^ le meme coefficient de sin^ que dans le mouvement ellip- tique, et Ton calculera, comme on vient de le dire, les coefficients de sinJ^ et cos J^ dans r; eet gt resteront des constantes dont la valeur sera fournie par les observations. Ainsi se trouve fixee d'une maniere precise la signification des quantitese et ts qui n'etaient jusqu'ici que des constantes d'integration, et dont les valeurs pouvaient dependre des procedes de calcul employes.

144. Perturbations de la latitude hSliocentrique. — La latitude Iieliocen- trique s est donnee par la formule

(21) sin5 = sin9sin(r — (?),

ou bien, en introduisant les quantites^ = tangcpsinO, q = tang^pcosO,

(22) sin.9^ coso (7sini' — f?cosr).

Noussupposerons, conformementarusagegeneralementadopte, que la longi- tude ^soitaffectee de ses perturbations, quandon Temploiedans la formule (21) au calcul de la latitude; les perturbations de s ne dependront, d'apres (22), que des perturbations de/?, q et 9, et Ton aura

cos Q

5|.v= {diqsinv — dipcosv) — tang5tang<p5,<p.

Si Ton a recours aux expressions de S,/>et Si^, formules (o, ) du n° 140, il vient

cos 5

2^ — -_sm(('-D-T

•5,5— -i- I y " ■ "sin((>-D~7)

v^ H — K ^^"^1

-f-2] — ^ — sin(r-hD — t)h- -^~- sinsSyC^ | - Iang5tang9 ^,9

ou bien

d| s -.: > sin ( (^ — D — t)

(23) /

"^ Tx^Ts 2d — i~ sin ( r 4- D - T) - tang5 tang ^ d, 9.

Le dernier terme de cette formule sera presque toujours insensible, et, dans

les deux premiers, on pourra le plus souvent reduire a Tunite le facteur -— .

II restera a mettre dans le second membre de la formule (28) pour ^ sa va-

358 CHAPITRE XXI. PERTURHATIONS 01' PREMIER ORDRE, ETC.

leur elliptique /-h 2esin(/— cr) -f-..., ct, Ic plus souvent, il suflira de rempla- cer i^ par /; les inej^alites periodiqucs do la latitude se trouveront done aussi dependre d'argumonts de la forme gt-h^ ct seroiit aisemcnt reduites en Tables.

La valeur elliptique de s fournie par la formule (21) sera egalement convertie en une Table dans laquelle on enlrera avec I'argument ^ — 0, (^ etant affecte de ses perturbations, comme on Taditplus liaut.

On trouverail pareillemenl, pour la planete P',

Ops'— - - -- > sin(r'--J)- -t')

cosy J^ 2

\ - £v 2 "7-" '*"(^'' -'" ^^ - ") - tang.'lang |' S,o'.

<:iIAPITKE XXII. — PRE311ERS TEKMES DES PERTURBATIONS PERIODIQUES. SSq

CHAPITRE XXII.

IMIEMIEUS TERMES DES PEKTURBATIONS PElllODlQUES

DES COORDONNEES.

145. Les perturbations periodiques des coordonnees, qui sont du premier ordrc relativement aux masses, determinees par les formules du Chapitre pre- cedent, se trouveront developpees suivant les puissances des petites quantites e, e' et yj.

Nous allons chercher les expressions analytiques des premiers termes de ces developpements, en ne conservant que les parties qui eontiennent lineairement e, e' ct Y). Les formules auxquelles nousarriverons ontjoue, aplusieurs reprises, un role important dans la Science, notamment a Toccasion de la decouverte de Neptune.

Pour obtcnir, dans les perturbations des coordonnees, les termes du premier ordrc par rapport a e, e' et yj, on doit conserver les termes du second ordre dans le developpement de la fonction perturbatrice. Soil toujours R, Tinverse de la distance mutuelle des deux planetes P et P'; la formule (37) du n° 123 donne precisement le developpement de R| avec les termes des ordres o, i et 2. Cette formule pent etre condensee ainsi :

R, --= i 2 MpVe?e'P'cos[/(/'- )0 -\- (3(X - o)) -^ (3'(a - xs')] (I) I -h-(e*-+-e'»)2^'^'^cosi(/'->0+^^^2^^'^^^^t'^^'~^^)'^""~^'l

I'indice i varie de — qo a -H 00; ft et ^' ont les valeurs o, i ou 2; Mp.p., N^'^ et P

(')

36()

ont les expressions suivantes :

CUAPITRE xxii.

(^0

da

m\o - I (4/*- 50 A(') 4- '- (2i-i)a ^ -i- ^^

MV.\ ^-(/-i)(2£-F)A(^-»)-(';ii-i)a

f/V^'-^^ I . f)*A('-»

<)rt

a-

2

da'

I I ()\('-»^ I ()*A<'-*>

4 2 da 4

(^a-

2 da

I)

' ^ aa 2 aa'

la signification de A^'^ et de B^'~^^ est la meine que dans les formules (i5) du n** H9; on voit que M^^\ et N^'^ restentles memes quand on change i en — i.

On pourra remarquer que, pour obtenirla formule (i), on a remplace«par I — I, ou par I — 2, dans certains termes de la formule (37) du n*^ 123, et A"'et Aj^ respectivement par

a

d\^ da

et

I . d^X^^^

a'

da'

Soit Ro,i la fonction perturbatrice qui correspond a la planete P; d'apres ce qui a ete dit au n"^ 124, le developpement de Ro,, se deduira de celui de R^, en

remplaQant A^*^ et A^-*) par A^^^ - ^,, et B^^^ par B «^ - |^.

11 suffira de faire ce changement tout a fait a la fin, dans les expressions des perturbations des coordonnees.

146. Nous allons appliquer les formules du Chapitre XX aux divers termes du developpement (i). Les expressions (d) du n° 135 pour y, c? et V contien- nent le facteur yj, comme on s'en assure aisement; d'apres les formules (/) du meme numero, ilen sera de memepour S^^ et sincpSiO. Si Ton neglige le second ordre, ces formules (/) deviendront

(3)

0,flr=:J^, d, p:ii.A, 5, c^^el)H Crf,

1 i''

/ die —-^S — -. e - i t'0,nT = J.

ft n

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PERIODIQUES. 36 1

Les formulcs (a) du n^ 135 combinees avcc Texpression (i) de R, donneront, au degre de precision cherche,

rO')

I — V .iU / ^ 2 a I — V Jmd I L V / J

2 /JL I — V .^^ f

On a pose dans ces formules

V — : —

n

On a maintenant, d'apres la formule (i i) du n'' 143,

-i- = ecos(X — w) — h esinfX — oj) (o,p 4-o,e) -f- <?o,e

a a a ^ ^ i

— [cos(X — w) 5ie -f- sin(X — G))e5,nT] — e[cos(2X — 2 w) o,e -f- sin(2X — 2 0i))e5,cj]

ou bien, en tenant compte des relations (3),

( ^ = :^ — ra'cos(X — &))4-'^sin(X--o))l — 7 e -^ cos(X — w) (5) I ^« « '-' 4 «

( -+-e(A -h''-l>)sin(X — &)) -h e<J?— e[^JPcos(2X — 20)) V-f sin(2X — 2gj)].

On aura ensuite, d'apres la formule (3) du n** 142, I'expression suivantc, pour la perturbation de la longitude,

3,r -— Sip -T- 0,6 4- 2ecos(X — w)(5,p -f- 5i£) -h 2[sin(X~w) 5,e — cos (X — a))e^,nT]

5

- e[sin(2X — 20)^16 — cos(2X — 2ci}) eSjCr]

T. - I.

4ti

362 aiAPITRE XXII.

ou bien, en tenant conipte dcs formules (3),

0, ri= A -h<vl>-i- 2[^Jt*sin(>. — r»j) — .Tcos(X — o))] c — sin(>. — oj)

(5')

2e(A M- rV.) cos(X — m) h — e.f -H - e[^J?sin(2). — 2Ci)) — -fcos(2X— 2 w)].

2 ^

147. II n'y a plus qu'k remplacer, dans les formules (5) et (5'), ^ A, ju, ^, 4" par leurs expressions (4). On donnera a ^ ct P' les valeurs o, 1,2, en ne retc- nant queles termes du premier ordre; on aura a effectuer des transformations tres simples par des relations telles que

sin (>. - 0)) 2 Q^'^ sin£(/'- X) - - ; 2 ^^^'^ ~ Q^"'^ J cos[/ (/'- X) 4- X - o)],

qui se simplifieront encore si Ton a Q^'^ — Q'- ou Q- '^ = — Q^'\ Dans le calcul des quantites

^X'cos(X — w) -H .f sin(X— w), <i?sin(X— 0)) — :fcos(X -- 0)),

les deux termes multiplies par MiJ p, se reduiront en un seul ayant pour argu- ment

i(^'-X)-r (?-i)(X-G))4-i3'(X-nj');

les deux termes multiplies par P^'^ se reduiront aussi a un seul argument

/(/'■-X)-f-X-nT';

il y aura des reductions analogues pour les quantites

*rcos(2X — 2 0)) -h .7 sin(2X— 20)),

^rsin(2X — 2r,)) -- Jc0S(2X — 2W).

On irouvera ainsi les expressions suivantes dont nous donnons le detail pour guider le lecteur :

- y Mo"„cosi(/'-X)

(6) j -'- 7 «'' 2 , 1 Yl ,-, M'/.'o cos [ /•(/' - >.) + /, - 0. .1

-,- ZL fle' y _ _• - ' __ M''' cos [t(/' - >•) -r- >. - CT'l

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PERIODIQUES. 363

A -}- -Ao

> ^lVro''o -+-«-,— -sin £(/' — }.)

(6') _^«« Vr_^JiZlO M,, ^^„^:4]_._.L__sin[*(/'--).) + X-co]

I [J. .-^ [2(1 — ^ 4- ^v) *'® <)a J I — / -H fv •■ ^ ' -"

_. ^' «,' y ^-^-i^ Mi;;, h « ^1 — .'-^ sin[*v'->.) + >■ -^'1.

|JL ^ L2(i — / -h fv) *^'* ()a Ji — f-hfv ^^ ^ '

— [^rcos()v — 0)) f-rf sin(X~co)]

^ - - ~ « y -!- -^ MV'o cosi(/' - >.)

(7)

— ae

2\-.. -^ N^'^ -\ :! r- Mi'\l COS[ £(/'-- X) 4-).- 0)]

- — «^' y r v-^ ^^'^ H •— - MV\1 COS[/(/' - >0 -h >. - nj'],

2 /JL .^^^./(l— v) 2 -l-HfV *'*J L V /

(7')

I 2 [^J?sin(X — co) - -rTcos(7 — &))]

^--- — « y ?-— r-lVr/\sin/(/'->0

JUL .^d I — £ 4- «V *'"

-h 2 — ae

.1-

2r-.— ^ N"> -}--.- M'/',l sin [t ( /' ._ X) + ). - w]

— «e'y f-v— ! — r P<" ^-^MV',lsin[/(/-X)+).-Bj'],

fX XdLt(|— V) 3 — t+iV '''J L \ / J>

(8) - -^ e I cos(). _ CO) = - ^^' -^ e 2 Ml/:. cos[.-(/' -X) + ). - a.],

(8') _le|sin(X-6>) = -^^ ~ e "^Wil, sin [i(l'-}.)-^ }.-<.>],

Ie{\ -\- al>)sin(>. — (i)) JUL 1 — V ^ L3(i — v) '^''^ da ] I ^ ^ ' ^

i2e(A 4- Ao) cos(/. --- 0)) — 2 e > -7 r Wi\ 4- a /^^ - Sin [«(/' — >0 4-).— o)],

(10) ea^ = - — a^y _i.__^M(/) cos[i(/'-X)-H).-a)],

(Fo') -e^^.j—aey\ _-l-^ M'/' sin [/(/'- X) 4- >i - w]

364 ct

CIIAPITKC XXII.

- e['rcos(2)i— 26)) -i-.'?sin(i>. — aw)]

(")

2 fX

ae y - 4 - -.- M','\ cos[i(/'- ).) - (^ - w)]

.^d I — t -t- tv

^ _- i ^ rt^ y __ ^ _ M'.-'o' cos[i(/'- X) + (X - c))] ;

(II')

- e [ U? sin ( 2 >, — aw) - -rf cos (•.»,>,- - aw )] 5 •"'

r:--: -^ 7 — «e y ] .- Wri s\n[i(l'

— X)-*-^— ''^]-

On n'aura plus maintenant qu'a faire les sommes

^*r^(6)4-(7)-F-...4-(ii), ^\r^(6')-f- (7') + ...-+- (II').

et Ton trouvera sans peim

a

(^)

I -^Li — V °'^ 2(1 — £-+-r>) *'^J

'^'' Vi 3 1- 2 1...,, I f>M'/?o

IX j^l 4(1— v)L Ui — v)J ^'^ i{i — 'j) da

J I — I H- iv *''^'~" 2(1 -h i— rj ^'^

4- ( - — f

4- -.- Mi''o- ., ' , N(') jcos[/(/'-X)H-X-w]

Oi V

I ♦ —

■\- —ae' y [— ' 7 V M'/\ -- -— -.- - Mi' , - -.-^ : P^') 1 cos [1 (/'->) 4- >-ct'].

fx Ady\—l-irl^ ^'* 2(2 — Z-H^V) *'^ 2£(l — V) J L\ / J

-^^[^2/(1 — v)» "'" /(i — v) (?a 1 — ^ H- r^ *'"J

nr

ae

21 _!_ r_J! :] M'" + ^--a I ,_v[t(,_v) ■AJ^^"'"^ «(i-v)

4(' — ' + «!') \ I— t -HIV/ '•"

da

(«')

1 — I -t- IV

a — T — -1-

-I)

M'"'

— l'^-lJ *'" /(l — v) )

-f-

f//

-^ L2(i -- £ H- <v)* **'* I — /h-/v da

1 r- M['\ 4- -.- ' — P^'H sin [/(/'- )0 H- ).-©'].

2 — /-t-fV *'* £(I — V) J

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PERIODIQLES. 365

148. 11 faut maintenant remplaccisdanslesformulcs(a)et(rt'),lVIl,'*y,M^''j,, ...,P^'^ par leurs valeurs (2). II convient de poser

(12 j / i^J 7IZ Zi^

et de mettre partout -—.— au lieu de v. L'expression de -^— prendra la forme

-^ — - > (./COS£(/' — /)

a 1 jJL Ad

(ij) { 4- - e y D/C0S[£(/'-).)-t->.-a)]

-h —e'^EiCOs[i{l'-l)-^l-xn'];

un calcul assez long, niais qui ne presente aucune difficulte, donne

C/= — -. r aA^'^-i a' — r — ,

(^') ( -^ T"^ TTT \^^ -li 7 \ ^ A i '

Zi(i — "S*)(2 — z,) da 2 5/(2 — Zi) oa^

5/(1 — ^1) (2 — 5|)

rt= ;. 1 T r a}

2/(1 — '5/)(2 — Zi) da 2 5/(2—5/) dd^

On pent, si Ton veut, changer, dans C/, i en — «, par suite :;/ en — 5,, et rem placer C, par^(C/ -f- C^/); on trouve ainsi

2ia\^*^ -h 5/«' — ^ —

(C,) C/--ZZ ,v ,.

L'expression (a') de S, (^ prendra de meme la forme

5,i'~ - — ^ F/sin/(/' — >.) (^') { -^—eS G/sin[/(/'- X) 4- X - w]

+ - e' 2 HiSin[t(/'- >.) -+- >.- ro'],

36() ciiAPiTRE xxn.

ct le calcui direct donnera

,A^?-:^3,4-3_,,,, , ^^ 0\u^ ^

Z^ (I V| ) 5/(1 — Zi )

da

'23;(i — :;/)-(i 4- 3,)('2 — c/) da Zi{\ — Zi){i — Zi) Oa^

- 2 > - . -4- ',

' '25,(1 ~:;/)-(2 — 3/)

iZi{\ — 5/)'('i — 5/) da 5/(1 — 5/)(2 — 5/) dd^

«

On peut, si I'on veut, changer, dans F/, i en — «, et reinplacer F, par ^(F/ — F_/); on trouve ainsi

z(5f -h3)aA<''-h25/^* 5l^ ^/ (I — --/;

149. Les formules (a) et (a') sont en defaut lorsque i — o, car certains termes contiennenl f en denominaleur.

II y a lieu de reprendre la formule (i), d'y faire i -- o et de considerer a part les termes correspondants; on trouve ainsi

(12)

* 2 2 2 2

2

2M^',p.e?c''?'cos[;3(A-o))-t-{3'(>.-iij')J-hi-ri*B^')cos(2>. --2T'); — ^

p et p' ne devront pas etre nuls simultanemenl, puisqu'il en resulterait une parlie constante dans l\% et que cette partie constante a cte mise en evidence et designee par J A^®^

On tire des formules (a) du n^ 134, en y remplacant Ro., par Texpres- sion (12),

j' ffi' m'

'^ ~ — alVr.**' ^cos(A- oj) -I aMl?le'cos(X--ro'),

A =:-- ^aM(,^l,esin(X-co)-- — aMi«' e'sin(X - ro'),

^\^— a* -^ — /i/ rt« — ,-^-^ <?sin(/ - 0)) rt* /-^ e'sinO. — gt')

IX da [X. da [i da ^

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PERIODIQUES.

3G7

Ol

p L

>e ~\- -' aP^^>e'cos(o) — 7;t') I /i^

0J,^

-h

2 "jT

'' 2 pT"^ -^'•'•f^''^'''''^' '^" f ^^^' ~ ""

I w

2 jJL

II n'y a plus qu'a siibstitiier ces valeursdans lesformules(5) et (V); voiciles principaux details du calciil :

-[a'cos(/-(o)-4-,'?sin(>.- 0))]—— -- TflrNto^^sinC). 0)) -+- -^aV^^'> e'%\n{\-m')\ nt 2[(rsin(>. -co) — .Jcos(> — &))]: — 2 ^raN(o)ecos(}. — a))-i- i rtP(oJe'cos(X— gt')] /i/

3 ^

X c— cos(X — &)) — o,

- e — sin(A — 0)) —o, 2 a

6'(A-i- -l.) sin(}. - G)) = -- — ntar — r — e sin(X— w),

m' , dK!^^'

2ef (A 4- 4 )COS(X — &)) ir:: — 2 /j/a .

ecos(X — G)),

I m

ea'— aMi^,!,ecos(X — 0)),

^-ei = \ — aM\%esin(>.-o)),

I m'

— e[^JPcos(2X — 2w)4-.Tsin(aX — 2w)] — — - — aM^,*|j,ecos(X — co),

^ e[a'sin(2>. — 2 0)) ■— Jcos(2>. — 2w)]r=-i- J "— aM',% e sin (A — oj). 2 4 a *

368 ClIAPITRE XXIf.

On trouvo finalement

rt f^ L\ Oil J ^ 2 ^ 'J 2 fX *'''

U (/a

(

Si I'on remplace N"^ P'^\ M7j>, • • . par ieurs valeurs tiroes des formules (2), on trouve aisenicnt

— nt \ [ 3«' — T — -I — a^ - ■■- — esin(A — o))

a 2 fjL [ \ da 'X aa^ )

axS^"^ — a} — r ^' - ■ e'sin(A — cj')

-} rt* — T — - -, — Za} —^ i- -a} —T—- ecos(/— w)

2 jjL art 4 /^ \ aa 2 oa^ )

— 7 — ^aA^'^— 3<7' . a} —,—7- ) e'cos(A — w ),

4 fJt \ art 2 f^rt* /

rt* --, — /?/ i^f-W ^^ -1 — ! ^ -^-i— I ^COS(A — w)

fjL art jjL I \ da 2 fjrt' /

(i3)

(1 3')

H rt* — r h - rt' , ^ I e sin (A — ^i))

2 fjL \ art 2 art* /

-1 2rtA<*>— 2rt* -r — - - y a^ . , e'sin(X — gt ).

fjL \ art 4 drt* I

150. On a explique dans le Chapitre precedent comment on pent faire dispa- raitre de S^ c^ les termes on sinX ot cosX, pour los reporter uniquement sur §, r; nous allons operer ce changement. Soiontc^ e{r\ los coefficients de ecos(X — co)

cte'cos(X — Gj')dans -^> s^ cis\ les coefficients deesin(X— (o)ete'sin(X — c/)

^

dans 0, V. Si nous changoons e ei ts en e -h le, ot gt 4- Atrr, -^ et S, r deviendront

'» a

d r (i4) -— — -...Ciecos(X~ &)) -t- c'i<?'cos(}. — gt') — Aecos(X — o)) — eAGJsin(X~oi))-f-....

5i ('=:=.... 9, esin(X— co) -\-s\e' sin(X — gj') -i- 2Aesin(A — cd)-- 2eAGJC0s(X — w)-f-....

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS P^RIODIQUES. 869

Si I'on egal^azero les coefficients de sinX et de cosXdans S,^, on a deux equa- tions d'oii I'on tire aisement

Ae = [s^e -h s\ e' cos {(ty — nr')],

(.5) ^

e Act =: - s\ e' sin (o) — nr' ) ;

en reportant ces valeurs de Ae et e^xs dans la formule (i4)» il vient, apres re- duction,

(3

— =:...-hfc|4--5ij ecos()L — 0)) -H ( c'^ -h -s\ \ e'cos(X — Cj') -h. . .

On trouve d'aiileurs

* 2 * 4 fJ^ \ da

da'

II convient de poser

2 , dA^o) , ^sA<«)

(^A<») , (^«A<»>

a' . . h

— C = a* —5 h - a' ;v . >

da 2 aa'

(^a 2 {)a

s >

alors, si Ton tient compte des changements realises par Tintroduction des valeurs (i5) de AceteAcy, les formules (i3) et (i3') donneront

--- = ci -^ 1 1 C — 2a* ^ — \ntes\tiik — (»})-{ Dnte's\n{k — xs')

(16) i^2f^^^2fx\ da J 2fx

— —(/-+- 3a* .^_jecos()i — w) — — /'e'cos(X-Gj');

(16') Oii^= «'— ^ — nt-\ ( C — 2a'-^ — I /i/ecos(A — a))H D/i^ecosCA— gj').

11 da fjL \ aa / "^ ' fx

Ces valeurs de -^ et S, t' devront etre ajoulees aux valeurs (b) et (6') trouvees

plus haut.

T. — 1. 47

370 CHAPITRE XXII.

Les expressions elliptiques dc r et v sont d'ailleurs

/•

(17) — =11 — eCOS{X — w) H-. . . ,

(17') i' = ///-+-£ 4- 2 <? sin (}.— 0)) -+-... .

11 convient de poser, comme on i'a deja fait au n** 141,

(18) „(^.__a.__j^^..

On caiculera a^ par la formule

n\a\ = /I'rt',

CO qui donnera

Designons par X, ce que devient X quand on y change /i en /i, ; nous aurons

cos(X — co) ^= cos[>.i — CO -h(/i— «i)/] =r cos(>.i — co) — (^ — /ii)/sin(X, — w), sin(X — w) = sin[>.i — ci) -t- (w — /m)/] = sin(Xi— co) 4- (/i — /i|)/cos(X4 — w),

ou bicn, en vertudela relation (18),

I cos(A — w) = cos(Ai— co) a* — r — /i^sin(A|— w),

sin (>. — oj) ==: sin ().| — o)) h «* -^ — /j/cos(Xj — w).

Si Ton effectue les substitutions (18) et (20) dans les formules (17) et (17'). on trouve

(•ii)

(21')

r ,. , 2 m' , dA^o- 2 m' , c^A^o) .

- :.. I ^- ecosa,- c.) - 3 - a« -^ 4- 3 - «^ -^ ecosa, - r.)

~H — «* —5 — «/esin(A, — w) 4- . . . . fjL art

r 1=:: /2 1 / 4- £ 4- 2 e sin ( A, — o)) 4 a* -^ — nt

[i- oa

4 a' — i — nte cos ( Ai — co ) 4-

IX da \ 1 /

Les trois derniers termes de Texpression (21) se reduisent avec des termes correspondants dc la formule (16); il y a des reductions analogues pour v et

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS PERIODIQUES. 87 1

8iV et, finalement, on peut prendre, en supprimant Ics indices de /i<, a, etX,,

(/)

-^ =— - — «' — :j 1 C/i^esin(/ — w) H D/i/<?'sin()L — nr')

/ecos(X — w) /'e'cos(X —w');

(/') 3ir =r — C/i^ecos(X— w) H D/ife' cos(X — gt').

Les expressions de -^ et de S^i^ qui resultent des formuies (b) et (/) d'une

part, (b') et (/') d'autre part, sont, comme on s'en assure aisement, identiques a celles que Laplace a trouvees par une autre methode dans le n** 50 du Livre II de la Mecanique celeste^ si Ton a egard a ce que Laplace represente par — A^'^ ce que nous avons designe par -4- A^'^ Nous aurions du, pour nous conformer a Tusage adopte aujourd'hui et d'apres ce que nous avons dit au n® 142, ne pas faire sortir des signes sinus et cosinus dans les expressions de S, ret S, v les inega- lites seculaires de trr; nous I'avonsfait cependant, maisuniquement pour retrou- ver les formuies de Laplace.

151. II reste enfin a tenir compte de la seconde partie, Ro,i — R,, de la fonc- tion perturbatrice. II sufBra, eomme nous I'avons dit, de remplacer A^*^ par

A*^ Ti' Nous pourrions nous en tenir a cette indication; mais, la connais-

sance des perturbations de r et t' provenant de la seconde partie de la fonction perturbatrice peut etre utile dans certaines rechercbes, etnous allons faire con- naitre les expressions de ces perturbations.

II taut, en somme, diminuer aA^*^ de -7i> et or -3— aussi de -77: a^ . , res-

a* da a* da*

tera le meme. II n'y a done qu'a chercher dans les expressions (b) et (6'), (/) et (/') les

parties qui contiennent A^'^ ou A^~*^; on trouve ainsi sans peine, pour -^> - — (Cl-^C-l)cos(/' — X) -I Diecos(/' — w) H D-iecos(— /'-+-2X — w)

2|JL */\ ' fX IX ^ '

4-— E,e'cos(2/'-X-ny')-— /e'cos(X — Gj'),

et pour S,^,

2 IX ^ . ^ IX '

tn! 771 '

H G_i<?sin(— /'-i-aX — 0)) h H,e'sin(2/' — ). — gt').

\x \x ^ '

372 CHAPITRE XXII.

Si Ton remplace /' par son expression (rf), et C,, C_i, D,, ... par leurs expressions (c'), et qu'on fasse en memo temps la modification indiquee, on trouve

i a fx flf'* Lv(i — v)(2 — v) ^ ' v(i — v)'(i 4- v)(2 — v) ^

(^) < -^ -f 61 \/3 , ecos(— /'4-2X — 0))

^° ' ^ v(i — v)*(2 — v)(3 — v) ^

2V(

— ^^-— r e'cos(2/'— X — Bj') ;

I — V)(l — 2V) 'J

fJL a'* L V(l — V)'(2 — V) ' 2V(l — v)-(l-hv)(2 — v)

^^ * ^ 2 V(l — V)*(2 — V)'(3 — V) '

— e'sin(2/'— X— cr') I .

2V^ — 4^ H- 3

V(l — V)(l — 2V

V designe toujours dans ces formules le rapport — •

En resume, les valeurs completes de -'- et S|^ seront donnees :

I** Par les formules (6) et (6') dans lesquelles on donne a 1 toutes les valeurs entieres positives et negatives, excepte zero; 2° Par les formules (/) et (y^); 3** Par les formules (^) et (^'). On devra ajouter Texpression de S|r a la valeur elliptique

a iH — e'— <?cos(X — w) e*cos(2X — 20)) -+-. . . L

et de meme celle de S^t^ a la valeur elliptique

5

/-H 2esin(X — 0)) -i- 7 e'sin(2X — 20)) -+-....

4

152. Nous dirons, pour terminer, quelques mots sur le calcul des perturba- tions de la latitude Sy toujours avec la meme precision.

On a

sin5r=sin9sin(p — 9);

d'oii, en supposant v affecte de ses perturbations, et rempla^ant par Tunite les facteurs — ^ et — ^)

C0S5 cos 5

Qi5= sin(i'— 0)5,9 — cos(r— 0)sin93iO

(24)

PREMIERS TERMES DES PERTURBATIONS P^RIODIQUES. 3']3

ou bien, en vertu des formuies (2) du n° 138,

(23) 3,5=:(G-f-V)sin(i'— T)--gcos(i>4-T).

Or, quand on remplace Ro,i par Texpression (i) dans les trois dernieres for- muies (a) du n° 134, on trouve

G = - — sin - J y 1 ! r- aB<'-») cos[/(/'- X) 4- 2X - 2t'] -h - aB<*) cos(2X - 2t')| ,

V = i — sin i J y — ^ aAt')cos/(/'- X),

2 |JL 2 -^rf V — 1

g :=- i — sin - Ja B(*)/i/ -t- i ^ sin - J I ?— V 4 aB<'-») sine(/'- X)

^ 2 IX 2 2|JL 2(v — I ^d I ^ *

-h y ^ — ^aB<'-»>sin[^(/'-X)-^2X-2T'l

H- iaB(»)sin(2X — 2t') |.

«

Dans ces formuies (24), « prend toutes les valeurs entieres, excepte zero. II n'y aura qu'a porter dans la formule (23) les valeurs precedentes de G 4- V et 5; on devra remplacer A^*^ et W^ respectivement par

A")- 4' B'«'-i^. a ' a '

374 cnAPiTRE xxni.

CHAPITRE XXIII.

DtCOUVERTE DE NEPTUNE.

La decouverte de Neptune a marque une epoque remarquable dans la theorie dc la gravitation, a laquelle elle a apporte une confirmation eclatante. Aussi croyons-nous devoir lui consacrer un Chapitre special, qui trouve iei sa place naturelle, car cette decouverte prend sa source dans les formules du Chapitre precedent.

153. Le i3 mars 1781, W. Herschel rcncontrait accidentellement la planHe Uranus dont le disque sensible avait attire son attention.

Quand Torbite de cette planete fut connue approximativement, on constata qu'avant sa decouverte elle avait ete observeo vingt fois comme etoile fixe de 6® grandeur, depuis 1690 jusqu'a 1771, par Flamsteed, Bradley, Mayer etLemon- nier. Vers 1820, Bouvard entreprit la theorie de cette planete, en prenant pour point de depart les expressions analytiques que Laplace avait donnees quelque temps auparavant dans le tome III de la Mecanique celeste, pour les perturbations d'Uranus causecs par Jupiter et Saturne.

Bouvard disposait done de quarante annees d'observations reguliferes mo- dernes (de 1781 a 1820), et de vingt observations anciennes, echelonn6es entre 1690 et 1771. Ces dernieres etaient evidemment inferieures aux premiferes en precision ; cependant elles rachetaient cet inconvenient en raison de lagrande extension qu'elles donnaient a Tare observe de Torbite d*Uranus.

Bouvard construisit ainsi les Tables d'Uranus dont les astronomes se sont servis pendant un quart de siecle; mais il ne put pas les etablir d'une fagon satisfaisante : il lui fut impossible en efTet de representer a la fois paries memes formules les anciennes observations etles modernes. N'arrivant pas a concilier les deux systemes, Bouvard prit le parti de rejeter entierement les observations

DECOUVERTE DE NEPTUNE. 3'j5

anciennes, et il fonda ses Tables uniqucment sur les quarante annecs d'obscrva- tions meridiennes :

c( Laissanl, dit-il, aux temps a vcnir le soin de faire connaitre si la difficulte dc concilier les deux systemes tient reellement a Tinexactitude des observations anciennes, ou si elle depend de quelque action etrangere et inaper^ue, qui aurait agi sur la planete. »

II ne fut pas necessaire d'attendre longtemps pour prononcer; dans Tespace d'un petit nombre d'annees, des erreurs sensibles se manifesterent, dont la valeur augmenta graduellement, si bien que, vers i845, la longitude d'Uranus calculee par les Tables de Bouvard differait d'environ 2' de la longitude ob- servee. Les Tables qui ne representaient pas les observations anciennes etaient done ^galemcnt iinpuissantes a representer Tensemble des observations mo- dernes. II devehait probable que la planete Uranus avail ete soumise a quelque action «< etrangere et inapergue ».

La question de Tirregularite des mouvements d'Uranus se trouva ainsi mise a I'ordre du jour. Dans le courant de Fete de i845, Arago la signala d'une ma- niere pressante a Le Verrier, qui, dans ses premiers travaux, venait de reveler un talent de premier ordre. C'est vers cette epoque que Bessel ecrivait a de Hum- boldt :

({ Je pense qu'un moment viendra oil la solution du mystere d'Uranus sera peut-etre bien fournie par une nouvelle planete, dont les elements seraient reconnus par son action sur Uranus et verifies par celle qu'elle exerce sur Saturne. »

154. Le Verrier se mit k Toeuvre; redoutant quelques inexactitudes dans les calculs de Bouvard, il entreprit d'abord de demontrer d'une maniere indiscutable que I'ensemble des observations meridiennes d'Uranus ne pouvait etre repre- sente par une ellipse dont les elements varieraient en vertu des seules actions perturbatrices de Jupiter et de Salurne.

Les erreurs de la latitude labulaire d'Uranus pouvaient etre annulees a tres pen pres par des changements dans I'inclinaison de I'orbite et dans la longitude du noeud, assez faibles pour n'avoiraucune influence sur la longitude d'Uranus.

Soient done n, £, e et cy les quatre autres elements elliptiques adoptes pour Uranus, t'la longitude calculee avecces elements pour I'epoque /; si leurs valeurs exactes sont representees par n 4- An, £ -♦- As, e 4- Ae, car -♦- Any, la longitude elliptique, calculee exactement« sera

i' H- ^- A/i-h -T- Ae H- 3- Ae -f- -r— Abj; an at ae am

•

les coefficients j-} a"* ~r* a^ sont des fonctions connues de t et de /i, e, e, ts.

iyS CHAPITRE XXIII.

Les valeursdes coefficients F/, G/, H/ s^ront calculees par les formules (e') du n** 148 ; elles dependent de

I — iy = il I 3 w

2

I

1

quantite connuc, et de aA^'% a^ -^ — et a' ~t"j~" Or on a, avec les notations du Chapitre XVII,

a\^i)z=zoL¥^\ a- —z — =r a' —J — > ff^ ^ ^ r= g* > « ;

OL etant suppose connu, on pourra calculer ces quantites. On tiendra cooipte de la seconde partie Ro,,-— R« de la fonction perturbatrice en remplagant afe^'^

et a* —T— respectivement par

d¥^^

do(,

Done, dans la formule (3), les coefficients F,, G/ et H, peuvent etre supposes connus. En faisant ce calcul, on trouve que F/ est petit par rapport a F, quand la valeur absolue de e surpasse 3; on voit aussi que les seules valeurs a conser- ver pour G/ et H/ sont G|, G2, G3 et II,, Hg, H3.

On remplacera /par nt -{- i, t par n't -f- 1\ et Ton fera

' L= - (F,-F_i)sin[(/i'-/i)^-f-£'-e]

4- - (F,— F-i) sm[(2/^'— 2/i) ^4-2£'— s?e] 2

('') ( +-(F,-F_,)sin[(3«'-3«)/+3£'-3£]

-+- eGiSin(/i'f -\- t' —xs)

4- eGiSin[(2/i'— /i)f-t-2£'— e — ny]

H- cG3sin[(3/2' — 2/i)^ -f- Se'— 2£ — gt],

U--ir,cos(/?'/-f-£0

(5) { — H,C0S[(2//'— /l)^4- 2£'— £]

— H3C0S[(3/t'— 1/1)1 -f- 3£'— 2£],

K= HiSin(w'/-f-£') (6) { -HH,sin[(2/i'— /i)^ -H2£' — £]

TIjSin[(3w'— in)t 4- 3£'— 2£].

\

DECOUVERTE DE NEPTUNE. 379

La formule (3) pourra s'ecrire ainsi

(7) P^^Lm'-hllm'h'-i-Kni'A';

€, n ei t sont connus; il en est de memc de

2*

£' est inconnu; c'est la longitude moyenne de la planeteau i**^ Janvier 1800. Les formules (4), (5) et (6) montrent que L, H et K sont de la forme

eJl>iCOS£'-f- cl»jC0S2£'-i- ft,l,3COS3£'

4- lib J sinc'-f-iilj, sin2£'-hilJ)3sin3£',

oil c,l)|, Xa, e.1,3, a)l>,, Dla, lib, peuvent etre consideres comme connus. Si Ton porte la valeur(7) de P dans Tequation (i), on trouvera

(a) ^- Aw -^ -^ A£ 4- -T- Ae -^ -T— AGy-hHm'A'-hKm'A:'4-L/n'4- v-^9— ('0=0. on oe oe 0x3

On aura autant d'equations de cette forme qu'il y a d'observations; Le Ver- rier, par des moyennes, a reduit ces equations a dix-huit, qui correspondent aux epoques suivantes : 1690,98; 1712,25; 1715, 23; 1747,7; 1754,7; 1761,7; 1768,7; 1775,7; 1782,7; 1789,7; 1796,7; 1803,7; 1810,7; ^817, 7; 1824,7; i83i,7; i838,7; 1845,7 (*).

157. Le probleme depend done de dix-huit equations a huit inconnues^ A/i, Ae, Ae, Agj, m'h\ m^k\ m! et £'; les sept premieres figurent Uneairement dans les equations de condition (a); la liuitieme entre dans ces equations sous forme

transcendante par (e', 2£', 3£').

Si les observations etaient rigoureusement exactes, il suffirait de prendre sept des equations (a), d'en tirer, par des eliminations suceessives, les valeurs des sept inconnues A/i, . . . , m' qui n'y entrent qu'au premier degre, et de porter ces valeurs dans Tune des autres relations (a), qui deviendrait ainsi une equa- tion transcendante ne contenant plus que Tinconnuc i\

Mais les observations anciennes sont peu precises; les differences (^ -f- $ — t'o sont en somme assez petites, et il arrive qu'apres avoir elimine six des incon- nues il reste pour la septieme m! une equation de la forme

(8) D/n'— N = o,

( ' ) Ces 6poques sont 6quidistanles, sauf les trois premieres, ct il est possible do proGler do colle circonstance pour abr^ger ies calculs.

38o CIIAPITRE XXIII.

dans laquelle les quantites D ct N sont tres fortoment affectees par les erreurs des observations, d'autant plus que les coefficients qui figurent dans D et N sent tres petits par rapport a ceux qui entraient dans les equations primitives, de sorte que le moindre changement apporte dans les donnees fait varier m' dans des proportions extraordinaires.

Le Verrier avait obtenu cette equation (8) et, en ecrivant que /w' doit etre essentiellement positif, il esperait limiter les intervalles dans lesquels il fallait chercher la vraie valeur de £'. 11 avait pose

e'

lang -^jr

y

ce qui lui avait permis d'exprimer N et D algebriquement en x; il etait arrive a

(I -h x')*N — Ni, (i + x^yD =D,,

N, et D| etant des polynomes en x de degrcs 4 et lo.

Mettant a profit le theoreme de Sturm, Le Verrier avait vu que les ra- cines de Tequation N, = o etaient toutes imaginaires, tandis que Fequation D, = o avait quatre racines reelles. II etait ainsi amene a conclure que e' devait etre compris entre 96^40' et 189*^55', ou entre 263**8' et 358**4i'- Or, quand il attribuait a £' des valeurs comprises entre ces limites, et qu'il les substituait dans Tensemble des equations (a), il n*obtenait jamais une representation sa- tisfaisante; de sorte que la vraie valeur de e' transportee dans Fequation (8) devait conduire pour m' a une valeur negatwe.

« J'avouerai sans peine, dit-il, que c'est ce qui m'est d'abord arrive: long- temps j'ai ete arrete dans mes recherches par cette difficulte. Aussi croirai-je faire une chose utile en insistant encore sur cette partie de la question; elle est tres proprc a montrer par ses details combien sont delicats certains points des recherches numeriques ; combien il est souvent plus penible d'arriver k une con- naissance rigoureuse de la verite en raisonnant sur des nombres entaches des erreurs d'observatidns, qu'en discutant des symboles algebriques susceptibles de representer les donnees de la question avec une exactitude absolue, et de se preter a toutes les restrictions. »

II fallait done operer autrement, en ayant egard a toutes les observations. Voici la methode employee :

Le Verrier considere les quatre equations (i) du type (a) qui correspondent auxannees 1715, 1775, 1810 et i845; il represente par/? et 9 les erreurs com- mises dans les anciennes observations de 1715 et 1775; il suppose nuUes les erreurs en i8io et i845, puisque danschaque cas on a une moyenne d'un assez grand nombre de bonnes observations meridiennes. Les premiers membres des deux premieres equations (i) devront done etre augmentes de/? et ^r respective-

DECOUVERTE DE NEPTUNE.

38l

nient. On tirera des quatre equations (b) les vaieurs des quatre inconnues A/i, As, Ae, Agj pour les substituer dans les autres relations (a); cela donnera des equations (c) dont les premiers membres seront des fonctions lincaires de/>, q m'h\ m!k' et /n'. Le Verrier fait les moyennes des equations (c) qui repondent, d'une part, aux annees 1817, i824» i83i et i838; d'autre part, auxannees 1782, 1789, 1796 et 1801, et il en tire les vaieurs des inconnues mlh! %im'k\

II connait done les six premieres inconnues en fonction des deux dernieres, £' et m\ et des erreurs/; et y de 1715 et de 1773. On pent voir qu'on a utilise des observations de sept en sept ans, a partir de 177.5 jusqu'en i845; de sorte que toutes les observations comprises dans cet intervalle de soixante-dix ans se- ront representees presque exactement quelles que soient les vaieurs de s', m\ p et q. Mais on n'en pent pas dire autant des observations de 1690 et 1747; c'est en essayant de representer ces observations qu'on pourra determiner £'.

On substituera done les vaieurs des six premieres inconnues dans les equa- tions (c) qui repondent a 1690 et 1747* et Ton aura des residus de la forme

(9)

A -i-Bm'4-C/? -hD^.

Le Verrier a efTectue tous les calculs qui viennent d'etre indiques pour qua- rante vaieurs equidistantes de e', entre o** et 36o*^. Voici les residus (9) pour quelques-unes des vaieurs de e' :

	Tableau (B).
	Erreur do la th^rie	Erreur de la thdorie
e'.	en 1690.		en 1747.
0	» » » H	^ »	* •	If
0	-+- 3^4 -H 87//t -4- o,4p — '-*,o</	— 261 —	i6//i — 1 ,3/? — ]	r,67
45	-+- 207 — %m' — o,ip— 1,57	— 167 —	ii6w'— 1 ,0/? — 2	\,oq
90	-h 148 — 48//1'— 0,2/? — I fiq	-ii4-	im' — 0,8/? — ]	\,%q
135	-4- i38 -+- 42/w'— 0,3/7 — 1 ,5^	— 106 -+-	63w'— o,8/? —	[,87
180	-^ 79-4- 18/w'— 0,5/? — 1,5^	- 76-	4/«'— 0,7/?— ]	',97
225	-4- 6 — S-jm' — 0,6/? — 2,0^	- 33-	1 1 m' — 0,7/? —	\fiq
234	— a — 57/w'— 0,6/? — 2,27	— 27-	9w' 0,7/? ]	[,57
2i3	— 7 - - 53/w'— 0,6/) — 2,27	- 24-	6/7i'— 0,7/? — 1	',47
252	— 8 — 45/»'-- o,5/? — 2,3^	- 24-	3/w'— 0,7/? — ]	1,37
261	— 4 — 35 m' — 0,5/? — 2,57	- 24-+-	i/w'— 0,8/? — 1	f,27
270	-+- 4 — 21 w' — o,4/> — 2>6(7	— 29-4-	6/71'— 0,8/? — 1	[,27
279	-4- 17 — 5/w'— o,3/? — 2,87	38-4-	12//1' — 0,9/? — 1	[,17
288	-h 37 - i4/w'— 0,2/? -2,97	5l-4-	18///— 0,9/? — 1	[,07
315	H- 144 -i-73/w'-f-o,i/? — 3,07	— J23 -h	37 /w'— lyip'—i	>,87'

Le Verrier examine ensuite la marche des erreurs contenues dans le Tableau precedent, en ayant egard aux limites dans icsquelles doivent rester comprises les quantites m\ p et q.

La discussion des observations lui a montre (\\xe p ne pent surpasser i5" et

382 CUAPITRE XXIII.

q lo"; d'autre part, il etait arrive a reconnaitre (*) que m' ne peut etre suppose superieur a 4> sans quoi la planete inconnue exercerait sur Saturne des per- turbations appreciables qui n'ontpas ete constatees.

Celapose, on voit que pour £' = o, en prenant /> = — i5, y = — lo, Terreur en 1747 serait de — 226" — i(j"m\ done en valeur absolue superieure k 226''; I'erreur de 1690 serait encore beaucoup plus considerable. L'hypothese £'=0 est done impossible; les valeurs suivantes, jusqu'a 225**, sont egalement impos- sibles. Mais on remarque que les parties constantes A des residus du Ta- bleau (B) atteignent leur minimum absolu, tant en 1690 qu'en 1747* dans le voisinage de t' = iSi^\ c'est la seulement qu'on peut avoir une solution suscep- tible de representer les observations.

158. La partie la plus difficile du probleme est maintenant resolue; il n'y a plus qu'a perfectionner la solution et a lui faire acquerir le maximum de preci- sion. Le Verrier pose

(10) £'=2520-hl8o{3,

et, pour tenir compte de ce que la loi de Bode a pu assigner a a' une valeur inexacte, il fait aussi

(11) ^=7? ==o,5-i-o,2y,

en designant par p et y deux indeterminees.

II reprend tons les calculs a leur debut et se propose de developper les resul- tats suivant les puissances de [3 et y; il y arrive par interpolation, en faisant six calculs correspondant a

(12)

dans chacune de ces hypotheses, il calcule les equations (a), qu'il prend meme plus nombreuses que precedcmment, en formant un plus grand nombre de groupes avec les observations modernes (il en a maintenant 33 au lieu de 18). 11 resout chacun de ces systemes de 33 equations par la methode des moindres carres, relativement aux G inconnues An, As, Ae, Act, m'h' et m'k' dont il trouve les valeurs exprimees lineairement en m\ II calcule aussi les 33 residus obtenus en substituant dans les equations de condition les valeurs des G inconnues. II a done, en correspondance avec les G systemes (12), 6 systemes des 33 residus

{^) m' d^signe dans lo travail de Le Verrier le rapport de la masse de la plan^te inconnue h. la dix- milli^me partie de la masse du Solcil.

P 0,	y — 0;	|3 0,	y = 4-i;	(3 0,	y- 1;
P -HI,	y—o;	P -I,	y 0;	(3 -I,	y— -h j;

exprimes sous la forme

DECOUVERTE DE NEPTUNE,

,1, -h lib m',

383

oil ciu et \s\> ont chaque fois des valeurs numeriques connues. C'est maintenant un calcul facile que d'obtenirles 33residus qui correspondraient aux valeurs gene- rales (lo) et (i i) de e' et a sous la forme

(.3)

A -+- BP 4- Cy -h Dp* + E(3y + Fy«

-h m\\'-hB'? -f- Cy 4- D';3*4- E'(3y -t- Fy«);

Ics quantites A, B, ..., A', B', ... ont actuellement des valeurs numeriques connues. Le Verrier cherche ensuite, a Taide de certaines simplifications plau- sibles, a determiner les valeurs de p, y et m' qui rendent un minimum la somme des carres des 33 residus. II trouve

(i4) [3 1= — o,65o 3o, y = — 1,02925, m' = 1,0727;

il en resulte

flr'= 86,1689.

En introduisant les valeurs (i4) de p, y etm' dans les expressions de m'A' et m'k' mises prealablement sous la forme (i3), on obtient les valeurs les plus precises de A' et k\ On en deduit

e' = o, 1 076 1 , x»5'— 284** 5' 48'.

Le Verrier est ainsi a meme de calculer la longitude et le rayon vecteur de la planete inconnue pour le i**" Janvier 1847; il obtient

('1=826032', /•'r=38,o6. Voici comment la solution precedente represente les observations :

	Tableau (A').
	Calcul		Calcul
	molns		moint
Dates.	observation.	Dates.	observation
1781-1782. . . .	-h 2,3	1813-1815...	.. - 0,9
1783-1784....	-t- 0,1	1816-1817....	.. ■+- 0,4
1785-1788....	.. - 1,2	1818-1820....	. . -1-0,4
1789-1790....	.. -3,4	1821-1823....	. . -h 0,9
1791-1792....	-+- 0,3	1824-1827....	.. -5,4
1793-1794....	.. -0,5	1828-1830....	.. —2,2
1795-1797....	.. — 1,0	1835-1835....	— 0,8
1797-1801 . . . .	.. -^ 0,9	1835-1836....	-f- 2,3
1802-1804....	-+- 0,8	1837-1838.. .	-h 2,5
1804-1806....	-+■ 0,8	1839-1840....	-r- 2,2
1807-1808....	.. -h 2,1	1841-1842....	0,2
1808-1810....	-+-0,8	1842-1844....	.. -0,4
1811-1813....	— 0,5	1844-1845....	.. -0,3

384 CHAPITRE XXIII.

Toutes ces observations sont bien representees; la comparaison des Ta- bleaux (A) et(A') parle <lu reste d'elle-meme.

Voici, d'aiiieurs, comment la solution trouvee reprcsente les observations an- ciennes :

If

1690. Une observation de Flamsteed — 19,9

1712 ot 1715. Quatro observations do Flamsteed -+- 5,5

1750. Deux observations de Lemonnier — 7,4

1753 ot 175C. Deux observations do Mayer ot Bradley — 4,0

1764. Uno observation de Lemonnier -»- 4i9

1768 et 1769. Unit observations do Lemonnier -+- 3,7

Ces ecarts n'ont ricn d'anormal.

Le 18 septembre 1846, Le Verrier ecrita M. Galle, astronome de Berlin, pour lui communiquer la position de la planete, et le jour meme oil il re?oit cette lettre, le 23 septembre, M. Galle observe la planete a Sa' de la position assi- gnee.

159. En meme temps que Le Verrier, et meme avant lui, un jeune geometre anglais, devenu depuis un astronome illustre, M. Adams, trouvait de son cote une solution du probleme. Son attention avait ete appelee surce sujet, des 1841, par un Rapport de M. Airy sur les progres recents de TAstronomie. En i843, M. Adams faisait un premier essai en supposant circulaire I'orbite de la planete inconnue, avee un rayon double de la distance moyenne d'Uranus au Soleil; le resultat qu'il obtint lui montra qu'il etait possible d'etablir un accord general et satisfaisant entre la theorie et Tobservation. Ayant regu, en fevrier i844» les resultats de toutes les observations d'Uranus faites a Greenwich, il aborda la solution du probleme avec une orbite elliptique, et il communiqua en sep- tembre et octobre i845, a M. Challis et a M. Airy, les valeurs qu'il obtint pour la longitude, la masse et les elements de la planete supposee. Ce- pendant Fexcentricite de Torbite lui parut trop grande; les dernieres ob- servations d'Uranus lui semblerent n'etre pas representees avec toute Texac- titude desirable. Aussi M. Adams se dccida-t-il a recommencer les calculs en diminuant la distance moyenne de ~; il communiqua les nouveaux resul- tats, tres satisfaisants cette fois, a M. Airy dans les premiers jours de sep- tembre 1846.

Le Verrier avait fait connaitre dans les Comptes rendus de rAcademie des Sciences, des le i**" juin, la longitude de la planete inconnue, et le 3i aout sa masse et ses elements. Enfin, c'est sur scs indications que, le 23 sep- tembre, M. Galle trouvait la planete; aucun des resultats obtenus par M. Adams n'avait encore ete public. II n'est done pas douteux que Thonneur de la decouverte appartient ii Le Verrier. Mais il est certain que M. Adams

DECOUVERTE DE NEPTUNE. 385

etait arrive de son cote a la connaissance de la position tres approcliee de la planete (*).

L'ensemble des recherclies de M. Adams fut communique a la Societe Astro- nomique de Londres, le i3 novembre 1846, et imprime immediatement dans TAppendice du Nautical Almanac pour i85i; une traduction frauQaise du Me- moire a paru dans le Journal de Mathematiques , 3* serie, t. II, 1876. La me- thode employee est simple et elegante; la discussion est cependant moins appro- fondie que chez Le Verrier; la position calculee differe de celle observee par M. Gallede2°27'.

160. Quand on eut observe Neptune pendant un certain temps, il fut possible de deduire des observations ainsi faites les elements elliptiques de son orbite, en faisant intervenir une ancienne observation de Lalande, qui avait catalogue la planete en 1795, comme une etoile fixe; on putaussi calculer depuis la masse de la planete en partant des observations de son satellite. Nous rapprochons, dans le Tableau ci-dessous, quelques-uns de ces elements des valeurs corres- pondantes calculees par Le Verrier et M. Adams :

Observations. Lo Verrier. Adams.

a' 3o,o367 36,i539 37,^474

e' 0,008719 0,107610 o,i2o6i5

w' 47° 12' 284^6' 299° I i'

m' o,oooo56 0,000107 o,oooi5o

Gette comparaison ne fut pas sans causer quelque etonnement : les deux orbites calculees etaient voisines Tune de Tautre, mais elles diflferaient consi- derablement de Torbite reellc. On se demanda comment des elements aussi eloignes de la veriteavaient permis de representer les perturbations d'une ma- niere satisfaisante, et de fixer aussi exactement la position de la planete. Un peu de reflexion suffit pour faire comprendre la chose.

Remarquons d'abord que les perturbations d'Uranus par Neptune sont surtout sensibles aux environs de la conjonction : mettons 20 ans avant et 20 ans apres environ. Les conjonctions arrivent a peu pres tons les 171 ans; la der- niere a eu lieu en 1822, laprecedente en i65i. Done, dans toute la periode com- prise entre la premiere observation de Flamsteed (1690) et le commencement du siecle actuel. Taction de la planete perturbatrice a ete presque negligeable. II suffit done de voir comment les elements de Le Verrier representent la posi- tion de Neptune, a partir de 1800; c'estce que montre le Tableau suivant; la

(1) Pour plus de details sur la d^couvorte de Neptune, je renvoie le lecteur ^ un excellent Ouvrage intitul6 : History of Physical Astronomy y par Robert Grant, i852.

T. - I. 49

Le V.	Brrier.
V.	r.
0 ' a3i.34	33,6
25i .10	32,8
271 .28	32,4
292. 8	32,3
3ia.36	32,6
332.25	33,3
35 1. 17	34,3

386 CHAPITRE XXIII. — DtCOUVERTE DE NEPTUNE.

deuxieme et la troisieme colonne donnent les coordonnees heliocentriques v et r de Neptune, determinees par les elements exacts; dans la quatrieme et la cinquieme, on a insere les nombres calcules avec les elements de Le Verrier :

Neptune.

Dates. V. r.

1800 226? 4 3o,3

1810 247.20 3o,3

1820 268.52 3o,2

1830 290.31 3o,i

18i0 312.17 3o,i

1830 334.12 3o,o

1860 356.14 29,9

On voit que, dans tout cet intervalle, Terreur en longitude des formules de Le Verrier reste comprise entre ±5*^,5; les valeurs assignees aux rayons vecteurs sont trop grandes d'environ ^ au moment de la conjonction. Les forces pertur- batrices calculees auront done des directions tres voisines des directions reelles, seulen^ent les intensites seront trop faibles; mais ce defaut sera compense en partie par la valeur trop forte trouvee par Le Verrier pour la masse de Nep- tune.

C'est ainsi qu'une combinaison convenable des elements, dont chacun est tres errone, pent representor presque exactement le lieu heliocentrique de Nep- tune et les perturbations d'Uranus, pendant tout I'intervalle de temps limite oil ces perturbations ont ete sensibles, et satisfaire par suite aux conditions du probleme.

La loi empirique de Bode a donne une valeur tres peu exacte de af^ 38 au lieu de 3o; le calcul, avec sa logique inflexible, va au plus presse; il assigne k Torbite de Neptune une forme elliptique trfes prononcee, oil le perihelie est dirige a tres peu pres suivantla ligne de conjonction de 1822, ce qui corrige en grande partie I'erreur provenant de la valeur inexacte assignee a a', en rappro- chant Neptune du Soleil, a I'epoque de la conjonction, presque a la distance voulue, 32,4 au lieu de 3o,2; la forte valeur obtenue pour m' fait le reste.

Si Ton considere que la valeur reelle de e' est au-dessous de 7^, on est fonde a penser qu'on serait arrive par des calculs plus simples h une representation satisfaisante des observations avec une serie d'orbites circulaires dont les rayons auraient ete en diminuant de 38 a 3o.

*9^

•

CHAPITRE XXIV. — JN^GALITES DU SECOND ORDRE, ETC. 887

CHAPITRE XXIV.

iS^

INEGALITES DU SECOND OUDRE PAR RAPPORT AUX MASSES

161. Reprenons I'expression

nous avons donne dans le n° 134 Ics formules qui font connaitre ^> ^> — On a, en particulier,

(2) da^_o^nc^ y u\e''e'^*'r/sin(A-h/7'-+-A'a)4-A'5j'-+-//T'). at \k a! ^^

On a integre ['equation (2) en remplagant dans le second membre cr, a', ... par des constantes, ce qui a donne I'expression de S,a.^

Pour obtenir Tensemble des perturbations du second ordre de I'elementa, il faut maintenant remplacer, dans le second membre de I'equation (2), a, a , e, . . . par leurs valeurs a-+- S, a, a' 4- S«a', e 4- §< e*, . . . , fournies par la premiere ap- proximation, etdevelopper ce second membre par la formule de Taylor, en negli- geant les carres et les produits des S^. Si Ton ecrit, non pas le second membre

lui-meme, mais son accroissement, on trouvera ainsi Texpression de —jr* Les valeurs de 8|a, ^^a\ . . . sont de cette forme :

\a= ^AcosD, o^a^= ^A'cosD,

6ie = ^>/-+-^EcosD, d,e' =^>7 -4- ^ E'cosD,

(3) { a,X=^/-h^LsinD, 5i/' = ^L'sinD,

e\is^—ct 4- ^ P sinD, e'3iGj'= c7 -h ^ P' sinD,

iiY) = 5^ + 2] FeosD, f\ d|T' = x^ 4- ^ Q SinD,

388 CHAPITRE XXIV.

oil D designc Tun queiconque des arguments de la premiere approximation »

Le terme seculaire gt de 8^ X provient de t' — t qui figure dans X = / -f- t' — t ; il sera le plus souvcnt insensible. Les coefficients A, A', . . ., Q, ft, ft', ... y^sont connus, et contiennent tons une petite masse planetaire en facteur dans leurs diverses parties.

En operant comme on Ta indique plus haut, on trouvera

dt

\ e e' n e e n /J

(4) { xsin(a-i-r/'-hAa)-t-rcj'4-MT'±D)

_V!}!^nt y(-b + '^b'-\- '^-i\ iNe''e''''y}/sin( A 4- i7'+ Aw -+- A'gj'-i- ut') ixa ^ai\e e ri J '

- ^-^^ nt y f- c + ^' c'+ " -/ 4- ig\ iNe''e''''Y}/cos(iX4- i'l'-hkt^ H- A-'By'-+- uz')y

formule dans laquelle on doit prendre ensemble, d'abord les signes superieurs, puis les signes inferieurs, et (aire la somine. Nous ferons observer que nous

avons remplace a y-^ par — a -.— •

On en deduira, en nommant w le coefficient de / dans D,

ixa' ^ai in -h I n' ± iv

" ')

L^ \2 oa / a \ da

(5)

4- (^^ E 4- ^ E' + ^ f) N zh ^'L + I'L' 4- ^ P 4- ^' P' + ^' q) n1 X cos(i>. 4- i'V -\- Ao) 4- A'cj'4- wr'ih D)

4 ,- y ( ~ ^ -i- -7 ^4- ^ ? ) -; T- ^e'*e'f' nf

ixa' ^d\e e' n Ji-hiv

X ^cos(A 4- /'/'4- Aw 4- A'Gy'4- ur') — - — ^..—7 sin(A4- i'l'-h Aa)4- A'ci'4- uv') I L 1/14- in' ^ 'J

^xa' ^\e e' y} ^^ °Ji-\-i'v

X /sin(A4- i'/'4- Aw4- A'nj'4- //t-)4- - — ^— , cos(A 4- «'/'4- Aw 4- A''iij'4- mt') I . L in-^i'n' ^ 'J

On voitque, pour le calcul de 5a^> on aura a faire toutes les combinaisons

INEGALITES DU SECOND ORDRE PAR R.VPPORT AUX MASSES. 3Sg

deux a deux des arguments des fonctions perturbatrices. Si Tune des quantites in -h t'/i' ± w etait nulle, il faudrait remonter a la formule (4)» dans laquelle le terme correspondant devrait etre considere comme constant. II en resulterait dans §2^ un terme proportionnel au temps. Le theoreme de Tinvariabilite des grands axes, relativement aux inegalites seculaires, n'aurait done lieu que dans la premiere approximation, et pas dans la deuxieme. Nous verrons dans le Cha- pitre suivant qu'il n'en est rien; les divers termes en / se detruisent dans Sa^-

162. Si Ton considere trois planetes, on aura dans Sj^ des arguments de la forme

q designant une constante,/, y',y" trois nombres entierspositifs ou negatifs. S'il arrive que, pour certaines valeurs dej\f,f\ la quantite />i -hy'/i'4-y"/i" soit tres petite par rapport a chacune des quantites w, n\ n'\ il en resultera dans la distance moyenne a des inegalites a longue periode qui pourront etre tres sen- sibles en raison du petit diviseury/i-hy'/i'-hy'/i" que Ton trouve dans la pre- miere partie du second membre de la formule (5). Ces inegalites seraient encore beaucoup plus fortes dans S^A car le petit diviseur en question y figure au carre, et non plus a la premiere puissance.

Nous nous bornerons aux indications precedentes sur le calcul des perturba- tions des elements, qui sont du second ordre par rapport aux masses, et, pour ce qui concerne Sj/, 02€, Sacr, B^p et Sj^r, nous renverrons le lecteur au tome II des Annales de robservaloire, p. 43-57, et au tome X, p. 192 et suiv., oil Le Ver- rier a traite la question en detail; il nous suffira d'avoir indique le principe du calcul qui ne presente d'autre difficulte que sa longueur dans la pratique.

Dans les theories de Mercure, Venus, la Terre et Mars, le nombre des inega- lites du second ordre qu'il y a lieu de considerer est tres restreint, et encore, le plus souvent, on n'a a en tenir compte que dans la longitude moyenne. II n'en est pas de meme, malheureusement, pour les autres planetes, et surtout pour Jupiter et Saturne, dont les theories sont, par cela meme, extremement compli- quees; il faut meme tenir compte de certaines inegalites du troisieme ordre. M. A. Gaillot a donne dans le tome V du Bulletin astronomique^ p. 829, les for- mules generales pour le calcul des perturbations du troisieme ordre.

Nous ferons, en nous bornant aux inegalites du second ordre, une remarque

importante : les expressions generales de 37>^> 'St^ 'di^^ 'di ^^"^^^^"^"^^"^^ toutes des termes seculaires, c'est-a-dire des termes de la forme

Me'^e''''n/^*" (Ao) -h it'cr'-h 1/7'), cos ^ '

la derivee -jr etant la seule a n'en pas renfermer. Or, quand, pour obtenir la

3go GHAPITRE XXIV. — IN^GALITi^S DU SECOND ORDRE, ETC.

seconde approximation, on remplacera dans ces termes seculaires a^ e, .... respectivement para-f-S|a, e-+-S<^, ..., on verra apparaitre des termes en

cos

Dans rintegration, comme Fargument kto -{- k'tn' -h az' doit etre considere comme constant, il s'introduira des termes en 0.

L'expression de Tun quelconque des elements £, Cy xs.pQiq fournie par la seconde approximation sera done de la forme

(6) P 4- P'^ -hP" ^« -h y A ^.^^ (a^ -h 13) -+- ^ y ^' ^^^ («'^ -^ P')-

^ ' .^ sm *^' .Ad sm ^ '

Quand il s'agit du grand axe, P' et P" sont nuls; nous avons dit au n*" 141 que Ton pent faire abstraction du terme Vt dans l'expression de £.

Les inegalites du second ordre des coordonnees heliocentriques se deduiront aisement des inegalites du meme ordre des elements. On pourra appliquer pour celalaremarquesuivante : soitF(/, a, ^, ...) une fonction quelconque de/etdes elements (ce sera le rayon vecteur, la longitude ou la latitude heliocentrique); il faut y remplacer /, a, . . . respectivement par / -f- S< / -+- Sj/, a -f- S, a -f- Sa a, . . . , et ne conserver, dans le developpement par la formule de Taylor, que les termes du second ordre. On trouve

Nous ajouterons enfin que, dans les theories de Jupiter, do Saturne, d'Uranus et de Neptune, Le Verrier n'a pas calcule les perturbations des divers ordres des coordonnees heliocentriques, mais seulement celles des elements. Les Tables font connaitre les valeurs des elements osculateurs a une epoque quel- conque ; on calcule ensuite la position de la planete avec les elements prece- dents, par les formules ordinaires du mouvement elliptique.

CHAPITRE XXV. — THEORlfcME DE POISSON. SqI

CHAPITRE XXV.

THtORfeME DE POISSON.

INVARIABILITY DES GRANDS AXES DANS LA DEUXifeME APPROXIMATION

PAR RAPPORT AUX MASSES.

163. II nous sera avantagcux d'employer ici la forme symetrique que nous avonsdonnee dansle Chapitre IV auxequationsdiflerentielles dumouvementdes planetes.

Soient a?,, j,, 5, les coordonnees rectangulaires heliocentriques de I'une quelconque des planetes, /W/ sa masse, m^ celie du Soleil; nous avons pos6 dans le Chapitre IV

(^) //i = .vi;

C'est la definition des nouvelles* variables x,, y,, Z/;

A

nil ^j- x,H- — ? X,;	^3 XjH 2 XjH ^ Xj;
-J — z,H- / z,;	-3 - z, -+- -■ z,H z,;

392 CHAPITRE XXV.

et nous avons trouve, d'unc maniere generale, les equations differentielles,

LL/^i d}7.i d\S [Xi at* dZi

On pent developper U suivant les puissances et les produits des petites quan- tites m,, 7^2, . . . ; nous designerons par U' I'ensemble des termcs du premier

ordre; U' proviendra seulement de la premiere partie de U, savoir f/Wo 51 x-^l en ayant egardaux formules (2) et (3), et posant

on trouve aisement

U' = f/n.2^-

La difference U — U' sera du second ordre, et il en sera de meme de la quan- tite

(5) V = U-f2'^y('^o-^/^'y)^--

Or on tire de la

et, en portant, dans (4)» il vient

d*\i ., . X/ LLi I dV

dt^ /7 fji/_i nii d\i

\ dt^ ^ / / f^/-i w/ dyi

d^Zf ^. . z/ JUL/ I ()y

dt^ ^ r} fjL/_i nii ozi

Ce sont les equations d'un mouvement elliptique trouble par une force per- turbatrice; la fonction perturbatrice est ici

(7) H,= J^-LV;

THEORtME DE POISSON. 3g5

Ics fonctions analogues qui correspondent aux divers corps m^ ne different do R, que par des facteurs constants.

II est aise de voir que le petit denoniinatcur W/ qui figure dans Tcxpres- sion (7) disparait dans les seconds membres des equations (6), parce

que les derivees partielles y-j y-j j- contiennent precisement ce facteur; il

nous suffira pour cela de prouvcr que ->— s'annule avec m,, quelles que soient

les autres masses m^ , /Wj, ....

Remarquons d'abord que, pour m, = o, X/ disparait de la partie

de Tcxpression (5) de V; il suffit de montrer que la meme chose a lieu pour U. Or nous voyons sur les formules (2) que, pour m, = 0, toutes les quantites xj, sauf Xi, deviennent independantes de x^; done A^j ne contient pas X/ si j est different de i, et Ay^^t ne contient pas x, si aucun des indices y et k n'est egal a i. Si done on suppose m, = o dans Texpression (3) de U, on fait disparaitre d'un coup tout ce qui contenait X/.

II en resulte que si, dans le developpement de V suivant les puissances en- tieres et positives de /w,, m.^, m^, ..., on represente un terme quelconque par

m^mJ'mX ... A,

A ne contiendra que les coordonnees X/, Xy, x^^, . . . , y,, yy, yA, . . . , z,, Zy, z^, . . . des masses /W/, /wy, m^, . . . qui entrent en facteur dans ce terme; car autremenl,

si ce terme contenait par exemple X/ , la derivee j- ne s'annulerait pas pour nti' = o, quelles que soient /w/, /wy, m^,

164. Cela pose, quand on supprime les seconds membres des equations (6), ces equations representent un mouvcment clliptique dans lequcl nous designc- rons par a, le demi grand axe, /i,- le moyen mouvement, /,• la longitude moyenne et £, la longitude moyenne de Tepoque; nous aurons

n] a\ = f (/Wo -h /W| ), /, — nit-\r £/.

Pour passer du mouvement elliptique au mouvement trouble, nous conser-

verons pour X/, y„ Z/, -^S -^> ^ les memes expressions analytiques en fonc-

tion de /,• etdes autres elements; seulement nous prendrons // = //i,c^/4- £,; nous supposerons que Ton fasse de meme pour les autres planetes. Ayant developpe, comme nous Tavons dit, V suivant les puissances des T. - I. 5o

394 CILVPITRE XXV.

masses,

on substituera dans chaque partie pour X|, y<, z,, x^, ya, Za, ... leurs valeurs en fonction do /<, l^, ... el des elements, et I'on developpera le resultat en sinus et cosinus d'arcs de ia forme a/^H- p/,-i- y'a + . . . , a, p, y, . . . etant des nombres entiers positifs ou negatifs. Si a n'est pas nul, le coefficient de

(a/,-f- p/y+y/A-f ...) contiendra m/ en facteur; de memo pour p, .... Done

la partie V do V, qui est du second ordre par rapport aux masses, contiendra au plus deux longitudes moyennes //, /,, dans chacun des arguments qu'elle renferme; la partie V" du troisieme ordre en contiendra au plus trois, etc. Nous aurons, pour determiner le demi grand axe dans le mouvement trouble.

2 d\{i 2 /JL, I {)V 9. /

dt HiGi dei fiitti i^i^i nii dzi niai\ IJ-i-iJ ^^i dti

OU bien, en developpant et n'ecrivant dans le second membrc que les termes qui sont des ordres i et 2,

Nous representerons la valeur d'un element quelconque dans le mouvement trouble par/>/-f- 8^pi -+- Sj/?, -i- . . . , /?, designant une constante, S</?/, Sa/^/» • • • des fonctions du temps qui soient des ordres respectifs i, 2, ... par rapport aux masses; le demi grand axe dans le mouvement trouble sera represente en par- ticulier par

le moyen mouvement devra egalement etre remplace par

Hi H- d| ni -f- ^2 /I/ -h . . . ;

Hi et Oi sont deux constantes liees entre elles par la relation

nfaf = ?{niQ-{- mi);

on doit avoir aussi

d'oii

2 at

(9) { s ^ ni ^ TO Hi .

En faisant la substitution indiquee dans les deux membres de Tequation (8),

TnfeORfeME DE POISSON. 3c)5

tant pour les elements de /W/ que pour ceux de my, et continuant a n'ecrire que les quantites des deux premiers ordres, il viendra

dSiat dS^ai 2 i ()V' 21. f)V' 2 dV , 1

at at n,ai nit de/ /i/flr/ /71/ ds/ //i/ ds/ ai/A/

2 I dV 2 I dW"

d'ou, en egalant dans les deux membres les termcs du premier ordre et ceux du second, et remarquant qu'on a, a cause de (9), o^ = -• S,a/,

II' I a I 3 fi i a J

dd,ai 2 I c>V'

(10)

dt niat nii de/

, , d^^at 2 I , dV I I dV . 21 dV 2 I dV

(11) ' = Oi -5 1 r — -.- o^ai-\ r \ r-.

dt iXiGi nii ati ntaj /W/ oe, n,ai m^ de/ /^a/ m/ de/

dV . . dV

S, -T- represente la variation de la fonction y- quand on augmente les elements

de nii et de rrij de leurs perturbations du premier ordre.

La formule (10) donne, pour les perturbations du premier ordre de a,,

0

2 I rd\' .

at — I dt;

'Uat mi J OZi

-^ ne se compose que de termes periodiques, et S^a, n'a pas de partie secu-

laire; passons a Texamen des perturbations du second ordre ; les deux dernicres parties de Texprcssion (11) ne pouvant donner que des termes periodiques, nous devons nous borner, dans la recherche des termes seculaires, a

flf3,a/ 2 I , dV I I dV ,

— , — n: 0, -rr 1 r 3— Oi^/.

at uiai nii o^t f^i^u ''*i uZf

Considerons d'abord la derniere partie du second membre; pour obtenir un terme non periodique, il faudra combiner deux termes de -^ et de §,«/ dont les arguments contiennent les memes multiples des longitudes moyennes; soit

(12) Asin(a//-h(3/y)4-Bcos(a//4-?/y)

Tensemble des termes de V'qui renferment a/yH-jJ//; nous ecrirons, suivant les cas, ces deux termes sous Tune ou I'autre des formes suivantes

Asin^J;4-B cos^J;, Csin(^J;-h w);

en posant

= a//4-?/y.

3()6 CHAPITRE XXV.

et nous remarquerons que A, B, C et o) sont independants de £, et de ij; ce sont des fonctions des elements elliptiques autres que £, et £y. On aura, en reduisant V a ces deux termes,

<5i«/=— -— / cos('j^H-a))cf^= ^ sin(«//H-(3/y4-co),

-y- — aCcos(a//-h (3/y H- w);

les deux termes consideres donneront done dans le produit -j- S,a/ la partie

//2 ,• w / a, ( a // / H- [3 /*y )

sin2 {oLli-\-^lj -+- w),

laquelle est essenliellement pcriodique; il nous reste done seulement, au point de vue auquel nous nous plaQons, a considerer Tequation

at miriiai OSi

Soient /?/ et qi deux quelconques des elements, autres que £/, du corps m^, pj et yy les elements correspondants pour/wy; posons

Pi

=1 I rii dt, Pj^=^ I f^j d^9

de maniere que

dpi ~~ Osi dli ' Opj Oej dlj

Nous aurons

\ ^1 ~r~ ^^ TT ^1 pi ~^ ( ""Ti" ^l ^i ~^ "i — T~ ^i/?/ -h \ — r — Oi ^/ H- . . . )

Considerons d'abord le tcrme

d

nous aurons, en considerant dans-les deux facteurs -.-,- et / S^a^di les parties

THtORtME DE POISSON. 897

qui dependent du meme argument '| deja defini,

-^-j- =— a- C sin (4' 4- w),

d^aidt— ■=. — r / sin(a//4-S/y4- w) flf^ = -, — ^ ^ \,>

miniai((xni-^^nj)J ^^ miniai{(xni-hpnjy

quantite essentiellement periodique.

Nous allons nous occuper maintenant des autres termes de la premiere ligne de la formule (f4)«

On a les formules connues pour exprimer ^> -^y ■—■'; dans leurs seconds membres figurent les derivees partielles de R/; en se reportant a (7), on voit qu'on pent reduire R, a — V, quand il s'agit d'obtenir les perturbations du pre- mier ordre, S, £/, S,/?/, .... D'apres les formules (h ) du n® 62, on aura des expres- sions de cette forme

^= G— H-H —

dt dpi dqi

^=-G— -hK — dt dzi dqt

f(2£:z.-H— -K —

dt dti dpi

G, H, K, ... sont ici des constantes; quelques-unes d'entre elles peuvent etre nulles; on en conclut

djE/ = G / -r — dt-^R I -^— dt-\-.,., J opi J dqi

>

W ^'"'-^ d^idfi V^-^ oI7d^^ ^t^^-^- • •

— g/^— r—d — -^^^f—d\

('^) ^ 4.11/'— C^dt--^^ f—dt\

\ ^e* J <)qi dsidqij dsi J

"^ \d£idpij dqt dsidqij Opi J

398 CHAPITRE XXV.

Or, en reduisant, dans toutes les parties du second membre, V aux deux memes termes A sin ^ 4- B cos^ considerees plus haul, ce qui est la seule maniere d'ob-

tenir un terme seculaire dans les produits tels que --rj- f -r— dt, ..., on trouve

—— = a (A cos a* — B sind*), -r— = 3— sina>-i- 3— cosu^,

\-^^atz=z ^5 — (Asind»4-Bcosa;),

J d£i a/l/H-(3/ly ^ T T/»

. J dpi ani-\-pnj\dpi ^ dpi ^)

V row . a' ,. . , „ ,,/r)A , <?B . A

^ / ~^—-dt^=i- y^ — (AsiniL 4-Bcosa>) -T— cosiL—- -3— sinO; ,

; J dpi aAi/-f-(3Aiy' ^ ^ \<^Pi ^ dpi V

-3— / -^r—dt^z j3 — 3— cosa> 7— sino ( AsinO^ + Bcoso').

de

Chacun de ces termes donnerait une partie seculaire

a* /g dX

--A^V / ^dpj^

2(a/i/4-(3/iy) \ dp

mais les deux termes en question se detruisent identiquement dans le coefficient de G, au second membre dela formule (i5); on trouvera de meme, pour le coef- ficient de K,

5 — -.— cosa>— -r— smd*) 3— cosd»— 3— smd» )

(xni-h^nj\dpi ^ dpi ^J\dqi ^ dqi V

a rdk . r)B . ,\ ( dK , SB . ,\

H 5 — 3— cosu; r— sma» -r— cosa> ;r— sma> = o.

ocni-^^njydqt ^ dqi ^ J \dpi ^ dpi V

Done les termes de S< -j- provenant des perturbations du premier ordre des

elements du corps /w/ ne donnent aucun terme seculaire dans t^ai\ il nous reste ^ montrer qu'il en est de meme pour les termes analogues provenant du corps /wy.

165. Nous allons done considcrer la seconde ligne de la formule (i4)» et d'abord la partie -. — )— Sipy5 or, en prenant toujours les deux memes termes Asin^j; -t- Bcos'j' de V, on a

diaj= / -7— dt= --^- 5 — r sm(a//-i-p/y+ w),

■ ^ A ^/ ^^J A ^. ^ 3(3Ccos(+-ha)) Oipj -= I 5, njdtz=z ^ / d^ajdt^-^ ^—— -^—j^ — ^

THtORfeME DE POISSON. SqQ

et

^^-^^=-C«i3sin(q.-hco),

quantite periodique.

On aura ensuitc, sans qu'il soit necessaire d'expliquer en detail les for- mules,

at opj d(jj

^=:-L^+N^^-^'-r-...

dt dej drjj ^ * * ' '

rff dsj dp J

d'oii

' J lip J J dtjj

'^^^=-^J iij'^'^^J w/'-^-'

d'oii encore

(i6)

~ \deidsj J dp J dsidpjj dej J

\dsidejj dgj deidgjj dej J

\0^idpjj dqj OSidqjJ dp J J

Or on a, en mettant toujours en evidence ce qui concerne I'argument 4^,

J dpj arii-i-^njXdpj ^ dpj V

rdV 3

l'^—dt= 5—5 — (A sin^H- Bcosd»)

J dej (xni-^^nj ^ ^ ^'

400 CUAPITRE XXV.

et

dei Op J

= — af3(Asin4'-+- Bcos^'),

: a ^ — coso* r — sin d>

\dpj ^ dp J V

On en conclut que le coefticientde Ldans Texpression (i6) est identiquement nul ; il en est de meme de M et N.

II est done demontre que J ' ne contient que des termes periodiques et

que, par suite, S^a/ ne renfernie aucun terme seculaire; ainsi : a^ n'a pas d'inegalite seculaire, quand on tient compte des premieres et des

secondes puissances des masses.

Mais, pour le corps /w, en particulier, a, est le demi grand axe de Torbite de-

crite autour du Soleil, et Ton pent prendre pour ce corps /w, telle des planetes que

Ton voudra. On a done demontre le theoreme de Poisson :

Les grands axes des orbites dccrites par les planetes autour du Soleil nont d^ine- galites seculaires^ ni a la premiere ni a la seconde approximation.

Remarque I. — Bien que Texpression de Sa^/ ne comprenne pas de termes seculaires, elle n'est cependant pas non plus composee uniquement de termes periodiques. Reportons-nous, en eflet, aux formules(i3) et (i4)> et rempla- Qons-y S,/?/, S^^/, ... parleurs parties seculaires, lesquelles sontde la forme

^iPj=p'j^y ^i9j~9'j^> •••;

si VeUmcnipi coincide avec a,, on aura p. = o; il n'y aura pas non plus a consi- derer les variations seculaires des elements £/ et £y, d'apres ce que nous avons vu dans le n® 141. Cela pose, si nous envisageons toujours dans V la partic

Asin^j^-f-Bcos'j', Texpression ^ — j- S,/?/nous donnera

,/dA , ^B . A

Nous trouverons done dans §2^/ la portion suivante

— ^-^ -^ — / t cos a> rt^ — 3— / ^ sin d* a^ I ; niHiai\dpiJ ^ dpij ^ J

THEORfeME DE POISSON. 4^1

or on a

/

t sin ^ at = -^ h 7 —k — nr

II y aura done dans B^Ui des termes en tsin^ et /eos'|, savoir

— --— ^ Z. Z. « — -T— smi^ 4- :r- cos ij; .

a p

Ces inegalites des grands axes, qui sont de la forme /sin]^ ou /cos^, sont en quelque sorte intermediaires entre les inegalites seculaires et les inegalites pe- riodiques; elles s'annulent pour des valeurs du temps qui ferment une progres- sion arithmetique de raison ^ — : mais leur valeur maxima va sans cesse

en augmentant.

Remarque II. — La quantite qui figure dans la longitude moyenne du corps /w,, devra etre remplacee par

expression qui devient, a cause des relations (9 ),

(17) Hit- - ^^fd^atdt-h -|^ A^i^i)'^^- - ^f^iaidt.

D'apres ce que Ton a vu plus haul, les integrates f^^aidt et f^^^idi ne contiennent pas de termes seculaires; quant a Tintegrale /(^taiYdi, elle comprendra des termes periodiques et un petit terme proportionnel au temps dont Torigine est la suivante : quand on eleve au carre I'expression de S, a,, laquelle est composee uniquement de termes periodiques, et qu*on transforme par les formules connues les carres et les produits de sinus, on trouve un en- semble de quantites periodiques et une partie constante qui donne naissance a un terme proportionnel au temps dans Tintegrale /(S,a/)^rf/. II en resultera done que, en ayant egard aux deux premieres approximations, le coefBcient du temps dans I'expression (17) de p, sera egal non pas a /i,- mais a /i,(i -f-a,). Si la quantite a^ etait sensible, il en resulterait pour a^ un changement

appreciable analogue a celui que Ton a rencontre quand on a reuni a /i^/ le T. - I. 5i

4o2 CHAPITRE XXV.

terme provenant des inegalites seculaires de e,; mais, en considerant le cas de Jupiter et de Saturne, lequel est tres favorable pour augmenter a/, on verra aise- ment que cette quantite a, ne depassc guere 0,000 oi , de telle sortc que le chan- gement qui en resulterait pour a/ est a peu pres negligeable.

Nous avons vu, dans le Chapitre precedent, que les perturbations du second ordre introduisent dans Telement e^ un terme proportionnel au carre du temps, qui se reporte sur la longitude moyenne /,; mais ce terme, qui joue un grand role dans la theorie de la Lune, est presque insensible pour les planetes.

Bistorique. — Laplace a le premier enonce (* ) le theoreme de Tinvariabilite des grands axes; mais il ne tenait comptc que des premieres puissances des masses et des quanlites du premier et du second ordre par rapport aux excen- tricites et aux inclinaisons. Lagrange demontra(^) ensuite, d'w/i trait deplume^ pour employer Fexpression do Jacobi ('), que le theoreme subsiste quand on a egard a toutes les puissances des excentricites et des inclinaisons, mais en se bornant toujours aux premieres puissances des masses. Dans un beau Memoire (*) Poisson reussit a etendre le theoreme en tenant compte des termes qui sont du second ordre par rapport aux masses; mais son calcul etait long et complique, Lagrange (^) a cherche a le simplifier, en considerant les mouvements des corps celestes autour de leur centre de gravite commun ; mais il avait commis une faute de calcul qui reduit sa demonstration a neant; cette faute de calcul, signalee d'a- bord, croyons-nous, par M. Houel, a ete indiquee par M. Serret, dans le tome VI de son edition des OEui^res de Lagrange. C'est la remarque de M. Serret qui m'a engage a etudier de nouveau la question, et j'ai reussi (®) a donner a la demon- stration la forme exposee dans ce Chapitre. Je dois dire que M. E. Mathieu est arrive de son cote (^) a une demonstration presque identique. Dans une These soutenue a la Sorbonne en 1 878, M. Spiru C. Haretu a suivi la voie que j'avais indi- quee ; il a repris, en outre, une ancienne demonstration dans laquelle Poisson (*) croyait avoir prouve que les grands axes n'ont pas d'inegalites seculaires du troisieme ordre par rapport aux masses, quand on a egard seulement aux varia- tions des elements de la planete troublee. M. Haretu arrive a montrcr que les

(*) M^moiro pr6sente a rAcad^niie dos Sciences de Paris en 1773.

(') M^molrcs de VAcade'mie de Berlin pour 1776.

(') Forlesungen iiber Djrnaniik, p. 29, 6dition do Glebsch.

(*) Journal de I Ecole Polftec/inique, XV" Cahier, p. i-5C.

(^) OEuvres completes de Lagrange, I. VI, p. 74 ' -749-

(*) Mimoirex de I'Jcade'mie de Toulouse^ 7® s6rie, t. VU, et Comptes rcndus de VAcademle des Sciences de Paris, I. LXXXII.

(') Journal de Borcliardt, t. LXXX.

(•) M6moires de V Academic des Sciences, t. I, p. 55-67, ann6e 1816.

THEORftME DE POISSON. 4o3

grands axes ont des inegalites seculaires du troisieme ordre par rapport aux masses; mais il n'a pas cherche a se faire une idee de la grandeur de ces inega- lites. Enfin, dans le tome XI des Annales de V Observatoire (Additions au Clia- pitre XXI, p. 126), Le Verrier a trouve un petit terme du troisieme ordre en t^ dans le developpement de la partie fndt de la longitude moyenne de Saturne trouble par Jupiter, ce qui confirmerait le resultatde M. Haretu. Toutefois, Le Ver- rier n'obtient le terme en question que par un calcul d'interpolation, calcul purement numerique. II y aurait lieu de chercher I'expression analytique du terme en question; peut-etre pourrait-on y arriver en partant des formules de M. Haretu.

4o4 CHAPITRE XXVI.

CHAPITRE XXVI.

9 _ f

EXPRESSIONS GENERALES DES INEGALITES SECULAIRES.

166. On a vu, dans le n® 162, que les inegalites seculaires de cinq des ele- ments elliptiques se presentent sous la forme

grace a la petitesse des coefficients P", les formules obtenues peuvent etre eten- dues a un assez grand nombrc de siecles, dans le passe et dans Tavenir. On peut toutefois se demander, et cette question interesse a un haut degre nos connais- sances sur la stabilite du systeme planetaire, si les expressions generales des elements elliptiques osculateurs d'une planete contiennent effectivement des termes de la forme (i), ou bien si leur introduction dans les formules ne pro- vient pasuniquementdela marche qu'on a suivie pour Tintegration. Admettons, en eflet, que les termes qui ne renferment pas le temps explicitement dans les equations differentielles introduisent, par Tintegration rigoureuse des equa- tions, des termes periodiques dont les arguments varient proportionnellement aux masses perturbatrices : ces termes, quand on developpera les integrales suivant les puissances des masses perturbatrices, feront apparaitre dans la so- lution approchee du probleme des expressions de la forme (i).

Dans cet ordre d'idees, en Tabsence d'une integration complete et rigoureuse qui est impossible, il serait tres interessant de chercher a integrer les equations differentielles dont dependent les elements des diverses planetes, en y reduisant les fonctions perturbatrices a leurs parties seculaires, c'est-a-dire aux termes qui ne contiennent pas le temps explicitement. Mais, meme dans ce cas, on se butte a des difficultes analy tiques qui n'ont pas encore ete surmontees ; Lagrange n'a pu resoudre la question qu'en negligeant, dans les parties seculaires des

EXPRESSIONS GEXERALES DES INEGALITES SfeCULAIRES. 4^5

fonctions perturbatrices, les termes qui sont du quatrieme ordre par rapport aux excentricites et aux inclinaisons mutuelles supposees etre, a un moment donne, de petites quantites du premier ordre, commc cela arrive en realitepour les anciennes planetes.

167. Considerons d'abord la fonction perturbatrice Roj relative au mouve- ment de la planete P, en tant qu'il est trouble par la planete J-'. On a vu au n® 125 que la difference Ro.i — R| ne contient pas de partie seculaire; on pent done prendre ici Ro,, =R,. D'ailleurs, la formule (37) du n^ 123 donne, en ne prenant que la partie seculaire de R, et negligeant dans cette-partie les termes du quatrieme ordre,

2 2 4 \ da 2 da* )

-\- - ( A<*> - -a—. a' ^ , ) ^e'cosfw — gj').

2 \ da 1 oa^ )

Puisqu'on neglige le quatrieme ordre, on pourra remplacer co par tar. On a d'ailleurs

cosJ= cos9Cos9'H-sin9sin9'cos(0 — 0'),

et Ton pourra prendre, avec la meme precision,

T o m'

4Tn*=4sin'- r= 2 — 2cosJ=:4sin* -- 4- 4sin' — __ 2sin9sin9'cos(9 — 0')

ou meme

4n' = lang'9-hlang'9'— 2tang9tang9'cos(^ — ^').

II convient de transformer les coefficients de e^-\-€!^ et de ed'cos(a) —tar') dans la formule (2) ; on a, en introduisant les notations du Chapitre XVII,

,/ ^A(o) I ,d*A<<»)\ a

^6(0) I .e/*^>fo)

doL ' 2 dcf?^

a' [A^^f — a — r a* —r-r- I = b^ ^ — «

\ da 2 da* )

— Q[» ,

dix 2 doL

s

Remplagons W^ et 6^*^ par leursdeveloppements en series

j — (0""- (HP — [^^^f?^^]" »■' - ■

24 2.4. ..21 4.b...(2H-2)

406 CHAPITRE XXVI •

et nous trouverons, apres des reductions faciles,

\ da ~^ 2 da* )

3 ,r 35 , 3.5...(2«-hi)5.7...(2«-h3) ., "I

r=:-aMi_^-7a«4-...H -r ■- — rr 7—^ i a*'4-... ,

2 L ^4 2.4. ..2t 4-G-'-(2t-H2) J

a' ( A<*^ — a -3 rt' , ,

aa 2 c/a'

3.5

- _^. r, uM^i^ 3.5. ..(214-1) 7.9. ..(21+5) 1

L 26 i,L\,,.ii 0.8. ..(21-4-4) J

.'8 2.4

on en conclut, en se reportant aux formules et notations du Chapitre XVII,

a— \- - a- -^-r- z=z — .. act>5=: - B(*^

Oa 2 aa' 2 a 2

JAt*J I (?*A^*^ I I

c/a 2 aa^ ia 2

La formule (2) deviendra done

Rim - A^^^H- gB(»> [^*-h e'« — lang*9 - lang*9'-i- 2lang9 tang9' cos(^ — Q')]

(3) :

4

On obtiendra la fonction perturbatrice R qui doit etre substituee dans les equations diflerentielles en multipliant I'expression (3) de R, parf/n', et ajou- tant a Texpression obtenue les quantites analogues qui repondent aux actions des planetes P", P''', II convient de poser

(4) iAco)=Mo,t, §B(»)^No.t, gBc«)=:Po,t; on pourra ecrire

R=2]fm(v)Mo.v

(5) [ -H2]^''*^''^No,v[e'-t- (e^^O'— tang»9 - tang«9(^) 4- 2lang9 tang9<^) cos(9— 0^^O] — 2 2]f'w<^^Po.v^e^^^cos(GJ-cj(^n.

168. II faut substituer cette valeur de R dans les equations (A) du n® 62; la premiere de ces equations nous donnera

da

EXPRESSIONS Gl&NERALES DES INEGALITES SfeCULAIRES. 4<>7

ainsi a, a', a", . . . sont constants; il en sera de meme de n, n\ n\ . . . et des quantites Mo,v> No,vet Po,v

II convient de faire le changement de variables indique au n** 63, en posant

• • • >

e sincT ^ A, e' sinisj' = A',

(6) I

eCOSGJ ==: /, e'cosisj'r= /', ... ;

tango sin^ =/?, tango' sin 6'=/?', ..., tang9cos0 = ^, tang9'cos0' = <7\

Les nouvelles variables dependront des equations differentielles (i6) et (19) du n**63; en negligeant dans ces equations les quantites du troisieme ordre, ce qui revient a negliger le quatrieme dans R, on pent les ecrire simplement

(8)

Idh I dJX \ dt no} dl '	dl I ^R dt nd^ dh
\dp I (JR i dt na* dq	dq I d\\ dt na* dp

L'expression (5) de R devient d'ailleurs

(9) \ -^^im^'*)'^^^^[h''-\-l^-^{h^'')Y-^{l^^)y--p^-q^-{p^^^^^

II n'y a plus qu'a substituer cette valeur de R dans les equations (8); si nous posons

nous trouverons sans peine

-^ — [(0,1) -f- (0,2) 4-... } / -+- [0,1]/' 4- [0,2]/^ -+-... =:o,

-f- -i- j (0,1) -+-(0,2) -+-. . . {A — [0,1] /i'— [0,2] A'' -h. . . = 0,

-^- \ (1,0) -h (1,2) -+-... |/'-i-[l,0] /4-[l,2] l" ^.., — 0,

dV

^ 4- I (1,0) 4- (1,2) -+-... JA'— [i,o]A — [i,2]/i'' + ... = o,

4o8 CUAPITRE XXVI.

et

-£ 4- I (0,1) -+- (0,2) +. . . j 7 — (0,1)^'-- (0,2)7'' — .. . = 0,

' -^ -+-{(l,0)-i-(l,2)-f-... j^'— (1,0)7— (1,2)^"— ...= 0,

-^ - i (1,0) -h (1,2) -h. . . \p'-\- (1,0)/? -h (1,2)/?' H-. . . = 0,

Lcs quantites (0,1), (0,2), (1,2), .. ., [0,1], [0,2], [1,2], ... definies paries formules (10) dependent des masses et des grands axes; cesont des constantes qui sont positives, parce que, toutes les planetes tournant dans le meme sens, n^^^ est reellement positif ; elles verifient les relations

( mCp)/i(p)(a(p))*(p,v) = m(^)/i<^)(a^^OMv,p), ^''^ I m(P)/ifp)(a<P))*[p,v]i=:mf^)/i(v)(a(^))*[v,p];

on levoit immediatement en partantdes formules (10) etremarquant que Np,v et Pp,v sont des fonctions symetriques dc a^P^et a^'^K

SoitN le nombre des planetes; la determination de e, e\ ..., tar, c?', ... est ramenee a Tintegration d'un systeme (A) de 2N equations lineaires simultanees du premier ordre, a coefficients constants.

De meme, la connaissance de 9, 9', ..., 6, 6\ ... depend dfi systeme ana- logue (A').

169. Occupons-nous d'abord du systeme (A). Posons, pour effectuer Tinte- gration,

h — — sin(^^-h(3), / 1= — -= cos(^^4-P),

aymn ayjntn

/l'=-— ==Sm(^^-^P), /'=:-— .^^008(^/4- P),

a^m'n' a'sjm'n'

en designant par g^ p, M, M', ... des constantes.

Si nous substituons ces expressions dans les 2N equations (A), nous ne trou- verons que N conditions distinctes; en les multipliant respectivement par

— a yjmn, ~ a' sjm' n\ . . . , il viendra

(/ X / V ) mr a Jinn _ _._, asjmn _ ____

(0,1) -h (0,2) -+-. . . -^ 1 M - -^=-,-- [o,i]M'- y [0,2] M"-. . . = 0,

a! \Jm' n' ^ t-, (/ \ / x ) xm a'sJm'n' ^ ^ __„ ^4=- [i,o]M 4- (1,0) -h (1,2) -+-... -^M' -^^-=^[l,2]M"-...=:0,

a\/mn a" ^m^ n"

ou bien encore

(i3)

oil Ton a pose

EXPRESSIONS GENERALES DES INEGALITES SECULAIRES.

( Ao,o — ^) M 4- Ao,i M' -+- Ao,,M" -1- ... — o, Ai,oM4-(A,,i — ^)M'-hA,,,M''-+-... = o, A,.oM-hA,,tM'4-(A,,,-^)M" + ...=:o,

409

Ao,o = (o,i) -i-(o,2)

A, ,1 — (1,0) 4- (1,2) -i-...,

('4)

A/,A = 777^-... ... [^^i•

a

(A)

s/

(A),iiA-)

nv' n

La definition precedente de A/,)t suppose les indices i et k essentiellcment di(- ferents; si Ton remplace [1, k] par sa valeur (10), il vient

(i5)

on en conclut

A|,Ar = —

afy/m^^^/M^

a^'>a^^-)>/n^'>n^^^

Pi.*;

(16)

A|.A = AA-,r

Gela pose, considerons le determinant

(17)

Gi=

Ao.o— ^

Ai,o

Aj,o

Ao,i

Ai,, — ^ Am

An-|,o An_i,i

Ao,j A.., At..- ff

• ••'•• •

A?i-i.s

Ao,N-l

Ai,x-i

Aj.N-l

• • • • •

An_i,>-i —

or

il est symetrique par rapport a la diagonale, d'apres la relation (16). Si ce de- terminant n'est pas nul, la theorie des equations homogenes du premier degre montre que Ton ne pourra satisfaire aux equations (i3) qu'en prenant en meme temps

ce qui ne saurait nous convenir, puisque notre solution (12) disparaitrait alors.

Pour que cette solution existe, il faut done que ^ verifie I'equation

(B)

Gmo.

Le degre de cette equation est egal au nombre N des planetes; car, dans le produit des termes de la diagonale du determinant (17) se trouve le terme (~" ^Yg^ qui ^^ pcut etre detruit par aucun autre. Nous representerons par g^

T. - L

52

4lO CIIAPITRE XXVI.

gi9 g'l^ • • ' » gs-i 1^'s racines de cette equation ; ces quantites seront des constantes dont les valeurs dependront dem,m\ ...,/w'^"*', a, a\ ..., a'^"*'; N— i des equa- tions (i3) determincront les rapports de N — i des quantites M, M', ... a la jjieme. ^ette demicre sera Tune des constantes arbitraires qui figureront dans la solution (12); I'autre sera [3. A la racine g^ correspondront des equations que Ton deduirade(i3)enchangeantg^, [3, M, M', ... en g^,, p,, M,,M'^, ...; de laune seconde solution renfermant deux constantes arbitraires, p, et Tune des quan- tites M,, M\, .... On trouvera ainsi N solutions particulieres, chacune avecdeux constantes arbitraires; les equations (A) etant lineaires, on aura une nouvelle solution composee avec les precedentes en ajoutant les diverses valeurs de A, /, h\ l\ — Ce sera done

ah\Jfnn =1 M sin(^^-i- (3) -i-Mi sin(^'i^ -^ ?i) -+-. . .-+-Mn-i sin(^N_i^ 4- (3n_i),

al \Jrnn =i:Mcos(^^ -h |3) 4- Mj cos(^'i^ -I- p,) 4-. . . -i- M>_iC0s(^n_i^4- (3>-i),

(C) { a7^'v/^?^'^M'sin(^^-^;3) + M;sin(^l^4-?l)4-...4-M:^_lSin(^N-l^^-P.v_,),

a' l'\'m'n' — M'cos (^r }- (3) 4- M'iC0s(z,'i^ 4- Pi) 4. . . 4- Mn_iC0s(^n_i^ 4- (3>-_,),

Cette solution comprend 2N constantes arbitraires et donnc les integrates generales des equations (A).

Remarque. — En differentiant par rapport a g Texpression (17) de G, en

trouve evidemment

()G / ^)G c^G

zr- — I 4- -f-

On en conclut que, si la racine ^n'est pas une racine multiple, on ne pent pas avoir simultanement

Done les N determinants que Ton dcduit de G en supprimant la ligne et la colonne qui aboutissent a chacun des elements de la diagonale, ne peuvent pas

etre tons nuls en meme temps. Supposons par exemple -Tr- <o; alors, en sup- primant la premiere des equations (i3), il en reslera N— i autres qui determi-

neront les N — i inconnues ^> -^> •, car le denominateur commun de ces

inconnues n'est autre chose que -.-7^3 et il est essentiellement different de zero.

170. Lagrange a reniarque que, si quelques-unes des racines de I'equation G = o etaient imaginaires, les expressions de A, /, /i\ l\ ... contiendraient des exponentielles qui, en croissant indefiniment, auraient pour effet de rendre les

EXPRESSIONS GENERALES DES INEGALITES SECULAIRES. 4l'

orbites tres excentriques, ct de detruire la stabilite du systeme planetaire. Les planetes connues alors etaient au nombre de six (Herschel n'avait pas encore decouvert Uranus) ; les influences de Mercure, de Venus et de Mars sur Jupiter et Saturne etant faibles, Lagrange a pu remplacer tres approximativement Tequa- tion G = o par deux autres, Tune du second degre, I'autre du quatrieme. Avec les valeurs numeriques dont il disposait pour m, m\ .... a, a\ ..., il trouva que les deux equations ci-dessus avaient leurs racines reelles et inegales. Mais cer- taines des masses employees etaient entierement hypothctiques : ainsi, celles de Mercure, de Venus et do Mars avaient ete calculees en partant de leurs vo- lumes et tirant leurs densites d'unc loi empirique d'apres laquelle les densites des planetes seraient inversement proportionnelles aux grands axes de leurs orbites. On pouvait done se demander si, avec d'autres donnees notablement differentes, on trouverait encore seulement des racines reelles : « II faudrait, disait Lagrange, pouvoir demontrer que, quelles que soient les valeurs des masses, pourvu qu'elles soient positives, les racines de I'equation dont il s'agit sont tou- jours necessairement reelles et inegales, et il ne parait pas impossible de par- venir, par quelque artifice particulier, a resoudre cette question d'une maniere generale (*). »

Laplace repondii bientot au desideratum exprime par Lagrange ; il prouva en effet que, quelles que soient les donnees numeriques supposees pour les masses et les distances moyennes des planetes au Soleil, Tequation G = o a tou- jours toutes ses racines reelles, pourvu que les planetes tournent toutes dans le meme sens. Nous allons reproduire la demonstration de la Mecanique celeste.

Ajoutons les equations (A), apres les avoir multipliees respectivement par mna^h, mna^l, m'n' a'^h', m' n'a'^t, .. ; nous trouverons

,{, dh ,dl\ , , ,J,,dh' „dt'\

'""«' V'di^' dt) -^ ""'^' ('' -di-^^di)-^--

H~ {hi'— Ih') \ m/ia'[o,i] — m' ri a'* [i,o\ j 4-. . .=io,

ou bien, en vertu de la seconde des relations (ii), et remarquant que /i eta sont constants,

(i8) ^ j mna^{h^ -h l^) -h m' n' a'^{h'^-\- 1'^) -[-... \zr-o.

On aura done, en designant par C une constante arbitraire,

(D) m/2a*(/i»-l-/*)-f-w'/i'a'2(/,'«-f /'«) -f . . . = C

OU bien

(Dj) mna^e'-\- m' n' a'-e'^ -^ . . .= C;

(*) Fair les Memoires de Lagrange sur les inegalit(^s s6culaires des plandlos, t. V ct VI de ses OEuvres,

4l3 CnAPlTRE XXVI.

ft

on a ainsi une integrale des equations (A). On pent Tecrire comme il suit, en prenant la masse du Soleil pour unite,

msji -+- m \^t^'\- m' \/\ -h m' sja' e'^-\- , . . = const.,

ou bien, en negligeant w}, m'^, ...,

(Dj) m sjae^-^ m' \[a' e'^ '\ . . . = const.

Supposons maintenant que deux des racines de Tequation (B) soient imagi- naires, g(t\, gy\ on aura done

(19) g — u~\-fj\f—\, gx — u — fjsj—x,

M et a etant reels, et a > o. Si Ton pose

-(Mcos(3h- M,cos(3,) = OIV cosy, - (lVfsin(3 -4- M,sin(3j) — OH siny,

- — 5 (Mcos(3 — MiC0S|3,)— ;)lV,cosy,, (Msin^ — M,sin(3,) = OTLiSiny,,

on voit aisement que le resultat de la substitution des valeurs (19) de^etg-, dans les deux premieres formules (C) est le suivant

a/^v///^n = ;)lisin(^//H-y)(E<^'4-E-<^0 -^-^^lCOs(w/-^yO(E<^'— E-<^0-+-M,sin(^,/^-(30+ ..,

on, DR.,, 7 et Y, sont quatre constantes arbitraires qui doivent etre reelles pour que h et /le soient aussi. On aura des expressions analogues pour A', t ^ A", /", ... en mettant des accents aux lettres OH , Oiv , , y ^t y, .

Si Ton substitue ces valeurs de /i, /, A', /', ... dans Tequation (D), on trou- vera un resultat de la forme

(20) (;)lV*4-»m5-hOrL'2+;)K'^?.|_. . .)E^'^'-h a?loE^'4-iil>4- 3E-'^'-+-(EiE-«^'=r C.

Or, si la quantite positive a n'est pas nulle, quand / croitra indefmiment, le terme en E^''^ arrivera a etre infiniment plus grand que tous les autres, et comme il croit au dela de toutes limites et que son coefficient oil^h- oil'^ -+-... est essentiellement positif si toutes les planetes tournent dans le meme sens (auquel cas /i, n! , ... sont positifs), la relation (20) ne pourra pas etre verifiee. On doit done avoir a — o, et les racines g et g^ ne peuvent pas etre imaginaires.

Si Ton admettait plusieurs couples de racines imaginaires dans Tequation (B), il y aurait d'autres quantites a', a", ... analogues a a; en supposant

(7 > (t' > (t" > . . . ,

on verra sans peine que le premier membre de I'equation analogue a (20) fini-

EXPRESSIONS G^NfeRALES DES INEGALITES SECULAIRES. 4^3

rait par grandir indefiniment avec le terme en E'*^^ on devra done avoir a = o; on demontrera ensuite que (/ = o, ....

L'equation generate que Ton obtient en egalant a zero le determinant (17) a toutes ses racines reelles, quelles que soient les quantites reelles Ajj et A/^^; parmi les demonstrations qui ont ete donnees de ce beau theoreme, nous cite- rons celle de M. Sylvester (voir Baltzer, Theorie des determinants), et celle de Borchardt {Journal de Mathematiques, t. XIII).

171. Voici maintenant comment Laplace prouve que Tequation G = o ne pent pas avoir de racines egales; supposons en efTetg^^^^. Les expressions de A, /, h\ l\ ... seront de la forme

ahs/mTi -- {^t -\- ^x) sin(^^-}- (3) -^ Mj sinC^j/ -i- (3,) -h . . . , (^0 j al\Jnin — {^t-^ 0i:>,)cos(^/ -1- (3) -h M, cos(^i^ -f- (3j) -f-. ..,

En substituant dans la formule (D), on aura une equation dontle premier membre contiendra un terme preponderant en /^, avec le coefficient essentiel- lement positif x^+ x'^ -f-...; ce premier membre ne pourra done pas conserver une valeur constante, et il est impossible que les racines g et g^ soient egales.

Cette demonstration de Laplace prouve seulement que les expressions de A, /, h!y Z', ... ne peuvent pas contenir le temps en dehors des signes sinus et cosinus, comme le supposaient les formules (21), et qu'elles sont formees par la reunion de termes periodiques; c'est la Tessentiel au point de vue de la stabilite du systfeme planetaire. Mais il n'en resulte pas necessairement que I'equation G = o ne puisse jamais avoir de racines egales, car on sait aujourd'hui (*) qu'il pent arriver dans ce cas que les integrates generates des equations (A) ne renferment pas le temps en dehors des signes sinus et cosinus.

On pent done se poser la question suivante :

Pourrait-on disposer des masses des planetes et de leurs distances moyennes au Soleil de maniere que I'equation (B) ait des racines egales?

Cela est impossible quand il n'y a que deux planetes. En effet, I'equation (B) se reduit a

— o,

et, pour que ses deux racines soient egales, il I'aut qu'on ait

(Ao.o — A,,,)«-f-/^A;,, = o;

(*) Foir Thomson et Tait, Treatise on natural Philosophy, J** 6dit., t. I, Partie I, p. 38i; — E.-J. RouTH, Stability of a given State of Motion, 1877: - OEuvres de Lagrange ^ t. XI, Note Vfll de M. G. Darboux.

4r4 CHAPITRE XXVI.

en remplagant Ao.o7 A,,, etAo,, parlcursvaleurs qui resultent des formules (lo), (i4) et (i5), il vient

(

na* n'a''l ^ "'» "^ nn'a^a'^ * o,i - o,

No, I etPo,i etant essentiellement differents de zero, la condition precedente ne pent pas etrc romplie; il pourrait en ctre autrement si les planetes se mou- vaient en sens contraire, car alors le produit/?/i' serait negatif.

M. Seeliger a examine le cas de N — 3 dans le n° 2231 des ^stronomische Nachrichten, t. 93, 1878, et il a reussi a prouver directement que, si Tequation G = o avail deux racines egales, une certaine equation de condition

devrait etre satisfaite, dans laquelle a^, .V, x" sont des quantites essentielle- ment positives; cela est impossible (*). Je ne sache pas qu'on ait encore demon- tre la meme impossibilite pour N > 3.

172. Laplace a tire de Tintegrale (D,) une consequence importante au point de vue de la stabilite du systeme planetaire : puisque tons les termes du pre- mier membre sont de meme signe. Tune quelconque des excentricites, e par exemple, ne pourra jamais acquerir une valeur superieure a celle qui serait donnee par la formule

mna^ e- 1= C,

d'ou

mna-

A cause de la petitesse actuelle des excentricites, la constante C a une valeur

(^) Le cas do m~o doit 6tro oxcopte; car alors, d'apres la formule (f5), on a

Ao,i ~ At^o — o» A0.2 = Aj^o = o,

et r^quation (B), qui se decompose dans les deux suivanlcs

g — Ao,o = o, (/?■— A,,,) («^ — A2,s) ~ Ai.jAj,, ^ o,

aura des racines (Egales si Ton peut dolermincr o par la condition

( Ao,o — Ai,i)(Ao,o -- A?,?) — Aj^j Aj^i -- o, qui 6quivaut ^

j(o,r)-; (0,2)-(l,2)j {(o,i)-+-(o,2) — (a,i)j — [i,a][2,i] --0.

Si Ton suppose, par exemple, (|ao les planetes P' et P" soient Jupiler et Saturno, et qu'on romplaco a\ rt", ni' et m" par les valours numc^riques correspondanles, on trouve que la condition ci-dessus est satisfaite par rr = 1 ,85.

EXPRESSIONS GENERALES DES INEGALIT^S SECULAIRES. ^ID

tres petite. Par consequent, Texcentricite e elle-meme restera toujours fort petite, si la masse m correspondante constitue une partie considerable de la somme des masses dusysteme. Mais on ne pent tirerde Tintegrale (D<), aucune conclusion analogue pour les planetes dont les masses sont faibles. Pour savoir si leurs excentricites restcront toujours comprises entre d'etroites limites, il faut avoir recours aux formulcs (G). On en tire

mna^ e- =zz M^ -+- M J -t- MJ -h . . . 4- 2 MM, cos [(^' - ^, ) ^ ^ P — [3, ]

4- 2MM2C0s[(^'' - ^,) / 4- (3 - (3,] -H ;

la plus grande valeur de e^ repond au cas 011 tons les cosinus sont egaux a =b i, de maniere que les termes ou entrent ces cosinus soient tons positifs; on aura done

(,,) ^^|M|4-|MJ4-|M,|+....

on trouvera ainsi une limite superieure de I'excentricite e. Cette limite pourra- t-elle etre reellement atteinte? C'est une question d'analyse indeterminee que nous ne chercherons pas a approfondir. II parait vraisemblable qu'on pourra trouver des epoques oil les differents angles, tels que

approcheront autant qu'on voudra do certains multiples pairs ou impairs de ir; alors e atteindrait sa limite. On n'a pas d'expressions generales des quanti- tes (22), susceptibles d'une discussion analytique, et Ton ne pent se prononcer sur les limites des excentricites qu'apres avoir effectue tons les calculs nume- riques.

173. Nous avons a montrer maintenant comment on pourra calculer les va- leurs des 2N constantes qui figurent dans les formules (C), en fonction des

donnees initiales; ces donneesserontles valeurs^o>^o» •• »^o>^o» ••• des excen- tricites et des longitudes des perihelies a I'epoque /= o. On en deduira d'abord les valeurs correspondantes A^, /©, Ay, Z^, ... de A, /, A', /', ... par les formules

( ^oz= 60 sincjo, fiQ = e'o sincT'o, . . . , ( Iq — eoCOSCTo, ^'0 ^^'o^oscjo, ....

Si Ton fait / = o dans les formules (C), il vient

SM sin (3 4-M, sin (3, 4-. . .4-Mx_iSin(3N_i=za/io \/mn, M'sin[3 4-M;sin(3,4-...4-M;^-isin(3^_,=:a7i;v/^IV,

4l6 CHAPITRE XXVI.

Ct

( M cos (3 -f-M, cos^iH-. . . -hM,x-i sin{3,>_,= a/o ^mn^ (^^) I M'cos(3-hM;cosPi-h...-i-M:>-tCOs(3N_i = a'/;v^^V,

Nous supposons que Ton a calcule les racines g, g^, ... de Tequation (B) dont tous les coefficients ont des valeurs numeriques connues.

N — I des equations (i3) donnent les rapports -tj-j -rr> ••; en changeant

dans ces equations g-en g*,, on aura de meme les rapports -g^> ^> ••? et ainsi

de suite, de telle sorte que les N equations (24) contiennent au premier degre les N inconnues AJsin^, M, sin^^, . . . , M>_, sinp^-i; de meme, on a le sys- teme(25)pour determiner lesN inconnues Mcos^, M,cosp,, .... Mj^^, cospj,_,. Nous allons etablir des relations qui rendront tres facile la resolution des equations precedentcs. Reprenons la premiere des formules (i3) et celle qu'on en deduit par le changement de g" en g*,,

(Ao,o— ^)M 4-Ao,,M'4-Ao,,M'-h...=io, (Ao,o — 6'i)Mi-hAo,iM; H-Ao.iM';^-. .. = 0;

on en deduit, par I'elimination de Aq^o,

(26) (^,-^)MMi-= Ao.,(MM; -M'M,) -h Ao.,(MM; -M'MO -h. • • • La seconde des formules (i3) et les suivantes donnent de memo

a

,, . ( (^,-^-)M'M;=A,.o(MiM'-MM;)-f-A,,,(M'M;-M^M;)+...,

(27) i

Si Ton ajoute les equations (26), (27), ... et que Ton ait egard a la rela- tion (16), il vient

On pent supprimer le facteur g^ — g qui est different de zero, et Ton trouve ainsi, en supposant maintenant que g et g^ representent deux racines quel- conques gr et g^ de Tequation (B), la relation

(28) m,m,-+-M;.m;-4-m';m;4-...=:o,

dans laquelle ret 5 designcnt deux indices differents quelconques de la serie o, 1,2, ..., N — I.

Cela pose, si Ton ajoute les equations (24) apres les avoir multipliees par les facteurs M;., RC M', . . . et qu'on fasse de meme pour les equations (25), on trouve, en ayant egard a la condition (28),

(M*-+- M;*-f- M7-1-. . .) sin j3,.= aKs^T^i^l,-^ a'/i^yjl^i' M,-^ . . . , (M* -f- M;* 4- M';.* -h . . . ) cos (3;.= a/o V^'^«^* M;. -t- a' l'^ yjm'n' M';. H- . . . ,

EXPRESSIONS GENEBALES DES INEGALITES SECn.AlBES. /\\n

ce que Ton peut ecrire ainsi

ah^\fnin -h a' h'^ \im' n' ^~- -^ . . . M,.C0Sf3;.=: '"

1 -f-

(iy*(£)"-^

Les rapports ^) ^jt.'^j • •• sont connus par co qui precede; ils wSeront donnes par la resolution de N — i des equations

MM"

0,0-- .•?■;• -^- Ao,i vT" '" ^o.j mj- -+- O,

L'ensemble des calculs numeriques a executer correspond done :

I" A la resolution de Tequation (B) du degre N;

2** A la resolution des N systemes d'equations du premier degre iiN— i in- connues, que Tondeduit de (F) en attribuant a Tindice rles valeurs o, 1,2,..., N-i.

Apres quoi la solution sera fournie par les formules (C) et (E).

174. 11 est souvent possible d'avoir une donnee irnportante sur la manicre dont varient les longitudes trr, us\ ... des perihelies.

Les deux premieres des formules (C) peuvent, en effet, s'ecrire

IcrN-l

a\fmnes\\\x>5^=i \^ M/ sin(.^,^ -h |3/),

/ 0 I = X - 1

flrv///^/^ecosro z= \^ M/COS(^;/ -f- (3/).

I =0

On en conclut, en designant pary Tun des nombres o, 1 , 2, ..., N— i,

a sfnui e sin (w — gjt — (3y) — ^ M/ sin [(^/— .^y) t 4- |3/— |3y ],

( 29) a \/'7nn ecos (w — gj t — (3y) = My -h ^ M/Cos [{gi— gj) ^ -i- ?/— (3y ] ;

dans le second membre, la valeury est maintenant exceptee de celles que doit prendre I'indice 1.

T. — 1. 53

4l8 CHAPITRE XXVI.

Supposons que la valeur absolue de My soil superieure a la somme des valeurs absolues de M, M,, ..., My_<, My^_,, ..., M^^, ; la Ibrmule (29) montre que cos(trr — gjt — Py) ne pourra jamais s'annuler quel que soil /. On pourra done poser

(3o) Tsy — A'Tz-hgjt-i- |3y 4- Jy

la valeur deu ne pouvant qu'osciller entre et-^ -; ^i: -^ gjt-\- ^y sera done

la valeur moyenne de cr, dont le moyen mouvement sera, par suite, egal a gj\ xs oscillera autour de cette valeur moyenne et Tecart sera compris entre les

limites et h

1 2

La formule (29) donne ensuite

(— lYasJmTi ecos'J :- My -h ^ M/COs[(^/— gj) t -\- (3| — (3y] ;

le signe du second membre est celui de My; cosu est essentiellement positif. Done, rentier k pourra etre pris egal a zero si My est positif et egal a i si My est negatif.

Done, si le cas en question est realise, le perihelie tournera toujours dans le meme sens, sauf les oscillations; si ce cas n'a pas lieu, on ne pent pas dire d'avance le sens du mouvement du perihelie.

Supposons maintenant que la meme chose ait lieu pour une autre planfete, la seconde par exemple, et que la valeur absolue de M} soit superieure a la somme des valeurs absolues de M', M'^ , . . . , My_, , M}^, , . . . , M!^_< , j etant le meme que precedemment; on aura de meme

(3i) cT'=A:'7r-h^y/-i-(3yH-u',

la valeur absolue de u' etant inferieure a -• On tirera des formules (3o) et (3i)

m — cj' rz: ( A- — A:' ) 71 -h y — u' ;

done la valeur moyenne de trr— gj' sera egale a (^ — A')7:; d'apres ce qui pre- cede, elle sera nuUe si My et M} sont de meme signe, et egale a ii si My et My sont de signes contraires.

175. Les integrales(C) peuvent donner, a la rigueur, toutes les circonstances des variations des elements <?, xs, e\ ts\ . . . ; mais elles sont d'une discussion difficile a plusieurs egards. On pent trouver N integrales distinctes des equa- tions (A), ne conlenant pas explicitement le temps t, mais seulementles excen- tricites et les positions relatives des perihelies pour Tepoque t, L'integrale (D) est dans ce cas ; c'est Tune de celles que nous aliens faire connaitre.

EXPUESSIOXS GKNEBALES DES INEGALITES SECULAIKES. 4^9

Remarquons que les equations (C) ne difrereiU des equations (24) et (25) qu'en ce que Ao» 'o* ^o» '1' ••• ^^"^ remplaces par h, /, h\ l\ ... et M;.sinp;., M^cosP;. par M;.sin(g^;./ -H ^r) et M;.cos(^;./ -h P;.). On pourra done appliquer les formules (E) en y faisant les changements indiques ci-dessus, ce qui don- nera

ah^nin \- a' h\l m' a' -rf- - ...

M,.sin(;ir,./ i-(3,.)— -

I -h

_ ]y|'

al \'tnn -h a' I' ^in' n' ~ ^- . . .

M,cos(^',^-h?;.)T-i "/M"V ^^ '

Si Ton ajoutc ces equations apres les avoir elevees au carre, le temps dispa- rait, et il reste I'integrale

iah\^nin -h a' h' \/m' n' rr^ !- . • ) -i* [al\^mn ^a' I' \^m' li vr- ~^ - ") (32) M;^. ^ ^^*'- ^ ^ ^^' ^ -

['-m-m-\

dans laquelle M^ est la constante arbitraire; les valeurs des rapports ^> ^> •••

sont determinees par les' formules (F) en fonction des donnees a, a\ ..., /w, m', ... et ne contiennent rien d'arbitraire. L'integrale precedente pent s'ecrire

mna^e^-^-m'n' a'^e'^i ^j 4-... +- 1 sj mm' nn' aa' :^ ee' cos (cr—rcr' )-+-.. . (G) M;= ^^^'' ^^'

i-(;i;MS;)--r

il n'y figure plus que les positions relatives des perihelies. Si, entre les N integrales (G), on elimine les N— i differences

on tombera sur une integrale independante des perihelies, et quidevra co'inci- der avec (D,).

Les integrales (G) permettent de calculer directement les valeurs des excentricites qui repondraient a un etat determine des positions relatives des perihelies, sans avoir a se preoccuper de Tepoque a laquelle le phenomene peut arriver.

j20

CHAPITKK XXVI.

170. Venous maintenant a rintegiatioii des equations (A'^; nous poserons, en gardant les uiemes letlres M, M', . . . , [i et ^, afin de ne pas trop multiplier les notations,

(19/)

/>-- - siii(;£r' --^^ 7 —-- cos(^'^-^p),

a\/nn a\'mn

a\'m n a \' m n'

En substituant dans (A' J, il viendra

(i3')

on a (ait

(iV)

d'oii

(i5')

(!(/)

On posera

('7')

I

( Ao,o -i- ^') M -i- Ay,, M'-T- . . . -_ o. A,,oM -r- (A,,i X- ^')M'-x-. . . — o,

1 Ao,o--- (o»0 -'■ (P,'l) -:..., Ai,i — (1,0) -r (1,2) 4-...,

A,-.* -

A/,^— Aa,i.

(i :_

Ao.o-^^'' Ao,i

A 1,0

A,,i-f-

• • «

et Ton devra prendre successivenient pour g les N racines de ['equation

(ir)

(j' ■- o.

Les integrales des equations (A') seront

(3:))

ap\ nin -— M sin(^''^ -r ^) -t- M, siij(^''i^ -h (3,) aq\mn - M C0s(i''r i- ^) t- M, cosC^", / 4- ^,) r/y VV'"*'"'*'- - M' siiia"/ -\- p) -r- M; sin( -,^ -^ 3,) a'(/'\ m'n' M'oos(^''/ -t- 5) -4- M'^ cos ( a^i / -t ^3,) -h

EXPRESSIONS GENEUALES DES INEGALITES SECULAIRES. 4^1

177. II y a ici une simpliticalion tenant a cc que Tequation (B') a una racine nulle. Si Ton suppose, en cfFet, dans les formules (i3'),

M M'

a\mn a'\'m'n'

en ayant egard aux relations (i:V)' on tombe sur des identites telles que

[(o, i) -1- (0,2) -i . . .] — (o, i) — (0,2) — . . . = 0.

Les formules (33) pen vent done s'ecrire

ai) \'mn .- M sifiji -I- V M, sin(^|/ -h P/),

1 — 1

/- N-l

(i(j\mn ---Mcos[3-- N M,cos(^i^ -+- (3/),

(C

I- 1 I . . > - 1

^/y Vm',/_M'sin|3 4- ^ M; sin(^^/ 4- (3,),

<'/'7'\'//i'//i : M'cos^-i- \^ M;cos(^|/ -h |3/),

1

\

Si Ton ajoute les equations (A') apres les avoir multipliees respectivement par //ma^/;, mnd^q, ni n'a'^p\ ni n'a''q\ ..., on trouve, en vertu de la premiere des relations (ii),

(i8') ^-^ [mna^ {p'' -,- f/') ■•■ m'n'u"{jj'^ -+- 7'*) -j- . . .] - o.

On a done I'integrale ou bien

(D'j) mna^ laiig=^V -^- '^i'/*'^'" lang*v'-+- • • ■ - - C

OU encore, en negligeant //2^, m'-, ...,

(D'j) m \ a laiig-Cj. -h m\ a lanj^^^'n . .:^ const.

La demonstration de Laplace, pour la realite des racines de I'equation (B'),

422 CHAPITRK XXVI.

se fait en partant de Fintegrale (D'); elle est identique a celle qui a ete donnee pour I'equation (B). II va sans dire que les demonstrations de Sylvester et de Borchardt sont aussi directemcnt applicables.

Les valeurs actuelles des inclinaisons des orbites sur le plan de Tecliptique de i85o etant petites, il en est de meine de la constante C de la formule (D'J. L'une quelconque des inclinaisons, 9 par exemple, ne pourra jamais acquerir une valeur superieure a ccllc qui serait donnee par la formule

mna^ tang' 9 — C,

d'oii

c

lang*9 =-j ^.

Done rinclinaison 9 restera toujours tres petite; tel est le raisonnement de Laplace.

Mais cctte conclusion n*est legitime que pour les planetcsdont les masses constituent une fraction notable de la masse totalcdu systeme. Pour savoir si leurs inclinaisons resteront toujours comprises entre d*etroites limitcs, il faut avoir recours aux formules (C) qui donnent

w/ia* tang«9i^M*-hM} +. . .4- 2MIVI, cos(^',^ -h Pi — P)

-f- 2MiMj cos [(^'1 — ^'0 / H- (3, — p,] -f-. . . ;

on en conclura

|M|4-|lVI,|-^...

(22') tang9<

a ^mfi

On pourra fixer ces limites des inclinaisons quand on aura fait tons les calculs numeriques.

La determination des constantes arbitraires a Taide des donnees initiates se fera par les formules

a/jQ^mn -\- a p^ \ m /i ^.- -1- . . . Mr sin (3;.-- TTrrr^ »

(F)

M;.cos|3,. =

m;

aqo^frnn -h a rj^ \//n n r=-r- -4- . . .

M'

les rapports ^ sont donnes par des equations analogues a (F), que nous nous

ill/*

EXPRESSIONS GENERALES DES INEGALITES SECITLAIRES; 423

dispensons d'ecrire. On a d'ailleurs

/?o--tang9oSin<5o, /?'o ~ tang9; sinS*;,

<7o-— tang9ocos0o» ^o=: tang9oCos9;,

Pour /• — o, les formulas (E') se simplifient. On a vu, en effet, que Ton a dans ce cas

^^ a^mn ^ a\/mn

il vient ainsi

M . Q mw<7- tang^o sin^o i- //i'/i'rt'Mang9'j, sinO^'o -h. . . aJmn mna^-^ m' n a^ -i- . . ,

" M ^ m/^a* Iang9ocos9o4- m'w'a'-tang9ocos9„ 4-. . .

a \Jnin mna} -\- ni n a*-{- . . ,

178. II est possible de donner une representation geometrique tres simple de M et p, en introduisant \e plan im^ariable du systeme planetaire.

Reportons-nous aux integrales des aires dans les mouvements relatifs des planetes autour du Soleil, telles qu'elles sont donnees par les formules (J') du n** 17. Soient a', b', c' les constantes de ces formules; le plan invariable aura pour equation

Si Ton neglige les carres et les produits des masses, les formules que Ton vient de rappeler se reduisent a

«'=2»"(-t-/4')

En les appliquant a I'epoque / = o et ayant egard aux relations (A) du n** 38, on tronve

r

\

a' — mnar \fT^- el sin 90 sin 0o -J- ^' 1^' a'^ sj i — e'^ sin 9^ sin B'q

(34) '. — b'- mna^\U — e\ sin 90 cos ^0+ ''*'/*'«'* v'' ~* ^0* sin 9^ cos ^^ -h. . . ,

c' -- mna}\J\ — ejcos9o -f- m' n' a'^^i — e'^cos^'^ -h. . . .

Or, si Ton designc par 11 la longitude du noeud ascendant du plan invariable sur le plan fixe des xy et par y son inclinaison, on a

a' b' langy sinll::-: -,> langycosll:^* -,-

42^ CHAPITRE XWI.

Remplai^ons a', b',c' par leurs valours Oi) ot negligeons, comme nous Tavons fait jusqu'ici, e'^, e^, -pj, o],^ . . . (levant Tunite; nous trouverons

tang-/ sin II

/??/?a*tanfr9oSin5o-t- //I'/i'a'^tangOn sin^'^--.

(35)

langycosll ~.

ninn^ r- m' n' a'- -\- . . .

mna* -r- m' n' a *-!-...

La comparaison avecles formules( E'„) donno

M

(3 — n, - — - tangy.

Telle est I'interpretation chercheo.

179. Nous allons rapporter les orbites au plan invariable; soient, en se re- portant a lay?^. 20 du n" H7, NM Torbite de la planele P, N'G le plan invariable. Nous ferons

N'T. e, NGN'r^4>;

nous avons deja

rN . -- n, NNT. .- y, rN 0, vNC rr 9.

Le triangle spberique NN'G donne

sin<P sin8 — sin9 sin(0 — (3),

sin4>cos8 ^-— COS9 siny 4- sin9 cosycos(0 ;3);

on pent prendre

sin 4> sin 8 - lang9 sin((/ — j3) — ^cosS-- 7 sin 3,

sin<I>cos8 — siny H- lang9COS(9— ,5) - — f-/?sin|3 -+- r/ cos(3;

^ \'nin

en remettant pour /? et ^^ leurs valeurs (C), on trouve la premiere des formules suivantes :

/

I --- N - 1

ay///i/t sin4> sin0 — \^ M/sin(.^|7 h- [3/ - j3),

I- 1 I - N - 1

e7v///i/* sinO COS0 -- V M/C0s(/iri^ ■•- (3,— [3),

(c;)

/ -- N - 1

rt'v/;;77I'sin4>'sin0'— ^ M; sin(^^,< -h (3,— (3),

I - 1

r?V'''''' sin^'cos8'=: ^ M;cos(^//-f-;3, — pv

I - 1

EXPRESSIONS GENERALES DES INfeCALITlfeS SI&CULAIRES. 4^5

On demon trera, comme au n** 174, que si la valeurabsolue deMy est superieure a la somme des valeurs absolues de M^, ...,My_i, M;^.^, ..., Mk-i, la valeur moyenne de 0 sera egale a gjt h- ^y — p -h^ii; le nceud dela premiere orbite surle plan invariable se mouvra done toujours dans le meme sens, sauf les os- cillations, et son moyen mouvement sera egal a gj.

S'il arrive que la valeur absolue de M^ soil superieure aussi a la somme des valeurs absolues de M'^ , . . . , M}_, , M}^, , . . . , Mn_« , ^y ^ ■+- Py — P -+- ^''^ sera la valeur moyenne de 0^. On aura ainsi

(36) 0 =^y^H-(3y — (3 4-A:7r-+-u,

(37) ^' — gj^ -+- Py— P -^ f^'T^-^ ^''

u et u sont deux quantites qui oscillent de part et d'autre de zero entre des limites dont les valeurs absolues sont inferieures a -• On aura

2

0 — e'i= (A: — A:')7r -f- u — -j';

la valeur moyenne de la distance des noeuds des deux planetes sur le plan inva- riable sera done egalc a zero ou a ii, suivant que My et My seront de meme signe ou de signes contraires.

« 180. Nous avons dit que les calculs numeriques effectues par Lagrange repo-

saient sur des valeurs fort pen cxactes des masses; de plus, Uranus n'y figurait

pas. Le Vcrrier entrcprit en 1839 de reprendre avec toute la precision desirable

la determination numerique des inegalites seculaires des sept grosses planetes

connues alors. Je [me bornerai a quelques indications sur la marche suivie et

sur les resultats obtenus, renvoyant pour les details au tome II des Annalesde

robservatoire, p. loS-iyo.

Si Ton remplace f par > — ,— > • •> les formules (10) donnent

p. p.

(0,1) = 2 — /laNo,,, [0,1] = 2 — /laPo,!,

les quantites aNoj, «Po.i» ... ne dependent que des rapports -; on prend pour

unite de temps Tannee julienne; on devra mettre pourw, n\ ... leurs valeurs correspondantes exprimeesen parties du rayon. A cause de la petitesse des rap-

T. - I.

54

426 CHAPITRE XXVI.

ports — J les valeurs numeriques de (o,i), [o,i], ... seront tres petites. 11

est preferable de les exprimer en secondes sexagesimals, et alors il en sera de meme de ^, g^<,

Quand on a caieule tons les coefficients numeriques A/,, et A,-,^, on forme les sept equations (i3); on constate que dans les trois dernieres les coeffi- cients de M, M', M" et M'" sont tres petits. On pent les negliger dans une pre- miere approximation, et Ton a ainsi trois equations homogenes entre lesquelles on elimine M'% W et W\ ce qui donne une equation du troisieme degre en g que Ton resout. On trouve de la sorte les valeurs approchees de trois des racines de Tequation G = o, celles qui proviennent de la presence des planetes Jupiter, Saturne et Uranus. Ces trois grosses planetes ne peuvent etre que tres peu de- rangees par les quatre autres; on pent done, dans les quatre premieres equa- tions (i3), negliger les termes en RP, >retlVr'. On a ainsi quatre equations homogenes entre lesquelles on elimine M, M', M" et W \ il en resulte une equation du quatrieme degre en g que Ton resout, ce qui donne des valeurs approchees des quatre racines de G = o qui proviennent de la presence des quatre premieres planetes.

Avec ces valeurs approchees, Le Verrier determine les valeurs exactes par un systeme d'approximations successives aise a concevoir; il arrive a

g z=z 2% 2584, ^4= fy^lkl,

.3g. ,^i==3%7i36, ^5i=i7%i527,

g^ — 22% 4273, g^—\f, 8633 ; gz— 5^,2989,

les valeurs approchees trouvees d'abord n'en different pas de o",ooi.

Quelques-unes des masses planetairespouvantrecevoir dans la suite certaines corrections, Le Verrier a voulu que tons les rcsultats de scs calculs pussent etre utilises encore; il a representc les vraies valeurs des masses par /w(i -h v), m'(i -h v'), . . . , et il a developpc les resultats suivant les premieres puissances de V, v', ..., de sorte que, si Ton vient a corriger la masse de Mercure, par exemple, il suffira d'introduire dans les formules la valeur correspondante de v, pour obtenir le meme rcsultat que si Ton etait parti de la masse exacte. Les rap-

ports ^j ^j •••> |j7,> ••• sont exprimes de la meme maniere (').

Le Verrier donne ensuite les expressions numeriques des formules (C) et (C), et Ton pent y lire immediatement les limitessupcrieures des excentricites et des

(*) Au sujet de la resolution dos equations (i3), le loclour pourra consulter avec fruit un M6moire do Jacobi, /.ur Thcorie der Sd'cidar-Storungcn {Journal dc Crclle, t. XXX).

EXPRESSIONS GifeNERALES DES INlfeGALITES SECULAIRES. 4^7

inclinaisons; les voici :

Limiies dos cxccntricit^s. dcs inclinaisons.

O I

Mercuro 0,226 9.17

V6niis 0,087 5-*8

La Torre o ,078 4 • 52

Mars 0,142 7.9

Jupiter 0,062 2. I

Saturne o,o85 2.33

Uranus 0,064 2.33

On voit done que les exeentrieites et les inclinaisons, qui sont actuellement petites, resteront toujours tres petites.

Ce resultat ct rinvariabilite des grands axes et des moyens mouvements con- stituent la stabilite du systeme planetaire.

Si Ton substitue les expressions ci-dessus de esintrr, ^cosgt, tang^sinO, tang^icosO, ... dans les coordonnees heliocentriques de chaque planete, ces coordonnees ne contiendront que des termes periodiques. Ainsi les inegalites seculaires sont en realite periodiques; elles ne different des inegalites perio- diques ordinaires que par la duree de la periode, qui est, pour elles, extreme- ment grande; c'est ce qui resulte des nombres (38) qui donnent les tres petits angles dont les arguments augmentent en une annee; le terme s\n(gt -h ^) a une periode de 574oooans environ.

181. Le Verrier n'avait pu faire entrer dans ses calculs la planete Neptune qu'il ne devait decouvrir que six ans plus tard. M. Stockwell a public en 1873, dans le tome XVIII dcs Smithsonian contributions to knowledge, un Memoire im- portant sur les variations seculaires dcs buit principales planetes, dans lequel il a tenu comptc de Taction de Neptune. Ce travail, dont les calculs paraissent faits avec soin, renferme des remarqucs curieuses. Ainsi M. Stockwell trouve que, dans les formules (C), la valeur absolue de M7 est superieure a la somme des valeurs absolues de M'\ MI/, ..., M'/; il en est de meme pour My compare a M", Mj*, ..., M,'; enfin M7 et My sont de signes contraires. II en resulte done, d'apres ce qui a ete dit au n*^ 174, que :

Le moyen mouvement du perihelie de Jupiter est exactement egal au moyen mouvement du peribelie d'Uranus, et que les longitudes moyennes de ces peri- belies different exactement de 180*^.

Suivant les calculs de M. Stockwell, le peribelie de Jupiter peut osciller au- tour desa valeur moyenne, git-h [3,,entre les limites dz 24^10', et celui d'Ura- nus, autour de la meme valeur moyenne, entre les limites ±47^33'. Les peri- belies des deux planetes peuvent done se rapprocber jusqu'a la distance i8o«- (24^10' -h 47°33') = 108^17'.

428 CHAPITRE XXVI.

M. Stockwell trouvede meme, en partantdes formules(C'j), que :

Le moyen mouvement du noeud de Jupiter sur le plan invariable est exacte-

ment egal a celui du noeud de Saturne, et que les longitudes moyennes de ces

noeuds different exactement de 180°.

II trouve aussi que le noeud de Jupiter pent differer de sa valeur moyenne de

±: 19^38'; pour Saturne, ces limites deviennent dz 7^7'. Les deux noeuds pour-

raient done se rapprocher jusqu'a i53^i5'.

182. Parmi les inegalites seculaires importantOs, il y a lieu de signaler celle qui concerne rexcentricite de I'orbite terrestre. Cette excentricite est actuelle- ment decroissante; elle continuera a diminuer pendant 2^000 ans, apres quoi elle augmentera pendant tres longtemps. Nous verrons dans le tome III de cet Ouvrage que e'est la la cause d'un plienomene reste longtemps inexplique, I'acceleration seculaire du moyen mouvement de la Lune.

Nous n'avons pas parle encore des inegalites seculaires du sixieme des ele- ments elliptiques, e. La derniere des formules (h) du n® 62 est

tang ^

ds 2 dW e V 1 — e* <?R ® 2 dR

dt~'^na~da /ia«(i + v/F^^^) ^ na^^T^^ ^9

On pent prendre, au degre de precision adopte,

de 2 dK e dl\ tangcp dR

dt na da 2na^ de a/ia' do

formule danslaquelle il faut remplacer R par son expression (5).

Si Ton fait cette substitution et si Ton met pour e^, e'^, ..., csincr, e'sintrr', ..., e costs, e'cosGj', ...,tang^^, tang^(p', ..., tang^sinO, tangtp'sinO', ..., tang^cosO, tang(p'cosO', ... leurs expressions seculaires fournies par les formules (C) et (C), on trouve finalement une expression de la forme

^ = H -h 2 Kcos(x ^ -h x' ),

d'oii

K .

la longitude moyenne sera done

K .

eo-l-(«-HH)^-h V — sin(x^H-x').

A cause de la petitesse des coefficients x, on pourra developper les termes

EXPRESSIONS GENERALES DES INEGALITJfeS SECULAIRES. 4^9

sin(x^-+- x') en series tres convergcntcs suivant les puissances de t; le terme en t^ sera tres petit et le plus souvent negligeablc.

183. On a vu que les excentricites et les inclinaisons des orbites des pla- netes doivent toujours rester tres petites. Cette consequence importante ne se trouve toutefois etablie que pour les valeurs numcriques adoptees pour les grands axes, et nous ignorons ce qui se produirait pour d'autres distances moyennes des grands axes. II est a regretter qu'on ne puisse pas discuter facile- ment les variations des limites (22) et (22'), quand on fait vari.era, a', .... Toute- fois, quand on ne considere que trois planetes, Tequation (B'), qui a une racine nulle, s'abaisse au second degre; la discussion devient facile. Le Verrier a mon- tre (Annales de r Obsenatoire de Paris, t. II, Addition III) « qu'il existe, entre Jupiter et le Soleil, une position telle, que si Ton y plagait une petite masse, dans une orbited'abord pen inclincc a cclle de Jupiter, cette petite masse pour- rait sortir de son orbite primitive, et atteindre de grandes inclinaisons sur le plan de Torbite de Jupiter, par Taction de cette planete et de Saturne. II est remarquable que cette position se trouve a pen pres a une distance double de la Terre au Soleil, c*est-a-dire a la limite inferieure oil Ton a rencontre jusqu'ici les petites planetes ».

J'ai moi-meme chercbe a etendre les conclusions de Le Verrier, en tenant compte de termes negliges par lui, dans unMemoire auquelje renvoie lelecteur (^Annates de robservaloire, t. XVI).

184. II ne faut pas se faire d'illusion sur la generalite des conclusions enon- cees ci-dessus relativement a la stabilite du systeme planetaire. En premier lieu, les equations difTerentielles (A) et (A') ontete obtenues en negligeant, dans les parties seculaires des fonctions perturbatrices, les termes du quatrieme ordre; Le Verrier a cberche a tenir compte de ces termes en faisant varier les constantes arbitraires des formulcs (C) et (C) (twrTAddition III du tome II des Annales de r Obsen^atoire) , L'une des consequences auxquelles il est arrive est qu'on ne pent obtenir, par la metbode des approximations successives, aucune conclu- sion sur la stabilite du systeme forme de Mercure, Venus, la Terre et Mars, a cause des incertitudes qui rcgnent sur les valeurs des masses et peuvent modi- fier du tout au tout les petits diviseurs qui interviennent dans les formules.

En second lieu, il n'est pas prouve que Ton obtienne toutes les inegalites se- culaires des elements en reduisant, dans les equations difTerentielles, les fonc- tions perturbatrices a leurs parties seculaires; le contraire est meme certain.

La theorie exposee dans ce Cbapitre est importante, si je ne me Irompe, sur- tout parce qu'elle nous met sur la trace d'une forme analytique generale des perturbations oil le temps ne sort pas des signes sinus et cosinus, et dont Tusage s'impose dans les tbcories des satellites, notamment dans la theorie de la Lune.

43o CHAPITRE XXVI. — EXPRESSIONS GifeNERALES DES INfcALITfeS SECULAIRES.

Les termes en t^, t (oct -h P) trouves dans les theories usuelles des planetes

sont introduits par les precedes de caleul ; ils n'existent pas reellement. Dans cet ordre d'idees, quelques travaux importants ont ete fails, et je crois devoir les signaler.

En generalisant la belle metliode employee par Delaunay dans sa theorie de la Lune et considerant le cas de deux planetes seulement, Jupiter et Saturne par exemple, on arrive a se convaincre (*) que les elements a, e^ ^, a\ e\ ^' peu- vent en general etre exprimes par des series de la forme

V Acos(aX -h a,Xi 4- ajXj-^-. . .),

dans lesquellcs a, a,, aa, ... designent des nombres entiers positifs ou negatifs, et X, X^, Xa, ... des fonctions lineaircs de /. La forme meme de ces expressions assurerait la stabilite, si la convergence des series etait demontree.

Les autres elements e, trr, 0, e', gt', 0' s'expriment par des series telles que

X i -h x' 4- ^ B sin (a> -h «! ^1 4- aj^i -+- . . . ) •

Enfin, M. S. Newcomb est arrive a des resultats du meme ordre, tres curieux et importants, pour un nombre quelconque de planetes, dans son Memoire On the general integrals of planetary motions (Smithsonian contributions to knowledge^ t. XXI, 1876).

II faut dire toutefois que, si Ton essayait, dans la pratique, de mettre sous cette forme les theories planetaires, on aurait des calculs presque inextricables, en raison du nombre immense de termes qu'il faudrait considerer. 11 est bien a desirer que les geometres s'occupent de ces questions et cherchent a faire bene- ficier TAstronomie des progres recents qu'a faits Tintegration des equations differentiellcs.

D'autre part, nous souhaitons vivemcnt de voir couronnes de succes les efforts perseverants de M. Gylden pour Tintroduction eflicace des fonctions elliptiques dans les formules de la Mecanique celeste.

(*) Voir mon Memoire sur le probUme des troU corps {Annales de rObservatoire, t. XVIII).

CHAPITRE XXVII. — METHODE DE GAUSS. 43 1

(0

CHAPITRE XXVII.

SUR LA MfiTHODE DE GAUSS POUR LE CALCUL DES INfiGALITlES SECULAIRES.

Gauss a publie en 1818 un Memoire remarquable ayant pour litre : Delermi- natio attractionis quam in punctum quodvis positionis data exerceret plane ta si ejus massa per totam orbitam ratione temporis quo sin gulce partes describuntur uni/or- miter esset dispertita (Gauss, Werke, t. Ill, p. 33i). Ce Memoire fournit un mode de calcul des inegalites seculaires autre que cclui que nous avons indique et qui, dans certains cas, pent seul etre employe. Aussi croyons-nous ne pouvoir nous dispenser d'en exposer les points fondamentaux; mais il nousfautcom- mencer par resoudre une question preliminaire.

185. Reprenons les formules (A) du n^ 62; on peut les transformer tres utile- ment en y introduisant les projections de la force perturbatrice sur trois axes

rectangulaires, aux lieu et place des derivees partielles -j-> -^y — Le resultat

est tres simple quand on prend pour ces trois axes : le prolongement du rayon vecteur de la planete troublee, la perpendiculaire menee a ce rayon vecteur dans le plan de Torbite, du cote oil croissent les longitudes, et enfin la normale au plan de Torbite dirigee vers son pole boreal. Soient fm'S, fm'T, f/n'W les pro- jections de la force perturbatrice sur ces trois axes; ses projections sur les axes

de coordonnees sont -r-^ -^-y -jz' 0" trouvera, par le theoreme des projections et a I'aide des formules dela Trigonometric spherique,

- — , ^- =2 S(cosucos0 — sinusin0cos9) -hT(— sinucosO— cos u sin 0 cos 9) -hW sin 0 sin®, im ox . ^

5 — : -T— =S (cosu sinO-+-sinucos0cos9) -hT(— sinu sin0-i- cosucos^cos©) — Wcos0sin<p, im' oy T/ T»

:. — ^ -T7 =Ssinjsincp -hTcosusin9 ^_Wcos9,

I Tn o^

432 CHAPITRE XXVII.

oil Ton a designe par u la distance dc la planetc a son noeud ascendant, c'est- a-dire Targument de la latitude.

Soil a I'un quelconque des elements clliptiques; on aura

OndRdxdndymdz du dx d(j Of d<T dz da

Les valeurs de ^> j- et -y^ seront tirces des formules du mouvement elliptique, savoir :

x = r(cos'j COS0 — sinu sinO COS9), ji= r(cosu sin0 -h sinu cos0 coscp ), 5 = /• siny sin<p, y 11= gj — 0 -h tr,

(3) { u — esinu=z nt-{- e — gj, r^=a{i — ecosw)=:

P

I -f-ecosw

\/t

tang-^zz:i/__iang-./.

Les derivees relatives a 9 se calculent sans difficulte; pour celles qui se rap- portent a 0, il faut remarqucr que G figure explicitement dans les formules et implicitement par u; on aura ensuite

Enfin les derivees relatives a a, e et e s'obtiendront aisement, eq remarquant que Ton a

dr r da a dr de	a cos (IP', ae	dj da °' dj 2 -h e cos (V . -7- — i — smMP',
dr	dj a}\J\ — e^
ds ^i			de /•*

Nous ne faisons pas varier a dans /i/ 4- £ — cy, parce que nous supposons qu*on mette dans les formules fndt au lieu de nt. Ayant done j-> y- «t ^ par le cal-

cul precedent, les formules (i) et (2) feront connaitre les derivees -j-- Voici

METIfODE I)E GAUSS.

It's resultats auxquels on arrive, apros des reductions faciles.

433

('.)

5 — >

a

7.—, ->— ^^- W/' sin J,

1	d\\
{rn'	()a
1	d\\
{m'	d^
I	dR
Un'	()C
I	im
{m'	()e
I	dW
\m'	dO
I	d\\
Tn7'	dT*5

2 -he cos (V — h/7 cos («•-+- I — /sind',

I — e'

ae

-: =■ S ■- — sin iip' -}- T — v/ 1 — ^* ,

a- r

— 2Tr sin*- — Wsincp r cosj, 2

I <m

{m' (h

T/.

II n'y a plus qu'a porter ccs oxpressions (4) dans Ics formulcs (A) du n°62. On trouve aisement, en remplagant fpar -

n^a^

da de

Sesimr -h T - I ,

>2 \ /•

I h m y/,_e

m'

^^ I ~h ni

na^\'\ — 6'*[S sintr -h T(cosm -+- cosu^],

(A)

It

. dO

dvs ^~di

de d~t

ni na ,,,

W rcosj,

\-\-m y /, — e*

m'

na ,,-

r= — » /sm'j,

\/ 1 — e

in* - -r -I /ja'v • — e- \ — Scost^' -hT(i-4--)sin(f'

1 dt \ -h tn " L \ P / J

n= 2esi

2 m' ^

I -h m

dm

. ,0 dO

, H- 2 v^i — <?' sin* - -p •

I 4- VI — e- ^^^ 2 dl

Si Ton ajoule an second membre dc la dernierc de ces equations la quantite

on aura la valeur d(*

3 rn da , C dn ,

dl dt

c'est-a-dire de la derivee de la longitude moyenne.

Les formulcs (A) sont tres iniportantes, surtout quand on veut obtenir les valeurs variables des elements a Taide de quadratures mccaniqucSy car il est pos- sible d'obtenir les valeurs numeriques des quanlites S, T et W, dans une pre- T. - 1. 55

434 ClIAPITUE XXVII.

miere approximation, a I'aide des coordonnecs (3) du mouvcment elliptiquc, et il n'en est pas de meme des formules (h) du n® 62 oil figurent les derivees on dR

da de

De plus, CCS memes formules (A) mettent bien en evidence les influences des trois composantes S, T, W de la force perturbatrice sur les divers elements. Les explications elementaires donnees par J. Ilerschel et M. Airy des principaux eflets de la force perturbatrice ne sont, au fond, qu'un commentaire des for- mules en question.

Enfin nous rcmarquerons les relations suivantes, que Ton deduit immediate- ment des equations (A),

d\/p __ rn' ^

(B)

(it I -h ///

/m*T/-,

\ V at* ^ at* I -h m Jj g*

elles donnent des expressions tres simples pour la derivee de la racine carree du parametre et pour la vitesse du pole boreal de Torbite, dans sa trajectoire sur la sphere de rayon i ayant son centre au centre du Soleil.

186. La fonction perturbatrice R se compose de deux parties qui correspon- dent aux attractions de la planete P' sur la planete P et sur le Soleil ; nous avons dit au n° 125 que cette seconde partie nc donne pas de termes seculaires quand on ne considere, comme nous le faisons ici, que les perturbations du premier ordre par rapport aux masses. Nous pourrons done nous borner a la premiere partie de R; des lors, S, T, W seront les projections, sur les trois axes definis

plus liaut, d'une longueur xi portee sur la droite PP'. Les expressions de ces

trois projections pourront etre developpees suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes J^ et ^\ et si, dans les formules (A), on

remplace sin«% costv, cosm, r, -> -y rsinu et rcosu par leurs developpements

periodiques relativement a ^, on aura, pour la derivee d'un element quelconque a, une expression de la forme

('^) -^ — Ao.o + 2 ^'''' c<^s(/C -+- t"'C'H- 7) ;

les seconds membres de ces equations ont, du reste, deja etc obtenus dans le Chapitre XX. On en conclut, dans la premiere approximation,

(T— -const. -+- Ao.o^-H yi ■■: — ^4—7 sin(/C-i-i'C'4-<7);

METIIODK l)E GAL'SS.

435

si les moyens mouvcnients ne sont pas exactemcnt commensurables, on n'aura jamais m -+-«'/?'= o, et Aq.o/ constitiiera toiUe Tinegalite seculaire de I'ele- mcnt T. Le calcul ties inegalitos seculaires est done ramene a celui des coeffi- cients Ao 0 uue nous designerons par K^ ; nous tirerons de Tequation (5),

dt

1 -_,' r r^iiau^,',

lo.o 47:\/, J, dt

Nous appliquerons cette formule aux cinq elements^, ^^ 0, cr, e, puisque le sixieme a n'a pas d'inegalites seculaires, et nous poserons, pour abreger,

(ti)

I

••< T, . /

0

/ . .i 7^

nous trouverons alors

L^Ju,o^'- "T4--;;r- ^-^X [S,sin..-i-To(cos./+cosuO]^C,

(I -h ni

fin Wq/cosu^C,

(7) ( sin 9 -r = - — / Wo'* J^in-j rf?,

I L«^Jo,o (14- m)v/i— 6-2 "^*/o

[dxsi . .o\do\ ,/r/%-r=^ rr c ^^ / 'A • i />.

t' -.- =:iiesin2-' -77 4 ^^ / — &(,cos<^4-To 14-- sintvh:/;,

T-^' I -^ - ''I [--I 4- > vT^^' sin' 2 r^l ^ _l'i^ fs /v/r

Nous serons done ranienes, d'une part an calcui de Sq, To, W© par les for- mules (6), et d'autre part au calcul des diverses integrales qui figurent dans les seconds menibres des equations (7).

Concevons que Ton repartisse la masse de la planele P' tout le long de son orbite, de maniere a former un anneau, la quanlite du.' distribuee sur Tele- ment ds' etant proportionnelle au temps di que la planete emploie a decrire cet element; on aura

d'j.' dt d:'

Hi

^Vl

1

9 T"

436 CHAPITRE XX VII.

et la premiere des formules (G) donnera

' So= Ts^fji'.

fm'Sflf[jL' est la projection, sur le rayon veeteur r, de Tattraction exercee sur la planete P par Telement d\i! ; (m' f^ d\x' sera la projection sur la meme droile de Tattraction resultante exercee sur la planete P par Tanneauelliptique infiniment mince consideree plus liaut. Done f//i'So, irn"\^ et i ni\\Q ne sont autre chose que les projections de cette attraction resultante.

187. Nous voici done conduits au probleme de Gauss :

Calculer Tattraction exercee sur un point P par un anneau elliptique infini- ment mince, dans lequel la densite du.' d'un element quelconque est propor- tionnelle a Taire S' du secteur ayant Telement pour base et pour sommet Tun des foyers S de Tanneau.

Nous allons exposer la solution simple et elegante que vient de donner M. Halphen dans le tome II de son Traite des fonctioris elliptiques.

Soient

P le point attire;

E' I'anneau;

a' et b' ses demi-axes;

P' et P', les deux extremites de Telement d\k'\

A la distance PP';

^w I

I'attraction de Telement sur Tunite de masse placee en P sera frn! ^, ,, -r--

^ Tia b' A^

Prenons trois axes rectangulaires se coupant en P; soient, relativement a ces trois axes,

^0) yo» z„ les coordonnees du Soleil S;

x', y', z' celles du point P';

x' 4- d\\ y' -h rfy', // 4- dz' celles du point P'^ .

Si nous laissons de cote le facteur fm', les composantes de I'attraction suivant les nouveaux axes seront

(«)

•

T.ajy A» T.a'y A* r.a' b' A'

Soient V le volume du tetraedre PSPT',, h la distance du point P au plan de

MKTHODE l)E r.AUSS. 4^7

Tanneau ; on a pour V ces deux expressions

\ — - h 1'

en les egalant, on aura la valeur de 1' que I'on portera dans les coinposantes( 8) de I'attraction elemcntaire. Si Ton pose ensuite

r \' (\' M -^ z' d\"s ,, r\'(\'dz'-z'r/\') ,. rz'(y'dz' — z'dy') IV-j -^ 31 -' * y -j --— i5 ^> I^= j A, '

r\'(z'd\'—\'Hz') ,. ry'(z'd\' -\'dz') ^ rz'(z'd\' — \'dz') 0^ --= j A^ ' ^' \l A^ ^ ^* - j A^^ '

^^^=J ^^ ' *^)- J A^-^ > l^*-j ^A^ >

oil I'on a A^ = x^ h- y'- -h l^ et oil les integrations s'etendent a toute Tellipse, on aura, pour les coniposantes <I\, *,,$, de Tattraction exercee par I'anneau sur le point P,

(9) j ^y^ ^^^"A (^olV + yoQ> -+-ZoR,0,

M. Halphen fait plusieurs remarques au sujet de ces formules ;

a. P^., . . ., U, sont homogenes et de degre zero par rapport a x', y\ //; si Ton fait pour un moment

\'	t	y ,
, / ~	- " ,	7? — ^' '
z		z

on trouve aisement

(10) {0»-^ / a' Q) ^ / - - — v Q«^ / ?>

^ ru\u'dK^'-v'du') .^ ri^'{u'dv'—v'du') ,, r u' dv' — i^' du'

438 CHAPITRE XXVIl.

Tequation du cone ayant E' pour base et P pour sommet est de la forme

done les integrales P^., ..., R,. dependent uniquement de la forme du cone; elles conserveraient les memes valeurs si, le cone restant le mcme, on rempla- Qait la courbe E' par une section quelconquc du cone.

On pent, en particulier, effectuer les integrations le long de la courbe C que Ton obtient en coupant le cone par le plan a = i ; dans cc cas, u' et ^' sent les coordonnees d'un point quelconque de C.

b. Les formules (lo) montrent que Ton a identiquement (ii) Px-+-Q,'4- Ux'^^o.

c. On a aussi

P,-Qx-:-

/u'dtt'-h v'dv' I ^ — - - - -h const.,

de sorte que, si Tanneau E' est ferme, w' et i^' reprenant a la fin de Tintegralc les memes valeurs qu'au commencement, on trouve la troisieme des rela- tions suivantes; les deux autres s'en deduisent par des permutations de lettres :

(12) Qx=:R,, Rx=P., P,=Qx.

Dans ce cas general d'un anneau femie quelconque, les composantes (9) de Tattraction de cet anneau seniles derivees partielles, prises par rapport a x©, yo» Zo, de I'expression

(i3) O — ~^:^,j,j (xj Px -+- yj Oy -+- zj R.- -+- 2yoZoR,' 4- 2ZoXoP«' H- 2XoyoOx')-

d. Supposons que le cone admette le plan des zx pour plan de symetrie; la courbe C aura un axe de symetrie parallele a Taxe des x; si Ton compare deux elements symetriques, on voit que w' et rf/ restent les memes, tandis que ^' et du' changent de signe; si done on se reporte aux formules (10), on trouvera

Py = Qx — o, Qx == R, = o.

Si le cone admet en outre le plan des zy pour plan de symetrie, on aura en plus

MKTllODE DE GAUSS. 439

L'expression (i3) se reduit done a (i4) *^^— V^(xJPx-i-yJO,-i-zJR.O,

oil il n'y a que deux dos integrales P^., Qy, R,. a calculer, a cause de la rela- tion (i f). On a CMisuite

('•^> '^^-^'^b^''"' *'^^a^y" *'=;¥^^»'

et Ton en conclut

O, ^, 4>j

Xo y 0 Z()

ce qui montre que Tattraction est situee dans le plan

X y z

Xq Vo 7.0

dont la position, independante de la forme du cone, est entierement determinee par les deux points P et S.

188. Les resullals precedents ont lieu quelle que soit la nature de la courbe E'; admettons maintenant que ce soit une ellipse ayant pour foyer le point S. Alors, le cone est du second degre, et, rapporte a ses axes principaux, il aura pour equation

\' y2 2*

(i6) _4---^=:o:

on pent supposer G, G' et G" positifs. En faisant z := i, on aura la courbe C; soit ^ I'anomalie excentrique d'un point quelconque de cette courbe ayant pour coordonnees w' et /; on aura

(17) «=t/YT-cosc, r— 4/ — Sin?.

Les formules (lo), (i^) et (17) feront connaitre les composantes de Tattrac- tion

la'b'li I

./o (^ -^ G'cos'^^ G^sin«?)«

(G	+	G'	COS'^ -H G'	' • 1 Sin	s
	+	G'	sin'^rf?
(G	cos»^ + G'	sin*	.?)!
			dl

^i ^- z, -— T7T7- / ^ 3 •

' ./o ((i-nr/cos^J-f-G'^sin'O'*

44<^ CHAPITRE XXVIl.

Ccs composantes sont rapportecs aux axes principaux du cone; dies s'expri ment a Taidc des integralcs elliptiques. Supposons G' > G", et posons

TT 7C

la relation

d / sin^cos^ \ _ I — 2 sin^^-h A*sin*^

donne

n

(20) / ^ ^dl — C^

£

{\—k'%\Xi^lY

On tire aiseinent des formules (19) et (20)

•7C

(G + G')* /•" QOS»5rf4 r cos«trf^ F,-E,

	2
(G	4- G')"'
	a
(G	+ G')*

r"" Qfi^^idi r^ cos'g^;

J^ (G-hG'cos*^H-G'^sin«0* J^ (i-A-*sin«0^

A«

7t

r %\^^ldl _ r' sin»g rf> _ _i_ / E. \

y, (G+G'cos'|H-G'sin»0' J, (« - A^'sin'f)' * \' '' /

0

•7C

r"" di ^^ r' di .^_1l_;

J^ (G + C'cos'^ + G^sin'O^ J, (i-^-sin«0* *-^*''

apres quoi les formules (18) donneront les composantes de Tattraction expri- mees a Taide des integrales completes F^ et E< de Legendre.

Ces composantes se trouvent rapportces aux axes principaux du cone : on en deduira facilement les valeurs Sq, T^ et Wq des composantes de la meme attrac- tion par rapport aux axes definis au n° 185. On voit que, dans la solution pre- cedente, il faut calculer la position et la grandeur des axes du cone ayant son sommet au point P et pour base I'ellipse E'; c'est une simple question de Geo- metric analytique qui exige, comme on sait, la resolution d'une equation du troisieme degre dont G', G" et — G sont les racines. M. Halphen a montre qu'on peutevi.ter laresolution de cette equation, en introduisant les fonctions elliptiques sous la forme moderne; nous renverrons le lecleur qui desirerait approfondir le sujet au Traite de M. Halphen.

189. II resulte de ce qui precede que, pour chacune des positions du point P,

, . . .,

METHODE DE GAUSS. 44 1

on est a meme de calculer So,!©, Wo;pour obtenir lesvaleurs (7) dc ^ on aura a effectuer des integrations tclles que

L' expression analytiquc de la fonction '>pest tres compliquee ; aussi est-on oblige de determiner numeriqucmentlcs integrales ci-dessus, par des forraulesde qua- drature. Supposons la fonction ^ devcloppee suivant les sinus et cosinus des multiples de ^,

(22) ]

( H- 6, sin? -f- 62 sin2C -h. . . ;

2 7r

divisons la circonferencc en y parties cgales et donnons a ^ les valeurs o, -^> -V> •••> (J — i) — :-; nous pourrons calculer les valeurs numeriques correspon- dantes de ^(<^), '>po» ^i> •••» 4'y-<- Nous aurons les relations

27r 27. 27r 27r

d/j = «« 4- a* cos —^ -h a* COS 2 —7^ 4- ... -h ^1 sin —r -h b* sin 2 — :- 4- . . . ,

J J J J

Si nous faisons la somme, nous trouverons, en vertu de formules bien con- nues,

+0 4-4^14-. . .4-v]^y-i=yao4-/ay4-ya,y4-

On a d'ailleurs il viendra done

(.3) ±f^ ^(0rf;3.'t'"+^-+:--+'t'>-'-K-t-a,, + ...).

Si le devcloppement (22) est assez convergent, J ayant du reste unc valeur notable, la somme Uj-h a.^j 4- . . . pourra generalement etre negligee, et la for- mule (23) se reduira a

Lf'\(K)ciK= h±^h±;:i±^±zi

On obtiendra done ainsi des valeurs numeriques tres approchees des inte- grales (21), et il aura sufli, pour les obtenir, de determiner les valeurs nu- meriques des fonctions '^^CC) qui repondent a j valeurs equidistantes de 'C-

On trouve que, si P designe Tune des anciennes planetes, il sufBt de prendre T. - I. 56

442 CHAPITRE XXVII. — METHODE DE GAUSS.

y = 12, pour obtenir toute la precision desirable; on aura done, en sorame, a calculer les coraposantes de rattraction d'un anneau elliptique sur douze posi- tions du point P.

On peut, dans les integrales (21), mettre en evidence Tanomalie excentrique u au lieu de Tanomalie moyenne; on a

/•

d^^^ {i — e cos u) du := — du.

On sera done araene a considerer des integrales telles que

)du.

Si Ton donne a u les valeurs equidistantes o, -7-> —y •••> les points corres-

pondants de Torbite de P formeront un polygone inscrit qui differera fort peu d'un polygone regulier; les differences seront en effet de I'ordre de e*, comme le montrent les expressions

acosw, a^i — e^sinu

des coordonnees d'un sommet quelconque, rapportees aux axes de Tellipse. Ces memes coordonnees sont egales a

si done c'est a ^ qu'on attribue des valeurs equidistantes, le polygone inscrit diffe- rera plus que precederament d'un polygone regulier; la difference sera de Tordre e ; aussi prefere-t-on donner des valeurs equidistantes a Tanomalie excentrique.

La methode de Gauss a fait Tobjet d'un assez grand nombre d'etudes ou d'ap- plications, parmi lesquelles nous mentionnerons :

NiGOLAi. — Neue Berechnung der Secular dnderungen der Erdhahn i^Astronomisches Jahrbuch, p. 224; 1820).

Clausen. — Alia solutio problematis a celeberrimo Gauss in opere a Determinatio aUrac- tionis,,, » tractati {Journal de Crelle, t. VI, i83o).

Adams. — On the orbit of the november meteors {Monthly Notices^ t. XXVII).

BouR. — These de doctorat, i855.

Seeliger. — Ueber das von Gauss herriihrende Theorem die Sdcularstorungen betreffend {Astronomische Nachrichteny t. XCIV, 1879).

G.-W. Hill. — On Gauss's method of computing secular perturbations , dans le tome I des Astronomical Papers de S. Newcomb, 1882.

0. Callandreau. — Calcul des variations sdculaires des Aliments des orbites (Annales de VObservatoire de Paris, t. XVIII, i885).

CHAPITRE XXVIII. — SlIR LE D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION, ETC. 443

CHAPITRE XXVIII.

SUR LE DtVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE LORSQUE L'INCLINAISON MUTUELLE DES ORBITES EST CONSIDERABLE.

190. Le (leveloppement iisuol dc la fonction perturbatrice, etudie dans le Chapitre XVIII, suppose la quantite

X — -^ j^ f J ~ Sin' -

inferieure a Tunite. J'ai dcja dit que, dans le cas oil les planetes considerees P etP' sont Pallas et Jupiter, la condition ci-dessus n'est pas toujours satisfaite; pour la demonstration, je renvoie le leoteur a mon Memoire Surles perturbations de Pallas par Jupiter (Annales cle robsen^atoire, t. XV).

II faut done, dans ce cas et dans les cas analogues qui peuvent se presenter pour quelques-unsdes asteroides, recourir a un autre devcloppement. Le Verrier avait donne quelques indications sur la marche a suivre, dans le tome I des An- nales de robsenatoire, p. 33i-333. En partant de ces indications sommaires, je suis arrive h trouver la forme analytique generale du devcloppement qu'il con- vient d'adopter.

SoitR la fonction perturbatrice qui correspond a la planete P; on a, en se reportant aux n*^* 117 et 118, dont on conservera les notations,

R = f,w' f i - 4; cos V^ =: fni' ( ^. '-^ - -^ cos V^ .

\A r'» J \v^/-*-h/'*— 2/r'cosV '* /

cosV=:(7 — cos((' — t) 008(1^' — t') 4- sin(r — t) sin(p' — t') cosJ

— cos' - cos («'' — r — t' -+- t) 4- sin' - cos (v'-\- v — t' — r).

444 CHAPITRE XXVllI.

Posons maintenant

J cos' - = fJt, sin' - == V, d ou |jn- V = I ;

il viendra

(2) <7=: COSV = |JLCOS^ 4- V COS J.

Falsons d'ailleurs

(3)

4- = _■_' —-^ X^^^cos/i V;

A ^/,.» 4. ,.'2 _ 2 rr^ cos V '^ -^

<JU^"^ sera une fonction homogcne et de degre — i de r et / qui coincidera avec la fonction A^"^ du n® 104 quand on remplacera r et r' par a et a'.

Toute la question se reduit a trouver I'expression generale du developpement de coswV suivant les cosinus des multiples de x et j^, en partant de la for- mule (2).

Avant de resoudre ce probleme, nous allons aborder quelques questions pre- liminaires.

191. Considerons Texpression

(4) 5(/') = (i-2(3(7 4-(3»)-/',

dans laquellc/? designe un nombre positif, et p une quantite positive inferieure a I'unite. Cette expression est developpable en serie convergente suivant les puis- sances entieres et positives de p, car on pent ecrire

zip) =1(1- jSE^v^)"'' (i - pE-^^v^O"^

et chacun des facteurs de cette expression pent se developper en serie conver- gente suivant les puissances de p, par la formulc du bindme, parce que les mo- dules de pE^'^ et de pE-^v/^ sont egaux a p, done inferieurs a I'unite. Nous pouvons done faire

/t = CO

(5) zip)^i + (3V'i''^+ (3«Vi'"H-. . .3= 2 P^V^"''

n = 0

et nous commencerons par chercher Texpression analytique de Y^\ Nous pou- vons ecrire

SUR LE DfeVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 445

ou bien, en devcloppant (^ — \ p)' par la formule du binome,

^(.,= y y (_ ,y .'W PiP±_!)-(/' +/•-.') p.>y^w.

^mi^mi^ I .2. . .J .1 ,2. . .{l — J) ^

Si Ton donne a i cty toutes les valeurs entiercs et positives, telles que

/-hy— -/I, on aura, d'apres (5),

vr = y 5! (- • V 2'-^ />(p + ')--(/'+.^-') ^.w.

" ^^ ^ ' I .2. . .y. 1.3. . .(£ — y)

On en conclut, en donnant ay les valeurs o, i, 2, . . . et a « les valeurs corres- pondantes, /i, /i — i , w — 2, . . . ,

'* ' I.51...W 2* I .(p-f-/^ — i)

(6) { o

I ' n{n-y)(n-2){n-Z) ^^_, 1

2* 1 . 2 . (/^ 4- /i — i){p -\- n — 2) " * J '

VJf' est un polynome entier en a et de degre n.

La quantite z'p^ definic par la formule (4) est une fonction de P et de a; on ve- rifie aisement qu'ellc satisfait a Tequation

Si Ton porte dans cette equation Texpression (5) do z^p'^ et qu'on egale a zero le coefficient de p", il vient

voila une equation differentielle lineaire du second ordre, a laquelle satisfont les polynomes V',f .

Nous considcrerons d'une manierc speciale les valeurs /> = ^ et /? = i , et nous ferons

y(2)_P yn_ij

▼/I — '/!> '/I — ^ n •

446 CHAPITRE xxvni.

Les forraules (5), (6) et (7) nous donneront

(8)

' 2 3 a a

p ^^„i-3...(2/t-i)r n(/t-i) ^„_, ^ /t(n-i)(w-a)(/t-3)^„_, 1

" 2.4 21 L 2. (art — i) a.4.(a/i — •)(2/i — 3) ' * J '

(l-2i3ff + (3')-'=:2]P"U„,-

Ui = 2(7, Ut=:4ff'— '. U,= 8ff'— 4ff» U»=l6ff* — I2ff'+ I,

j" L 2.2/1 2.4.2/1(2/2 — 2) J

(, _ a») ^I^ - 3(7 ^^ + /l(/H- 2) U„ = O.

P„ est Ic polynome de Lcgendre; il joue un role fondamental dans I'etude de la figure des corps celestes, et nous aureus a le considerer en detail dans le tome II de cet Ouvrage.

Les polynomes U;, sent susceptibles d'une autre expression remarquable. On pent ecrire, en effet,

^m ^ ^

i-2(35-h(3» (i-(3Ev/^)(i — (3E-^V-i) ~ EV=i — E-v^^ \ I — (3 E^V=r "~ I - (3 E-vv'-i/

On en conclut

5(1)-- — _i (^E^v^ y p^E'^^^vCT — E-v/^ y\ (3«E-"V/=lY

2v/--isinV\ -^^ ^^ /

z('^=: -At, y (3«sin(/i -h I) V. On a d'ailleurs

II en resulte done , . ,, __ sin(/i-t-i) V sin[(/n- i)arccosa]

(10) U/i — ; — i7 — •

' sinV v^i — c7*

192. Revenons au problfeme que nous nous sommes propose; coswVs'exprime

SUR LE DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 44?

a Taidc dc cos"V, cos""-V, ...; d'ailleurs unc puissance quelconque de cosV, cos^V est composee d'un nombre limite de termes tels que

ix^v^cos^jccos^y, avec A4-B = <7;

si Ton exprimc cos^j; en fonction de cos Air, cos(A — 2)07, . . . ct si Ton fait de meme pour cos^j, on voit que cos^V est compose d'une serie de termes, tels que Dcos«j?cosyy; le coefficient Dcontient en facteur[x'v-' et les differences y — i — j sont des nombres pairs, positifs ou nuls. On pourra done supposer

(a) cos/i V = Q'«', 4- 2 2] Q\:6 cosi\r 4- 2 2] Q^ cosy> +42] Q\V cosio: cosy>;

I ety designent des nombres entiers positifs^ tels que

I -hy = /I — un nombre pair; QJ.j est une fonction de [x et de v qui est de la forme

(11) fJL^V>^(fJL*, V»).

II s'agit de trouver la forme generale de la fonction $ : elle est susceptible d'une expression analytique remarquable; raais, pour y arriver, il faut passer par un intermediaire. On a I'identite

-r sin{/i-t-i)V — sin(/i — i)V

2 cos n\ = ^^ — 7-^, — ^^ — >

smV

qui devient, en vertu de la formule (10),

(12) 2C0S/iV = U„— Urt-,.

Le developpement de cosnV se trouve ainsi ramenc a celui de la fonction U;, consideree au numero precedent. Nous pouvons poser, en ayant egard a I'expres- sion (9) du polynome U^, et a ce qui a ete dit du developpement de 0^,

(b) \]n= KVo + 2 2] Rirj cos ^\r 4- 2 2] Hi;;} cosy r 4-42] ^^v ^^^ '^ ^^^-^'y >

R)j sera de la forme (i i) et les indices i ety remplissent les memes conditions que dans la formule (a). La relation (12) donnera

Les fonctions R^'y s'expriment tres simplement, comme on va le voir.

(12)

44 8 CHAPITRE XXVIII.

193. On trouve, par le calcul direct,

(7 = fjL COS a? -h V cosy,

2^^=: fJL* 4- V' -t- fJL* COS 2 ^ -^ V*C0S2/-i- ^IJ.V COS X COS y,

4(7'=3|jL(|jL'-h 2v')cos^ -h|jL*cos3j7H-3v(v'-t- 2/jL»)cos7 -h v'cosS/

-h 6 /Jl' V COS 2 J7 cos J -+- 6 fJLV* COS ^ COS 2 J,

8(7*= 3 (|JL*-|- Zi/JL*v'-t- V*) -i- 4fJt*(fJt*-h 3 v') C0S2a? + /jl*cos4^

■+- 4v*(v*-l- 3|JL*)C0S2JH- V*C0S4/-I- 24fJtV (|tx'-h V*) cosarcos/

-4- 1 2 /jl' v' COS 2 a? cos 2 J -H Sfji'v cos3^cos/ -+- 8 /jLv' COS a; COS 3 J,

Si Ton porte ces valeurs de a, a^, a^, a% ... dans les expressions (9) des po- lynomesU,, Ua, U3, U4, ... et que, dans lafonction V((J^^, v^) qui figure dans le terme general

/jl'v>^^(|jl', V*) cos to; cosy J,

on remplace (x par i — v, on trouve, apres des transformations faciles, Ui = 2/jLcos^ -4- 2 V cos J,

U,= (l — 2v)'-h 2|tx'C0S2a; -h 2V'C0S2J-|- 3/JLVCOSJ? cos^,

U3= 2|Jl(i — 3v)'C0Sa? •+■ 2/JL'C0S3d? -h 2 v (2 — 3v)* COS^-H 2V* cos3j ■+■ l2|JL'vCOS2a7COS/ -M2|JLV*C0S^C0S2y,

Uv= (l — 6v -|-6v*)'-h 2|Jl'(i — 4v)*COS2;r-i-2|JL*COS4^-H 2V'(3 — 4 v)' COS 2 J

2V*COS4/ ■+- 1 6 /JLV' COS J? COS 3 J' -H 2 4/^'v*COS2a7 COS 2^ -+■ iGfJL'v cos3a? COSJ,

L'inspection de ces valeurs particulieres des polynomes U;^ m'a conduit a penser que W^j est egsTl au produit de (x'v-' par le carre d'un polynome entier

en V, de degre ~"^~"'^- J'ai reussi, dans mon Memoire deja cite (Sur les per- turbations de Pallas)^ a prouver que cela est bien general, et j'ai pu donner en meme temps I'expression du polynome en v, qui se trouve etre un des poly- nomes de Jacobi, contenus comme cas particuliers dans la serie hypergeome- trique.

Ma demonstration repose sur les proprietes de la serie hypergeometrique donnees par Gauss; elle est rigoureuse, mais compliquee; M. Stieltjes (Comptes rendus de l* Academic des Sciences^ t. XCV) en a donne depuis une autre tres simple, que je vais reproduire.

194. M. Stieltjes remarque que la formule

a = COS* - cos a? -h sin* - cosy 2 2 •^

m:k le developpement de la fonction pekturbatrice. 449

est un cas particulier de la suivante

7 :^ cos 4* cos 'Y cos U' 4- Sill vj^ si 11 ^ COSY,

quand on y fait

I' "- V - - -

On pout done prendre

(i4) 7 - acos'ltcos^- t- hsin'^cos^r,

(i5) a --cos'y, l)~sin^'.

II faudra voir ce que dcvicnt le polynome U,, dc degre /i en a defini par Tune des formules (c)), quand on y reniplace a par sa valeur (i4) et qu'on developpc Ic rcsultat suivant les cosinus des multiples de cc et r. On va chercher, en par- tant de Tequation differentielle que verifie le polynome U„ considcre comme fonction de a, a former une equation aux dcrivces partielles pour U;, envisage comme une fonction de vp, a; et y, a I'aide de la formule (i4)«

On trouve immediatement

-J— — {^— a sin^^cosjT -I- 1) cos'lcosj) — v— > ~ '' --_- ( - a sin 'I' cos a- 4- bcosvpcosj))* — y-^- — (a cos '^ cos x 4- bsiii'|^cosj) -t-^>

-^-— - _ a-cos'd* sin*ct' ,-. a cos'J; cosa- -7- ,

-. -r- — b*sui*7Siir y , , — bsind'cos > — .- •

On a d'ailleurs, par la derniere des formules (y),

n (/^ :- 2)U,, -: [(a cos 'I' coswt- +- b sin d* cos/)-— 1] —j~r

-H 3(acos'| cosx -h bsin'j'cosj) -t-^-

On en conclut sans peine, en tenant compte de la relation a'- -+- b- = i ,

( - I -f- a* cos^r h b' cos*/ -h a^ sin* j:* h- b* sin'/) . /'

-i- ia cosdi coSwT 4- .2b sind' cosv ,- cosj: : — r cosy -7—

\ ^ ^ -^ cosy siny '^ / acr

, / a b \r/L*„ ^ , d\}n

— cos 2 0/ ,- COSX . --, cos >' - . - =^—2 C0l2y -. , •

^ \cosy siny " / ao- ' (;y

T. — I. .17

43o CIIAPITKK XXVllI.

On a ainsi Tequation cherchec

U,, est un polynome entier en a; une puissance entiere et positive quel-

conque de

(T — a cos ^ cos .f -i- b sin '|i cos/

se compose des termes de la forme

(a cos'l')'"^'^' (lj sinvpy'^^'^cos/vf cosy/ — a'"^^''b-'"^*''(i — sin*'^)'' sin*'^^ x cos'vp sin-^'vp cos/vT cosy/.

On en conclut que U„ est de la forme

(17) U« — 4 ^ V"j cos' ij^ sill"' ^ cos ix cosy/,

oil T/jCst une fonction entiere de sin^vj^et aussi de a et b; la difference n— i — J est positive et paire.

Si Ton porte cette expression de U„ dans Tequation (16) et que Ton cgale a zero le coefficient de cosixcosj'y, on trouve, apres reduction,

4- (,i « / — y ) (n 4- « 'hj -i- 2) T},7 z= o.

On pent enfin poser, d'apres ce qui a ete dit, et Tequation prccedente devient

Cit^ • LV" w • -/ vy • /J ^/^

ou encore

(.9) (^._ i) _^ ^ [(a + ^ 4- .) ^ _ y] «ii^ + ajSTi^j =: O,

en faisant

• •

( 30) « -^ -.-^^ , (3 --^- ^-^ , y^J + i

Srn LK Di:VELOPPEMENT DK LA FONCTION PERTl'UBATniCF. /|Sl

Nous Savons quo Ton a

■

avcc un nombrclimite de tormcsau second membro.

Si nous substituons cettovalcur de T"] dans Tequation (19), nous trouvcrons, en egalant a zero le coefficient de t^,

11 en rcsulte

(.,) Ti.7-A^o)r,-u^/-^"^^-^'^^^g^^-'-^/^^...i.

On reconnait dans le second membre la scrie liypergeometrique F(a, p, y» 0* ce qui devait etre, puisque Tequation (19) nVst autre cbose que Tequation dif- ferentielle lineaire que verifiela seric hypergeomctrique.

Nous ecrirons (7 au lieu de A^', de sorle que, en tenant conipte des valeurs (20) de a, [5, y, la formule (21) deviendra

(22) T.:', = CT( •'- •^- - - ,y-r-F, sin''>];

C est une fonction de a et b, done de 'Y , On a dit plus haut que n — i —J es^l

positif et pair; il en resulte que — 'l-~^ est egal a un nombre cntier negatif. Si Ton so reporte a la formule (21), on voit que F represente ici un polynome de

degre - ~ en sin^y.

Posons pour un moment

(23) SJ^' = Tiycos''|sin>^-=r/cos'i^sin>'^F('-"t^~-, -^Al^Al':^ , y _^ , , sin*'|);

la formule (17) nous donnera

(24) ^n " 4 y ^'/'y eos/.r cosy r.

Or Texpression

rs — cos d* cosy cos.r -H sinvpsinvp'cos )•

reste la meme quand on ecbange entre elles les lettres '| et 'Y ; il doit en etre de meme de Vn et, par suite, de ?*["j. On aura done, en se reportant a la for-

/jjili CIIAPITRE XXVIII.

mule (23) ot designjmt par Ceo que devient C quand on y remplace ']/' par '|,

C'cos'^ sni^^ h I ^ > — ^^ >y -f- 1, siu*^}; j

d'oii

(7

cos''ysin^iJ>'F( ^ , ''—^ ,./ 4- I, 8111*'^)

c

COS' ^ sm^ ^hl — » — ■'— , 7 H- I , sill* vj; j

Le premier membre de cette equation est une function de '\f' seul; le second ne depend que de ^; vp et vp' sont arbitraires; done ces deux membres doivent etre egales a une constante independante de '\f et vp'. Dcsignons-la par c\"j et nous aurons

C'=: c^;} cos^O/'sin^f f(' '^'^^'^-y -"^•^-^— - "" . y m , sin»4^') , apres quoi la formule (28) donnera

(25) < ' \ ^ a /

( ^ V ^^ ' — 2 >y-M,sin'-|'j.

II n'y a plus maintenant qu'a supposcr la formulo (24) coincidera avec (b) etS'"J avecR|''j; on aura done

ou bien

C'est la formule chercbce; elle est bien de la forme indiquee par Tinduclion II ne reste plus qu'a trouver Texpression de la constante r|/y .

SI II U: DKVELOPPKMENT Dl- LA FONTTION PERTURHATRICE.

453

195. Chorchons \o tormo dii (l(»}ijre Ic plus olevr on v dans RV'j, quand on y remplaco [x par sa valour i — v. On voit aisement quo lo torme de dogro le plus elevc on v dans

• •

i

I I » , J -: I, V

est

n—i-i

(- I)

v_L^_,.,U^:Zz:^

(y ■■ 0(j -^ ''■)• ' '

I — I -^ n

V

' -;

^(-■)

"-'_-/ s

n(/')n(./)

n-i — i v" 2

"("'v'^)n(--f^^-)

oil Ton a poso d'uno manioro gonoralo

Lo tormo do dogro lo plus oleve en v dans R^'y sera done, d'apros (rf),

["(^--)"('*"r^)J

ot Ton pourra ocriro

(.6) B.^4.- y (-„.c;j r n(»>'i'i) Tcos,-,

'[..("-'f.V)ii(."^'^)J

:r cosy/ 4- i*i>i v" - * -f- \)1», v" "* -+-.

On a, d'autro part.

{]„-.

n

n -

.n

I • • •

]■

7 rz: IX C0S.r h V cos J - COS.r t V ( cos )• — COSo:*)

On on conclut

(27)

II„-T '>/'{cosy -cosaY'v'' -r€,v"-' f- CsV'-^-f-. .. ;

si Ton compare los expressions (2.G) ct (27) do U,,, on trouvo

('>.8) '^"(cos) - cosa)" -- 4 y (- O'c'l'V r ^^^^ ^-^^ Tcos/.rcos/v,

do sorte quo lo calcul dos coofficionts c\"j so trouve ramene au developpemcnt do (cos V- ros.r)" suivant los eosinus dos nuiltiplos de .r ot/.

454 CHAPITRE XXVIII.

Posons

{'?.g) >" (cosj)' — cosa)'' :- f\ ^ //^{y cosi.r cosy'}-,

et nous aurons

(3o) eJ'V ---(--

Nous allons chcrcher les coefficients /i\"j. On a

2" (cos J — cos ar)" ~ fa sin — — ^) ( ^-sin '- — —^ J

=(-1)"^ « * -E « *^ ; VE * -E ' ' •

Or la formule du binome donne

\E -E ; -2-(-')'"ii(p')ii(p,)^'

les nombres p et pi, p' et p', prennent toutes les valeurs ontieres et positives ve- rifiant les conditions

(3l) p-f-p, = /l, p'-f-p^rrr/j.

On conclut de ce qui precede (3a) 4i;Ar;cos/.cos,>^2-^^;]j-^^(^-^E « W-.^_^..-..

Pour trouver dans le second membre le lerme en cosiajcosyj^, il faut poser les equations

(33) t-P^-^PlzLPl =±/, ?-P^-ZP'-^A^±:j;

si on les combine avec les equations (v3i), on en tire

• •

fj ^r ■- 9 p =r -■ — ±-

9.

« -' P = ' ~ -'

• I •

pi— » Pi= —

h ^

SLK LE DEVELOPPExMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4^^

Les tcrmes consideres dans le second membre de la formule (32) pourront

s'ecrirc

(-

la sommc dcs quatre exponentiellesestegale a 4cosia7cosyy et la formule (32) donne

(34) /'»-(-.)•- '"<"^^^

u (^'-' ..t L-w j II (^-:;^) n ('-^-^tiii/A II (^ri-J+A

il convient d'examiner a part le cas de y = o; on tire alorsdes equations (3i) et (33)

Ft 111 I , nz^i

on aura, dans lo second nicmbre de I'equation (32), a considerer les termes la somme dcs deux cxponentiellcs est egalc a 2 cosjfo:, et il vient

1. .u in^")?

2

(35) h\"l- -{- -I)' ,. .^ , .,-.„

- [..(?i-')D("-^')J-

on trouverait de meme

(36) «.-:■: ' """1'

'" ' ["(^'-?^)"(^)]'

II reste enfin a considerer le cas de i-~-o avecy = o; le terme constant du second membre de la formule (32) est

[n(/t)r

et Ton trouve

(3-) '.s=^; """«'

^ ["(^)]'

456 CIIAPITRE XXVIII.

II est possible dc deduire les formulcs (35), (3G) et (37) de la formulc (34), en y supposant nuls Tun ou i'autre des indices / ety, ou tons les deux; il sulfit en effet d'ecrire comme il suit la formule (29),

2"(cos J — cosjr)" — 4 y /i\''Jcosijc cosy/ -h 2 ^ /t'/'^cosij: -\- 2 ^ /io'J^cosy v -h Ao'J, ;

on a d'ailleurs opere ainsi dans Tequation (b). Les formules (3o) et (34) donneront

(e) i^i:)-

„(l±i±/)„(!l^W)

[n(y)pn(^i^ti::^)n(^Lz^

cette formule est generale, a la condition d'y remplacer II (o) par i.

Les relations (c), {d), (e) feront done connaitre entierement les quan-

tites q;/;?.

196. Si Ton combine le developpement (3) avec Texpression (c) de cos/iV, on voit que la fonction ^ se composera d'une serie de termes de la forme

2

cU^") cos £.2? cosy j^ — cl)^'*) cos(ijc-^jy) -h ^l)^"^ cos(/j:" —jy)y

chacun de ces termes etant multiplie par une fonction connue de J. II faut arriver a developper toutes ces expressions suivant les puissances de e et e' \ on commencera par supposer e = o, e'= o, ce qui donnera r=z a, r' =^ a\ v = l^ i;' = /', 0: = /' — / — t'4-t = /'--X, y = /'-h / — t' — T = /' 4-X — 2t'; le terme A,^"^ cos(ia? -hjy) deviendra done

(38) A(«)cos[(/4-y)/'-(i-y)X-2yT'J.

II faudra maintenant remplacer a, a\ X, /' respectivement par

a-hax, a'-t-a'\\ )-f-y, /'-i-y',

X, y, x' et y' etant les quantites considerees au n" 93.

L'expression (38) est de la meme forme que celle donnee pour R^, par la for- mule (19) du n** 119. Nous rentrons done dans une question connue, qui ne presente plus de difficulte, et le probleme theorique que nous nous etions pro- pose pent etre considere comme resolu.

I' 197. Lorsque le rapport -, est assez petit, comme lorsqu'il s'agit des pertur-

SLIl LK DKVELOPPEMKNT I)E l\ FONCTION PERTURDATRICE. 4^7

bations th* Pallas par Salurne, il eonvient do developper -r suivant ies puissances

»• de >• Los formulcs (3) et (8) donnent

pour resoudre la question, il n\ aura qu'a trouver ce que devienl le polynome P„ de Legendre quand on y renjplace a par son expression (2), ie resultat devant etre devoloppe suivant Ies cosinus des multiples de xety; e'est ce qu'a fait Hansen dans io tome 11 des Memoires de la Societe Royale des Sciences de Saxe, M. Cayley a donne depuis une autre demonstration des formules auxquelles etait arrive Hansen, dans le tome XXVIII des Memoires de la Societe Royale astrono- mique.

Nous suivrons une methode tout a fait analogue a celJe employee dans Ies nu- meros precedents; nous pourrons faire tout d'abord

oil A)'y est une fonction de J. II y a lieu maintenant de cbercher a former une equation differenlielle que verifie la fonction P„, envisagee comme dependant de x,y et J. On trouve sans peine

--r,-- - SI II. I (cosy — cos. r) ,— , <).\ '}. " da

i)

*P I r/P I d^V

T-rr " -COS J (rosy — cos.r) ,'- -H t siiiM (cos}-~ cosj:-)' , /S

— -— ^ —: acos.r --- 4- u*(i — ros-.i*) . ,-»

n

On a d'ailleurs, par la derniere des formules (8),

^P, (PP

n (/I 4- I ) P„ -- 2 ( JUL cos ./• -h V COS } ) — '- -f- ( Ki} cos' .r h- i /jlv cos x cosj>* 4- V* cos* >' — I ) —f~ '

On tire aisement de la Tequation cbereliee

(It- t).] (J. or- V (Jy

Si Ton substitue dans cotte e(|ualion I'expression (/) de P^ et qu'on egale

T. - I. r)8

456 CIIAPITKE XXVIII.

II est possible de deduire les formules (3.)), (30) et (37) de la formulc (3/|), en y supposant nuls Tun ou Tautre dos indices / ety, ou tons les deux ; il sulBt en effet d'ecrire conime il suit la formulc (29),

2" (cos J — cos^r)" — 4 y] /<;j cos £> cosy/ -i- 2 ^ /t/'^co^Lv -•- 1 V /'ojycosy k ■t-/'o*o;

on a d'ailleurs opere ainsi dans Tequation (/>). Les formules (3o) et (34) donneront

(e) c^/;]^

n(^.^:^i)u(^^^^)

[ii(y)pn(^^-iii^)n(^i-^

cette formulc est generale, a la condition d'y remplaccr II (o) par i.

Les relations (c), (d), (e) feront done connaitre entierement les quan- titesQ;/';.

196. Si Ton combine le developpement (3) avec I'expression (c) de cos/iV, on voit que la fonction -r se composera d'une serie de termes de la forme

'iol)^"^ cos i> cosyy _- -.1)^'*) cos(/.r-hy/) -h ^l)^"^ cos{ix —jy),

chacun de ces termes etant multiplie par une fonction connue de J. II faut arriver a developper toutes ces expressions suivant les puissances de e et d \ on commencera par supposer e = o, c'= o, ce qui donnera r= a, r' = a\ v =^ I, i;'= /', 0: = /' — / — t'-ht = /' — X, 7 = /'-h/ — t' — T = /' 4-X — 2t'; le terme .U"^ cos(ia? -hjy) deviendra done

(38) A('»)cos[(£-f-y)/'-(£-y)X-2yT'].

II faudra maintenant remplacera, a\ X, /' respectivement par

X, y, x' et y' etant les quantites considerees au n" 93.

L'expression (38) est de la meme forme que celle donnce pour R^, par la for- mulc (19) du n" 119. Nous rentrons done dans une question connue, qui ne presente plus de difficulte, et le probleme theorique que nous nous etions pro- pose pent etre considere comme resolu.

197. Lorsque le rapport-, est assez petit, comme lorsqu'il s'agit des pertur-

SLU LE DEVELOPPEMEXT 1)E LA FONCTION PERTURBATRICE. /\5'J

bations tic* Pallas par Saturne, il convient do developper ^ suivant los puissances de -,• Los forniulcs (3) ot (8) donnent

^ ~ ^ 7"'''^ 1 ( ^ ) 5

pour resoudre la question, il n'y aura qu'a trouver ce que devient Ic polynome P« de Legendre quand on y remplacc a par son expression (2), le resultat devant etre devcloppe suivant les cosinus des multiples de xety; e'est ce qu'a fait Hansen dans lo tome II dos Memoires de /a Societe Royale des Sciences de Saxe. M. Cayloy a donnedepuis une autre demonstration des formules auxquelles etait arrive Hansen, dans le tome XXVHI des Memoires de la Societe Royale astrono- mique.

Nous suivrons une mcthode tout a fait analogue a celJe employee dans les nu- meros precedents; nous pourrons faire tout d'abord

(/) P« ( ^) -^ K:. -h 2 ^ \\^:i cos Lr -H 2 2] K:) cosy> -h 4 2] ^u COS ix cosy>,

oil A|'y est une fonction de J. II y a lieu maintenant de chercher a former une equation diffcrentielle que verifie la fonction P„, onvisagee conime dependant de X, y et J. On trouve sans peine

—rr ~ - sinJ(cosr — cos.r) 7—? ()j A ^ '^ di

-——.— - COS J (cos r — cos j~) .-- 4- y sm* J (cos r ~ cosj?)' . " >

-T-=- = - Mcos^-; h juL*(i — cos*.r) , -

ax'^ ' di ^ dfj^

— »

-^-:. VCOSJ-^+V«(.-COS'.r)^, .

On a d'aillours, par la derniere des formules (8),

dV , </*P

//(// H- i)P,, r= 2(/jLCos^H-vcos^')-y-- -f-(,a'cos*»r-i- 2/jlv cos^cosj' -h v*cos* r— 0-~/-r

On tiro aisement do la Tcquation chorohee

(i.J* ^)J /JL fir* V d\

Si Ton substitue dans cotto equation Texpression (/) do P„ ot qu'on egale T. — I. 58

458 CHAPITRE XXVIII.

h zero le coefficient de cosio? cosyj, il vient

(4o) -^ -^coiJ -^ H- 1 .(/. 4-0- - - -^

4 (/I) ..

On voit directement que A\j doit contenir le facteur [x'v-'; il y a done lieu de faire

En substituant dans (^o), il vient, apres des reductions faciles,

in^ "^ slnj'^^*'^''"^ ^•^' ■+■ ') ^^sJ 4- 2j- 2i] -^ -+- (A^ - /-y)(/i 4- /4-y -h I) B,^7 = o.

Nous regarderons B*^- comme une fonction de v = sin^ - et nous trouverons aisement que Tequation precedente devient

(v«-v)^^ + [2(^+y4-.)v-2y-I]-5^4-(£4y-/^)(«

C'est Tequation

(^'~^)^ + [(«-^P + 0v-y]^4-a|3Fr-.:o

de la serie hypergeometrique, en prenant

(X — i-\-j — n, j3 — /-i-y-^- „ -I- I, y = 2y4-i.

On aura done, en designant par kf] un coefficient numerique,

(g) Ai7=i/rl^'>'v>F(f4-y — /?, e-ny-^ n -hi, ay-f-i, v).

II reste a trouver Texpression de k^"j\ i -hj — n etant egal a un nombre entier negatif pair, F est un polynorae entier en v, dans lequel le terine du degre le plus fort est

(_ i)n-i-J C^'+y 4- /i 4- 1) (/4-y 4-/14- 2). . . 2/? ^^_._^.^

(v* 4- 1) (2y 4- 2). . . (/? — I -i-y)

d'ailleurs, le terme de degre le plus eleve dans [x'v' = (i — v/v-' est (— lyv'"^-' : le terme du plus fort degre dans A',jse met des lors aisement sous la forme

et Ton en conclut

^ ^ ''''/U(/^-+-^4-y)ll(/^-/■4-y) '

I p„(cr) = 4v'»y (-1)^^";=^ — n(2/i)n(ay) — ^cos£xcosy/

Sru LK DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. ^5()

On trouve, d'aiileurs, en remplagant dans

i,.\. . .'in L 2 ( 2 /* — I ) J

a par cosa? 4- v(cosj — cos j:), et ayant egard a la formulc (29),

(42) P„(cr) = 4v« ]A:^^'^""^^ y/i\"!cosixcosjy -+- 0', v«->-f- S; v^-^-i-. . . .

2.-4. . .'in Jmi ''•' ^^1 »

La comparaison dcs expressions (4i) et (4^) donne et, en remplagant A-^j par sa valeur (34), il vient finaiement

,..n(ay, n('-iiiii) n(i^^) n(!iii=i) n(^=i±^)

Les formules (/), (g), (h) resolvent la question.

198. Le developpement de la fonction -r se composera done d'une serie de termes de la forme

~ i cosi^' cosy> -^ ^ ^ cos(/^- -hy» H- ^ -~, cos(/x -y». Si Ton remplace^r et j^ respectivement par

w' — IV -t- Gj' — 7' — ( GJ — 7 ), V\^' -h \V -t- VS' — 7' -h GT — 7,

on voit qu'on sera ranienc a trouver les developpeinents periodiques de

cos "^ ^

on a obtenu ces doveloppements dans le Cliapitre XV.

199. Le developpement de la fonction perturbatrice a donne lieu a un tres

4Go CUAPITRE XWIIl. — SIR LK DEVELOPPEMENT, ETC.

grand nombrc de travaux; ii nous est evidemment impossible d'en rendre compte. Nous nous borncrons a citcr les Memoires suivants :

Caughy. — QEiivres completes, i^ s6rie, t. V, plusieurs Memoires.

V. PuisBUx. — Journal de Matliematiques, 2*" serie, I. V el VI, trois Memoires.

BouRGBT. — A /males de I'Obsen'atoire de Paris, I. VII.

G.-W. Hill. — On the development of the per turbative function in periodic series,

S. Nkwcomb. — Development of the perturbative function {Astronomical Papers, I. III).

GvLDfeN. — Undersokningar af Theorien for Himlakropparnas Borelser, II.

0. Bagklund. — Zur Entwickelung der Storungsf unction {Memoires de i Academic des Sciences de Saint-Petersbourg, 7* serie, I. XXXll).

II. Radau. — Annales de rObservatoire de Paris, t. XVIIl.

B. Baillaud. — Annales de I'Observatoire de Toulouse, I. II.

CHAPITRE XXIX. TRANSFORMATION 1)K UANSEN. 4^1

CHAPITRE XXIX.

TRANSFORMATION DE HANSEN POUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES

DES MOUVEMENTS DES PLANETES.

200. Hansen a donne pour les equations differentielles dcs mouvements des planetes une transformation importantc qui tbrme la base de tons ses travaux. La force perturbatrice y figure par scscomposantes S, T, W, rapportees au rayon vecteur rde la planete troublee, a ia perpendiculaire au rayon vecteur, dans Ic plan de Torbitc et a la normale au plan dc Torbite. Dans Tordre d'idees que nous avons adopte jusqu'ici, il nous parait naturel de deduire la transformation de Hansen des formules ( A) du n° 185, dans lesquelles se trouvent deja les com- posantes S, T, W; il nous semble d'ailleurs qu'on penetre ainsi assez profonde- ment au fond des choses.

CommenQons par rappeler cellcs des formules (A) ou de leurs combinaisons qui vont nous servir :

da nx ' —

J- — — AvVrSsintv -f-T(cosw -+- cosw)],

at [J.

{a) {d(ts-e) dO m' k\/pr. ( /A,-. 1

dt ^ dt V- e y \ p) ]

d'^ in' k ,,-

,' - —\S /cos J,

dt IX ^/p

d^ m' k ,-- . sino , ~T =>V/*sinj.

' (ff' [^ sip

Remarquons maintenant que, dans la niethode de la variation des constantes

dx dy dz dt' 'clV 'dt

arbitraires, les expressions analytiques de a*, y, z, -j-y -y-y -f sont les memes,

/|62 CIIAMTRE XXIX.

dans le mouvemcnt elliptiquc et dans le mouvcment trouble; il en sera ainsi

dt

dc r et -T- > puisque r— s^x^ 4-/^4--" est unc fonction de x, y, z. On voit d'ail-

c/r II a

leurs aisement que, dans le mouvement elliptique, on « ^ = , ^ sinw. On

aura done aussi dans le mouvement trouble

0 r^-->'- ,

I -I- e cos IV

(2) -y-^— csinti'.

Formons I'expression de -j- en differentiant la relation (i) et tenant compte de la formule (2); nous trouverons

d^v kJp . \ dp de

e^xnw -7- zz:i — ^ esuiiv >- -h cosiv -=-•

dt r* /• dt dt

Remplagons ^ et -^ par leurs valeurs(«) etnous obtiendrons apres des trans- formations faciles,

dt r^ \L e \_ \ P) J

ou bien, en ayant egard a Texpression (a) de — ^^ — >

(^) -dt ^l^--^^^^;^-

201. On est amene ainsi a introduire deux nouvelles variables^ et cj, dcfinies par les formules

h dh

(5) ^77^^^^?

( 6 ) I' ^_ iV -f- CT — ^ -r a -:= u -T- a.

Les relations (4), (^)^'t (G) donneront alors

(7) Tt—ri-' ' di-'^^P^

d'oii, en differentiant et rempla^ant —^ par sa valeur (a), Cest Tune des formules fondamentales de Hansen.

TRANSFORMATION DE HANSEN. 4^3

*Si nous differentions maintenant la relation (2), nous trouverons

d^r k . de /. d^v k . dn

di' ^p dt ^p df .,p^/p dt

mettons pour 77' -^ <'t -77 lours valours (a) ot ( J"), ot il vicndra

(0) -^ -.-.-. - <^cos(r 4- A^S;

la composante T a disparu de cette equation, et c'ost la un fait important.

On pent ensuito remplacor ^costr par sa valeur ^ — i, deduite de la for- mule (j), ce qui donne

d'-r k'p ^ k' m' ._

ou l)ien, en vertu de la relation (7),

d*r rA'=^ k'- m' ^

dt' dr r^ ix

c'est encore une des forniules fondamentales de Hansen.

Si nous introduisons une notation speciale pour representor la quantite - z= h, les formules (a), (7), (8) et (10) nous donneronl done cet ensemble de

\V

relations :

('>)

Ht* ''(ir-'''"P- ^ ^'

do rn' , „,

-J- ---- — n\\ /cosfi' — 7),

dt IX

/^N J . de m' .

^ ^ dt IX

di dO

- - zr: COSO -7- • dt ' dt

Ce sont l)ien les formules qui servent de base aux metbodes de Hansen.

40/| cnAPiTRi: XXIX.

202. II est facile (rohfenii- line representation p[eometriqiie cle rinconnue auxiliaire i,

Soicnt {fig. 22) Nl el N,I les grands cercles suivant lesijuels la sphere de

>■>.

4'!

My

\

'\ y N«

rayon 1 est coupec par les positions du plan de I'orbite aux epoqucs / et / -h e//; la position limite du point d'interscction I de ees deux grands cercles sera le point M oil Ic rayon vecteur r de I'epoque / perce la sphere. Abaissons le grand cercle NA perpendiculaire sur N,I; nous aurons

NNrr-r/(?, AN, ^1008 9 ^9; done, d'apres la relation (5),

Soient X et X^ des points pris sur les deux grands cercles NI et N, I, tels que

NX=o-, N,X, = (7 4-<fc7;

on aura AX, = NX et, aux infiniment petits pres du second ordre,

IX = IX,;

on obtiendra done la serie des points X sur la sphere en supposant que le grand cercle NM roule sans glisser sur la courbe C, lieu des points M, le point X restant fixe sur ce cercle mobile. La courbe C n'est autre chose que I'intersection de la sphere et du cone dont le sommet est le centre de la sphere et la direct'rice la trajecloire de la planete P. Dans ce mouvement, Taxe instantane de rotation coincide a chaque instant avec le rayon vecteur SM; il est facile de calculer la vitesse angulaire co de la rotation instantanee. On a, en effet,

XM — -J • I- 0- — r, MN =- r — 0-, NA = sin 9 dO,

NA sine? d^i

0) TZZ

sinMNr// sin(i'--o^) dt

TRANSFORMATION DE HANSEN. 465

d'oii, en remplacant sino -r- par sa valeur (rf).

m'

{€) f^^--h\yr,

L'angle a n'ctant donne que par sa differentielle, sa valeur ao a i'epoque zero reste arbitraire; Hansen prcnd g"o = Oo.

Remarque, — Prenons sur le grand cercle XM Tare XY = 90*^, et soient x et y les coordonnees de la planetc P rapporteo aux axes mobiles SX et SY. On aura

x:-^rcosr, yrtz/*sint\

Si Ton forme les expressions de -7-^ et de -^j) et qu'on y remplace ^-j^ et -^ par leurs valeurs tirees des equations (6), il vient, apres reduction,

—r- —( i H A- b cos V A' r sm r,

d^y

dr-

(^_ ^ 4_ ^' X«S^ sini'-h — yt«Tcosc; \ r^ IX J IX

si Ton pose

m'

' (11)

on pourra ecrire

(^')

1 (X) — — A*(S cose — T siiir),

<

/ (Y) r^ — X-^(Ssin(^4-TCosrj.

i d*\ A-*x -. ,

II resulte des formules (11) que {\) et (Y) sont les projections de la force perturba trice sur les axes SX et SY. Les equations (b') sont les equations diffe- rentielles du mouvement relatif de la planete dans le plan de Torbite; on voit qu'elles sont les memos que si les axes SX et SY etaient fixes. On aurait pu obtenirdirectementces equations (6'), ainsi que les formules (cl), par la theorie des mouvements relatifs, en appliquant le theoreme de Coriolis [tWr la These de M. Perigaud, Expose de la methode de Hansen, etc. {Annates de I'Obscn'aioire de Paris, t. XVH)].

203. II nous faut montrer actuellement comment on calculera les compo-

santes S, T, W.

Si Ton differentie par rapport h x,y et s Texpression connue de la fonction T. - I. 59

466 CIIAPITRE XXIX.

perturbatrice du mouvement de la planete P, on trouve, pour les projections de cette force sur les axes de coordonnees,

(-) '"i^-^y '-i"^--^- ""■(-.

„f

,.'8

oil A designe la distance des planetes P ct P',

Supposons maintenant que Taxe des x coincide avec le rayon vecteur r, Taxe des J avec la perpendiculaire a rsituee dans le plan de Torbite, ct I'axe des 5 avec la normale au plan de Torbite. Soient (^g. 23) M, P et Q les points oil ces

Fig. 23.

trois droites rectangulaires percent la sphere de rayon i. On aura

07 --= r, y — o,

= 0.

Les trois composantes (12) seront respectivement egales a fm'S, tm'T et f/w'W; on aura done

(.3) s = x'(i,--;,)-J-., T=y(i,-.L), w = .'(^.--^).

Soient X le point considere anterieurement sur le grand cercle MN, X' le point analogue pourM'N'; on aura

XNr=:C7, XM=:<', X'N'^^ff', \'M'=ii>\

Nous poserons

XG=:e, x'G = e';

TRANSFORMATION DE HANSEN. 4^7

ii en resultera

MG = i^-e, MTizizi;'-e', NG^e-(7, WG=&^a'.

L'application de la formule fondamentale de la Trigonometrie spherique aux triangles M'GM,M'GP, M'GQ fera connaitre les cosinusdes arcs M'M, MT, M'Q,

lesquels sont egaux respectivement a — ^ ^j ^; si, dans les formules obtenues, on remplace cos J par i — 2sin^ -> il viendra

x' J

-T =:-cosM'M = cos(/— v — S'-hS) — 2sin' - shiCi^ — 0)sin(p'— 6'),

r' '2

(i/i) { ^ ziicosM'P = sin(i''-t'--e'-he) -2sin*-cos(t'-e)sin(i''— e'), — , n^cosM'Q — — sinJ sin((^' — 6').

Le triangle NGN' donnera d'ailleurs

/ . J . e'— o-'-i-e — c7 . e^e' . 9 4-<p'

' sin - sin = sin sin >

22 22

. J e'-c7'4-e — (7 9-9' . 9-9'

sin - cos =z cos sin -^ —>

22 22

^ ^ ^ J . S'—(j'-S-h(T . 9^9' 94-9'

cos - sin — sin cos >

22 22

J e'— (j'-e^-a 9-9' 9 — 9'

cos - cos = cos cos ~ — '

1 2 2 2 2

t

On a aussi

A'=r'-h/*'' — 2/7'' cos MM', (16) A*=:/->-i-r'«— 2/t'cos((^'— (^ — e'4-e)-h4/-r'sin* - sin (v^ — 6) sin (p'— 6').

Les formules (i3), (i4)» (i5) et (i6) determinent S, T et W en fonction de r, r', Vy v' et de a, (/, 0, 0', (p et 9'.

Les equations (6) et (c?) paraissent decomposer le mouvement en deux autres, Ic mouvement relatif dans le plan de Torbite et le deplacement du plan de Tor- bite; les premiers membres des equations (6) ne renferment en effetqueretf ; mais il est bon de remarquer que les seconds membres contiennent 6, <p et<j, qui sont introduits par les expressions donnees plus haut pour S et T.

Nota, — Les formules (6), (c) et (c?) ont ete donnees aussi par Wronski {voir^ dans le tome II des Annates du Bureau des Longitudes, un Memoire de M. Yvon

468 CHAPITRE XXIX.

Villarceau, Sur une nouvelle forme des equations differentielles du mouvement des planetes et des cometes); mais c'est Hansen qui les a publiees le premier.

204. Supposons effectuee rinlcgration des equations (i), (c), {d)\ voyons comment on caleulera pour une cpoque quelconque la longitude et la latitude heliocentriques L et B. Abaissons (fig. 23) Tare de grand cercle MH pcrpendi- culaire sur le grand cercle ry; nous aurons

et le triangle rectangle MHN nous donnera

[ cosB sin(L — 6) = cos(p sin(i'— ff),

(17) ^ cosBcos(L -- ^) = cos(('— (7),

( sinB — sin 9 sin (r — (7).

Le calcul de L et B par ces formules presente cet inconvenient que lesfacteurs C0S9 et sin 9 sont variables a cause des perturbations et qu'on ne pent pas con- struire commodement des Tables pour le calcul des seconds membres de la pre- miere et de la troisieme des formules (17). Hansen a surmonte cette difficulte par un artifice remarquable que nous allons expliquer.

Soient 9o^t ^0= ^0 1^'s valours initiales de 9 et 0; Hansen cherche a determi- ner les quantites F, ^y ^' et^, de maniere a avoir

[ cosBsin(L— 00— T) =1 cos9osin(r — 0o) -- 4*'

(18) I cosBcos(L- 0^—T)— cos (r — 60) ■\-^'y

\ sinB =r sin9o sin(r — (?o) ^ •^'

On pent ecrire

developper (L— Oo — F) et remplacer cosBsin(L 0), cosBcos(L — 6) et

sinB par leurs valeurs (17) ; si Ton met en meme temps {v — <j) ^ (a — 0© ) au lieu de {^ — 0^,, les relations (18) donneront

j ^j> =:= [cos9ocos((7— ^o) — eos9cos(0 — 00 — F)] sin(<' — ff) -+-[cos9osin(o- — 0o)— sin(0 —0^— r)]cos((> — a),

, ^ y +'= [sin(o-— 0o) — cos9sin((; — 00 — F)] sin(r — a)

('9) \

-+-[— C0S((7— 0o) -H cos(0 — 00— T)] cos(r— <j),

s=z [— sin 90 008(0- — 00 ) 4- sin 9] sin(r— a) H-[— sin9oSin((7— 0o)] cos(r — a).

TRANSFORMATION DE HANSEN. 4^9

On va profiter de rindetermination de T, done de 0 — O^ — F, de maniere que, pour toutes les valeurs de (^ — a, on ait

(20)

(|nzA5, Vp'=A'5,

A et A' etant des quantites independantes de (^ — a.

Si Ton se reporte aux expressions (19), les conditions (20) donneront

cos9ocos((7 — 6q) — cos9cos(0 — Oq— T) — cos9osin((7 — 9^) — sin(0 — Oq — T) =

sin ((7 — 60) — COS9 sin {6 — 60 —T) =

--COS(ff— 9o) 4-cos(0 — Oq—T) ■=

A [sin 9 — sin 9o cos {a — 0© )]»

— Asin9oSin((T — 0o)>

A' [sin 9 — sin9otos((T— 0o)]>

— A'sin9oSin((T— Oq).

On tire de la deux valeurs de sin(0 — O© — F); en les egalant, on aura une equation de premier degre entre Aet A';on feradememe pour cos(0 — 0^ — F). On trouve ainsi

(21)

(22)

j sin(0 — 9o~ F) — (cos9o4- Asin9o)sin {a — 9^)^

I cos{9— 00— F) i=:cos(ff — ^o) — A'sin9oSin((T'— 9q),

A sin 9o cos 9 sin ((7 — 9^) 4- A'[sin9 — sin9oCos((7 — 9o)] = (i — COS90COS9) sin(ff — 0o)>

A [sin 9 — sin 9o cos ((7— ^o)] — A' sin 90 cos 9 sin (o-— 9q)

— (COS9o — cos 9) cos ((7 — ^o)'

L'elimination de A entre les deux equations (22) donne

(23) A'= sin 9 sin((7 — ^o) r^

I -- cosyoCOS9 — sin9osin9cos((7— ^p)

[sin9 — sin9ocos(ff — 0o)]*H-sin*9oCOs*9sin*((T— ©o)' le denominateur de cette expression pent s'ecrire

(sin*9o— sin*9ocos*9) cos*((7 — 0o) — 2 sin 90 sin 9 cos (o- — ^o) ■+- sin*9 4- sin* 90 cos* 9 = [i — sin 9o sin 9 cos ((7 — ^o)]*— cos*9oCos*9;

SOUS cette forme, on voit qu'il est divisible par le numerateur, et il reste seule- ment

., sin 9 sin ((7 — 9q)

en posant

x = i -t- COS90COS9 — sin9osin9cos((7-- 9^).

Portons cette valeur de A' dans la premiere des equations (22), et supprimons

4']0 CHAPITRE XXIX.

le facteur sin (a— Oq); nous trouverons

xAsin9oCOS9 = 1 — cos'9oCos*9 — sin'9 -h sin<poCOS9oSin9 cos9COs((j— ^o).

_ sin 9rt cos 9 -+- cos 90 sin 9 cos (a — 0© )

_/\ — •

X

En substituant ces valeurs de A et A' dans les formules (21), on obtient

X

cos (9 — 9 —T)— (^'^^QS9oCOS9)CQs((7— Qq) -sin9oSin9

et Ton verifie sans peine que Ton a

sin*(0 — ^0 — r)-4-cos'(^-0o— r)=:i;

les conditions (20) sont done bien remplies.

Voici Tensemble des formules qui resolvent la question :

{e) X -" I -t- cos 9o cos 9 — sin 9o sin 9 cos ((7 — 9q),

(/) s =sin9sin(t' — (t) — sin9oSin(t' — 0o)>

cos B sin (L — 0o — f) = cos9o.sin(t'— -0o) [sin 90 cos 9 4- cos 9© sin 9 cos (d — ^o)]»

( o-) / 5

^^ ' cosBcos(L — ^0- 1^)= cos((^ — 0o) H- - sin9sin((T— 0o),

sinB = sin9oSin((^ — 9o) -+- s;

sin (9 _ 9. _ D ^ (£5il!^±:^^l!ili(?^-i-?l ,

X

(1 -4- cos Oo cos 9) cos(o- — Oo) — sin 9o sin 9

(M

cos(0 — 0o-r) =

X

On calculera F par Tune ou Tautre des formules (h).

Le butcherche est atteint, car on pourra construire trois Tables donnant les valeurs des premieres parties des seconds membres des formules (g)f savoir cos(posin(f' — Oo), cos((' -- Oq) et sin9oCOs((' — 0©); on entreradans ces Tables avec I'argument ^ — Oq-, les parties complemcntaires des seconds membres des formules (g) sont petites, carellesconticnnenten facteur la quantite^qui est de

rordredem'sin9o; en effet, sironsupposait7n' = o, onaurait cp = (po' 0^ = 0^0 = ^0 et la relation ( /) donnerait 5 = o ; a — 0^ est de Tordre de m'. La valeur (e) de X est egale a

I + COS90COS9 — sin9oSin9 = i ■+■ cos(9o + 9),

en negligeant m'^; en negligeantm', on pent prendre x= i 4- cos2(p„= 2cos'(po-

TRANSFOUMATION DE HANSEN. 4?!

On verra d'ailleurs dans un moment que F est de Tordre de m'^; si done on ,peut laisser de cote les termes en //i'*, ce qui arrivera souvent, les formules(^) pourront etre reduites a

IcosB sin(L — ^o) =^ cos9oSin((^ — 0^) — 5 tang9o, cosBcos(L — ^o) = cos(i^ — Oq),

sinB r= sin^o sin(i^ — Oq) -\- s\

ayant construit les trois Tables dont on a parle, il suffira de calculer dans chaque cas la petite quantite 5et Ton obtiendra ainsi, avee la plus grande facilite, LetB.

205. Dans le cas general oil Ton conserve les formules (g), Hansen trouve encore le moyen de presenter les resultats precedents sous une forme plus simple en introduisant deux quantites auxiliaircs P et Q au lieu de cp et a, par les for- mules

I P :■— sin 9 sin((T — Oq). (k) Y V 0/

( Q =:: sin9Cos((j— 0o) — sin9o;

P et Q seront de Tordre de m' sin 90. L'expression (/) de s donnera, en y rempla- ^»ant (^ — a par ^ — Oo— (^— Oo)>

5— [sin 9 cos (ff— ^o) — sin9o]sin(i' — ^o) — sin 9 sin (d- 0o)cosi'— 60 ou bien

(/) 5 — Qsin((^ — 0o)-Pcos(i^— ^o).

La valeur (e) de x pourra du reste s'ecrire

x==i 4- COS90COS9 — sin9o(Q 4-sin9o), (ni) x = cos9o (COS90-+-COS9) — Qsin9o.

On aura ensuite

sin 9o cos 9 -I- cos 9© sin 9 cos {a ~-6q) = sin9oCOS9 4-cos9o(Q 4- sin9o)

de sorte que les formules (g) pourront s'ecrire

I cosBsin(L — ^0— T) — cos9osin(t' — (?o) — *( langQoH -i>

\ T y^ DT xCOS9o/

^'*^ ' C0SBC0S(L — ^0— r)=: C0S(P— ^o) H-.V?\

X

sinB 1= sin9o sin(r-— 6^) -hs,

TRANSFORMATION DE HANSEN. 473

Si Ton remplace -jj ^^ -^ P^r leurs valeurs (o), on trouve

^ _ m' ^^ Q sin {v — 0 J - P cos (t> — 0o) ^^

dt fJL X '

ou bien, a cause de la relation (/),

dY m' hrs

(^) ^77 = 7 V^-

Cette expression, est de I'ordre de m'^, a cause des deux facteurs — et 5; il

resulte d'ailleurs des formules (A) que, pour / = o, on a F = o. Done V est une Ires petite quantite de Tordre de m'^: elle est aussi du second ordre par rap- port aux inclkiaisons. On pourra ecrire

(/■) ^ = ^^'^*Wrf^

En negligeant m'*, cela se reduit a

fr') r= — — ^ r rsVfdl.

H 2cos»9oJo

206. Void le resume general des formules

(A)

'dF ~ '' dF '^ 7' - y " ^'

dt\dtj fjL '

(B) h^ "

r^

dt

(C)

(D)

P = — I /irWcos9sin((^ — ^o) <^^j

m' r'

Q == — / Ar W cos cp cos (t' — ^o) dt,

( sin9 sin((T~ ^o) ~P»

I sin(pcos(ff— 0o) — sin<po = Q,

(E) e-e,= / -^dt,

T. - I.

60

i

a blQS QIO 771 553

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